Bài tập đại số tuyến tính

TS TS PHÍ THỊ VÂN ANH (Chủ biên) NGUYEN HUY f HỒNG, ThS MAI PHƯỚC BÀI TẬP BÌNH ĐẠI SỐ TUYỂN TÍNH AL HOO GIAO THONG VAN TAT PHAN HIỆU TẠI THÀNH PHO HO CHI MINH THU VIEN 024351 NHA XUAT BAN GIAO THONG HA’ NOI - 2020 VẬN TAI , ô : Lo ca + TT ơ.- be k1, ‹ +, > rely Ube T yen a ‘ fe, see ` + ‡ ? Lễ + Mục lục MA TRAN VA DINH THỨC 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 ĐH ngvn va Ma trận phép tốn Cộng, trừ, nhân vơ hướng ma trận ¬Nhân ma trận ¬ kh nhenà Lũy thừa bậc cao ma trận ¬ Định thức cách tính định thức Tính định thức theo định nghĩa biến đổi sơ cấp Leben Dinh thức ma trận tích ¬— | 1.3 Ma trận nghịch đảo ứng dụng giải phương trình ma trận ¬ 1.3:1 Tìm ma trận nghịch đảo ¬ 1.3.2 Giải phương trình ma trận : Su xa 1.4 Hạng ma trận 1.4.1 Tìm hạng theo định nghĩa ¬ 1.4.2 Tìm hạng theo phương pháp Gauss th ng nh ng ớt nh ng 2.1 2.2 2.2.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH _ Phuong phap Cramer Phuong phap Gauss giai Hệ bậc thang : ¬ 2.2.2 Hệ tổng quát ¬ 2.3 Giải biện luận hệ 2.4 eeseveeeeues th nh H ng Tu va "¬ ki HH tự Hệ KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH .: .- : 63 34.1 Không gian tuyên tinh R” 63 3.2 Khơng gian 64 3.3 Tổ hợp tun tính, biểu diễn tuyến tinh 67: 3.4 Dộc lập tuyên tính, phụ thuộc tuyên tính, hạng hệ véc tơ 74 3.5 Hệ sin, sở, sô chiều 80 | 3.5.1 Hệ sinh cv ¬—— eines 80 3.5.2 Cơ sở số chiỀu 22T nT nh nà: 81 3.5.3 Tọa độ ¬—— ¬ 86 Phép chuyển sở, công thức biên đổi tọa độ 89 3.6 3.6.1 Phép chuyển SỞ c2 89 3.6.2 Công thức biên đổi tọa độ ¬ 94 Ane XẠ TUYẾN TÍNH : 101 4.1 Ánh Ja tuyén tinh 4.2 Ma tan ánh xạ tuyên tính 101 | 105 4.2.1 Ma ttan cia dnh xa tuyén tinh tong quat LH ng ng xa 105 4.2.2 Ma tiận biến đổi tun tính ¬ 107 4.3 Giá trị riêng, véc tơ riêng 4.4 Chéo hóa ma trận 4.4.1 Ma trận đồng dạng, ma trận chéo hóa ¬ 113 si 122 122 4.4.2 Các dấu hiệu nhận biết ma trận chéo hóa 122 _4.4.3 Cách chéo hóa ma trận "—¬ cece eee tenet ees 4.5 Tao anh phần tử qua ánh xạ tun tính _ KHƠNG GIAN EUCLID tá 124 136 143 5.1 Không gian Euclid R" ˆ | 143 5.1.1 Tinh tốn với chuẩn tích vơ hướng ch xa _ 144 5.1.2 Tính góc hai phần tử ¬_ 5.1.3 Xác minh quan hệ trực giao ¬ —— 145 seed eeeeee 146 5.1.4 Bai toán xác định phần tử ee | | " ` 5.2 Hệ trực giao/trực chuẩn sở trực giao /trực chuẩn 5.2.1 Chứng minh hệ trực giao /trực chuẩn 5.2.2 Tim véc tơ thiêu sở trực chuẩn 5.2.3 Tính tọa độ véc tơ theo sở trực chuẩn Su vs _5.2.4 Thủ tục Gram-Schmidt HH nhà 5.3 Phần bù trực giao phép chiêu trực giao 5.3.1 Tìm phần tử phần bù trực giao " 5.3.2 Xác định hình chiêu phép chiêu trực giao + " 5.3.3 Bổ sung hệ trực chuẩn thành sở trực chuẩn ¬¬ Tài liệu tham khảo re LỜI NÓI ĐẦU Học phần Đại số tuyến tính học phần bắt buộc dành-cho sinh viên ngành bậc Đại học Với sinh viên Trường Đại học Giao thông Vận tải, em tiếp cận với học phần năm học thứ Trong q trình giảng dạy, chúng tơi nhận thấy em gặp khó khăn định Để giúp em có tài liệu học