Tài liệu và bài tập toán cao cấp đại số tuyến tính ánh xạ, ma trận

Toán cao cấp là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh viên các nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Để học tốt môn Toán cao cấp theo phương thức Đào tạo từ xa, bên cạnh các học liệu: sách, giáo trình in, băng đĩa hình,..., sách hướng dẫn cho người học toán cao cấp là rất cần thiết.

Khố học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Ánh xạ ÁNH XẠ (PHẦN 01) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Ánh xạ (Phần 01) thuộc khóa học Tốn cao cấp Phần Đại số tuyến tính – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức Ánh xạ (Phần 01) Bạn cần kết hợp xem tài liệu với ging ny I Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm toán học,không định nghĩa đ-ợc hiểu nh- sau : Tất c đối tượng xác định no hợp lại tạo thnh tập hợp, đối tượng có tập hợp đ-ợc gọi l phần tử tập hợp Ví dụ Tất số tự nhiên 0, 1, 2, 3, , n, tạo thành tập hợp,gọi tập hợp số tự nhiên,kí hiệu Mỗi số phần tử tập hợp II Định nghĩa ánh xạ Cho tập hợp E, F khác tập rỗng.ánh xạ f f x từ tập E tới tập F quy tắc cho ứng với phần tử x E mét phÇn tư y  F E KÝ hiƯu : f :E  F x  y  f ( x) y F Hình 2.1 (đọc : ánh xạ f từ tập hợp E tới tập hợp F biến phần tử x thành phần tử y  f ( x) ) E gäi lµ tËp nguån, F gọi tập đích Phần tử y F đ-ợc tạo từ phần tử x E quy tắc f đ-ợc gọi ảnh x x gọi tạo ảnh y Chú ý : 1) Từ định nghĩa ánh xạ, ta thấy phần tử x E phải có ảnh F ảnh 2) Tập tạo ảnh tất phần tử x E gọi ảnh E qua f vµ kÝ hiƯu lµ f ( E ) 3) Để đơn giản cách viết diễn tả ánh xạ tõ tËp E tíi tËp F ta chØ cÇn viÕt f : E  F VÝ dô Cho hai tập hợp E = {1, 2, 3} F = {a, b, c, d} a) XÐt quy t¾c f nh- sau : f biÕn thµnh a; biÕn thµnh b; biÕn thµnh c; biÕn thµnh d b) XÐt quy t¾c g nh- sau : g (1) = a; g (2) = a c) XÐt quy tắc h k nh- sau Quy tắc h biến : thµnh a; biÕn thµnh b; biÕn thµnh c (tøc h(1) = a ; h(2) = b ; h(3) = c) Quy t¾c k nh- sau : k(1) = a; k(2) = d; k(3) = d VÝ dơ Quy t¾c f :     x  y = f(x) = x5 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phng) nh x ánh xạ,vì với phần tử x thuộc tập nguồn mà x < không tồn y = x5 thuộc tập đích Ví dụ Quy tắc f :    x  y = f(x) = x4 ánh xạ, với x ta đ-ợc y = x4  Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận MA TRẬN (PHẦN 01) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Ma trận (Phần 01) thuộc khóa học Tốn cao cấp Phần Đại số tuyến tính – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức Ma trận (Phần 01) Bạn cần kết hợp xem ti liu cựng vi bi ging ny 1.1 Định nghĩa ma trận Một bảng số (số thực số phức) A gồm m dòng n cột đ-ợc gọi ma trận cỡ m n đ-ợc kí hiÖu nh- sau  a11 a12  a1n   a11 a12  a1n    a  a22  a2 n  a21 a22  a2 n  21   , hc A = A                  am1 am  amn am1 am amn số a ij bảng số đ-ợc gọi phÇn tư cđa ma trËn A L-u ý : +) PhÇn tư a ij cđa ma trËn A cã nghÜa phần tử nằm dòng thứ i cột thứ j (i số dòng,còn j số cột) +) Để cho gọn ng-ời ta kÝ hiƯu: A = [aij ]m x n , hc A = (aij)m x n ,hc Amn VÝ dơ 1  A =  lµ ma trËn cì 23 (2 