Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng Đại số tuyến tính: Phần 2, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ánh xạ tuyến tính; dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung bài giảng!
Chương Ánh xạ tuyến tính 4.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 4.1 Cho hai không gian vector V; V0 Ánh xạ f W V ! V0 gọi ánh xạ tuyến tính hai điều kiện sau thỏa: f X C Y / D f X / C f Y / I 8X; Y V f ˛X/ D ˛f X / I 8˛ R; 8X V Ví dụ 4.1 Ánh xạ f W R2 ! R2 x; y/ 7! x C y; x y/ ánh xạ tuyến tính Thật vậy, ta lấy hai vector X; Y R2 , giả sử X D x1 ; x2 / Y D y1 ; y2 /, f X C Y / D f x1 C y1 ; x2 C y2 / D x1 C y1 C x2 C y2 ; x1 C y1 Mặt khác f X/ C f Y / D x1 C x2 ; x1 x2 / C y1 C y2 ; y1 D x1 C y1 C x2 C y2 ; x1 C y1 x2 153 y2 / y2 / x2 y2 / Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Từ suy f X C Y / D f X / C f Y /; 8X R2 Hơn nữa, với ˛ R X R2 , ta có f ˛X/ D f ˛x1 ; ˛x2 / D ˛x1 C ˛x2 ; ˛x1 ˛x2 / D ˛f X/ Vậy f ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4.2 Ánh xạ f W R3 ! R3 x; y; z/ 7! x C y C x; x y C 3z; x z/ ánh xạ tuyến tính (chứng minh tương tự ví dụ 4.1) Tính chất Sau số tính chất ánh xạ tuyến tính mà ta suy trực tiếp từ định nghĩa f 0V / D 0V0 f X/ D f X / I 8X V Hai điều kiện định nghĩa thay điều kiện tương đương sau f ˛X C ˇY / D ˛f X/ C ˇf Y / I 8X; Y V; 8˛; ˇ R (4.1) Các tính chất 1,2 thường sử dụng để chứng tỏ hay bác bỏ ánh xạ có ánh xạ tuyến tính Ta xét vài ví dụ sau đây: Ví dụ 4.3 Cho khơng gian vector V, ánh xạ đồng I dV W V ! V X 7! X ánh xạ tuyến tính Thật vậy, 8X; Y V; 8˛; ˇ R ta có I dV ˛X C ˇY / D ˛X C ˇY D ˛I dV X/ C ˇI dV Y / 154 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Cơng Nghiệp TPHCM Ví dụ 4.4 Ánh xạ f W Pn Œx ! Pn Œx p x/ 7! p x/ ánh xạ tuyến tính Thật vậy, 8p x/ ; q x/ Pn Œx ; 8˛ R ta có f ˛p x/ C ˇq x// D ˛p x/ C ˇq x//0 D ˛p x/ C ˇq x/ D ˛f p x// C ˇf q x// Ví dụ 4.5 Ánh xạ f W R3 ! R2 x; y; z/ 7! 2x y C 3z; x y C 5z C 1/ khơng ánh xạ tuyến tính f 0R3 / D f 0; 0; 0/ D 0; 1/ Ô 0R2 Định lý 4.1 Cho ánh xạ tuyến tính f W V ! V0 W không gian vector V, Tập hợp f W/ D ff X / W X Wg không gian vector V0 Nếu W D hP i f W/ D hf P /i Hệ 4.1 f V/ không gian vector V0 gọi ảnh f , ký hiệu Im f Định lý 4.2 Cho ánh xạ tuyến tính f W V ! V0 W0 không gian vector V0 Khi tập hợp f « ˚ W0 D X V W f X/ W0 không gian vector V 155 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Hệ 4.2 Tập hợp f 0V0 / D fX V W f X/ D 0V0 g không gian vector V gọi hạt nhân f , ký hiệu ker f Định lý 4.3 Cho ánh xạ tuyến tính f W V ! V0 với V không gian vector hữu hạn chiều Khi Im f ker f hữu hạn chiều, đồng thời dim Im f C dim ker f D dim V Chú ý 4.1 dim Im f gọi hạng ánh xạ f , ký hiệu r.f / dim ker f gọi số khuyết ánh xạ f , ký hiệu d f / Ví dụ 4.6 Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R2 xác định f x; y; z/ D x C 2y C z; x y 4z/ Tìm cở sở số chiều ker f Im f Giải Ta có ker f D f.x; y; z/ W f x; y; z/ D 0R2 g hay ker f khơng gian nghiệm hệ phương trình ( x C 2y C z D x y 4z D Ta lập ma trận hệ số hệ đưa dạng bậc thang ! ! d2 !d2 d1 1 AD ! 