tập ngắn gọn, thuận tiện, biên soạn "Bài tập Đại số tuyến tính" Hy vọng sách tài liệu bổ ích giúp em học tập tốt mơn học Cuốn sách Đài tập Đại số tuyến tính chia thành chương, tương ứng với chương giáo trình lý thuyết “Đại số tuyến tính", TS Nguyễn Huy Hoàng, TS Phf Thi Van Anh, TS Ding Thi Mai biên soạn, xuất năm 2017 Nội dung chương phân công biên soạn tập sau: Chương 1, 2, TS Phí Thị Vân Anh phụ trách chủ biên; Chương Thế Mai Phước Bình phụ trách; Chương 5, dọ TS Nguyễn Huy Hoàng phụ trách Mặc dù chúng tơi có gắng chỉnh sửa sách theo cách tốt nhất, gần gũi sinh viên, khó tránh khỏi thiếu sót nội dung hình thức Chúng tơi mong nhận góp ý từ đồng nghiệp em sinh viên để lần tái sau hồn thiện Thơng tin góp ý xin BỬI hịm thư p£uanhƠutc edu.m Xin chân thành cảm on! Nhóm tác giả MA TRAN VA ĐỊNH THỨC: Ma trận định thức khái niệm Dại số tuyến tính Chẳng hạn ma trận giúp tổ chức lại hệ số hệ phương trình, giúp biểu diễn phép biến đổi tuyến tính, ma trận cịn giúp tiếp cận với vấn đề giải số gần gũi với mảng trong lĩnh vực công nghệ thông Chương cung cấp cho tảng kiến thức công cụ dé sử dụng chúng vào chương sau Mục tiêu Trong chương sinh viên cần nắm phần kiến thức sau đây: e Ma trận phép tốn bản; Định thức cách tính định thức; Ma trận nghịch đão ứng dụng giải phương trình ma trận; Hạng ma trận 1.1 Khai Ma tran va cdc phép toán niém ma tran Ma trận A bảng số tham số viết theo m hang, n cot, va ky hiéu là: G11 địa G2 G22 Gan [m) m3 Amn A= Gin , Phần tử a¿; phần tử nằm hàng thứ ¿, cột thứ j ma tran A Ta viết ma trận cách ngắn gọn là: A = (đ;;)mxa Néu m = n thi ta noi A la ma tran vuông cấp n Khi đó, phần tử đn, đ2a, , đam, gọi phu Ma trận hiéu —A Ma trận Ma trận đường chéo chính, phan ttt Qin, @2n-1, -,@n1 duge goi 1a đường chóo đối A ma trận có cách đổi dấu phần tử A, ky = (—ai;)mxnkhơng ma trận có tất phần tử 0, ký hiệu đ đơn tị ma trận vng, có phần tử đường chéo 1, cịn lại Ký hiệu ma trận đơn vị E Dé nhén mạnh ma trận đơn vị cõ n, người ta viết !„ En 10 | _ Chuong MA TRAN VA ĐỊNH THỨC Cac phép toan co ban Phép cộng: Cho ma trận A = (6g)„.x» Àvà B= B lama tran xác định sau: A + B==> (a; (bij )mxn;ikhi d6 phép cong A véi : + bi; )mxn- Phép nhân uô hướng: Cho ma trận A = (4¡;)mx„ số À, phép nhãn vơ hướng của, Al với À ma trận xác định sau: | AA = (Aaj mxn: Phép nhan hai ma trận: Cho ma trận Á = (đ;)mx„ ma, tran B = (b;x)»x„ Khi đó, tồn phép nhân ma trận A với VGi Cj, dudc xác định sau: | Cik = viết AB, kết ma tran C = (Œ¡k)mxp; bie + G;2Öak + +da„b„y, Vú = 1, m, Vk=1 PD (1.1) Cơng thức a 1) phép nhân hang tht i cua A với cột thứ k B, ta viết lại (1.1) dang: bik ! Cik = (ais QAiQ2 +s Qin) ` (1.2) bạ ị (Nx) "2k Chú ý rằng, phép nhân A véi B chi tén tai sé cdot cia A bang sé hang Ð; viết AP Bạn đọc ý đến thứ tự phép nhân Khi phải nhân nhiều ma trận ta hiểu ta thực nhân hai ma, trận một, sử dụng: tính chất kết hợp, khơng sử dụng tính giao hốn ị | ‡ Các tính chất cơơ e Phép cộng: Giả sử ma trận