dßng, cét ) 0 2  2 B    lµ ma trËn cì 3 ( dßng , cét )   1.2 Ma trËn kh«ng Ma trËn cã tất phần tử đ-ợc gọi ma trận không.Ma trận không cỡ m n đ-ợc ký hiệu Omxn ,hoặc đơn giản O (ch÷ viÕt in) 0 0 O23 =   0 0 1.3 Hai ma trËn b»ng Hai ma trận A B đ-ợc gọi chúng cỡ phần tử cïng vÞ trÝ b»ng nhau,kÝ hiƯu A  B a  b    a b     VÝ dô    1  c d      c   d  1 1.4 Ma trËn chun vÞ Cho ma trËn A = [aij ] m x n Nếu đổi dòng thành cột ,cột thành dòng,thì ta đ-ợc ma trận gọi ma trận chuyển vị ma trận A, kí hiệu At, nghÜa lµ At =[aji ] n x m 1.5 Ma trËn vu«ng VÝ dơ Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức Ma trn Ma trận vuông ma trận có sè dßng b»ng sè cét (tøc m  n ).Ng-êi ta gọi ma trận có n dòng, n cột ma trËn vu«ng cÊp n  a11 a12 a a22 Trong ma trËn vu«ng cÊp n : A =  21      an1 an  a1n   a2 n      ann Đ-ờng thẳng qua phần tử a11 , a22 , , ann đ-ợc gọi đ-ờng chéo Các phần tử a11 , a22 , , ann đ-ợc gọi phần tử nằm đ-ờng chéo Đ-ờng thẳng qua phần tử a n1 , a ( n 1) , a ( n )3 , , a1n đ-ợc gọi đ-ờng chéo phụ.Các phần tử a n1 , a ( n 1) , a ( n  ) , , a1n đ-ợc gọi phần tử nằm đ-ờng chéo phụ 1.6 Ma trận tam giác -Ma trận vuông có tất phần tử nằm phía d-ới đ-ờng chéo chính( đ-ờng chéo phụ) đ-ợc gọi ma trận tam giác -Ma trận vuông có tất phần tử nằm phía đ-ờng chéo ( đ-ờng chéo phụ) đ-ợc gọi ma trận tam giác d-ới Ma trận tam giác trên, ma trận tam giác d-ới đ-ợc gọi chung ma trận tam giác   VÝ dô A          C     2 0 0 6 1  4 B   ,  1 5 2 0 0 2 1  3  3 ma trận tam giác 0 0 D 0 , ma trËn tam gi¸c d-íi  2  1.7 Ma trận chéo Ma trận vuông có tất phần tử nằm đ-ờng chéo 0,còn phần tử nằm đ-ờng chéo có phần tử khác đ-ợc gọi ma trËn chÐo VÝ dô 1 0 E 0  0 0 0 0 0 1  ; F  0  0 0 0 0 ma trận chéo 1.8 Ma trận đơn vị Ma trận vuông có tất phần tử nằm đ-ờng chéo 1,còn phần tử nằm đ-ờng chéo đ-ợc gọi ma trận đơn vị, kí hiệu chữ I (nếu muốn rõ cấp ma trận đơn vị ta dïng kÝ hiƯu I n n hc I n ) VÝ dô I 33 1 0   ma trận đơn vị cÊp  0  1  I 22 ma trận đơn vị cÊp 0  1.9 Ma trËn ®èi xøng Ma trận vuông A đ-ợc gọi ma trận đối xøng nÕu nã tháa m·n ®iỊu kiƯn At  A Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khố học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận ( tøc aij  a ji ) VÝ dô 2 1  2 1   t A  ma trận đối xứng v× A  1   A 1   1  Chó ý : 1) Tập tất ma trận cỡ m  n ký hiƯu lµ M mn 2) Tập tất ma trận vuông cấp n ký hiƯu lµ M n Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận MA TRẬN (PHẦN 01) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Ma trận (Phần 01) thuộc khóa học Tốn cao cấp Phần Đại số tuyến tính – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn giúp bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Ma trận (Phần 01) Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu (Tài liệu dùng chung cho P1+P2) Bµi Cho c¸c ma trËn  A   1  2 1 TÝnh :  1     , B  0  , C   3           5  a) A-2B +5C b) t A  Bt  3C 5    1  Bµi Cho A =  ; B =   T×m ma trËn X, biÕt : 2   1  1) 3A  X  B ; 2) A  X  O ; 3) X  2B  O a b  Bµi Chøng minh r»ng X  thoả mÃn ph-ơng trình : c d 1 0 X   a  d  