Chủ đề 4
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
§1 Tóm tắt lý thuyết
1) Cho hệ phương trình tuyến tính yk HX, Fon 4,,%, =, inn i5 †4ayX; đuX, =, qa AX, $4, %) tu 4,,%, =5, a, ho 4, An im b, đụ 4p đụ đụ a, >; A=|ay 4z đạ đạm - đạy «đạm đạn đạp đạp Py )
Lân lượt gọi là ma trận các hệ số và ma trận mở rộng của hệ (1) 2)Dinh lý (Krơnecker-Capel) Hệ (l)có nghiệm © r49=r(
Suy ra
Nếu z(4) = r(4) = m thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu r(4) = r(4) =k < n (số ẩn) thì hệ có vơ số nghiệm 3) Nếu mm = n (số phương trình bằng số ẩn) và z(4) = m thì
(1) là hệ Cramer có nghiệm duy nhất cho bởi:
Trang 2i=In trong đó D=det(4), D, suy ra từ D
bằng cách thay cột thứ ¿ bởi cột số hạng tự do
4) Nếu b, =6, = =, =0 thì hệ (1) trở thành hệ thuần nhất OX, Fgh tot a,x, =0
Oy), 44%, ton 4%, =0 ý
4,,%, +4,,%, + +4,,%, =
Hệ (2) ln có ít nhất một nghiệm x,
gọi là nghiệm tầm thường
Nếu r(4) = n thì hệ (2) có nghiệm duy nhất là nghiệm tắm thường
Định lý: Hệ thuần nhất (2) có nghiệm khơng tâm thường © r4)<n
Hệ quả:
a) Một hệ tuyến tính thuần nhất với số phương trình bằng số ẩn có nghiệm khơng tẩm thường © định thức của ma trận các hệ số bằng 0
b) Nếu hệ tuyến tính thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì nó có nghiệm không tầm thường
Trang 3§2 Các dạng bài tốn thường gặp Vi du 1: Giải hệ x, +2x, -x, =6 8í, -5t, -2t, =-8 x, +4, +3x, =2 9, ~3t,~Ái, = =9 a) 2x, +3x, - 6x, =6 2 b) -2t, =-7 3x, +2x, 9x, =4 Tt, -8t, -t, =—12
Giải: Ta giải hai hệ này nhờ phương pháp Gauss a) Xét -1 6) (1 2-1 6 32] > jo 3 2 8 -6 6| |o -1 -4 -6 -9 4) \o -4 -6 -14 1 0 -9 -6) (1 0 -9 -6 0 0-10 -10| |0 -1 -4 -6 > 0-1 -4 -6|} - |0 0 1 1 0 0 10 10) lo 0 0 9
Suy ra hệ đã cho tương đương:
x —9,=-6
2 Gux,x)=(2)
Trang 4
b) Xét 8-3 <2 5 8-3-2 8 -5 -2 -8 9-3-3 8 | 3 8 - 2 >| SN Sk at S38 oF BoB) <2 Ty 3 <8 -T -12) 7 -=§ <1 -12, J =§ -1 -12) 4-5 0 -6 07 0 14 1-3 0 -5) 20 -1 -1 > 06 -1 9 > 0 6-1 9 1-3 0 -5 1-3 0 -5J |0 1 0 2 5-8 0 -HJ |0 7 0 14) (0 0 0 90 Suy ra hệ đã cho tương đương
Trang 5Giải: a) Xét
27-1 0-1) (0 13-5 2 ~ 0000 2 4=ll-3 2 -1 2by1 32-1 2) 3 2-1 2 4 1 3-2 1J \O 13-5 2-7) \0 13-5 2 -7,