A, B, Œ€ kích thước, ta CỐ: © A+ B=B+14A (tính giao hốn) ©e (A+B)+C= A+(B+C) (tính kết hợp) © A+0=0+~+.A=^AA (tính trung hịa ma trận khơng) © A; + (—4)=9 _ẳ© Pháp nhân uô hướng: Cho ma trận A bất ky số œ, 8, ta có: ° a(A + B) = aA + 6B e (d +B)A=aA+ BB e a(8A)= (a8)A °0.A=6, | 1L.A=A,(- 1)A = ~A e Phép nhân hai ma trận: Cho ma trận A,,C phép tốn đây: \ có kích thước phù hợp để tồn , | 166 | | Chương KHÔNG GIAN EUCLID | Lời giải: a) Đặt uị = = (2,2,1) Ta xác định uạ có dạng tạ = đ¿ + Àziui Cho u2 L tị Ta có: | | Do đó: xác Ta | | l8 (ur, tị) _ : : uạ = — 2u = (9,5,4)— (4,4,2) = (—2, 1,2) ị I định (at) dai ~~ Ug U3 cé dang | = đa + A31 U1 + Àszza ` 20, ° Ị | 9” (ui, U1) | cho Mì; + U3 tà -Ì ue hasta)8 ° (u2,u2) Ta có: 13 20 ¡90 U3 = as ~ Fur t gue= (71,4)- (2,21) + (-2, 1,2) = (1-2, 2) Chuẩn hóa hệ trực giao {uạ, uạ, uạ} ta nhận hệ trực chuẩn gồm phần tử sau: } tư 3C®52), = =(-2,1,2), agp Mm 2,2,1), v= u = Tugs s02?) 1%=r-z=sÚ,—39.2 — fad BD rẽ U1 jw lt | b) Ký hiệu [z], = (71, £2, £3) 1a tọa độ z sở (0) Ta có: || mà =0) = 2(8+6+ 1) =5, | | "£2 | = (£, V2) = 3(- 8+3+42)=-1, 1 = (2,05)= 3(4-6 +2) =0 | Như vậy, tọa độ cần xác định [z]„ = (5, —1, 0) | ` la na BAI TAP TU LUYEN 5.22 Trdng khong gian Euclid R® cho cdc phan tit | | ta = (1, —8,1)y0a = (AA + 2,0); ty = (21,1) a) Tính góc tị, t2 b) Xác định A, u để hệ {uy, uạ, uạ} hệ trực giao 5.23 Trong không gian Euclid R cho hệ (u) = {0\, uạ,uạ} với phần tử | 1, 1,2) = (2,1,—-1,3),ue = (1,-2,3, 1), us =.(—3, a) Hã ay chi rang hệ (0) | | hệ trực giao 5.2 Hệ trực giao/trực chuẩn sở trực giao/trực chuẩn 167 b) Cho z = (1,3,5,5) Hay tinh phan tử Ug = DT — (z, U1) (uy, U1) (Z, U2) = , (œ, uạ) (uz, U2) ? (u3, U3) c) Hay chi ring {uj, ue, uz, us} 14 mot cd sé truc giao cia R* 5.24 Trong không gian Euclide R* cho hệ sở trực chuẩn (0) = {0, 0ạ, 0ạ, Uạ} với: tì —= zí 5, 4, 2, —2), v2 = a(-4, 5, 2, 2), U3 = (2,2, —5,4), V4 = (2, —2,4, 5) a) Hãy tính tọa độ phần tử z = (1,—1,7,9) sở trực chuẩn (0) b) Cho phần tử = (2,7, —4, 15) Chứng minh tồn dãy gồm s6 thuc (a,b,c) cho = quạ + bus + cua 5.25 Trong không gian IR“ cho hệ trực giao (u) = {ưạ, uạ, uạ, uạ} với ưạ = (1,1,1,—3), tạ = (3,1,—1,1), uạ = (—1,3,1,1), = (1,—1,3, 1) a) Hãy xác định sở trực chuẩn IR“ cách chuẩn hóa hệ (u) b) Tính tọa độ phần tử z = (2, —1,3, 3) sở trực chuẩn Câu 3) 5.26 Trong không gian Euclid R* cho Ä⁄ không gian hai chiều với SỞ trực chuẩn cho trước gồm hai phần tử sau: = =(6,3,2), Ug = cẢ z0 , 6,3) a) Tim v3 € R? cho v3 L M va |jvg|] = b) Hay chi Ta hệ {0i,ạ, 0s} sở trực chuẩn IRẺ c) Tính tọa độ z = (3,1,8) sở trực chuẩn {0ạ, 0a, 0ạ} 5.27 Trong không gian Euclid R“ cho sở trực chuẩn (0) = {0, 0ạ, 0a, 0ạ} với =}(4,5,2 99,4) — 2),y uy2 =— 7(9,2,9 ~45), Es ’ sy3 = — 71(—5,4,2,2) vey Ay ` Hãy tìm tất giá trị có v4 5.28 Giá sử {øạ, 0a, ạ, 0ạ} sở trực chuẩn không gian Euclid R* ey 1 i ta duge biét ring = =(5,—1,3,—1), ¥ = 2(1,5,1,3), tạ = 2(8,1,—5, =1) Gia sử phần tử z = (2,5,1,4) có tọa