X   ad  bc  I  , víi I    0 1  1 Bµi Chøng minh r»ng A   nghiệm đa thức f x  x2  5x    4 4  2  Bµi Cho f ( x)  3x  x  vµ A   4  T×m f ( A)  5   3 1 1 1    Bµi Cho A   1  ; B    ; C  0     1 TÝnh : 1)  AB  C  ; t 2) Bt At C ; 1 1 0  ; D   0   0 3) A At ; 3 2  2  0 1 4) At A ; 5) D t D Bài Tìm ma trận X thỏa mÃn: Hocmai.vn Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) 1) Định thức – Ma trận 1 3     6  X   4  1    2 9   5  1   4   9 20 27   1  5 2) X   11 29 30    5  1 3  11 19 28   3 9 5 Bµi HÃy thực phép nhân ma trận sau : 2 2   1) 1  1 3 ; 2) 1 3   ; 1  3   1  1 1 5)  2   1  ; 1  1  5  1   7)   3    1 1  3    3)   2 ; 0  3    3   1  4)    ;  3 1 1    1   1 0        6)  2  0   1 1   0   2 5  1  1  2 Bµi H·y thùc hiÖn phÐp tÝnh sau : 2 1  2)   ;    2 1)   ;  4 2  n 1 1 5)   ;  1 cos   sin   6)   ; sin  cos   n  3   4)  2   4 3 n a 0  8)  b a   0 a  1 0    3)   ;  0  0  7) 1 0  ;   n 3 3 1  Bµi 10 Cho A   , I    TÝnh A  A  A  I      1 1 0    Bµi 11 Cho A   1 3 , I  0  TÝnh ( A  I )  1 1 0  1 0    Bài 12 Cho f ( x)  x  x  x  vµ A    T×m f ( A)  0  a    Bài 13 Cho A   a  TÝnh A100  0 a  Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận MA TRẬN (PHẦN 01+ PHẦN 02) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG (Tài liệu dùng chung cho P1+P2) Bài Cho ma trận   1          A   1  , B    , C   3   2 1     5  Tính : a) A-2B +5C b) t A  Bt  3C Giải 16    a) A  B  5C   16 18 38  27 31 19  11   2  t 23 A  B t  3C   14 b)  2   17 20   11   22   25    1   1  Bài Cho A =  ; B =   Tìm ma trận X, biết : 2   1  1) 3A  X  B ; 2) A  X  O ; 3) X  2B  O Giải 32 22 16 6  1) X  A  B    12 4 20 38   1 A  2) X         5   5    7    2 16  3) X  B     10 2 4 a b  Bài Chứng minh X    thoả mãn phương trình : c d  Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận 1  X   a  d  X   ad  bc  I  , với I    0 1 Giải  a  bc ab  bd  Ta có X   2 ca  cd cb  d  a b  1    ad  bc     c d  0 1  ab  bd   ad  bc    ad  bc  ad  d    a  d  X   ad  bc  I   a  d    a  ad   ac  cd  X2 =>ĐPCM 1   Bài Chứng minh A   nghiệm đa thức f  x   x  5x    4 4 Giải   2  Ta có A   thay vào ta f  A  A  A  3.I     20 17  Vậy A nghiệm cảu đa thức cho 1 2    Bài Cho f ( x)  3x  x  A   4  Tìm f ( A)  5  Giải  9  A   3  mai  1   f  A  A2  A  5I  9  1 2 3 1 0   21 23 15    3    4   0    13 34 10   1   5  0   9 22 25  3 1 1 1   ; C  0 Bài Cho A   1 2 ; B     1  4 1 Tính : 1)  AB  C  ; t 2) Bt At C ; 1 1 0  ; D   0   0 3) A At ; 3 2  2  0 1 4) At A ; 5) Dt D Giải Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận  1  t 1)  AB  C     3 0  0 2) Bt At C     5 10 15    3) A A   5   15 25    t  11 13  4) At A    13 29  1  t 5) D D   1  3 3  8 9  18  Bài Tìm ma trận X thỏa mãn: 1) 1 3     6  X   4  1    2 9   5 3 1   4   9 20 27   1  5 2) X   11 29 30    5  1 3  11 19 28  3 9 5 Giải 1) 1 3     6  X   4  1    2 9   5 3 1   4  1 5   6   X   10    2 9   7   4   1   2    X 1   X   2  2 17 1  4 34 2  2   9 20 27  5 1  5 38       2) X   11 29 30   6 5  1 3    11 19 28  3 9 5 13  29   44    27 32   X      17 26     2 17         Bài Hãy thực