'Từ dòng đầu của ma trận cuối suy ra hệ vô nghiệm b) Xét 1 2 ghi 4ã 1-1 6} |0 -3 3 A= 1 0 -5J > |0 -2 2 > 11 4) lo -1 1 nfl 2 in 3D, =| “|=~!£0 =r(#=r(4)=2<3= số
=> hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3~2 = I tham số
x,+2x, tây Theo trén hệ đã cho tương đương {
Trang 9x, tx, tx, tx, 4%, =7 3x, +2x, +x, +x, -3x, =-2 b) x, +2x, +2x, +6x, =23 Sx, 44x, +3x, 43x, -x, =12 Giải: a) Xét 24 1 2 0 -5 -L -8 0 0-21 52 13 1 5J |I 3 1 5| |1 0 13-31 3z 12 s-7| Jo ¬ 4 ¬2| J1 4-12 I Q 23-3 14 |0 -3-s 4) lo 0-17 49 2x, =52 Suy ra hệ tương đương 4”" , cxy +4xy =-12 ĐIỆN, AI
-Hx, =40
"Từ dòng đầu và dòng cuối = Hệ vô nghiệm
Trang 10Suy ra hệ tương đương
x +x, SĨ Ty TN TẾ —x, =-23 +2x, +2x, +6x,
> (6;x,1,x,x,)=(Cl6tz+/8+5y,23-2a~28-67,ø,8));287<IR
Ví dụ 6: Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm
Trang 11
=>r(A)=2 ,r(A)=3 = hệ vô nghiệm
-— Nếu m#i thì
l ~l 0
3D =Ì0 3 =2|=3m-l)#0 =r(0=r(4)=3
o6 0 m¬I
Trang 12Tóm lại hệ có nghiệm V m # —1
Ví dụ 7: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất
-x -2y +Áz =4 -2x +y - + =8 a) -x +8y +6 -=2 5y +(l0-a)z =-2 ax -3y +(a-lz =1 | TY TỜ #32 =3 3x ty -2z 2 (@-a)x +6y +(@-Ùz =-6 Giải:
a) Cộng dòng bốn vào dòng hai và cộng dịng đầu vào dịng ba thì có: -l -2 4 4) (-1-2 4 4 -2 1 a@ 8] > |-2 6 0 6 -1 8 6 2| ]-2 6 10 6 0 5 10-z -2j (0 5 10-a -2 -2 6 10 6 0 5 10-a -2
Suy ra hệ đã cho tương đương,
Trang 13x -2y +4z
-2x +ốy - +l0z
Sy °+(10-a)z 6 nghi¢m duy nhat <>
ml =2 4 fl 2 4
+2 6 10|=|0 10 2 |=10a-9040 ~ a¥9 0 5 10- 0 5 10-
b) Cộng dòng bốn vào dòng đâu và cộng dòng hai vào dịng ba thì có:
a -3 a-l 7 2 3 1 1 -1 3 2 1 -2 = -2 BS ¬ -1 2 2 3 3 3 1
2-a 6 2-a -6 2-a 6 2-a -6
23 1 1
- 2 3 3
.y 0 0 0 0 2-a 6 2-a -6 Suy ra hé tuong duong
23x +3y +z
-x +2y +ây
(2-a)x +6y +(2-a)z
có nghiệm duy nhat <>
Trang 142 3 1 2: và 7
Dp=|-I 2 3|=Ð1 2 3
b-a 6 2-al |0 10-2a 8-44
Trang 15
0 |Z7z0 =r(0=2
Do đó nếu -2m+l=0 @ m
; thì các định thức con
cấp 3 của ma trận cuối déu bằng 0 = z(4)=r(=2<3=
sốẩn => Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc 1 tham số b) Xét _ 12 ¬3 1 -2 12 = -3 1 ~2 A=|3 1 1 -2 4|olšs5 -5 0 0 2-4 m'-6 -6 m+8) (8 8 m-240 m4, 12 -3 1 -2\ (12 -3 1 -2 ali -l 0 0 |Bl1 1 -1 0 0 B 8 8 m-24 0 m-4) (0 0 m-16 0 m-4 Hl —2| Néu m=4 thi 20: | g7 2.0 và các ah he on cấp 3 của B đều bằng 0 =z(4)=z(9=2<4= số ẩn =
Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc 2 tham số
Ví dụ 9: Tìm mm để hệ sau có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm
2x tây +z
=x +2y +3z
a) 3x ty -22
Trang 16
t^n 10x +l2y +(Œ-mz =0 b) 4(1-m)x +(2-2m)z 1 2 Giải a) Xét + 0 7 7 7 0 2m-3 4m-l 3m+7 -1 2 3 3 “h2 3 3 0 1 1 1 0 1 1 1 > ¬ 4 0 2m-3 4m-1 3m+7 0 0 2m+2 m+10 0 0 0 0 0 0 0 0
Suy ra hệ đã cho tương đương,
—x +23, +âXy =3
x +x =1
Trang 17bi 2 3 =-Am+) #0 me-1 @D=|0 1 1 |= 0 0 2m+2 - Khi m=-1 thi 3D) = Li 2
vaD,=|0 1 I|=-9#0=r(4)=2 ; r(4)=3= hệ vô nghiệm
00
b) Xét định thức của ma trận các hệ số, cộng vào cột hai cột
ba thi: 10 19-m 7-m m 2-2m 2-2m| 0 m-1 10 12_ 7m 2-2m| = |4|=ÌÌ-m 09 lal 0 I-m m-1 0 10 19-m 2 =m) 2 AT "0cm (+m)
Nếu z # +1 thì hệ đã cho là hệ Cramer - có nghiệm duy nhất
ly +l2y +6 =
Trang 181012 8 0 5640 5640
Z-|2 0 4 1fsl204 1fol1 024
0 2-2 -2) |4 2,60 213 0)
06-6 -2| foo 0 2 2 2
allo 2 ;I2|19 25 => hé vonghiem
Vi dy 10: Tim a để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
x +(-ay +z =2 x ty -z
~+ay =2 ý) [oe Hay +6
+ấy +âz =2 sx +7y +az
+(6-ajy +4 =4 2x +ấy +@-9z =4
a) Xét
1 Ia 12) (ita lt 2) fl ta 1 2
Trang 19Nếu =1 =r(4)=2 I1 2 va 3D =|0 =1 -l|=-l#0 =r(9=3 0 0 1 = Hệ vô nghiệm sea Néu a1 thi 3D, =
=> r(A)=r(A)=3 => Hé 6 nghiệm duy nhất
Trang 20122 _ [i012 8 0) (5 6 4 0) (5.6 4 0) 4=|2 0 4 1/9/20 4 1Jo}1 02 5 0 2-2-2) (42,690) |2 130, 06-6 -2} foo o 2 2 2 ¬llỎ0 2 110922 = hệ vô nghiệm 01-1 -1| |0 1-1-1
Vi du 10: Tim a để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
x +(-ay +z =2 x -2y -z a) & -(tay =2 foe +9 +6
-2x + +3z =2 5 +Dy +az
=x +(6-đ)y +4z =4 2x +5y +@-39z =4
Giải: a) Xét
1 La12) (lta l 2) (1 ba 1 2
2 -l-a 02] |0 a-3 -2 -2| |0 a-3 -2 -2
Trang 213D, n fl 1 cal Meigs Nếu a=1 =z(4)=2 tok 5 va aD =l0 =1 - oo 1 =-140 =r(4)=3 = Hệ vô nghiệm Néu a1 thi 3D) =
=> r(A)=r(A)=3 = Hệ có nghiệm duy nhất
Trang 22*Nếu 8a~96=0 «œ a=12 3D) = =2 — và3D„,=|0 8 7|=8 = r(4)=2 ; r(8)=r(2 oo 1 =_ Hệvô nghiệm
* Nếu 8a~96 #0 cœ>a#12