độ fon vp, 0s, us} (v1, 2,13, £4) Hay tính z4 5.29 Trong khơng gian Euclid R* cho phần tử z = (2,5, 1,7) Giả sử (0) = {0ạ, 0ạ, 0a, 0ạ} sở trực chuẩn R* cho (1,2) (vg + 2v4) Hay tinh toa dé cua x SỞ (0) = 5,(v,2) = vac 5.30 Trong không giản ‘Euclid Rt cho phan tử r= Xã —3, ,8): GIÁ sử (u) = {v1, 0a, 0ạ, UẠ} sở trực chuẩn Rt cho (v1, 2) = 6, (v2,2) = —2.va x L (uạ — 2uạ — 0¿) Hãy tính tọa độ + tiên cợ sở (0): + 168 hộ - Chương KHƠNG GIAN EUCLID 5.31 Trong khơng gian IRÍ cho phần tử z = (3, 5, 1,1), y= (1,1,1,-1) Gia st (v) = {v1, 02,03, vs} sở truc chudn cia R4 cho x L (ị — %ạ),# L (vo + 2u4) VA v2 1a véc to chudn héa cua y Hay xác định toa d6 cla x va toa độ sở (0) 32 Trong khong gian Euclid R*, cho cdc véc to a = (7,12, 19, 14), bị= (1, 2, 2, 4), = (4,3, 8,, 6) Hãy xác định số À, cho b = a-~+ Àb + mb; trực giao với véc tơ bị, bạ b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {bạ, bạ, b} theo thủ tục Gram-Schmidt 5.33 Trong không gian Euclid RÝ cho hệ độc lập tuyến tính (a)= {ay, a2, a3, œ4} với + (1,1, 2,1), a2 = (3,1,5, 0), đạ — (4,4,1,—3), ag = (7,1, —3, 5) Hãy xây dựng hệ trực giao từ hệ thủ tuc truc giao héa Gram—Schmidt - 5.34 Trong không gian Euclid J3 cho sở (ø) = {a,aạ,as} với phần tử sau: " a, = (6, 2,3); ag = (8, 5, —3); đạ —= (9, 2, 7) a) Hãy xây dung sở trực chuẩn khơng gian RỶ từ sở riêu b) Tính,tọa độ phần tử z = (5,5, 8) sở nhận | 5.35 Trong không gian Euclid R* cho doc lap tuyén tinh (a) = {a1, a2, a3, a4} Voi ay = (1,1,1,—1),a2 = (4,-2,4,2),a3 = (5,2,1,2),a4 = (7,5,3,3) Hãy xây dựng sở trực chuẩn IRÍ từ hệ thủ tục trực giao hóa Gram-Schmidt 5.36 Trong khơng gian Euclid R* cho M 1a khong gian hai chiéu véi sở gồm phần tử sau: | a, =(1,1,1,1), a2 = (3,1,1,3) a) Hãy xây dựng sở trực chuẩn M b) Cơ sở M xác định Câu a) có sd truc chuan R* hay không? Tại sao? ¡ 5.37 Trong không gian Euclid R* cho cdc phan tit a, = (1, 2,—1,2); không gian _ L= {oe Ril(x, ay) = 0, (2, a2) = 0}, ag = (4,5, 2,4) : a) Tim sở Ù b) Trực chuẩn hóa hệ gồm véc td ay, đa véc tơ SỞ L đã, tìm Câu a) 5.3 Phần Phan bù trực giao phép chiêu trực giao bù trực giao: Cho M không gian không gian Euclid R", Phan bù trực giao M IR* không gian con, ký hiệu ă!, xác định 5.3 Phần bù trựt giao phép chiéu.truc giao 169 sau: _={fmeR'lz+w, Tính chất: Giá SỬ phần tử +, Vy € M} phần tử không gian Euclid có khẳng định sau đây: e Nếu z trực giao với sở M < z€ Mì Nếu z € M,yc€ M' x L ÿ Với z € IR” tồn u € M,u € M dim(M) + dim(M}) = dim R® = n 5.3.1 (5.7) R” Ta để z= +0, Tim phan tử phần bù trực giao Trong ví dụ sau làm quen với việc xác định phần tử nằm M- + từ thông tin cho trước cua M ws Vi du 5.23 Trong khơng gian Euclid R® cho phan tử z = (7, —5, 1) Cho M không gian hai chiều với sở là: = (1,2,3), = (3,4,—1) a) Tính góc + u, tính góc z b) Hay chi ring x EM +, Lời giải: a) Ta có (z,u)=7-104+3=0 (z,u)=21—20—1=0` > r1u, > z L0 Như góc giữà u, z Hà b) Do x trực giao với tất phần tử coc SỞ: Mt nénz M, nghĩa crEMt