1 Khôi phục hệ ta ( x C 2y C z D 3y 5z D 156 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Cơng Nghiệp TPHCM Hệ phương trình có ẩn phụ z, cho z D ta tìm nghiệm X1 D @ A hệ P D X1 / sở ker f , suy dim ker f D Tiếp theo, ta tìm sở số chiều Im f f x; y; z/ D x C 2y C z; x y 4z/ D x 1; 1/ C y 2; 1/ C z 1; 4/ Ta suy Im f D hP i với P D 1; 1/ ; 2; 1/ ; 1; 4// Lập ma trận vector dòng hệ P 0 1 d2 !d2 2d1 A @ @ ! AD d3 !d3 d1 biến đổi dạng bậc thang 1 1 d3 !3d3 5d2 !@ A A 0 Ta suy dim Im f D Im f có sở hệ P D 1; 1/ ; 2; 1// Ví dụ 4.7 Cho ánh xạ tuyến tính f W P3 Œx ! P3 Œx xác định sau f a0 C a1 x C a2 x C a3 x D a1 C.a0 2a3 / xC.2a3 a1 / x C.a0 a1 / x Tìm sở số chiều ker f Im f Giải Ta có ˚ « ker f D p x/ P3 Œx W f p x// D 0P3 Œx P D x i W a1 C a0 2a3 / x C 2a3 i D0 Đẳng thức a1 C a0 đương với ˆ ˆ ˆ < ˆ ˆ ˆ : 2a3 / x C 2a3 a1 a0 2a3 2a3 a1 a0 a1 a1 / x C a0 a1 / x C a0 D0 < a0 D D0 , a1 D : D0 a3 D D0 ˚ « Ta suy ker f D a2 x W a2 R 157 a1 / x D a1 / x D tương Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Vậy dim ker f D ker f có sở hệ vector P D x / Tiếp theo, ta xác định sở số chiều Im f Vì dim ker f D nên ta suy dim Im f D dim P3 Œx dim ker f D 1D3 Mặt khác a1 C a0 2a3 / x C 2a3 D a0 x C x C a1 x Vậy Im f D hP i với P D x C x ; a1 / x C a0 a1 / x x C a3 2x C 2x x2 Ta lập ma trận vector dòng hệ P 0 AD@ 1 2 x ; 2x C 2x 1 A Ta thấy r A/ D nên hệ P sở Im f Ví dụ 4.8 Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R3 xác định f x; y; z/ D x C y 4mz; 3x C 5y C 2z; 4x C 7y C m C 1/ z/ Tìm m ker f Ô f0R3 g Khi ker f ¤ f0R3 g, tìm sở, số chiều ker f Im f Giải ker f khơng gian nghiệm hệ phương trình 4mz D < x C y (4.2) 3x C 5y C 2z D : 4x C 7y C m C 1/ z D Ta lập ma trận vector dòng hệ 4.2 biến đổi dạng bậc thang 1 1 4m 1 4m d2 !d2 3d1 ! @ 2 C 12m A AD@ A d3 !d3 4d1 17m C mC1 1 4m d3 !2d3 3d2 ! @ 2 C 12m A 0 2m 158 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ker f Ô f0R3 g v ch r A/ < hay 2m 4D0,mD Với m D r A/ D 2, ta suy dim ker f D viết lại sau ( x C 2 D hệ 4.2 y C 8z D 2y 22z D (4.3) Hệ 4.3 có ẩn phụ z Cho z D ta tìm nghiệm 19 X1 D @ 11 A hệ P D X1 / sở ker f Mặt khác, với m D ta suy f x; y; z/ D x C y C 8z; 3x C 5y C 2z; 4x C 7y D x 1; 3; 4/ C y 1; 5; 7/ C z 8; 2; 1/ z/ Do đó, Imf D hP i với P D 1; 3; 4/ ; 1; 5; 7/ ; 8; 2; 1// Vì dim ker f D nên ta dim Im f D dim R3 dim ker f D 1D2 Để tìm sở Im f ta lập ma trận vector dòng hệ P biến đổi dạng bậc thang @ AD A 1 d2 !d2 d1 @ ! d3 !d3 8d1 0 d3 !d2 C11d2 @ ! 