I-2 1
thì30=|0 8 8 |=88a-96#0 lo 0 8-9
= r(4)=r(4)=3 => Hệ có nghiệm duy nhất
Trang 23Giải: a) Xét 3 1 -2 m 3 1-2 m 4=l2 4 -1 -2}>/-10 0 7 -2-4m 4-2-3 1 10 `0 -7 1+2m 3 1 -2 m —|-10 0 7 -2-4m|=B 0 0 0 -l-2m *Néu -1-2m=0 © m=-4 ]
thi-3D) = |10 0 và các định thức cấp 3 của B đều
Trang 2417 0 m3) (1 7 0 m3 2 4 ¬1 -2| |0 -10 ¬1 4-2n 425 7 0 -30 -3 13-4n 31-2 m 0 -20 -2 9-2n, 1 7 0 m-3 1 7 0 0 -10 -l 4-2m 0 -10 -1 > > 0 0 O 1+2m 0 0 0 0 0 0 142m 0 0 0 0 *Nếu l+2m=0 © m=-} I7
thi 3D), + vẬnTI0*0 ‘va các định thức con cấp 3, cấp 4 của B đều bằng 0 = r(4)=r(4)=2<3= số ẩn => Hệ vô số nghiệm * Nếu L+Öm #0 cm # =2 thì r(4)=2 D0 m-3 và 3D} =|0 -1 4-2m| =(1+2m) #0 0 0 1+2m =rŒ
3._ = Hệ đã cho vơ nghiệm
Ví dụ 12: Tìm a (hoặc m) dé hệ có nghiệm duy nhất, vơ
số nghiệm
Trang 252x, +x, tây +4 gi +35 + + 4x, +2x, -4x, +6x, 5x, +(a-9)x, -2x, tấn, +2, =4 b) |4, +3xy, -2x, =2 mx, +4x, =3 * Giải: 213 4 1 122 4 0 4 2 2xá 2| 12 2 0 13 4 1 2-4 6 10a| |00 5 a-9 1 00 52-9 1] 42-4 6 102 122 4 O) (122 4 0 213 4 1] j213 4 1 > 00 5 a-9 1| 005 a-9 > 1 00-10 -2 8-a) |0 0 0 24-20 10-4 * Nếu a=10 I2 3 » 123 aall 24 tủ 30, =|P 1 3|=5cD 7 1|=-l5#0 loo 5
= r(A)=r(A)=3<4= 36 in =>Hệ có vơ số nghiệm *Nếu 24-200 @ az#10
Trang 26122 4|J2 2 4 we BS 4 | dE od
“p05 ¿-o| b o s a-p|P T700
|0 0 0 2z-2d |0 0 0 24-24
=> r(A)=r(A)=4= sO an => Hệ có nghiệm duy nhất
b) Xét -25 2 4 2 8 06 140 3 4 3-2 2j>o) 4 3 -2 2|D| 4 3 -2 2 m 4 0 3) \m 4 0 3) (mw 4 0 3) 1 403 >| 4 3-22 m-10 0 0 II
* Nếu m=+1 thì avy | +ne và các định thức
cấp 3 của ma trận cuối đều bằng 0 = z(4)=r(4)=2 = Hệ
có vơ số nghiệm * Nếu mÌ =1#0 € m=3I thì 1 40 4 3- 1-0" lm -1 0 0 „ sp” 23 =
Trang 27Ví dụ 13: Biện luận theo m số nghiệm của hệ ÁN +a; +x, =3 ` 33 +x, =2 xị +ím°=2)x, =m-1 4 1 1 5 -4 2 4= #8 “1 1 2 1 m-20 1 1 3 0 0-1 0 0 m-2 0 0 0
Trang 28tần
4) Nếu m #42 thi D z: 0, hệ là hệ Cramer có nghiệm duy nhất b) Nếu m=2 thì D=0 và 3D =r(4)=r(3)=2_ = hệ vô số nghiệm ©) Nếu m =~2 thì r(4) =2 I1 3 b 0 lịỊ= lo o và 3D =r(2)=3 = hệ vơ nghiệm
Ví dụ 14: Xác định a,b để hệ sau có vơ số nghiệm
Trang 29+ 3 a 2 j0 -3 6 2 0 -1 -1I5-3a b-12 1 3 a 2 1 3 a 2 =|0 0 51+9a 38-3b|-|0 -1 -15-3a 6-12 0 -1 -15-3a 6-12 0 0 51+9a 38-3, 2 fl 3