Do, - at m Ví dụ 5.24 Trong khơng gian Euclid R* cho M 1a không gian hai chiều với sở cho trước gồm hai phần tử sau: a, = (1, 1,2, 1), aa2 = — (2, 1, -1,4) : Hay Xác định sở trực chuẩn M+ Lời giải: Tìm mội cợ sở M+:+; Xét z = (a1, 22,23, 04) la mot phan tử tùy ý M+ Do 2é f Mt, nén iM, j 170 Chương KHƠNG GIAN EUCLID mà Äf lại cóoh sở3 làTà {ø, az}, nêna ta có:⁄ : jzLaiay - im0y} ta de 4đ => \ : = o {pte ry + 29 (x, a2) =0 —#Z2 — 53 + 224 271 + ty — 43 + 424 = L) = 3x3 — 314 +#¿ạ>+ 2%3+2,=0 + 203#3 +24 + 24 = = =0 Dg = +3; —923 + 224 - ¬ tùy M ! Như phần tử z € M* có biểu diễn dạng: c= (323 — 314, —ÖZa =,23b, + t4b2, + 24,3, T4) = za(3, —5, ,0) + xa(— 3, 2, 0, 1) (23,24 € R) ta đặt bị = (3,—5,1,0),ba = (——3,2,0,1) Biểu diễn cho thấy bị,bạ € M+ hệ {bị, bạ} hệ sinh Me Tiệp theo, ta kiểm tra tính độc lập tuyến tính {bạ, bạ} Xét đẳng thức: ! \iby + Agbg=O (Ay, Ao E R) € 1(3, —5, 1,0) + A2(—3, 2, 0, 1) = (0,0, 0, 0) « (3Ài — 3À¿, —5A1 + 2Ae, Ar, A2) = (0, 0, 0, 0) Ấ© À¡ = À¿ =0 nghiệm Bởi hệ {b, bạ} hệ độc lập tuyến tính Như bị, bo} vừa hệ sinh, vừa độc lập tuyến tính M', nên CƠ SỞ ‘Mt Xây dựng số trực chuẩn MÀ từ số {bụ, bạ}: Trước hết, cách sử dụng thủ tục Gram-Schmidt, ta xây dựng sở trực giao tua) t từ On ooh Ta xAc dinh tạ CỐ5 dang tạ = bạ + Àaqtt cho uạ L tị Ta có: | | Do đó: a —(au) — — —9—10 (quản $2541 s _ 19 35 - 19 tý = ba + 20 = (~3,2,0,1)+ s2(3, =5, 1,0) = a21 (—48, ~25, 19, 36) Chuẩn hóa hệ {z,u¿} ta nhận SỞ trực chuẩn Mã 2¿} M! gồm phần tử.sau: Uy = Taal Y= Vas b= = —=(3, —-5,1,0), = tia Taal ~ VaBT8 = ) —48, —25, 19, 35) a 5.3 Phần bù trực giao phép chiếu trực giao 171 5.3.2 Xác định hình chiêu phép chiêu trực giao Một số tốn u cầu tính hình chiếu trực giao P(z) phần tử z không gian M Thong tin M chia thành hai tình cách tính phụ thuộc vào tình i) Néu xác định trước sở trực chuẩn {?ø, ,0y} M hình chiếu trực giao P{z) phần tử z lên M là: P(z) = (Z,0i}0 + + (2, 0k)0k (5.8) 1) Nếu biết trước sở thường M thi ta co thé tinh P(x) theo mot hệ Cramer gắn với ma trận Gram sở Ví dụ sau cho thấy việc tính hình chiều theo CƠ SỞ trực chuẩn M Tính hình chiêu dựa vào sở trực chuẩn = Vi du 5.25 Trong khong gian Euclid R¢ cho M không gian hai chiều với sở cho trước gồm hai phần tử sau: =(2L—11), a =(1,1,2,-3) a) Hay tim mot sở trực chuẩn M b) Hãy tìm hình chiêu trực giao phần tử z = -(, 2, —1,ð5) lên không gian M Lời giải: a) Để xây dựng sở trực chuẩn cia M ta cần sử dụng thủ tục Gram-Schmidt cho hệ {ø, ø¿} Trước hết, ta xây dựng hệ sở trực giao {ư, ua} từ Dat {a1, ay} Uy =a, => (2, 1, —l, 1) Ta xác định uạ¿ có dạng tứ Mo Do đó: # = a¿ + Àziw cho Ì trị Ta Có: = — („,u) mm) — 2+1-2-ä2 ——“———“ 4+l+l+l - ~*~.