phép nhân ma trận sau : Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khố học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận  0     0  1 0  n   1 0   0  1 0   0  0  1 0  0  0   0  1 0   0  0  0        n   1 0  0 0 1 0  I 1 0  1 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 =>như tổng quát nên ta có: n  0  1 0  + Với n=3k  0   0    0      k  N  n  0  0    + Với n=3k+1  0   1 0    0      n  0  0 0   + Với n=3k+2  0   0    1 0      a 0  8) b a   0 a  n a 0   a  n   b a    2ab a  0 a   0 0  0 a  a 0   a    n   b a    2ab a  0 a   0   a 0   a3     b a   3a b a a   0 a   0 0  0 a  Dự đoán a 0   a b a    na n 1b a     0 a   0 n 0   Các bạn CM tương văn tự câu a3  3 3 1  , I  Bài 10 Cho A   Tính A3  A2  A  I   1 3 0  Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khố học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận A3  A2  A  I 54  30 11  6 90  12 18 3 3   5 6     54   12  1 3 0  18 11  1 1 0    Bài 11 Cho A   1 3 , I  0  Tính ( A  I )2  1 1 0   1 1  2    2 3   6 13 14    1 2  2 A I 1 0  Bài 12 Cho f ( x)  x3  x  x  A  0  Tìm f ( A) 0  1 0  1 0    A  0  ; A  0  0  0 27  f  A   A3  A2  A   1 =>  0  0 0  0 0  1 0  9 0  9 0    0       0 27  0  0 27  0  0 0  0  a    Bài 13 Cho A   a  Tính A100  0 a   a   a   a 2a    A2   a   a    a 2a   0 a   0 a   0 a   a 2a   a   a 3a 3a      A3   a 2a   a    a 3a   0 a   0 a   0 a      a 3a 3a   a   a 4a 6a      A4   a 3a   a    a 4a  0 a   0 a   0 a   Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) an  Dự đốn An   0  na n 1 an Định thức – Ma trận 2(n  1)a n 2   na n 1  Các bạn tự CM  an  Giáo viên : Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận MA TRẬN (PHẦN 02) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Ma trận (Phần 02) thuộc khóa học Tốn cao cấp Phần Đại số tuyến tính – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức Ma trận (Phần 02) Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng II Các phép toán ma trận 2.1 Phép nhân sè víi mét ma trËn Cho ma trËn A = [aij]m x n ,khi tích kA ma trận đ-ợc xác định nh- sau : k A = [ kaij ]m x n , k lµ sè thực số phức Nh- muốn nhân ma trận với số ,ta nhân số với tất phần tử ma trận 3    3 6 0    3 1 VÝ dô 3       1 2  3  3   1 3  (2)  Từ định nghĩa ta suy với số thực k, h,và với hai ma trËn cïng cì A, B ta cã : k  A  B   kA  kB ; (k  h) A  kA  hA ; k (hA)  (kh) A ; 1.A  A, 0.A  O 2.2 Céng hai ma trËn Tỉng cđa hai ma trËn cïng cì A = [aij]m x n , B = [bij]m x n lµ mét ma trËn ký hiệu A + B đ-ợc xác định nh- sau : A + B = [aij+bij]m x n Nh- vËy muèn céng hai ma trËn cïng cì ta chØ việc cộng phần tử vị trí với Từ định nghĩa ta suy ra, A , B , C ma trận cỡ th× : A + B = B + A; A + (B + C) = (A + B) + C; A+ O = A; A + (- A ) = O Chó ý : PhÐp céng hai ma trËn cïng cì cã thĨ më réng cho phÐp céng nhiỊu ma trËn cïng cì 2.3 Nh©n hai ma trËn Cho ma trËn A   aij  , B   aij  (l-u ý : sè cét cña ma trËn A b»ng sè dßng cđa ma trËn B) TÝch cđa m p p n ma trËn A víi ma trËn B, kÝ hiƯu A.B, lµ ma trËn C có cỡ m n đ-ợc xác định nh- sau : A.B =C = [cij] m x