TS PHÍ THỊ VÂN ANH (Chủ biên)
TS NGUYEN HUY f HOÀNG, ThS MAI PHƯỚC BÌNH
BÀI TẬP
ĐẠI SỐ TUYỂN TÍNH
AL HOO GIAO THONG VAN TAT
PHAN HIỆU TẠI THÀNH PHO HO CHI MINH THU VIEN
024351
NHA XUAT BAN GIAO THONG VẬN TAI HA’ NOI - 2020
Trang 3Mục lục 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 1.3:1 1.3.2 1.4 1.4.1 1.4.2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.4 34.1 3.2 MA TRAN VA DINH THỨC ĐH ng vn va Ma trận và các phép toán cơ bản
Cộng, trừ, nhân vô hướng ma trận ¬- Nhân ma trận ¬ kh nhe nà Lũy thừa bậc cao của ma trận ¬
Định thức và cách tính định thức
Tính định thức theo định nghĩa hoặc biến đổi sơ cấp Leben
Dinh thức của ma trận tích ¬— |
Ma trận nghịch đảo và ứng dụng giải phương trình ma trận
Tìm ma trận nghịch đảo ¬ ¬
Giải phương trình ma trận : Su xa
Hạng của ma trận
Tìm hạng theo định nghĩa ¬ Tìm hạng theo phương pháp Gauss th ng nh ng ớt nh ng
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
_ Phuong phap Cramer
Phuong phap Gauss giai hé
Hệ bậc thang : ¬ Tu va "¬
Hệ tổng quát ¬ eeseveeeeues th nh HH ng ki HH thà tự
Giải và biện luận hệ
Hệ thuần nhất
KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH .: .- :
Khơng gian tuyên tinh R” Không gian con
63 63
Trang 4
3.3 Tổ hợp tuyên tính, biểu diễn tuyến tinh 67:
3.4 Dộc lập tuyên tính, phụ thuộc tuyên tính, hạng của hệ véc tơ 74
3.5 Hệ sin, cơ sở, sô chiều | 80
3.5.1 Hệ sinh cv ¬—— eines 80
3.5.2 Cơ sở và số chiỀu 22T nT nh nà: 81
3.5.3 Tọa độ ¬—— ¬ 86
3.6 Phép chuyển cơ sở, công thức biên đổi tọa độ 89
3.6.1 Phép chuyển cơ SỞ c2 89 3.6.2 Công thức biên đổi tọa độ ¬ 94
4 Ane XẠ TUYẾN TÍNH : 101
4.1 Ánh Ja tuyén tinh 101
4.2 Ma tan của ánh xạ tuyên tính | 105
4.2.1 Ma ttan cia dnh xa tuyén tinh tong quat LH ng ng xa 105 4.2.2 Ma tiận của biến đổi tun tính ¬ 107
4.3 Giá trị riêng, véc tơ riêng 113
4.4 Chéo hóa ma trận si 122
4.4.1 Ma trận đồng dạng, ma trận chéo hóa được ¬ 122
4.4.2 Các dấu hiệu nhận biết ma trận chéo hóa 122
_4.4.3 Cách chéo hóa ma trận "—¬ cece eee tenet ees 124 `
4.5 Tao anh của một phần tử qua ánh xạ tuyên tính _ 136
5 KHÔNG GIAN EUCLID tá 143
5.1 Không gian Euclid R" ˆ | 143 5.1.1 Tinh tốn với chuẩn và tích vô hướng ch xa _ 144 5.1.2 Tính góc giữa hai phần tử ¬_ —— 145
5.1.3 Xác minh quan hệ trực giao ¬ seed eee eee 146
5.1.4 Bai toán xác định một phần tử ee " |
Trang 5
5.2 Hệ trực giao/trực chuẩn và cơ sở trực giao /trực chuẩn
5.2.1 Chứng minh hệ là trực giao /trực chuẩn
5.2.2 Tim véc tơ còn thiêu trong cơ sở trực chuẩn
5.2.3 Tính tọa độ của véc tơ theo cơ sở trực chuẩn Su vs _5.2.4 Thủ tục Gram-Schmidt HH nhà
5.3 Phần bù trực giao và phép chiêu trực giao
5.3.1 Tìm phần tử của phần bù trực giao "
5.3.2 Xác định hình chiêu của phép chiêu trực giao + " 5.3.3 Bổ sung hệ trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn ¬¬ re
Tài liệu tham khảo
Trang 7
LỜI NÓI ĐẦU
Học phần Đại số tuyến tính là một học phần bắt buộc dành-cho sinh viên các ngành
ở bậc Đại học Với sinh viên Trường Đại học Giao thông Vận tải, các em được tiếp cận với học phần này ngay ở năm học thứ nhất Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi nhận thấy các em gặp những khó khăn nhất định Để giúp các em có tài liệu
học tập ngắn gọn, thuận tiện, chúng tôi đã biên soạn cuốn "Bài tập Đại số tuyến tính" Hy vọng cuốn sách sẽ là tài liệu bổ ích giúp các em học tập tốt môn học này Cuốn sách Đài tập Đại số tuyến tính được chia thành 5 chương, tương ứng với 5 chương trong giáo trình lý thuyết “Đại số tuyến tính", do TS Nguyễn Huy Hoàng,
TS Phf Thi Van Anh, TS Ding Thi Mai biên soạn, đã xuất bản năm 2017 Nội
dung của các chương được phân công biên soạn trong cuốn bài tập như sau: Chương 1, 2, 3 do TS Phí Thị Vân Anh phụ trách và chủ biên; Chương 4 do Thế Mai
Phước Bình phụ trách; Chương 5, dọ TS Nguyễn Huy Hoàng phụ trách
Mặc dù chúng tôi đã có gắng chỉnh sửa cuốn sách theo cách tốt nhất, gần gũi nhất đối với sinh viên, nhưng vẫn khó tránh khỏi những thiếu sót về nội dung cũng như hình thức Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý từ các đồng nghiệp và các
em sinh viên để lần tái bản sau được hồn thiện hơn Thơng tin góp ý xin BỬI về hịm thư p£uanhÔutc edu.m
Xin chân thành cảm on!
