Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.5 - TS. Nguyễn Hải Sơn

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.5 Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Dạng tổng quát và dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính; Hệ Cramer; Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss; Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo!

BÀI  §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.1 Dạng tổng quát dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính 5.1.1 Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số có dạng: a11x1  a12 x2   a1n xn  b1  a21x1  a22 x2   a2 n xn  b2 (*)   am1x1  am x2   amn xn  bm aij hệ số pt thứ i ẩn xj , bi hệ số tự phương trình thứ i, xj ẩn số (i=1, ,m, j=1, ,n)  §5: Hệ phương trình tuyến tính - Nếu bi = với i=1,2,…,m hệ gọi hệ tuyến tính Ví dụ 2 x1  3x2  x3  x4   x  x  3x  x    3x1  x2  x3  3x4  2   x2  x3  x4  Hệ phương trình ẩn Là hệ khơng  §5: Hệ phương trình tuyến tính + Ma trận A  [aij ]mn gọi ma trận hệ số phương trình (*)  b1  b  + Ma trận b    gọi ma trận hệ số tự phương trình (*)      bm   x1  x  + Ma trận x    gọi ma trận ẩn số phương trình (*)      xn    §5: Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ: Cho hệ phương trình  x1  x2  x3  x4   x  x  3x  x     x1  x2  x3  x4     x2  x3  x4   3 1  1 2 4  ,b   A 5  3       2  0   ,x   2    9   x1  x   2  x3     x4   §5: Hệ phương trình tuyến tính Ma trận bổ sung hệ (*): A  bs  A  A |b Ví dụ: Cho hệ phương trình 2 2x1  3x2  5x3  x4   x  2x  3x  4x  1  bs   A  A  [A|b]   3 3x1  8x2  5x3  3x4  2    4x2  2x3  7x4   3 1   2  5  2  4 7  Nhận xét: Các hệ số phương trình thứ i phần tử hàng thứ i Abs ngược lại  §5: Hệ phương trình tuyến tính Với kí hiệu đó, hệ (*) đưa dạng Ax  b (**) gọi dạng ma trận hệ (*)  Ví dụ: 2 x  y  z  2   x  y  z   3  5 x  y  z    1   x  9         y   0   z     §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.2 Hệ Cramer Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến gọi hệ Cramer Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  5.2 Hệ Crame Định lý: Mọi hệ Cramer n pt có nghiệm (x1, x2, …,xn) xác định công thức Dj xj  D  5.2 Hệ Crame 10 §5: Hệ PTTT  38 §5: Hệ PTTT  39  §5: Hệ PTTT Nhận xét: Trong hệ hạng ma trận hệ số hạng ma trận bổ sung  a11 a 21 bs  A     am1 a12 a22 a2 n a1n am am n 0  0    Khi biện luận cho hệ ta quan tâm hạng ma trận hệ số 40   §5: Hệ PTTT Hệ có trường hợp:  Hệ có nghiệm Hạng ma trận hệ số số ẩn hệ phương trình  Hệ có vơ số nghiệm Hạng ma trận hệ số nhỏ số ẩn hệ phương trình 41 §5: Hệ PTTT  Tóm lại: Hệ n ẩn - có nghiệm tầm thường r(A)=n - có nghiệm khơng tầm thường r(A)≠n VD1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm khơng tầm thường 42 §5: Hệ PTTT  Hệ có nghiệm khơng tầm thường r(A)