n  c11 c12 c c22   21     cm1 cm  c1n   c2 n       cmn  p Trong phần tử cij đ-ợc tính theo công thức : cij  ai1b1 j  2b2 j  aip bpj   aik bkj k 1 Tøc cij tổng tích phần tử t-ơng ứng dòng thứ i ma trận A với phÇn tư ë cét thø j cđa ma trËn B Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khố học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận C¸ch tính cij hình dung theo sơ đồ sau : ai1 ai2 … aip b1j b2j  bpj VÝ dô 1  1  3 4    A    , B   0 2     1  1  1 4   1.1  2.3  3.0  4.1 1.2  2.4  3.2  4.0  11 16       0.1  1.3  2.0  1.1 0.2  1.4  2.2  1.0     A.B        0 2       2.1  3.3  5.0  6.1 2.2  3.4  5.2  6.0  17 22  1   2i     i  i 2i  Cho hai ma trËn A =  ; B =   2  i   1  i  1  2i   i   1.(1) 1  2i  1  i   1.(2  i) 1  2i   2i   1.1 Khi ®ã A.B      i     i  (1) 1  i     i  (2  i)  2i     i     i  2i   2i       i  2i  3i  Chó ý : 1) PhÐp nh©n hai ma trận thực đ-ợc số cột ma trận đứng tr-ớc số dòng ma trận ®øng sau Do ®ã phÐp nh©n AB thùc hiƯn đ-ợc BA ch-a đà thực đ-ợc +) B A không tồn tại,vì số cột B khác số dòng A 2) Trong tr-ờng hợp A B hai ma trận vuông cấp phép nhân AB BA thực đ-ợc 3) Khi phép nhân AB BA thực đ-ợc ch-a AB = BA 4) Có ma trận A  O, B  O mµ A.B = O 5) Nếu A ma trận vuông cấp n I ma trận đơn vị cấp với A,th× IA  AI  A n 6) NÕu A ma trận vuông ,thì ta kí hiệu tích cña n ma trËn A A A  A Các phép biến đổi ma trận Đối với ma trận ta đ-ợc sử dụng phép biến đổi sau: - Đổi chỗ hai dòng cho - Nhân tất phần tử dòng với số khác - Nhân tất phần tử dòng với số khác cộng vào phần tử t-ơng ứng dòng khác (cộng vào dòng phải đặt vào dòng đó) Chú ý: Các phép biến đổi nói đ-ợc gọi phép biến đổi sơ cấp dòng ma trËn Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khố học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận MA TRẬN (PHẦN 02) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Ma trận (Phần 02) thuộc khóa học Tốn cao cấp Phần Đại số tuyến tính – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn giúp bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Ma trận (Phần 02) Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu (Tài liệu dựng chung cho P1+P2) Bài Cho ma trận  A   1  2 1 TÝnh :  1     , B  0  , C   3           5  a) A-2B +5C b) t A  Bt  3C 5    1  Bµi Cho A =  ; B =   T×m ma trËn X, biÕt : 2   1  1) 3A  X  B ; 2) A  X  O ; 3) X  2B  O a b  Bµi Chøng minh r»ng X    tho¶ m·n ph-ơng trình : c d X   a  d  X   ad  bc  I  , víi I    0 1  1 Bµi Chøng minh A nghiệm đa thức f  x   x2  5x   3 3  2  Bµi Cho f ( x)  3x  x  vµ A   4  T×m f ( A)  5   3 1 1 1    Bµi Cho A   1  ; B    ; C  0     1 TÝnh : 1)  AB  C  ; t 2) Bt At C ; 1 1 0  ; D   0   0 3) A At ; 3 2  2  0 1 4) At A ; 5) D t D Bài Tìm ma trận X thỏa m·n: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khố học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) 1) Định thức – Ma trận 1 3     6  X   4  1    2 9   5  1   4   9 20 27   1  5 2) X   11 29 30    5  1 3  11 19 28   3 9 Bài HÃy thực phép nhân ma trËn sau : 2 2   1) 1  1 3 ; 2) 1 3   ; 1  3   1  1 1 5)  2   1  ; 1  1  5  1   