Trang 91 MA TRAN VA ĐỊNH THỨC:
Ma trận và định thức là những khái niệm cơ bản của Dại số tuyến tính Chẳng hạn
ma trận giúp chúng ta tổ chức lại hệ số của một hệ phương trình, giúp chúng ta biểu diễn được một phép biến đổi tuyến tính, ma trận còn giúp chúng ta tiếp cận với các vấn đề giải số vì nó rất gần gũi với các mảng trong trong lĩnh vực công nghệ thông
Chương này cung cấp cho chúng ta những nền tảng kiến thức như những công
cụ dé chúng ta sử dụng chúng vào các chương sau
Mục tiêu
Trong chương này sinh viên cần nắm được các phần kiến thức sau đây:
e Ma trận và các phép toán cơ bản; Định thức và cách tính định thức;
Ma trận nghịch đão và ứng dụng giải phương trình ma trận;
Hạng của ma trận
1.1 Ma tran va cdc phép toán cơ bản
Khai niém ma tran
Ma trận A là một bảng số hoặc tham số được viết theo m hang, n cot, va ky hiéu là:
G11 địa Gin G2 G22 Gan
A=
[m) m3 Amn ,
Phần tử a¿; là phần tử nằm trên hàng thứ ¿, cột thứ j của ma tran A Ta viết ma trận 4 một cách ngắn gọn là: A = (đ;;)mxa
Néu m = n thi ta noi A la ma tran vng cấp n Khi đó, các phần tử đn, đ2a, ., đam,
được gọi là đường chéo chính, các phan ttt Qin, @2n-1, -,@n1 duge goi 1a đường chóo phu
Ma trận đối của A là ma trận có được bằng cách đổi dấu các phần tử trong A, ky hiéu —A = (—ai;)mxn-
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu là đ
Ma trận đơn tị là ma trận vng, có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, còn
lại bằng 0 Ký hiệu ma trận đơn vị là 7 hoặc E Dé nhén mạnh ma trận đơn vị cõ
Trang 10
10 | _ Chuong 1 MA TRAN VA ĐỊNH THỨC
Cac phép toan co ban
Phép cộng: Cho ma trận A = (6g)„.x» À và B= (bij )mxn;ikhi d6 phép cong A véi B lama tran được xác định như sau: :
A + B= => (a; + bi; )mxn-
Phép nhân uô hướng: Cho ma trận A = (4¡;)mx„ và số À, khi đó phép nhãn vô
hướng của, Al với À là ma trận được xác định như sau:
| AA = (Aaj mxn:
Phép nhan hai ma trận: Cho ma trận Á = (đ;)mx„ và ma, tran B = (b;x)»x„ Khi
đó, tồn tại phép nhân ma trận A với và viết AB, kết quả là ma tran C = (Œ¡k)mxp; VGi Cj, dudc xác định như sau:
| Cik = ai bie + G;2Öak + +da„b„y, Vú = 1, m, Vk=1 PD (1.1)
Cơng thức a 1) chính là phép nhân hang tht i cua A với cột thứ k của B, cho nên
ta có thể viết lại (1.1) dưới dang:
! Cik = (ais QAiQ2 +s Qin) "2k ` (1.2)
ị bạ
bik
(Nx) Chú ý rằng, phép nhân A véi B chi tén tai khi sé cdot cia A bang sé hang
của Ð; và viết là AP Bạn đọc hãy chú ý đến thứ tự phép nhân Khi phải
nhân nhiều ma trận cùng nhau thì ta hiểu là ta thực hiện nhân lần lượt hai ma, trận một, có thể sử dụng: tính chất kết hợp, nhưng khơng sử dụng tính giao hốn ị | ‡ Các tính chất cơ ơ bản e Phép cộng: Giả sử các ma trận A, B, Œ€ cùng kích thước, ta CỐ: © A+ B=B+14A (tính giao hốn)
©e (A+B)+C= A+(B+C) (tính kết hợp)
© A+0=0+~+.A=^AA (tính trung hịa của ma trận khơng) © A; + (—4) =9
_ẳ© Pháp nhân hướng: Cho ma trận A bất ky và các số œ, 8, khi đó ta có:
° a(A + B) = aA + 6B e (d +B)A=aA+ BB
e a(8A) = (a8)A |
°0.A=6, 1L.A=A,(- 1)A = ~A
e Phép nhân hai ma trận: Cho ma trận A,,C có kích thước phù hợp để tồn
tại các phép toán dưới đây: ,
Trang 11
1.1 Ma trận và các phép toán cơ bản 11
© Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn Tức là, có 4, nhưng chưa ©
chắc đã tồn tại BA, hoặc nếu có tồn tại thì có thể AB BA - © Phép nhân có tính kết hợp: ABC = (AB)C = A(BC)
© (A+ B)C=AC+ BC; A(B+C)= AB+ AC © AAB = (AB) = (AA)B = A(AB), véi » 1a sé bat ky
© Giả sử A cỡ m x m, và lạ, lạ là các ma trận đơn vị cỡ mm, cỡ m tương ứng Ta có: ll,=A; I,A=A
Nếu A vuông cỡ ø thì ta viết: AI = -[A=A
k A
© Khi A vuông, ta ky hiéu A* = A.A A Khi đó ta có:
k lần
A".A" _ Amtn (A™)” = An; (AA)” = MA”
I, néu n chan ©e J"=], (—l)"=
—I, nếu n lẻ
Dưới đây chúng ta xét một số dạng bài tập của phần này
1.1.1 Cộng, trừ, nhân vô hướng ma trận:
Khi gặp các dạng bài này, ta chỉ cần làm đúng định nghĩa về các phép toán là được
Một vài ví dụ sau đây giúp các bạn hiểu rõ vấn đề này:
— , (3 -2 1 _(41 7À gay
a Vi du 1.1 Cho ma tran A = bo lạ) B - (5 _5 J) Hay tinh
9A+Bva2A— 3B
Lời giải: Theo định nghĩa về phép cộng và phép nhân VÔ hướng của ma trận, ta viết được: 3-2 1\, (4 1 7 24+ B= 2(¢ 0 *) tĐ —5 5) _(6 -4 2),(4 1 7\)_(10 -3 9 ~\10 0 -—18) "(3 -5 -2) ~ \13 -5 —20)° | 3-2 1 41 7 24= 35 =2 (Š 0 4) -3(5 % 5) _ (6 -4 2\ (12 3 21\_ /-6 -7 -19 ~\10 0 18 9 -15 -6/ \1 15 -12/ *® 1.1.2 ' Nhân ma trận
Trang 12
12 | | Chuong 1 MA TRAN VA DINH THUC
|
: | 1 3 -2 — ft 2
m Ví dụ 1.2 Cho ma trận Á = (; 5 0 ) va B= | -3 4] Hay tinh AB,
BA, néu CÓ -Lời giải: Ta Có: 7 1 1 3 -2 —=12 9 | AB (; 9 0 ) 5 3 ; ( 6 3) Ị 7 1\ 10 26 —14 BA= =3 4| (3š 0)” 9 11 6 2 11 25 —10
(wy) Trong phép nhân AB 6G trén, phan tử ở vị trí hàng 1, cột 1 trong kết quả bằng —12 là giá trị của hàng 1 của A nhân với cột 1 của B Phép nhãn đó diễn ra như sau: ị
ĩ
(1 3 -2) L2) = 17 +3.(—3) + (—2).5 = —12 ˆ : 5
| |
Tương tự vậy, ta lấy hàng 1 của A nhân \ với cột 2 của B thì được kết quả
1.1+8.4+(—2).2 = 9 Sau đó lấy hàng 2 của Á nhân lần lượt với các cột của
B ta được các số 6, 23 tương ứng Kết quả là một ma trận cỡ 2 x 2
Phép nhân A được thực hiện tương tự Ta lưu ý ma trận đứng trước thì lay hàng,| ma trận đứng sau thì lấy cột Như vậy ta sẽ lấy lần lượt từng hàng của
_B nhận với lần lượt từng cột của A Kết quả là một ma trận cỡ 3 x 3
Qua đây, ta thấy AB và BA đều tồn tại, nhưng AB # BA
|
_ Việc nhân A với chính nó cũng được thực hiện tương tự; coi như 8 = A 1 4 -2
a Vi du 13 Cho ma, trận A= |3 5 8 | Hãy tính A?—- 2A + 51
Trang 13
1.1 Ma trận và các phép toán cơ bản - | | 13
1.1.3 Lũy thừa bậc cao của ma trận
Xét bài toán: Cho ma tran A vuéng, tink A” vdin rat lớn
Việc tính 4" một cách tổng quát chúng ta cần dùng đến bài toán chéo hóa ở Chương 4, và phải sử dụng nhiều tính tốn Tuy nhiên, trong một số trường hợp đặc biệt, việc tính tốn lũy thừa 4” có những thuận lợi đáng kể Chúng tôi đề cập tới 3 trường hợp sau đây:
ve
ỚiIi 0 07
a) Nếu A là ma trận đường chéo: Giả sử Á có dạng: Á = 0 “ -
00 Om),
Khi đó, lũy thừa của A 1a:
| ar 0 0
ản_- |0 4 0
0 0 “mm an
b) Nếu A* = +[: Ta tính lần lượt A?, rồi 43, để xem với số mũ k không quá cao `
nào đó thì nhận được 4# = +T Khi đó, ta phân tích số mũ = k.m + p, với p là
phần dư của phép chia n : k, còn rn là phần nguyên Sau đó, ta viết được At = (A*)", AP = (41)"A?