0 22 0 A 33 A Vậy Imf có sở hệ vector P D 1; 3; 4/ ; 1; 5; 7// 159 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 4.2 Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu 4.2.1 Đơn cấu Định nghĩa 4.2 Ánh xạ tuyến tính f W V ! V0 gọi đơn cấu f X / Ô f Y /I 8X; Y V; X ¤ Y Định lý 4.4 Ánh xạ tuyến tính f W V ! V0 đơn cấu ker f D f0V g Ví dụ 4.9 Các ánh xạ tuyến tính sau đơn cấu: f W R2 ! R2 xác định f x; y/ D x C y; x y/ g W R2 ! R3 xác định g x; y/ D x C 2y; x C 3y; 2x y/ h W R3 ! R3 xác định h x; y; z/ D x C y C z; x C 2x C 3z; 2x C 3y C 4z/ Giải Ta có ( ker f D fX R W f X/ D 0R2 g D x; y/ W Giải hệ phương trình ( ( x C y D x y D x C y D nghiệm x y D ( xD0 yD0 Ta suy ker f D f.0; 0/g D f0R2 g Vậy f đơn cấu Tương tự ta tìm 8 < < x C y D = D f.0; 0/g D f0R2 g ker g D x; y/ W x C 2y D ; : : 2x y D 160 ) Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Vậy g đơn cấu Ta thấy < < x C y C z D = ker h D x; y; z/ W x C 2y C 3z D : : ; 2x C 3y C 4z D Hệ phương trình < x C y C z D x C 2y C 3z D : 2x C 3y C 4z D có định thức ma trận hệ số khơng nên hệ có nghiệm khơng tầm thường, tức ker h Ô f.0; 0; 0/g D f0R3 g Vy h khơng đơn cấu Ví dụ 4.10 Cho ánh xạ tuyến tính f W R2 ! R2 xác định f x; y/ D x C y; x C my/ Tìm m để f đơn cấu Giải Ta có ( ker f D x; y/ W ( x C y D x C my D ) Ánh xạ tuyến tính f đơn cấu hệ phương trình ( x C y D x C my D có nghiệm tầm thường, tức ˇ ˇ ˇ 1ˇ ˇ ˇ m Ô , m Ô Vy vi m Ô thỡ f l mt n cu 161 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ 4.11 Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R3 xác định f x; y; z/ D mx C y C z; x C my C z; x C y C mz/ Tìm m để f khơng đơn cấu Giải Ta có < < mx C y C z D = ker f D x; y; z/ W x C my C z D : : ; x C y C mz D Ánh xạ tuyến tính f khụng n cu v ch ker f Ô f0R3 g, hay hệ phương trình < mx C y C z D x C my C z D : x C y C mz D có nghiệm khơng tầm thường Khi ˇ ˇ " ˇ m 1 ˇ ˇ ˇ mD1 ˇ m ˇD0, ˇ ˇ mD ˇ 1 m ˇ Vậy với m D 1I m D f khơng đơn cấu 4.2.2 Tồn cấu Định nghĩa 4.3 Ánh xạ tuyến tính f W V ! V0 gọi toàn cấu Im f D V0 Định lý 4.5 Ánh xạ tuyến tính f W V ! V0 toàn cấu dim Im f D dim V0 162 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định lý 5.5 Cho q dạng tồn phương khơng gian vector n chiều V, B sở V Khi đó, tồn sở P V cho T Œ'B CB!P ma trận chéo, hay biểu thức q CB!P sở P có dạng tắc Hệ 5.4 Cho q dạng tồn phương khơng gian vector Rn Khi đó, tồn sở P Rn cho CETn !P Œ' CEn !P ma trận chéo, hay biểu thức q sở P có dạng tắc 5.2.2 Đưa dạng tồn phương dạng tắc Theo định lý 5.5, q dạng toàn phương ta ln tìm sở q tắc Việc tìm sở q tắc V gọi phép đưa dạng toàn phương q dạng tắc Sau ta tìm hiểu số phương pháp đưa dạng toàn phương dạng tắc Phương pháp Lagrange Cho V khơng gian vector n chiều, q dạng toàn phương V Giả sử biểu thức tọa độ q sở B D X1 ; X2 ; : : : ; Xn / có dạng X q X/ D a11 x12 C a22 x22 C : : : C ann xn2 C aij xi xj B B với ŒXB D B @ x1 x2 :: : xn 1Äi