7)   3    1 1  3    3)   2 ; 0  3    3   1  4)    ;  3 1 1    1   1 0        6)  2  0   1 1   0   2 5  1  1  2 Bµi H·y thùc hiƯn phÐp tÝnh sau : 2 1  2)   ;    2 1)   ;  4 2  n 1 1 5)   ;  1 cos   sin   6)   ; sin  cos   n  3   4)  2   4 3 n a 0  8)  b a   0 a  1 0    3)   ;  0  0  7) 1 0  ;   n 3 3 3 3 Bµi 10 Cho A   , I    TÝnh A  A  A  I 3      1 1 0    Bµi 11 Cho A   1 3 , I  0  TÝnh ( A  I )  1 1 0  1 0    Bài 12 Cho f ( x)  x  x  x  vµ A    T×m f ( A)  0  a    Bài 13 Cho A   a  TÝnh A100  0 a  Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận MA TRẬN (PHẦN 01+ PHẦN 02) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG (Tài liệu dùng chung cho P1+P2) Bài Cho ma trận   1          A   1  , B    , C   3   2 1     5  Tính : a) A-2B +5C b) t A  Bt  3C Giải 16    a) A  B  5C   16 18 38  27 31 19  11   2  t 23 A  B t  3C   14 b)  2   17 20   11   22   25    1   1  Bài Cho A =  ; B =   Tìm ma trận X, biết : 2   1  1) 3A  X  B ; 2) A  X  O ; 3) X  2B  O Giải 32 22 16 6  1) X  A  B    12 4 20 38   1 A  2) X         5   5    7    2 16  3) X  B     10 2 4 a b  Bài Chứng minh X    thoả mãn phương trình : c d  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận 1  X   a  d  X   ad  bc  I  , với I    0 1 Giải  a  bc ab  bd  Ta có X   2 ca  cd cb  d  a b  1    ad  bc     c d  0 1  ab  bd   ad  bc    ad  bc  ad  d    a  d  X   ad  bc  I   a  d    a  ad   ac  cd  X2 =>ĐPCM 1   Bài Chứng minh A   nghiệm đa thức f  x   x  5x    4 4 Giải   2  Ta có A   thay vào ta f  A  A  A  3.I     20 17  Vậy A nghiệm cảu đa thức cho 1 2    Bài Cho f ( x)  3x  x  A   4  Tìm f ( A)  5  Giải  9  A   3  mai  1   f  A  A2  A  5I  9  1 2 3 1 0   21 23 15    3    4   0    13 34 10   1   5  0   9 22 25  3 1 1 1   ; C  0 Bài Cho A   1 2 ; B     1  4 1 Tính : 1)  AB  C  ; t 2) Bt At C ; 1 1 0  ; D   0   0 3) A At ; 3 2  2  0 1 4) At A ; 5) Dt D Giải Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận  1  t 1)  AB  C     3 0  0 2) Bt At C     5 10 15    3) A A   5   15 25    t  11 13  4) At A    13 29  1  t 5) D D   1  3 3  8 9  18  Bài Tìm ma trận X thỏa mãn: 1) 1 3     6  X   4  1    2 9   5 3 1   4   9 20 27   1  5 2) X   11 29 30    5  1 3  11 19 28  3 9 5 Giải 1) 1 3     6  X   4  1    2 9   5 3 1   4  1 5   6   X   10    2 9   7   4   1   2    X 1   X   2  2 17 1  4 34 2  2   9 20 27  5 1  5 38       2) X   11 29 30   6 5  1 3    11 19 28  3 9 5 13  29   44    27 32   X      17 26     2 17         Bài Hãy thực phép nhân ma trận sau : Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) 2 2   1) 1  1 3 ; 2) 1 3   ; 3  1  3 1  1 1 5)  2   1  ; 1  1  5  1   7)   3    1 1  3    3)   2 ;   3    Định thức – Ma trận 3   1  4)    ;  3 1 1    1  1 0   6)  2  0     0   2 5 1  1   1  1  2 Giải 2 2   1) 1  1 3 =13 2) 1 3    13 3  1  1  3    10  3)   2      3      3   1   3 4)    =    3 1 1  10 3   3 1  1 1 6 1 5)  2   1  = 6 1  1  1  8 1  1  1 0   1  3       6)  2  0 0  1 1 =  2    0   2 5   4 3 Bài Hãy thực phép tính sau :  2  2   1)  ;   4 2  4   1  7 4  2) 3   9     3  1 0 1 0  1 0   3) 0 0   26   0 64  ; 