Tới đây, tùy thudc vao m chin hay lé dé biét (+/)™ va tiry thuộc vào P để có giá trị A? cho phi hợp
Chang han: néu A? = —J thi A070 = (A?)1010 — (_J)1010 — J; néu A® = —J thi A200 = (A3)®A4 = (— Ina = = —A,
c) Néu A? = \A: Khi tính A? thi nhan được A? = AA, với \ là số thực nào đó Khi
đó, có 2 cách xử lý như sau:
e Cách 1: Khi > 2, ta viết:
A*= A2.A" ?~ ÀA.A* ?=AA* l= =À"1A,
Áp dụng với ø là số mũ đã cho, thay vào để nhận được kết quả \
e Céch 2: Tinh tiếp an
A’ = A?A = \A.A = À4? = À(ÀA) = À7A
Từ đó cho ta phán đoán A* = À*~1A Tuy nhiên để khẳng định điều này, ta
cần chứng minh nó theo phương pháp quy nạp Cuối cùng thì chỉ cần ấp dung với k = n là số mũ đã cho, ta sẽ nhận được kết qua
Trang 14
14 " _ Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
a Vi du 1.4 ChoA= § 73): Tinh A2018, A2021 và A2023 -Lời giải:
Lời giải:
poo VO 1a có
— =03)63)(3 8)<+ Vậy A2018 |— ( A2)1009 = (—])1099 — (—1)1009 71009 — _Ƒ — " `):
Tương tự,
3 —ỗ 2021 _ / 421010 4 — (_ Ƒ\1010 4 — — A-
A = (A*)M A= (-I)PMA=TA=A Đ ơ)
2023 _ /4291011 4 /_ ry10114 _ a —3 ð
A = (`) A = (-I) A= LA= A=( 3):
z È A (3 9 ¬ | 105
we Ví dụ 1.5 ChoA= 1 3): Tinh A‘
Taco:
4g (3 (3) G 3)=(§ as) 8G 3) 8 9\ (3 9\ _ 18 54), (3 9)
Đến đây tà có 2 cách trình bày như sau:
Cách 1: Ta có,
A105 _ AZ, 4103 = 6A Al — 6A1 — 6.A*, Al — 6(6A) Al” — 62 A103 " _ 6194 4 — 61 4 = 6104 (; 3) l
Cách 2: 'Ta, viết được, A3 = A?A = 6A.A = 6A? = 6(6A) = 62A
Ta sẽ chứ
Thật vậy, ng minh A‘ =6* 14, với k = 1,2,3 thì đẳng thức trên đã đúng Giả sử đẳng thức đó đúng -
đến giá tti k = n nào đó, tức là 4* = 6"~1A Ta cần chứng minh nó đúng với
k=n + 1|
Với k = + 1, ta viết được
Vậy với m Áp dụng
đ— Atti =A*"A= (6°~14).A — 611A? — 6"—1(6A) —= 6"A
101 k € N* thi ta luén c6 At = 68-14
với k = 105, có được 4195 = 61944 = 619 (; 3)
Trang 151.1 Ma trận`và các phép toán cơ bản 5 —6 5 —6 ;_ (5 —6\ (5 -6\_ (-5 6\_ ^=Í 6) \s -6) = \-5 6) = 74
Tới đây, ta chọn 1 trong 2 cách viết sau:
Cách 11a có,
s Vidu 1.6 Cho A= ( ) 15 Tinh An5, A1000, Lời giải: Ta có
A95 = 42 A193 — (_ 4) A193 = _ A104 — _ 42 A102 ~ ~(—A)A" —/ 12 A103 _— / 1104A4_ A4 (O Tổ
=( DA = =(-l) A=A= 8):
Cách 2: Ta viết được, A3 = A?A = —A.A = —A? = —(—A) = (-1)°A
Ta sẽ chứng minh A* = (—1)*-1A
Thật vậy, với k = 1,2,3 thì đẳng thức trên đã đúng Giả sử đẳng thức đó đúng
đến giá trị k = n nào đó, tức là A* = (—1)°~!A Ta cần chứng minh nó đúng với k=n+ I1
Với k= n + 1, ta viết được
Anti — A"A — ((-1)*-1A).A = : (- 1)" LẠ? — : (- 1)*— = A) = (—1)*A :
Vậy với mọi k € Đ” thì ta ln có Ằ = (—-1)* 1A
Ấp dụng với k = 105, có được 4195 = (—1)114 = A = § -8)
Tương tự, Anon =(-1)°A=_-A= @ 5) / — ¬ "
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.1 Cho A= (4, 3) ,B= § 3) Tính 420, B85 và A5 BT,
1.2 Cho A= G _š) ; ]= € s): Tinh A219 4 A; A4?022 32020
13 -5 |
1.3 Cho 4= |1 3 —5 | Tính A29 — 2A, 13 -5
Trang 16
16 | | Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.2 Dinh thức va cách tính định thức:
Khái niệm định thức
"Định thức của một ma trận vuông A = (a;;) là một số được xác định như sau:
e Nếu n,= 1, giả sử A = (an), thì det A = an
Te vn a a a +
e Néu n= 2, gid st A= ( 7" ah
được ký hiệu là det A hoặc |A|, nó
nxn? Q21 422 Q@i1 12 det A = = đ11622 — G1262) ˆ (1.3) đại G22 G1 G12 G13 ,
e Néu n= 3, gid st A = | aq, dạy 493 |, thi det A có 2 cách tính: a đại G32 433 ,
Cách 1: Quy t&c Sarrus
G11 G12 G13
det A = 182, 422 423
đại 432 433
= 611622643 + G12423431 + 213021032 — 13022431 — 412021433 — 211423039
(1.4)
Đ Os Q On nhớ, người ta thường vẽ sơ đồ quy tắc Sarrus như sau:
Dấu (+) | Dầu (—)
Cách 2: Khai triển theo hàng ¿ hoặc cột 7 Một cách tổng quát, chúng ta xem
ở trường hợp + > 3 dưới đây
e Nếu ø > 3, thì ta có thể khai triển định thức theo hàng ¿ hoặc cột 7 bất kỳ,
Khai triển theo hang i bat ky:
detA = đại Ân + aig Ajo + + Qin Ain (1.5)
Khai triển theo cột j bắt kỳ:
det A = a1; Ân; + a2; Ao; + wet AnjAnj | (1.6)
Trong đó 4;; là phần bù đại số của a;;, được tính bởi công thức
Ai = (—1)?Mụ | (1.7)
với Mis là định thức của ma trận có từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ ¡ và bỏ đi
Trang 17
1.2 Dinh thức và cách tính định thức - :: | 17
Các tính chất cơ bản của định thức
Trong định thức, vai trò của hàng và cột là như nhau, nên mọi tính chất đã đúng
với hàng thì cũng đúng với cột Để thuận tiện, chúng ta chỉ phát biểu các tính chất đối với hàng, bạn đọc tự suy ra phát biểu đối với cột
1) dct A = dct AT
2) Nếu đổi chỗ 2 hàng thì định thức đổi dấu
3) Nếu nhân một hàng với một sé A # 0, thì định thức tăng lên ) lần
"nh A4
4) Nếu định thức có hàng thứ ¿ có dạng tổng của hai số, tức là a¿; = aj, + af, thì
ta có thể tách định thức trên hàng thứ ¿ thành tổng 2 định thức, dạng như sau:
Ở đây ta chỉ tách trên hàng thứ ¿, còn lại các hàng khác giữ nguyên
5) Dịnh thức không đổi, nếu ta nhân một hàng với một số À bất kỳ rồi cộng vào
một hàng khác TRƯỜNG ĐẠI H D6 GIAO TH G VAN ¥ ` ị 6) Bo detA néuk=i _ | PHAN HIỆU TẠI THÀNH PHỔ HỒ CHÍ MINH
Fa aij Aiy = 0 nếu k # i THU VIEN |
7) Nếu 4, vuông cùng cap, thi - 024 3 31
det(AB) = det A det B ` 48 Từ các tính chất cơ bản trên, ta : guy Ta một số hệ quả sau đâu:
1) Định thức có 1 hàng tồn số 0 thì định thức bằng 0 _ 2) Định thức có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng 0 3) Dịnh thức có 2 hàng ty lệ thì định thức bằng 0
4) Định thức không đổi, nếu ta cộng vào một hàng, tổ hợp tuyến tính của các hàng cịn lại
5) Nếu 4\, 4a, , 4¿ là các ma trận vuông cùng cấp, thì
6) Nếu A vng, thì
Trang 18“18 | Chương 1 MA TRAN VA DINH THUC
7) Nếu A là ma trận tam giác thì định thức của nó bằng tích các phần tử trên đường chéo chính:
Qi, G12 Gin đ11 0 see 0 0 đ2a2 Gan đại Q22 `
| = ~= G11622 Gn (1.11)
0 0 đạ„ Ani dua đạn
Cách tính định thức
Để tính định thức, chúng ta phải nắm được các phương pháp và sử dụng chúng một cách linh hoạt, các phương pháp đó là:
e Dựa vào định nghĩa để khai triển định thức theo một hàng (công thức (1.5)) hoặc một cột bất kỳ (công thức (1.6)) Nên chọn hàng/cột có nhiều số 0 nhất để khải triển thì sẽ thuận lợi cho quá trình tính tốn
e Dựa vào biến đổi sơ cấp (biến đổi Gauss) để biến đổi đưa định thức về dạng
đơn giản hơn, từ đó đễ dàng tính được kết quả
|
Có 3 phép biến đổi sơ cấp, ta sử dụng nó dé tác động lên hàng hoặc cột của định
thức, biến đổi đưa định thức về dạng đơn giản hơn, đó là dạng xuất hiện nhiều số
0 hoặc đưa về dạng tam giác Quá trình biến đổi có thể vận dụng các tính chất của
định thức để nhanh tìm thấy -kết ,quả hi dùng phép biến đổi này, cần chú ý về sự ảnh hưởng cửa nó lên định thức, để.từ.đó.có cách điều chỉnh cho phù hợp Chẳng hạn với 3 phép biển đổi Gaussslen’ hang cua dinh thức, ta có:
ae H,À— H, rồi đặt đúng vào hàng đó Et Ệ ị
TT | Bién déi Gauss = Ảnh hưởng
1 Ho Ay Đổi chỗ 2 hang bất kỳ Định thức đổi dấu
Nhân 1 hàng với số À # 0 Định thức tăng lên À lần
`
3 Hy.A+ Hy —> A, Nhân 1 hàng với số À Định thức không đổi
bất kỳ, rồi cộng vào một hàng khác
Khi biến đội định thức thì chúng ta lưu ý, ta định để kết quả biến đổi vào hàng/cột
nào thì trong phép biến đổi chỉ nên cộng vào hàng/cột đó Chẳng hạn, chúng ta
xem các biến đổi dưới đây, khi tác động lên định thức, nó làm thay đổi định thức như thế nào Chú ý đến hàng lưu kết quả Nếu ta vẫn dùng các phép b biến đổi đó thì phải điều chỉnh ra sao để kết quả được bảo toàn
Trang 191.2 Định thức và cách tính định thức 19
TT | Phép biến đổi | Thay đổi | Tại sao? Cách điều chỉnh
1 | Hị—- Hs ¬ H› Có Hàng 3 tăng (—1) lần Nhân (—1) phía trước 2 | -Hị+ Ha —› Hà Không | Phép biến đổi Gauss thứ 3
J | 2Hị+3H — Hạ Cé Hang 2 tăng 3 lần Nhân ‡ phía trước
4 | 2i — 3Cạ Ca Có Cột 2 tăng (—3) lần Nhân —Š phía trước 5 | zHị + Hạ — Hạ Không Phép biến đổi Gauss thứ 3
6 | xƠi — Ca — Ca Có Cột 2 tăng (—1) lần Nhân (—1) phía trước
7 | Hị -+Hạ — Hạ Sai + là tham số Không nên dùng
Nếu z = 0 thì D =0 Sai
Nếu z #0 thì D tăng z lần | Nhân ‡ phía trước
_8 | C¡ + xa ¬ Ca Sai Giống trường hợp 7
9 | +H + H2 > He Sai Phân số + chưa xác định Thêm điều kiện z #0
10 | Cy + +Œ› —> Cạ Sai Phân số * chưa xác định Không nên dùng
và cột 2 tăng 2 lần, z # 0
Quá trình biến đổi định thức phải đảm bảo kết quả của định thức là một con số nào đó, vì thế dấu của quá trình biến đổi là dấu bằng "=",
như sau:
LAI “#* [Ay] CB [Ag] CB OB [Ag] = KQ
Dưới đây, chúng ta xét một số dang bai tap của phần này
1.2.1 Tính định thức theo định nghĩa hoặc biến đổi sơ cấp
q trình đó có dạng
Trong các ví dụ sau, để thuận tiện trong cách trình bày, chúng ta dùng ký hiệu các
phép toán và chữ viết tắt để chú thích trên các dấu ” = ” trong quá trình biến đổi
Bảng quy ước các phép biến đổi và viết tắt như sau:
TT | Ký hiệu Ý nghĩa 1 H, Hang thi i 2 [Gi Cột thứ i
- Ở H; © H;, hoic Cj 4 C; | Đối chỗ 2 hàng hoặc 2 cột
4_ | AH; — H,( À # 0) Lấy hàng ¿ nhãn với À, rồi để vào hàng ¿
5_ | H;ÀA+ Hạ, > He Lây hàng ¿ nhân với À, rồi cộng vào hàng È
6 | kt.H; hoặc kt.C; Khai triển định thức theo hàng ¿ hoặc cột i
7 nức Hị hoặc nc.C; Rút nhân tử chung ở hàng ¿ hoặc cột :
8 | Sarrus Khai triển định thức theo quy tắc Sarrus
Trang 20
20 | Chương 1 MA TRAN VA DINH THUC
.Lời: giải: a) Dùng quy tắc Sarrus khai triển định thức cấp 3, ta có:
—2 1 : " —1 4l =(—9— 40+ 42) — (—5 — 36 + 84) = —50 3 | D= | om Ww 7
b) Cách 1; Nhận thấy định thức cấp 4 này có cột 1 chứa hai số 0, thuận lợi cho việc khai triển theo cột, khi đó sẽ dẫn đến cần tính tiếp hai định thức cấp 3
ở 1 4 Ị1 2 —2 | 112 p=l? 3 1 4 kt C1 1.(-1) {1 2 —1 +2.(-0'H1 2 1 Ú 1 2 =1 : 11 2] 112 0 1 1 2 Sarris =" (19 -144-8-243) -2(4-2-244-441) =8-2=6
Cach 2: Ta c6 thé tranh việc khai triển 2-định thức cấp 3 như trên bằng cách | biến đổi cho cột 1 xuất hiện ba số 0, rồi khai triển dé ha cấp định thức như sau:
112 -2 112 ~-2 D= 2 3 1 4 Hy (-2)+H2>He 01-3 8 | 012 -1 012 -1 01.1.2], |0 1,1 2 1 1 -3 8 | " "21 4(-4)411] 2 —1l=4+3+8—16+6+1<=6 1 1 2
c) Dùng các biến đổi Gauss, đưa định thức về dạng tam giác, ta có:: CỊỦ 2 1 1 mecz+m—m[1 2 1 1
pul? 3 4 2 mason |0O =1 2 0
31-2 4) - 0 —5 —5 1 J2 5 1 2 0 1 -1 0 | 12 1 1 1 2 1 1 Ty Ha |0 -1 2 Olaec |0 -1 0 2] _ 11 Sóc 0 0 =5 1 l0 0 1-ø|P CUEI * 0 0 1 0 0 0 0 1
Trong 1 bước biến đổi, ta ghi nhiều phép biến đổi Gauss, đó chỉ là cách viết vắn tắt, thay cho việc viết nhiều lần, mỗi lần chỉ có 1 phép biến đổi Chúng ta quy ước hoạt động của các phép biến đổi đó là từ trên xuống dưới Vậy ta - cần lưu ý tính logic của các biến đổi
Đối với định thức chứa tham số, ta nên tìm cách biến đổi, đưa về dạng đơn giản
Trang 21
1.2 Định 'thức và cách tính định thúc - - 21
lượng các phần tử giống nhau nhiều nhất, sau đó nhân hàng/cột này với (—1), rồi
cộng vào hàng /cột còn lại, làm thế ta sẽ nhận được một loạt số 0 Hoặc nhân một
hàng /cột với (—1) rồi cộng vào hang/cot khác để có nhân tử chung, sau đó rút nhân
tử chung ra ngoài định thức Cách này rất hữu hiệu khi gặp định thức mà bên trong
chỉ có 2 loại phần tử, cho dù chúng xếp theo thứ tự nào đi chăng nữa
x xn «i il
eVidu 1.8 Tính định thức sau D=|! # Ì # : z l1 Ì #
+ + Ì +
Lời giải: Cách 1: Ta nhận thấy định thức cấp 4 này có 2 cặp hàng có số lượng phần tử giống nhau nhiều nhất, có tới 3 chỗ giống nhau, đó là các cặp hàng (Hạ, Hạ) và (Hs, Hạ) Do đó, ta có thể chọn Hạ; nhân với (—1) rồi cộng vào các
hàng cịn lại
Ha(—1)+ Hị ¬ Hị | 0 0 z—l 1-2
D HC tú | 0, 0 0
~ 0 l—z 0 0
x 7 1 +
Dén đây, ta thấy H; và H; có tới-ba số 0; nên việc khai triển theo hàng để hạ
bậc định thức là rất thuận lợi Mặt khác, ta còn thấy các hàng 1, Hạ, H;, mỗi
hàng đều có nhân tử chung là (1 — z), vậy có thể đặt nhân tử chung ra ngoài
định thức Ta viết: —] 0:0 1 0-1 1 mắc Ay 2,3 _ 3 1 0 0 0 kt.H2 —— 3 /_ 192+1 1 0 0 + 5 Ì + Mel ay (|) J=(1=#}#⁄(<e=1)= (+1) < ĐẺ:
' Cách 2: 2: Ta thay trong định thức chỉ có 2 loại phần tử xuất hiện là số 1 và z Vay néu ta lấy 1 hàng/cột nhan véi (—1) rồi cộng vào các hàng/cột.còn lại thi ta
sẽ nhận được nhân tử chung trên các hàng/cột đó, tiếp theo rút nhân tử chung ở
Trang 221H 0 -!1 —H *E? (1— ø)®(z+1)(-1)29|0 1 —1 cetdiosG (1 _ z)3 =1 Oros aoort+ —] 00 — —1 BRN
a Vi du 1.9 Cho ma tran A = Tìm z dé det A F 0
e2 B8 t908 2 x 2 x 3 2Ð NY 2 2° | a 4 ˆ 2 z : x 2 ` A ` ^
Lời giải: Nhận xét thây trong ma trận A chỉ có 2 loại phần tử là số 2 và z, nên
ta thực hiện tính tốn dct A như sạu:
| - Hạ 2 2 2 xv det:A = A= -H¿|#—2 #—2 z—A2 2—#z Q3 2Ð we 2 + + 2 2 0 x-2 27-2 2-2 c 2 + 2 2 = c-2 0 0 09 {729 x 2
' (đo có cột 2 và cột 3 giống nhau)
Vậy không tồn tại z nào để thỏa mãn det 4 z 0 - a
ø Ví dụ 1.10 Cho ma tran A= 7
#5 —Ì gf
5
a) Tim x dé det A 4 0._
b) Tim x dé det A = 0
Lời giải: Trước hết ta tính det 4 Ta nhận thấy trên mỗi hàng đều có số —1, 5
và hai chữ z, chỉ khác nhau về vị trí đứng Vậy nếu ta cộng tất cả các cột vào
một cột hào đó thì ta sẽ nhận được cột mới có nhân tử chung là (4 + 2z) Rút nhân tử chung ra, ta sẽ nhận được một cột toàn số 1, đây là dấu hiệu để chỉ cần
Trang 231.2: Định thức và cách tính định thức 23: BCU A Ho Ha Loc 5 2 MCV SHES He og 1 ony 0 -l-2x x-5 5-2 0 5— -6 0 0 0 z-9 -l-z keo -l-awx x-5 5-2 21 (44 2r).1(-1)41.]) 5-2 —6 0 0 x-5 -l—z Serrus (4 4 on)[-6(1 +2)? — (5 —2)*~ (5—2)*(14+2)] = (4+ 2z)|—6(1 + z)? — (5 — z)?(ð —z+1+z)] = —6(4+ 2z)|(1+ z)? + (5 — z)?] = —6(4 + 2z)(2z? — 8z + 26) = —12(4+ 2z)|œ — 2)? + 9] Ta thấy (z — 2)? + 9 > 0,Vz, nên: | a) Dé det A # 0 thi —12(4 + 22) [(x — 2)?+9]#0œ©zz# -2 b) Dé det A = 0 thi —12(4 + 22)[(x — 2)? +9 =0G2r=-2 ”
Khi gặp dạng bài "Giải phương trình, có chúa định thúc ở vé trai", thì trước hết
chúng ta tính định thức ở về trái, đưa về dạng nhân tử, sau đó giải phương trình
cho bằng 0 để tìm ra kết quả
+ z2 ~2
; cay x il —2 2 _
« Vi dụ 1H Giải phương trình 2-2 2 2 = 0
fe 1 # -2| —
Lời giải: Trước hết, ta tính định thức ở về trái của phương trình và đưa về dạng
_biểu thức của tích Chúng ta biến đổi để tạo ra các số 0 và nhân tử chung trên
hàng /cột Chẳng hạn, ,, chúng ta biến đổi ¡ định thức như sau: ¬
Hì(—1) + Hạ > Ha + x —2 —2 Hì(—1) + Hạ ¬ H Hi(~1) + Hg > Hy 0 l—+ 0 +2 vr —2—+# —-2—z +z+2 z>+2 0 il—z x+2 0 % + —2 —2 , nức Hà (2+z) 0 1—#z 0 z+2 =1 1l Ì 1 0 l—z £42 0
Đến đây ta nhận thấy Hạ gồm các số —1, —1, 1, 1 là tỷ lệ với nhau, nên chỉ cần
Trang 2424 | Chương 1 MA TRẬN VA DINH THUC
thêm một lần biến đổi, ta sẽ tạo ra được ba số 0 trên hàng này Ta làm như sau:
Cr(+1) + Ca > Ca % 0 z—2 z—232 1 +Ca 3 Cy , i 4 — Cá — 2 VT Nt (242) 0 1—z 0 z+ -1 0 0 0 0 1—-z z+2 0 0 z—2 “2-2 > We ®(2+z)(— 1(1)?!.|1-z 0 z+2 l-z z+2 0 Ị 0 1 1 “eM _(242)\(x—2).Jl-c 0 z+2 l-x r+2 0 : | 0 1 1 1S! (2+z)(z—2)(1—z)|L 0 «+2 l1 z+2 0 SH TM (2, +)@ _ n\(1 —z)[r+2+2+2|= 2(2 +x)? (2—2)(1— z)
Vậy phương trình đã cho tương đương với:
2(2+z)?2—z)(1I-z)=0 © z€{4+2; 1} " 1.2.2 Định thức của ma trận tích
Cơng thức (1.8) rất hữu hiệu khi cần tính định thức liên quan đến biểu thức chứa
lũy thừa của ma trận vuông Tránh không nên nhân các lũy thừa để tìm ma trận rồi mới tính định thức, vì sẽ vấp phải số lớn khó thực hiện Cách giải quyết là ta sẽ đưa biểu thức lũy thừa về dạng tích bằng cách đặt nhân tử chung Lưu ý là phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn, nên khi đặt nhân tử chung phải đặt theo
từng phía Sau đó áp dụng cơng thức q 8), tức là công thức định thức của tích det(AĐB) = detA detB Nếu có lũy thừa bậc cao thì ta áp dụng nhiều lần công
thức này và nhận được công thức
dct(A?B”) = det(A”) det(B™) = (det A)”.(det B)™ (1.12)
| _ |
2 1 -3
a Vidu 1.12 Cho ma trận A= {-1 5 2 | Tinh det(A*— 2A’)
| 0 1 4
Lời giải: Ta đưa biểu thức về dạng tích, bằng cách đặt nhân tử chung:
|
Trang 25
1.2 Dinh thức và cách tính định thức - ø ' | 05
Khi đó, ta viết được,
© det(A* — 249) = det[4(A — 21)] = (det-A) det(A - 2D)
Từ đó thấy rằng, ta cần tính det A và det(A — 2l)
Ta có, : 7 2 1 -ä dettA=|-1 5 2 =40+3+4—4= 4ä 0 `1 4 Ta Tiếp theo ta tính A — 2ï, 2 1 -3\ 100\ /0 1 —3 A-2I=|-1 5 2-|-2|01 0|=|-1 3 2 0 1 4 001 01 2/ Do dé, | | 0.1 —3 det(A—2/)=|-1 3 2|=3+2=5 0 1 2
Vậy det(A2 — 243) = (det A)3 det(A — 21) = 433.5 = 397535 — on
2 1-3 1-2 3°
Ví dụ 1.13 ChomatranA=[-1 5 2 |vàB=|2 1 —-2]
0 1 4 4 0 1
| Tính det(A°B°+2A2P3) —
Lời giải: Ta sẽ đưa biểu thức ma trận về dạng tích, lưu ý về việc đặt nhân tử
chung ở phía nào cho phù hợp, sau đó áp dụng cơng thức định thức của tích, ta
có
det(A3B^ + 2A*B8) = det|A3(B + 2A)B3| = (det A)3 det(B + 2A)(det B)
Ta cần tính det 4, det ở và det( + 2A) Ta cói
Trang 266 Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 2 | 1-2 3 2 1 -3 (5 0 -8 IB+2A=[2 1 -2})+2{-1 5 2}]=[{0 ll 2 4 0 1 0 1 4/ \4 2 9 | 5 0 —3 | det(B + 2A) = 0 11 -2 | = 495 + 132 — 20 = 607 | 4 2 9}-
Vậy det(Aƒ.B* + 2A‘ B?) = 43°.607.9° = 35 182 086 021
| 3-2 5
a Vi du Ms Cho matran A= {x 1 4] Tim z dé ma tran A? +4 2A‘ c6
\0 —1 2
det(43 + 2/44) #0 :
Lời giải: Ta CĨ:
det(43 + 244) £0 © det[A3(I + 2A)] = (det A)? det(I + 2A) # 0
Ta tinh det A va det(I + 2A) Ta có,
ả —2 5 dettA=|z 1 4|=6—5+z+4z+ 12= 18—z 2 2 oS | Còn ï + 2A là ma trận, 100 3-2 5 7 ‘4° 10 —+42A=lo1o0)+2{(c¢ 1 4)=fec 3 8) có \0 0 1/.- \0 -L2/ \o -2 5 Từ đó, tính được 7 —4 10 det(I+2A)=|22 3 8| = 105 — 40z + 40+ 112 = 217 - 0 —2 5
Vay (det 4)? det(ƒ + 2A) = 217(18 —z)#.#0=>z 18 | —2 3 " = Vi du 1.15 Cho A= (2 | bo 214) 2 i) B= (: °°" 4 7 )
a) Tink det(AB)
|
|
Trang 271.2 Định thức và cách tính định thức :- , 27
b) Tinh det(BA)
Lời giải: Các ma tran A, B 6 day khống vuông, nên chúng khơng tồn tại định § thức Vì thế, ta khơng thể áp dụng được công thức định thức của ma trận tích
6 đây ta cần thực hiện phép nhân để tính tích hai ma trận, sau đó mới thực hiện § tính định thức
Ra) Ta có
-2 3 |
3/2 1\ đa (2 26