3D, b | ~1 # 0 nên hệ có vơ số nghiệm
Trang 30Suy ra hệ có vơ số nghiệm œ z(4)=r() =2 <3= sốẩn
21-2z=0 S
b-3 b=3
Ví dụ 15: Giải và biện luận hệ
ax, +x, cư y =1 x, tar, +x, =l ja 1 I1 | D=ÌI a l=a`~3z+2=(@-I(a+2, D =ÌL a 1Ì=(@-D” I1 I1 ja 1 1 ja 1 ]j 2 2 D,=|L 1 =@-) , D,=|l a =@-1) I1 4 11] 1
* Nếu (a~D (z+2)0 “| #1 | thi he da cho la he ‘a a#-2
1
a+2
* Nếu a=1 thì z(4)=z(3) =1 ,hệ đã cho tương đương x, +x, +4, =I 66 vô số nghiệm dạng &x„x)=(4/8l-a-) ,œ/ØeR
*Nếu a=~2 thì D=0, D,=9#0 =r(4=2#r(2)=3
=> Hé vô nghiệm
Cramer có nghiệm duy nhất x,
Trang 31
Vi dy 16: Giải và biện luận hệ x +2y =10 x +3y -2x +y 2 10 12 10 slo 1 4 Jojo 1 4 |=B 1 0 0 m—14
a) Nếu m =14 thì 35g =| eso =>r(A)=r(A)=2
=> Hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = (2,4)
b) Nếu m—14#0 <> mz14thì z(4)=2 và |d=(m-14#0
= r(B)=r(A)=3 => Hệ vơ nghiệm
Cách 2:
Có thể giải một cách sơ cấp như sau
ïng E2 vào tình thứ hai
~2x+y=0 > Lyaa thay vào phương
Trang 32Suy ra
2) Nếu mm = 14 thì hệ có nghiệm (x, y) = (2,4)
b) Nếu m # 14 thì hệ vơ nghiệm
Ví dụ 17: Giải và biện luận hệ 3x +4y +x =0 3x +2y +2z =-l 2x +ấy +az =~—L 4x +y +@-a)z = Gi
Xét 3: nhân dòng đầu với (-1) cộng vào đồng hai và cộng
dòng ba vào dịng bốn thì có: 3 4 1 0 3 4 10 bế 32 2 0 si 0 -2 1 0 2 5 a 2 35 z~l 4 1 3-a 1 6 6 3 0 3 4 10 3 4 10 0 -2 1 0 0 -2 1 0 > > 2 5 a~l 2 5 a~l 0 -2 1 0 0 00 3x +4y +2 =0
Suy ra hệ tương đương, -2y +z =0
2x +ấy +az
Trang 33
he nay c6 D=-3-6a ,D,
a) Néu a=-5 thì D=0 =z(9)=2 r(9=3 = Hệ
vô nghiệm
Trang 34
Suy ra hệ đã cho tương đương
m% th +2x, -2x, =0
-2x, +(a-2)xy 2 =
(208430) a
2, x =0
=> Hệ có nghiệm khơng tầm thường khi và chi khi
Trang 36ery x +2x, 43x, -x, =1 3x b) 2x, +3x, +x, +x, =1 2x, +2x, +x, -x, =1 Sx, +5x, +2x, =2 42x, +2, -x, =l
4) Tìm điều kién vé a,b,c để hệ sau có nghiệm duy nhất
(a-b-c)x +2ay +22 =0
bx +(b-c-a)y - +2bz =0
2x +2 — +(e~a-Bjz =0
5) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất -3x, +(m-lìxy =T tơ, tân =3 2 +x, =2 6) Tìm m để hệ sau có nghiệm x -2y -z2 -t =-1 x +3y +5¢ =3 Tx +y -42 +1lt =2m
7) Tìm z để hệ sau có vơ số nghiệm
Trang 37x ¬- =2