0   0 16  0   3 190 189 189     4)  2   126 127 126  4 3  252 252 251 5) Với n=2, 3, ta có Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khố học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4  1  0  , 0 1  0 1 , 0 1  0              n 1 1 1 n  =>dự đoán     0 1 0  CM: với n=1, 2, 3, ta Giả sử với n=k, ta cần chứng minh với n=k+1 k 1 1 1 k  1 1 Tức ta có  cần CM      0 1 0  0 1 k 1 1 k  1   0 Thật 1 1 0 1   k 1 1 k  1 1 1 k  1     0  0 1 0 n 1 1 1 n  =>     0 1 0  cos   sin   6)   sin  cos   n cos  n     sin   sin   cos 2  cos    sin 2  sin 2  cos 2  cos  n     sin   sin   cos 2  cos    sin 2  sin 2  cos  cos 2   sin  cos  =>Dự đoán   sin   sin   cosn   cos    sinn  n  sin   cos 3  cos    sin 3  sin 3  cos 3   sinn   cosn   Giả sử với n =k ta cần CM với n=k+1 ta có: cos   sin    sin   cos   k 1 cos    sin   sin   cos  cos    sin  k  sin   cos  k  1   cos    sin  k  1  cosk    sink   sink   cos  cosk    sin  cos  =>   sin   sin   cosn   cos    sinn  0   7) 1 0    n  sin   cos    sin  k  1    cos  k  1    sinn   cosn   n 0  0  n   1 0   0  0  1 0  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận  0     0  1 0  n   1 0   0  1 0   0  0  1 0  0  0   0  1 0   0  0  0        n   1 0  0 0 1 0  I 1 0  1 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 =>như tổng quát nên ta có: n  0  1 0  + Với n=3k  0   0    0      k  N  n  0  0    + Với n=3k+1  0   1 0    0      n  0  0 0   + Với n=3k+2  0   0    1 0      a 0  8) b a   0 a  n a 0   a  n   b a    2ab a  0 a   0 0  0 a  a 0   a    n   b a    2ab a  0 a   0   a 0   a3     b a   3a b a a   0 a   0 0  0 a  Dự đoán a 0   a b a    na n 1b a     0 a   0 n 0   Các bạn CM tương văn tự câu a3  3 3 1  , I  Bài 10 Cho A   Tính A3  A2  A  I   1 3 0  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận A3  A2  A  I 54  30 11  6 90  12 18 3 3   5 6     54   12  1 3 0  18 11  1 1 0    Bài 11 Cho A   1 3 , I  0  Tính ( A  I )2  1 1 0   1 1  2    2 3   6 13 14    1 2  2 A I 1 0  Bài 12 Cho f ( x)  x3  x  x  A  0  Tìm f ( A) 0  1 0  1 0    A  0  ; A  0  0  0 27  f  A   A3  A2  A   1 =>  0  0 0  0 0  1 0  9 0  9 0    0       0 27  0  0 27  0  0 0  0  a    Bài 13 Cho A   a  Tính A100  0 a   a   a   a 2a    A2   a   a    a 2a   0 a   0 a   0 a   a 2a   a   a 3a 3a      A3   a 2a   a    a 3a   0 a   0 a   0 a      a 3a 3a   a   a 4a 6a      A4   a 3a   a    a 4a  0 a   0 a   0 a   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) an  Dự đoán An   0  na n 1 an Định thức – Ma trận 2(n  1)a n 2   na n 1  Các bạn tự CM  an  Giáo viên : Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - ... học Tốn cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận MA TRẬN (PHẦN 01) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Ma trận. .. học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận MA TRẬN (PHẦN 02) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Ma. .. Hocmai.vn - Trang | - Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận MA TRẬN (PHẦN 01+ PHẦN 02) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG (Tài liệu