AB= (Ÿ 1 i): ; ° = (2 on)
- =m _|2 26] _ ‘mo ` Vậy det(AB) = i 97) = 54 — 572 = —518 b) Tương tự, ta tính được -2 3 -12 —1 10 BA=|2 5 (3 ; 1)“ -4: 9 22 4 7 —2 lỗ 32 —12 -1 10 Vậy det(BA)=|—-4 9 22}) = —3456 + 44 — 600+ 180—128+3960=0 » —2 15 32 SỐ
(wx) Qua bai tập này, ta chú ý rằng phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn,
AB # BA Ngoài ra người ta còn chứng minh được, nếu AB, BA cùng tồn
tại thì ma trận nào có kích thước lớn hơn, ma trận đó sẽ ln có định thức
- bằng ¬ ¬ " BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.4 Tính các định thức sau đây: 3-41 3 Mộ 1 a)|2 5 3 1 0; 4 b) —2 1 3 4 |3 -—1 2 11 1.5 Tính các định thức sau đây: + 3 + 3 2 -1 3 #zé zx 3 3 —1 3 2 a) 3 x2 + 3)’ b) 2 3 az —ll' 3 3 3.2 —1l 2 2x 3
Trang 2828 | Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC | 2 -5 + % x22 2 4.4 2 2 z2 lỗ + 2 z 2 2 z zø 4 4 a) zr oz ,-5 2 = 0; b) 2 2 x2 =0, ©) lạ 4 + # =0 =5 #ø + 2 2 2 2 z + 4-+ 4 1.7 Tìm z để ma trận sau đây có định thức khác 0: l1 z 23 + l1 ø z #z 2 ly 1 # 2 1 zø +
3) A=ly 1a „PP YB=|3 97 aI: z z1 2 4444 | 2 6 -1 ~38 5 1 1.8 Cho matrận lÁ= | 5 0 3 |vàB= | 4 6 -3] | i 24 7 02 7) a) Tính det(A* + 243) b) Tinh det(AB)
c) Tinh det(A°B4 — 2A4B3)
' 1 5 —2 1.9 Cho ma trận A= | 6 0 z a -3 4 1 Tìm z để ma trận 4 — 343 định thức khác 0 | 4 5 5 3 1 1.10 Cho ma trận A= ¡ |-—1 7 _9 3 |vàB= ( 4 -6 5 )
Hay tinh det(AB), det(BA), det(AB + 21)
1.3 Ma trận nghịch đảo và ứng dụng giải phương trình ma trận
_ Khái miện: Cho ma trận vuông Á = (đ;;)„„„, nghịch đảo của ma trận 4, nếu có,
là ma trận Ö vuông cùng cấp, thỏa mãn biểu thức:
| AB=BA=Il ` (1.13)
Nếu ma tran A có nghịch đảo thì ta nói A là ma trận khả nghịch, và ký hiệu ma tran A~! Như vậy, khi A có nghịch đảo thì ta viết được 44T! = AT1A = I
Tính chất:
- Ma trận nghịch đảo của ma trận 4, nếu có, là duy nhất
- Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi det A ¥ 0
- Nếu ma trận A có nghịch đảo thì det A~ t= = Geta ~ (det Ay” tA) 1
Cach tem ma tran nghich ddo: e Bước 1: Tính det A
— Nếu det A # 0 thì A tồn tại nghịch đảo, làm tiếp bước 2
Trang 29
1.3 Ma trận nghịch đảo và ứng dụng giải phương trình ma trận | 29
e Bước 2: Tìm tất cả các phần bù đại số A¿; theo công thức
Ai = (— 1)?t? Mụ,
với M,; là định thức của ma trận có được từ ma trận 4 bằng cách bỏ đi hàng
thứ ¿ và cột thứ 7
e Bước 3: Lập ma trận phụ hợp 4* bằng cách xếp các phần bù đại số 4¿; theo công thức
"
Ate Ay Azo " Ana
Ain Aon te Arin
(Ở đâu cần lưu ý, phdn bi Aj; ctia céc hang trong A thi sếp thành cột trong A*.) e Bước 4: Viết ma trận nghịch đảo theo công thức:
Ay 4a Ani
1 1 Aya Arg + Ano
“ATi —= KT -
det a4 det A : to fe Ain Aon toe Ann
Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng ta có thể bổ bước 3 và viết luôn _ , kết quả bước 4 như trong các ví dụ dưới day
1.3.1 Tim ma trận nghịch đảo
= Vidu 1,16 Tim các ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau đây:
3 5 1 3 -5 2 —1 4
A= ũ nD: B=|4 0 2|;C=l|3-1'5
- —Ä3 2 #1 1.-3 3
Trang 3030 : 7 _ + Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THUC b) Ta cé, ` Ì 1 3 -ãỗ , dettB=|4 0 2})=-18-40-12-4=-7440=> 5B" -3 2 1 | Tính các phần bù đại số, | J0 2 4 2 Bu =(-)™ 2 | = —4; By = (—1)'*? 3 i = —10; 314 0 3 —ỗ Ba = =3 ) — 8; Ba = (—1)*' 2 1 | = —13; 1-5 1 3) — 2+2 — — 2+3 — Boo =\(~-1)"* ‘13 1 | —14; Bo (-1) + ‘|=3 | mỹi : 3 —5 gu fl — Bz, =(-1)""" 0 2 | = 6; Bo => (—1)3*? 4 N — —22; 1 3 —/_ 11313 —— ` B33 ={ 1) 4 | 12 1 -4 —13 6 ¡ (4 l3 —6 Vay Bo = a3 —10 -14 -22] = 7A 10 14 22 ĐÓ 8 -—11 -12 —8 11 12 c) Tinh dinh thức 2 —1 4 C=|l3 1 5|=6—-5—36-4+9+30=0 1 —3 3 ở
Do det C = 0, nén Œ không tồn tại ma trận nghịch đảo ^ v |
1.3.2 Giải phương trình ma trận
Một ứng dụng của ma trận nghịch đảo là giải phương trình ma trận dạng: AX=B hoic XA=B hoặc AXB=C
Đặc điểm: Các phương trình ma trận ở đây có đặc điểm:
- Những mạ trận đứng cạnh X là ma trận vuông, tồn tại nghịch đảo
- Ma trận về phải là ma trận bất kỳ, có thể khơng vuông
Cách giảt: -
- B1: Tìm ma tran nghịch đảo của các ma trận đứng cạnh X Nếu khơng có nghịch
đảo (định thức bằng 0) thì khơng làm được theo phương pháp này, cần tìm
cách làm khác
B2: Khi chắc chắn có nghịch đảo, ta nhân ma trận nghịch đảo vào 2 về của phương trình đã cho về cùng một phía, sao cho khử được ma trận đứng cạnh X về
|
Trang 31
1.3 Ma trận nghịch đảo và ứng dụng giải phương trình ma trận 31
đơn vị Vì phép nhân ma trận không có tính giao hốn; khơng tùy tiện thay
đổi vị trí nhân của các ma trận, nên phải chú ý là nhân cùng bên trái hoặc cùng bên phải trong phương trình Sử dụng tính chất AFÌÀ = AA~Ì = 7 và IX = XI = X, véil la ma tran đơn vị Tương ứng với 3 dạng phương trình
trên, ta có 3 phép biến đổi sau đây:
Dạng 1: AX =B©œ A !AX =A"ÌBœ X=A"'B,
Dạng 2: XA= B© XAA l= BA Ìœ X= BA";
- Dạng 3: AXB =C œ A ÌAXBB"Ì= A"!CŒB"Ì@ X= A~'CB™
B3: Cuối cùng chỉ cần thực hiện phép nhân ma trận theo cơng thức tìm được ở bước 2 để tìm X ⁄
` a /-2 3 1 6 —5
ws Vidu 1.17 Gidi phuong trinh matran | 4 2 5 | X= {7 1
0 3 -—I =3 4 —2'3 1 6 —-5
Lời giải Dặt A= | 4 2 5|;B=|7 1
0 3 -l =3 4
Xét xem A có tồn tại nghịch đảo khơng, nếu có thì tìm ma trận nghịch đảo A"1 Tà có,
_-2 3 1 :
detA=|4 2 5|=4+12-(-12) - (—30) = 58
0 3 -I1| :
Ta thay, det A # 0, nên tồn tại A~1
Trang 32
32 | : _ “Chương 1*MA TRAN VÀ ĐỊNH THỨC
: 1 (TH 6 18 ¬ m
Vay At =| | 4-2 14 | có Sa
a 12 6 -16
Từ phương trình đã cho, có dạng AX = B, ta biến đổi được:
| AX =B@ A7AX = AB SEX =A™B
Từ đó, ta tính được: '- : ¬ ¡ (C 6 13\ (6 -5\ ¡(C99 143 X= ATIB=— 4 2 14 7 1 -5 -4_ 38 | a oy 28 N12 -6 -16/ \-3 4] 162 —118 oy | 71-5 1 0 2 a Vi dy 1.18 Giải phương trình ma trận X |3 6 2 |= |3 1 -2] ¬¬ : | 3 1 -L/ .\(§ —3': 4/- | 71-5 10 2 Lời giải Đặt A= (3 6-2]; B=[3 1 -2 SỐ so 3 1.-1 8 +3 4 Tacó ' ` ee os detA=|3 6 2|=~42+6 -15~-(—90) — (-3) —14=28 3-1 —1) | |
Ta thay, det A # 0, nên tồn tại A7!