< ¢ 2 : uy = a2 + Sty = (1,1,2,-3) + 5(2,1,-1,1) = 51 (11,9,12,-19) Chuan héa {u,u2} ta nhan sở trực chuẩn {v, v2} cha M+ gdm cdc phần tử sau: Y= Uy lai | ug _(2,1,-i,1), vy = = llt‹a || — vĩ = (11,9, 12, -19) MU b) Để xây ‘dung hinh chiéu truc giao P(x) phan tử, l= (3, 2, ~1,5) lên M, 172 | _ Chương KHÔNG GIAN EUCLID ta dựa vào công thức (5.8),biết {ø, 0a} là.cơ sở trực chuẩn M Ta có: ị -Âf,U)= Z(6+24145) =2V7, 586 #,9ạ) = ——(33 + 18 — 12— 95) = ——== -J — 02) vi ) 707 Như vậy, ta xác định được: P(z) = (,i)ui + (, 0a}u; , =22,1,~1;1}~ 1ar(11,9,12, ~19) = 10T(158,ð, 149,177) = Phân tích phần tử khơng gian thành tổng z = u + Tiếp theo ta thực ví dụ tính hình chiếu theo ma trận Gram sở thường Ä au Ví dụ 5.26 Trong khơng gian Euclid JR“ cho M khơng gian hai chiều có sở gồm hai véc to a, = (1,2, -2,3);a2 = (2,3,2, —1) Hãy phân tích phần tử z = (9, 12,3,4) 2=u'+v ue M va Lời giải: Giả sử u,o phần tử cần tìm Do u € M À1đ_ + Àada Giả sử z+=u+u = U=Z—~tu=z~— À¡ứi — Agag Mav đó, suy L ai, L a¿ Do đó, ta có: — —~ (x, đị ay XS ¬- ÂẦ (z — Aya — di (a1, a) — Ị —À € Mt, nên L M Từ — Àt@I — À28ạ, đỊ)= i ¬ AM có sở {ø, a¿} nên tồn Àq, À¿ € R cho: L= Mt — — Àa(aa, a) Àa0a, a2) = =0 1(đ1, đa) — À2(0a, a2) = Sử dụng giả thiết ta tính được: (z,ai) =9+24—6+ 12 = 39, (x, a2) = 18 +36 + — 4= 56 Tính tốn tương tự, ta nhận (21,01) == 18,8, (a1, đa) == 1, (a2, a2) = 18.Do hệ tương đương với: + 39 — 18A, — 56 A, 18A2 — — Az = = S 18A; + Az = 39 Ay 18Aq + = 56 oS Ay = Ao = -5:3 Phần bù trực giao phép chiếu trực giao c Đến ta xác định được: 5.3.3 — =9 +3as = (2,4,—4,6) SỐ 173 + (6, 9,6 — 3) = (8, 13,2,3) Uu=z—u= (9,12,3,4) — (8, 13,2, 3)=,~ —1,1,1) x ¬ Bổ sung hệ trực chuẩn thành sở trực chuẩn Trong không gian Euclid nœ chiều, hệ trực chuẩn có số phần tử k < n bổ sung thêm (n— k) phần tử để sở trực chuẩn @ Nếu hệ trực chuẩn biết sở không gian M (o — k) phần tử bổ sung thêm sở M+ Nhu vậy, chất việc bổ sung hệ trực chuẩn thành sở trực chuẩn việc xác định sở trực chuẩn M +, Trường hợp dim(M) = 1: Khi M+ chi co ding CƠ SỞ trực chuẩn hai véc tơ đối ta có cách bổ sung Ví dụ 5.18 minh họa cụ thể cho trường hợp Trường hợp dim(M}) số cách bổ sung cho hệ thường M† sau tục Gram-Schmidt Ví dụ sau minh w Vi du 5.27 phần tử > 1: Khi đó, M+ có vơ số sở trực chuẩn ta có vơ trực chuẩn Thơng thường, ta cần xác định sở xây dựng sở trực chuẩn cách áp dụng thủ họa cụ thể tình dim(A#1+) = “Trong khơng gian Euclid R* cho truc chuẩn {o\, 0a} gồm Ui = -(1,1,-1,1 5| y4y ) ), v2 = —(1,1,1,-1) | ato 4; ) Hãy xây dựng sở trực chuẩn R‘ chita hai phan tit da cho Lời giải: Dặt M không gian R* c6 sở trực chuẩủ {oạ, v2}: Nếu {v, V2; V3, v4} sở trực chuẩn R hệ {øx, ạ} sở trực chuẩn M⁄+ Bởi vậy, để xác định {u;,0ạ}, trước hết ta cần xác định sở thường M+ Xét z = (Z1,#a, a3, z4) phần tử tùy ý M1 Do z L ,#z v2 nén (z,ị) =0 e #ị + #2 — #4 + Z4 = Ú #ị #1 + #¿ — ¿ + zạ=0 223 — 244 = † #2 + #4 — xạ +1 => = = —#Z2 #3 = Za %2, tùy ý _Như phần tử z € M' có biểu diễn dạng += (—#a; #a, #4, #4) = #z(—1, 1,0,0) + z4(0, 0, 1, 1) = #20 + 40a 174 | Chương KHƠNG GIAN EUCLID tal dat a, = (—1,1,0,0), a2 = (0,0, 1, 1) Biéu dién trén cho thay a1, a2 € M†} hệ {a, a;} hệ sinh M+ Kiém tra tinh doc lap tuyén tinh cha {œ, a2}, tal thấy rằng: | (œ,d¿) =0+0+0+0=0 = a, a Suy ra, {a1, az} hệ độc lập tuyến tính Nhự {a, a;} sở của, M+ Vi a, L a¿ nên sở tái, đa} sở trực giao M+ Để tìm sở trực chuẩn lM+, ta cần chuẩn hóa hệ {ø, øạ} Đặt: | a= ay —=(-l,1,0,0), llal| V2 ( ag e =— eT == Ve Suy ra, (bi, bạ} sở trực chuẩn M1, (0,0, 1;1) Ghép sở trực chuẩn Mí sở trực chuẩn Mz},+, ta sở trực chuẩn IR° Như vay dat v3 = e1, v4 = e¿ ta sở trực chuẩn JRÝ cần tìm là: | | = -—(1,1,-1,11); =5( Vv —/(-1,1,0,0), ¬— "" (NX) ‘ = -—(1,1,1,-1 2ú, at, V2 )„ vu, ) = —~=(0,0,1,1) Va ) „ " Trong Ví dụ 5.27, việc lựa chọn hệ sinh (khá tự nhiên) lại đồng thời thu hệ trực giao Bởi phân tích xay dựng thuận lợi Trong tình khơng thuận lợi, phân tích tính tốn diễn hồn tồn tương tự với Ví dụ 5.24 BÀI TẬP TỰ LUYỆN | : 5.38 Trong không gian Euclid R* cho phan tit x = (10, —7,9) Tiếp theo, cho M la - không gian hai chiều với sở cho trước gồm hai phần tử sau: | ' a=(1,4,2), b=(- 2,1,3) a) Tinh góc + a, tính gốc z b b) Hãy z € M+ 5.39 Trong không gian Euclid IR cho M không gian hai chiều với sở cho trước gồm hai phần tử sau: t =(1,-1,1,4), a2 = (2,1,-1,5) | Hãy xác định sở trực chuẩn M1 5.40 Trong không gian Euclid R* cho M không gian hai chiều với sở cho trước gồm hai phần tử sau: ứ = (1,—1,—1,9), as = (7,3,—1,8) 5.3 Phan bi trực giao phép chiếu trực giao 175 a) Hay xác định sở trực chuẩn M b) Hãy xác định hình chiếu trực giao phần tử z = (4,7, 10) len không gian M 5.41 Trong không gian Euclid IRÍ cho Mí khơng gian hai chiều với sở cho trước gồm hai phần tử sau: a, = (1,1, -1, 3), đạ — (4, 5, 0, 5) a) Hãy xác định sở trực chuẩn M b) Hãy xác định hình chiếu trực giao phần tử z = (6, 1,5, 5) lên không gian AM 5.42 Trong không gian Euclid R* cho M 1a khong gian hai chiều có sở gồm hai véc to a, = (1,1,—2,—2); = (3,1,—1,2) Hãy phân tích phần tử z = (12,8, —10, —7) thành z = u +0 u € Mau — MC 5.43 Trong không gian Euclid R“ cho M khơng gian hai chiều: có sở gồm hai véc tơ = (1,—1,—3,2); a¿ = (2,1,2,—3) Hãy phân tích phần tử z = (6,0,—6,5) thành z = u +% u € M u = MÀ 5.44 Trong khơng gian Euclid R tì — (2, cho hệ trực chuẩn {0i, 02}, với: 1,2,4), vg = (2,4, —2, —]) Hãy xây dựng mét co sé truc chuan cia R* chita hai phan ttt da cho trén 51 Va = 105 52 v= ~15 ||xz +2w|| = 5.5 5.6 5.7 5.8 = + = z= Bài 5.4 a) ||z||=3, 5.10 5.11 Up = 5, —4, —2, 2) T0 -(L1,2), 0= 2(VỸ+1,VỸ— 1,3), v= 5.3 5.9 5); (42, 45, 28) 9) |lv|| = 21 Hãy ||z — 4u — 5u|| = Sinh viên tự làm Hãy z Ị,z L ạ;# _L uạ z = z4(—1, —1,—2, 1) Sau tính Sinh viên tự làm T TT TT 5.15 5.16 457 +5z = +(10,10,20, —5) (A,À,À) VÀ€ [_-1,0] 2x = (2,2,6) tốn vơ nghiệm s (z,uạ) để suy kết 5.12 ầ ĐÁP SỐ CHƯƠNG rf ĐT TT TT =A(—3,2,1), yn, at TT TT TT VÀ€R 7T TS | | 176 | | || Chương KHÔNG GIAN EUCLID | 5.17 n= +4 (4,2,2,5) 5.18 +-(5,3, 1,1) 5.19 £5 (615,2,3,1) ' | 5.20 +=Lia, 4,2, 4) 521 x= (6, —12, —6, 6) z = (4, —8, 4, —4) | 5.22 5.23 b)À=_—- _i4 =— a) Hd: Kiểm tra xem u; u; có trực giao với khơng, cách xét (ua “s) có hay khơng, với ¡ j c) Sinh viên tự làm 5.24 a) Ej, =3 3,23, 1,77) b) Sử dụng hệ 0,9,9, s4) 5.25 a) 'U¿ — —=tL:;; nh a“ b) bale= al + 5.26 i= —5, 5,1, 15 sở R (,u)= 1,2,3,4 a) 08 = ;ú8, —2, —6) b) Sinh viên tự làm €) [rÌ, =? 