Đề và giải bài tập đại số tuyến tính

BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Biểu diễn + 6i + 2i + i ; a) + 2i (1 + i)(3 + i) (1 − i)(3 − i) − 3−i 3+i b) ; c) (1-2i) (2+i)2 + 5i , dạng đại số Tính in, với n nguyên Thực phép toán để đưa biểu thức sau dạng đại số : a) (1+2i)6 ; b) (2+i)7+(2-i)7 ; c) (1+i)9 : (1-i)7 ; (1 + 2i) − (1 − i) 3 d) (3 + 2i) − (2 + i) ; e) + i + i2 + + in Đưa (x-1-i)(x-1+i)(x+1+i)(x+1-i) dạng đại số Giải phương trình x2 + 6x + 25 = Tìm x, y ∈ R cho (1+2i)x + (3-5i)y = 1-3i Giải hệ phương trình với ẩn số thực (1+i)x + (1+2i)y + (1+3i)z + (1+4i)t = 1+5i ; (3-i)x + (4-2i)y + (1+i)z + 4it = 2-i Giải hệ phương trình với ẩn số phức (3-i)x + (4+2i)y = + 6i ; (4+2i)x- (2+3i)y = + 4i Tìm số thực x thoả mãn phương trình x +i   =1 x − i   10 Tìm số thực a, b, c cho phương trình (a + 2bi)z3 - (2c - ai)z2 + (b + ci)z - = có nghiệm ±1 11 Hãy chia đa thức f(x) = x4 + ix3 - ix2 + x + cho đa thức g(x) = x2 - ix + 12 Đổi số phức sau thành dạng lượng giác : a) 1; b) -1 ; c) i ; d) -i ; e) + i ; f) -1 + i ; + itg ϕ g) -1 - i ; h) - i ; k) − itg ϕ 13 Hãy thu gọn cos α + i sin α cosβ − i sin β 1+     1− i  25 n  14 Tính : a) (1+i) ; b) ( − i ) ; c)  (− + i ) 15 e) (1 − i )20 (− − i ) + 20  −i 1 −    24  ; ; d)  15 (1 + i )20 ; f) ( + cosϕ + isinϕ )n 15 Số phức sau có phải số thực khơng ? 24  −i 1 −     z=  16 Biểu diễn qua sinx cosx : a) cos5x; b) sin6x 17 Biểu diễn sin3x dạng đa thức bậc hàm số lượng giác góc bội 18 Tính tổng : a) + z + z2 + + zn-1 với z = cosϕ + isinϕ; b) sinx + sin2x + + sinnx ; c) + cosx + cos2x + + cosnx 19 Biểu diễn tg6ϕ theo tgϕ 20 Giải phương trình : a) x - x = + 2i ; b) x + x = + i 21 Chứng minh z + z-1 = 2cosϕ zn + z-n = 2cosnϕ, ∀ n ∈ N z1 z1 22 Chứng minh : a) z-1=z-1 ; b) Arg(z-1) = -Arg(z); c) z2 = z2 ; z1 d) Arg( z ) = Arg(z1) - Arg(z2); e) z1 + z2≤ z1 + z2 23 Cho z1 = + i, z2 = - 2i Tính 2z + z1 − − i b)  2z1 − z + − i  a)3z1 - 4z2; +i 24 a) Cho số phức z = Tìm số phức x thoả mãn điều kiện :  x = z −1  Arg ( x ) = −Arg (z) b) Cho số phức z = + 4i Tìm số phức x thoả mãn điều kiện : x = z −3   π Arg ( x ) = + Arg (z)  c) Tìm x , y ∈ C thoả hệ phương trình :  x + y =1+ i   x = y −1 Arg ( x ) = − Arg ( y)  25 Tìm bậc 1+i, 1- i 26 Tìm bậc n -1, i, 1-i, 1+ i 27 Biết a + bi = ± ( m + ni ) với a, b, m, n ∈ R Tính 28 Tính : a) − 4i ; b) 4+i + 4−i ; 29 Đẳng thức sau có khơng ns − a − bi a − bi theo m, n 1− i c) + i zs = n z ? 