Trang 331.3 Ma trận nghịch đảo và ứng dụng giải phương trình ma trận 33
¡ (8 =4 32 vay A =5{ 9 8 =2
-15 =4 39
Phuong trình đã cho có dạng XA = Ö, ta biến đổi được:
_ XA=B@œ@XAA !\=BA !œX=BAr!
Từ đó, ta tính được: 1 1 0 2 —8 -4 32 1: —38 —12 110 X= 5 3 1 -2 9 8 —29 = 38 15 4 11] " 8 -3 4 -lŠ =4 39 —151 —72 499 m Ví dụ 1.19 Giải phương trình ma trận (; ° ) x (; 3) = 7 =ä 3: 5 t2) oe na (2 6\ p_ (4 -1\ 2 (8 -3
Lời giải: Dat A= (7 fi 8=( ;):€=Ê n
Ta có, cóc |2 6 1 det A= [F of 40 = 347 Tính các phần bù đại số, Án =(T—1)(C3) =3 Ann = (-Đ#!2()= —T; ¡ =(C1°!(6)=—6 Am = (-1)*?.(2) = 2 1 /-3 -6\ 1/3 6 - -1_ + _ 4 Vậy 4 = a8 (= ) 48 (; 5} ; : = 2340 => 31B", và tính được, 1/5 1 c | -1 _ s B “n5 2ˆ | | ¬ |
Phuong’ trinh đã cho có ó dạng AXB=C, ta biến đổi ¬ | |
Tương tự, ta c6 det B =
AXB = C @ ATAXBB™ = ACB
Trang 34| 34 | ¬ Chương 1 MA TRẬN VÀ DỊNH THỨC BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.11 Tìm nghịch đảo của các ma trận sau đây, nếu có:
9 -3 2 |
5 (` 2) — b)ì|1 5 0
| 6 7 —2
1.12 Giải các phương trình ma trận sau:
oF 5)x( 7-6 3- 4 I1 2 b)X[—3 0 2 - 4 5): 3 5-1 7-2 2 c){-2 4 5 |]xX=[4 5 -2 =5 4| —1 6 0 -2, | ‹ 1.4- Hạng của ma trận —
Khái niệm: Hang của ma trận A = (đ;7)mx„ là số nguyên dương r7, sao cho:
- Trong A-tồn tại định thức con 2; (cấp r) nào đó có giá trị khác 0
- TẤt cả các định thức con cấp lớn hơn r, nếu có, của A thì đều có giá trị bằng 0 Hạng của nha tran A được ký hiệu là r(A)
Nhận xét: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta Có:
edetAl40 © r(A)=n edetAl=0 © r(A)<n Cách tàm| hạng:
C1: (Dựaiuào định nghĩa) Với những ma trận cỡ nhỏ thì ta dùng trực tiếp định
nghĩa bằng cách tìm định thức cỡ cao nhất của A có giá trị khác 0, từ đó suy
ra r(À)
C2: (Dựa uào biến đổi sơ cấp) Với những ma trận cỡ j lớn, hoặc có chứa tham số, thì tẢ nên dùng các biến đổi sơ cấp (hay còn gọi là biến đổi Gauss) đưa ma trận về dạng bậc thang, rồi từ đó tìm hạng r(4) Chi tiết xem ở mục Phương phép| Gauss tim hang 6 phan dưới day
1.4.1 Tân hạng theo định nghĩa
| 2 5 -3 1 -1 3
a Ví dụ 120 ChomatranA={6 4 1];.B=[5 2 7
| -1 2 0 03 1
Tim hạng của các ma trận sau: có
a) A; | -b)A-2B; - c) A*B3 — 2A3B*
|
|
Trang 35
1.4 Hạng của ma trận - — 35
ch
Lời giải: Do các ma trận này cỡ nhỏ, nên ta dựa vào định nghĩa về hạng, tìm
định thức cỡ cao nhất có giá trị khác 0, từ đó suy ra hạng của ma trận a) Ta có,
2 5 detA=|6 4 = —ð — 36 — 12— 4 = —-57 #0 = r(A) =3 2 — #9 5 =3 1L —1 3 0 7 ~9 " A-2B=|6.4 -2|5 7)={-4 0 -13] | | -1 2 0 1 0 2 3 1 —1 -4 -2 Vay 0 7 -9 | det(A—2B)=|-4 0 —13/=91—144—56 = —109 40 7r(A— 2B) =3 |-L -4 -2
e) Với ma trận A“B3 — 2A3, ta có
det(A2B3 ~ 2A3B*) = det|[A3(A — 2B)B3| = (det A)3 det(A — 2B) (det B)3
Ta thay can tinh thêm det Ư, ta có:
| 1-13 ¬¬ detB=|5 2 7|=2+45+5—21=31 0 3 1 Vậy nó so det(A4B3 ~ 243B) = (—57)8(—109)(31)3 #0 = r(A4B3—2A3B®) =3 | 3 =1 5
ø Ví dụ 1.21 Tìm hạng của ma trận sau đây: A=|2 2 4
-1 3 -1
Lời giải: Đây là ma trận vuông cấp 3, nên ta có thể xét định thức của nó, ta có:
3 -—1 5| —
detA=|2 2 4| =-6+4+30+10—2—36=0
=1 3 -l
Trang 36
36 - Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
là r(A) < 3
Xét thấy trong A có chứa định thức cấp 2 có giá trị khác 0 là: 3 -1
ø.= | Z]-2x0
Vậy r(A) =2 | | | | | “
1.4.2 Tầm hạng theo phương pháp Gauss >>
- Để áp dụng| tốt phương pháp nay thì trước hết ta cần nhận biết rõ thế nào là ma trận bậc thang? -
|
| Q11 2 Qir Qin
| Ú 6z đạn đạn r hang khác 0
A = 0 ; 0 vee Opp ee Arn
| 0 0 Q 0
| 0 0 0 0
Ma tran bac thang
Ma trận bậc thang theo hướng từ trên bên trái xuống dưới bên phải là ma trận có đặc điểm sau day:
e Nếu có các hàng bằng 0 thì các hàng đó nằm phía dưới ma trận
e Với 2 hàng khác 0 bất kỳ đều thỏa mãn: phần tử khác 0 đầu tiên của hàng _ dưới, luôn nằm về cột bên phải so với phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên
Hạng của ma trận bậc thang
Dựa vào định nghĩa về hạng và quan sát ma trận dạng bậc thang, ta thay hang cua ma tran bac thang chính bằng số hàng khác 0 hay số bậc của ma trận đó
Chẳng hạn những ma trận A,B dưới đây là ma trận bậc thang, có r(4) = 3 và
r(B) = 3 Còn ma trận Œ, D không phải là ma trận bậc thang
¬ ww + U05 no N Bà M === So bo _
Hinh 1.1: Ma tran bac thang
Trang 37
1.4 Hạng của ma trận - 37 oo Ofw ooo
Hinh 1.2: Khong phai ma tran bac thang
Phương phap Gauss tim hang
Do các phép biến đổi Gauss khong lam thay đổi hạng của các ma trận trong quá
trình biến đổi về dạng bậc thang, do đó hạng của ma trận bậc thang cũng bằng hang cia ma tran A ban dau
Phương pháp Gauss tim hang gồm 2 bude nhv sau:
B1: Dùng 3 phép biến đổi sơ cấp (phép biến đổi Gauss), tác động lên hàng hoặc cột của ma trận A, sao cho đưa được nó về na trận dang bậc thang