1(37,24, —41) [z]„ = (37, 24, 41) 5.27 nies (2, -2,5, 4) 5.28 z2 = 5.29 5.30 5.31 5.32 [z], = (5,3,6, —3) [z]„ = (5, 3, —6, 3) [r],== l6 2,10, 0) [z], = (4, 4,0, ——2) va [y] = (0, 2,0, 0) a] A=—-1, p= -2 2,2,4),uy = =(2,—1,4,—2), 1ò b) 0= g(h va = z(-2,4,1, -2) 5.33 m= (1,1,2,1),.u =C,—-1)1,-2), wy = (24,2, 2), uạ = (6, —3, 3,3) 1 a) y= z6, 2.3) wạ = a(3,3,—6), vg = 7(3, -6, -2) 5.34 b) {a}, 5.35 5.36 64 ~93, -31) i2d, Ul = a) 1, ,-1), v 1), = aa U3 = 2ú, 1,-1, 1), 2ú 1,1,1),v2 = =(1,-1,-1,1) Va =s(-1, 1, 1, 1) , b) Hệ {hà on} sở IRÝ 5.37 a) Có thể lựa chọn sở {aa, a4} L | | | đạ — (—3,2, 1,0), a4 = (2, —4,0, 3) Ái An 5.3 Phần bù trực giao phép chiếu trực giao - 177 b) Cơ sở trực chuẩn xây dựng theo lựa chọn gồm phần tử: 1 vy = —=(1,2,—-1,2), 75 | ), ve Đa = —(1,1,—1,3), 55! ), ve = ——(2,3,2,—1) 33! ) b) P(x) = (131, 171, 29, 113) 5.42 u= (11,7,—12,—6), 5.43 u=(5,—2,-7,3), -§.44 u=(1,1,2,—1) u= (1,2,1,2) Ky hiệu Ä⁄ khơng gian hai chiều có sở {0ạ, vo} Ta lua chon mét sở thường MT {an, a2} với a, = (—5,4,3,0), a2 = (—17, 10,0,6) Trực chun héa {a;', a2}để sở trực chudn cia M+ gdm cdc phan tit U3 = —~(-5,4,3,0), ¿=>1 (—3,0, —5, 4) Khi {v, v2, v3, v4} 1A mOt co sd truc chuan cia R* 14 co sé can tim - Tài liệu tham khảo [1] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua tí dụ uà tập, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 200ã [2] Nguyễn Huy Hồng, Phí Thị Vân Anh, Đặng Thị Mai, Đại số tuyễn xuất Giao thông Vận tải, 2017 tính, Nhà [3| Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Hồ Quỳnh, Toán học cao cắp: Tộp một, Đại số , U Hình học Giải tích, Nhà xuất Giáo dục, 2015 [4] Jim DeFranza, Daniel Gagliardi, Introduction to Linear Algebra tions, Waveland Press, Inc, 2015 with Applica- [5] David C Lay, Linear Algebra and its Application, (fifth edition), Pearson Edu- cation, 2016: [6] Fuzhen Zhang, Matriz theory - Basic Results and Techniques, (second edition), Springer, 2011 NHÀ XUẤT BẢN GIAO THÔNG VẬN TẢI 80B Trần Hưng Đạo - Hoàn Kiếm - Hà Nội" _ Điện thoại: 024 39423345 * Fax: 024 38224784 Website: www.nxbgtvtvn * Email: nxbgtvt@fpt.vn Chịu trách nhiệm xuất bản: Nguyễn Minh Nhật Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Hồng Kỳ Biên tập: = Nguyễn Ngọc Sâm Xưởng in Trường Đại học GTVT Xudng in Truong Dai hoc GIVT Thiết kế bìa: Trình bay: Déi tac lién két xudt ban: Địa chỉ: - — _—_ Trường Đại học Giao thông Vận tái Số phố Cầu Giấy, Láng Thượng, Đống Đa, Hà Nội In 3020 cuồn, khổ 19 x 27cm Xưởng in Trường Đại học GTVT Địa chỉ: Số phố Cầu Giấy, P Láng Thượng, Q Đống Đa, TP Hà Nội Số xácnhận đăng ký xuất bản: 2796-2020/CXBIPH/2-118/GTVT Mã số sách tiêu chuân quốc tế- ISBN: 978-604-76-2206-1 Quyết định xuất số: 90 LK/QĐÐ-XBGT ngày 22/07/2020 In xong nộp lưu chiêu năm 2020