b) 43x, +x, +5x, =18
2x, 49x, +5x, +15x, =2+a 42x, +2,
8) Giải và biện luận hệ ax ty +z =1
x tly +z =a x ty +42 =A
9) Biện luận về số nghiệm của hệ
(m‡3x +y +22 0 =m mx +(m-ly +z = 2m 3(m+lx +my— +(m+3)z =3 10) Cho hệ 5 3x, 2x, 42x, tan =3 =x, -ar, =2 , +x, tân =Ó Tim a,b dé hệ có nghiệm duy nhất
Tìm a,b để hệ có vơ số nghiệm
Trang 3812) Tìm điều kiện của các tham số để hệ sau có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó tan 3 3 x -ay +az =a x -by +bÏz =b` 2 x -y +cz =c 13) Giải và biện luận hệ
kx +âầy +2z =0
ke -y +z =Ũ Bx +y +42 =0 14) Giải và biện luận hệ
—6x, +8x, -5x, -x, =9 -2x, +4x, +7x, 43x, =I -3x, +5x, 44x, +2x, =3 3x, +7x, +17x, +7x, =k
15) Giải và biện luận hệ
2x, 43x, +2, 42x, =
4x, +6x, 43x, +4x, =5 6x, +9x, 45x, +6x, = 8x,
Trang 39Chủ đề 5
VÉC TƠ N CHIỀU
§1 Tóm tắt lý thuyết 1) Véc tơ:
~ Một bộ sắp thứ tự gồm n số thực gọi là một véc tơ n chiểu
kíhiệu X=(x,x,,x,„ x„) — Œ,efR, í=Lm) = VECO (HX r% =O Nyro) SX =Y, VE
- Vếc tơ Ó, = véc tơ không - Vếc tơ -X
X= (Hay) Phép toán:
C,X,»-sX,)*y j2,
in
Tính chất: Với X,Y,Z là các véc tơ n chiểu bất kỳ,
Trang 40(@B)X = a( PX)
- Tập hợp các véc tơ n chiểu cùng với hai phép toán thoả mãn
8 tinh chat trén gọi là không gian véc tơ n chiều, kí hiệu là R 2) Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:
- Cho X,,X,,„ X„ 6Ñ”
Véc tơ X elR” gọi là tổ hợp tuyến tính của X,,X,, Y,„
nếu X được biểu diễn dưới dạng:
X=0,X,+0,X,+ 00,X, ,ø,eR Vi=lm
'Ta cũng nói X biểu thị tuyến tính duge qua X,,X,, X, - Hệ véc tơ X,, X,„ X,„ (1) gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu 3m số thực k,„k,, É,„ trong đó có ít nhất một số z: 0 sao cho:
KX, +k,X,+ +k,X, =O, (2)
- Nếu (2) chỉ thoả mãn khi #, k„=0 thì () gọi là độc lập tuyến tính
Tinh chất
~ Trong IR” mọi hệ véc tơ có số véc tơ lớn hơn n đều phụ
thuộc tuyến tính
~ Một hệ véc tơ có từ hai véc tơ trở lên phụ thuộc tuyến tính <> trong hệ có ít nhất một véc tơ biểu thị tuyến tính qua các véc tơ còn lại
~ Nếu một hệ véc tơ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì bản thân nó phụ thuộc tuyến tính
3) Cơ sở:
- Một hệ gồm n véc tơ n chiều độc lập tuyến tính gọi là cơ sở của ÍR