B2: Tìm được hạng của ma trận bậc thang, đó cũng là r(4)
Ba phép biến đổi Gauss được nhắc lại là:
Ký hiệu - | Ý nghĩa ` | Ảnh hưởng
1 H; © Hạ Đối chỗ 2 hàng bất kỳ Hạng ma trận không đổi 2 H,.À — H, Nhan 1 hàng với số À#0 | Hạng ma trận không đổi
3 H,.À + Hạ —> H, | Cộng vào 1 hàng, Hạng ma trận không đổi
giá trị của hàng khác sau
khi nhân với một số bất kỳ
Do những đặc điểm riêng của bài tốn tìm hạng mà khi kết hợp phép biến đổi thứ
2 và 3, ta nhận được phép biến đổi thứ 4 sau đây:
Ky hiệu - -.- Ý nghĩa ¬
1 H, + Ayu He isan EO) Nhan hàng ¢ vi \ và nhân hàng k với /¿ # 0 rồi đặt vào hang k
hoặc H;.A+ Hy —> H; (nếu À z# 0) | Nhân hàng ¡ với À # 0 và nhân hàng : k với ¿ rồi đặt vào hàng ¿
Quá trình biến đổi ma trận ta nhận được các ma trận khác nhau, nhưng hạng của
chúng bằng nhau, nên dấu của quá trình biến đổi là dấu suy ra "—>", nếu đặt dấu
bằng "=" là sai Q trình đó có dạng như sau:
(bậc thang)
_ Chúng ta cần phân biệt sự khác nhau khi tác động biến đổi Gauss lén ma tran va
Trang 3838 | Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Phép biển đổi | Ma trận - Định thức - |
H, © Hy Khơng đổi dấu Đổi dấu
ÀH, —› H, (A # 0) | Không tăng À lần Tăng À lần
AH, + Hy > Hy Không đổi hạng Không đổi định thức
ÀH,+ LH, _> Hỳ
(u #0) Ap dung tét Không nên áp dụng
Chú ý về,
hàng lưu kết quả Cộng/Trừ/Nhân vô hướng vào hàng lưu kết quả đều không ảnh hưởng đến
hạng
Chỉ nên cộng vào hàng lưu kết quả Nếu Trừ/Nhân vô hướng thì cần điều chỉnh hệ số của định thức
Dấu của quá trình | Dau suy ra "—>" Dầu bang "="
biến đổi
| `
a Vidu 1.22 Tìm hạng của các ma trận sau:
reer bis:
A={-2.4 1 6]; B= :
-4 11 6 23 “2 0 4 1 ở
| | 1 -7 14 12 17
Lời giải: a) Dưa ma trận A4 về dạng bậc thang, 2 —1 3 5\ memon, /2 -1 3 5 -2 4 1 6|" ?!5'®^»Í0 3 4 11 -4 11! 6 23 0 9 12 33 2 3 5 -821HÐ*H1 Í0 3 4 11 0 0 00 )=2
Ta thấy ma trận cuối là bậc thang và có hạng bằng 2 Do đó suy ra, r(A) = b) Tương' tự, biến đổi Gauss lên các hàng của ma tran B, dua về bậc thang, ta
có: | 1 —2 1 3 2 HỊ(—2) + Hạ —: Hạ 1 2 a 3 1 5 toys HH 0 —Ð 4 1 3 0 1 a 14 12 17 0 | | 1 -2 1 3 2 ¬- | H2(-4) + H3 7 H3 H3+H2 5H 0 —1 7 2 8 Hạ(—5) + Hạ ¬ Hạ — ` |0 -4 6 7 7 ~ 0 —5 13 9 15 1 =2 1 Hà(T1)+ Hạ Hà 0 —] 7 0 0 —22 \0 0 0 |
Ma trận cuối là bậc thang và có hạng bằng 3, nên suy ra, r(A) = 3 i
Trang 39
1.4 Hạng của ma trận nọ si 39
Chúng ta thường gặp khó khăn hơn khi tìm hạng của ma trận có chứa tham số Với dạng này, ta dùng các phép biến đổi Gauss, đưa ma trận về dạng bậc thang, sau đó quan sát các phần tử ở đầu các hàng trong ma trận dạng bậc thang để biện luận Cần xem xét sự bằng 0 hay khác 0 của các phần tử đó, để kết luận về hạng Ở loại này, khi biến đổi Gauss cho ma trận rất dễ bị nhầm với biến đổi Gauss cho định
thức Bạn đọc cần phải phân biệt kỹ và thực hiện cần thận, từ dấu biến đổi, phép
biến đổi cho đến kết quả biến đổi
ø Ví dụ 1.23 Tìm hạng của ma trận sau theo z, với Á =
B hộ bọ h2 h2 bộ B 4¬ ` 8 BBD
Lời giải: Thực hiện biến đổi Gauss đưa ma trận về dạng bậc thang:
2 # 2 2 H2(-1) + Ha Hạ 2 zx zx 2 A=l# 2 2 z HỆ) + Hy ` lạ 0 4-22 4-2? 0 — 12 2 2 z 0 2—-z 2—z x—2 x +£ 23 + 0 x—2 0 0 /2 2 x “2 2 2- x gy Goce, 10 0 4-2? 4-27) mow, | 0 c-2 2-H 2-2] _ — 10 g-2 2-2 2-2 —* IQ 0 4-2? 4-2? = B 00 0 z— 2 00 0 «-2
Chú ý các phần tử ở 6 đầu các bậc thang mà chứa z là z — 2, 4— 22, x — 2
Ta cần biện luận các trường hợp bằng 0 và khác 0 của chúng, vì khi đó > ching Sẽ
ảnh hưởng đến hạng của ma trận bậc thang Cụ thể như sau:
2222
-1) Nếu ø = 2 thì B trở thanh B = 000 g| 27(8)=1
hó, 0000
= r(A) = 1
2 2 -2 -2
2) Néu x = —2 thi B trd thanh B = an i ọ + r(B) =3
Trang 40
40 fo Chuong 1 MA TRAN VA DINH THUC
a Vidu 1.24 Tim hang ma tran sau theo z,với Á = |# zø 3 +] 4 z8 z 3
Lời giải: Biến đổi về dạng bậc:thang:
Cách 1: : : : + 3 z 1 Hạ(—1) + Hạ ¬ Hạ (Œ 3 _ #7 x A=({a x3 a) "23°" 10 2-3 3-2 0 ]=8 xxx 3 | 0 0 #—=ä 3-2 +
Các phần tử trên đầu các bậc thang là z và z — 3 Ta cần xét các trường hợp
bằng 0 bay khác 0 của chúng thì hạng ma trận sẽ thay đổi như thế nào 0 3 0 0
- Nếu z = 0 thì ma trận Ư trở thành Ö = ( -3 3 ) Ma trận này là
0 0 -3 3
bậc thang theo hướng từ dưới-phải lên trên-trái, với khối bằng 0 ở ’ phía trên bậc
thang Do đó r(B) = 3 > r(4) = 3 3 0 =C€c›' oO WwW | r(A) =1 " | - Nếu zø ợ {0,3}, thì r() = 3 => r(A) =3.-
Tóm lại: Ta thấy trường hợp z = 0 hay z ế {0,3} thì hạng A vẫn là 3 Do đó,
chỉ còn 2!trường hợp của z mà hạng thay đổi là:
- Nếu z =3 thì r(4) = 1 ' - Nếu z # 3 thì r(4) = 3 Cách 2: - ị x 3 2 a) cic, (x —3 3-r2 0 f A=|a2-23 a] ° 4" 0 z—3 3—+z zỊ=C | + ø + 3 c 0 0 xr—3 3 Oo - Nếu z = 3 thì ma trận trở thành : © C2 Ma trận này có r(B) = 1> 7 0 - Nếu z = 3 th = |0 | | | 0 - Nếu z # 3 thì r(Œ) = 3 Vậy kết luận:
- Nếu ø = 3 thi r(A) = 1 A)= - Nến ø ø 8 th r