30 Chứng minh tổng tất bậc n (n > ) số phức 31 Giải phương trình : a) x2 - ( + i )x + ( -1 + 7i ) = 0; b) x4 - 3x2 + = 32 Chứng minh : z a) z + z , z z ∈ R ;  z2  z2   =  z1  z1 b)  z  = z ; c) Arg( z ) = -Arg(z); -1 d) z = z ; e) 33 Tìm đa thức với hệ số thực có bậc dương nhỏ nhận + 4i làm nghiệm 34 Tìm số phức liên hợp với : a) Bình phương b) Lập phương 35 Chứng minh x + yi = ( s + ti )n x2 + y2 = ( s2 + t2 )n 36 Cho số nguyên dương m > số phức c có mơđun Chứng minh phương trình m  + ix    =c  − ix  có nghiệm thực BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨC Cho A = ( aij )n×n với aij số nguyên, thoả mãn điều kiện : aij lẻ i = j, chẵn i ≠ j Chứng minh det(A) ≠ Cho ma trận A = (aij)∈M(4, R) thoả mãn điều kiện : aij = i = j, aij = ±1 i ≠ j Chứng minh det(A) ≠ Định thức thay đổi ta nhân phần tử aij với ci-j ( c ≠ ) ? Giả sử a b c    A =  d e f  ∈ M(3 g h k    R) Chứng minh khơng thể có sáu số hạng det(A) = aek + bfg + cdh + (-ceg) + (-afh) + (-bdk) dương Tìm số hạng định thức 5x x x 2 x x 2x mà chứa x x Tính định thức sau định nghĩa : 1 ε 2π 2π ε2 a) với ε = cos + isin ε2 ε ; 0 0 b) 0 0 ; c) f (0) f (1) f (2) f (n ) f (1) f (2) f (3) f (n + 1) với f(x) = x(x-1)(x-2) (x-n+1) f (n ) f (n + 1) f (n + 2) f (2n ) ; d) f (a ) f ' (a ) f '' (a ) f ( n ) (a ) f ' (a ) f '' (a ) f ''' (a ) f ( n +1) (a ) với f(x) f ( n ) (a ) f ( n +1) (a ) f ( n +2 ) (a ) f ( n ) (a ) e) a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 0 a 41 a 42 0 a 51 0 a 52 Cho a b c d e f = Tính định thức sau g h i a) a b 4c d e 4f g h 4i b) a b c+a d e f +d g h i+g g h i d e f c) a b c a b 2c + a d e 2f + d d) g h 2i + g 14 615 Không khai triển, chứng minh , 210 chia hết cho Biết số 325, 273, 455 chia hết cho 13 Chứng minh định thức 5 chia hết cho 13 10 Giải phương trình 1 1 − x 1 − x = 1 1 n − x 11 Cho A = ( aij ) ∈ M(n, C) có aij = -aji Chứng minh det(A) = n lẻ 12 Định thức thay đổi ta : a) viết hàng theo thứ tự ngược lại ? b) đổi dấu phần tử định thức ? 13 Cho ma trận A = ( aij ) ∈ M(n, C) mà phần tử aij aji liên hợp với nhau, ( i, j = 1, , n ) Chứng minh det(A) số thực 14 Chứng minh : b1 + c1 c1 + a a + b1 a b1 c1 b + c c + a a + b = a b2 c2 b3 + c3 a) c3 + a a + b3 a3 b3 c3 a + b ab a + b b + c bc b + c b) c) m c+a ca n s c +a m2 n s2 ns sm mn = ( a - b )( b - c)( c - a )( ab + bc + ca ); = ( m - n )( n - s )( s - m )( mn + ns + sm ); d) 1 a b a b c c = ( a + b + c )( b - a )( c - a )( c - b ) 15 Không khai triển, tính định thức : 1) a2 (a + 1) (a + 2) (a + 3) b2 (b + 1) (b + 2) (b + 3) c2 (c + 1) (c + 2) (c + 3) d2 (d + 1) (d + 2) (d + 3) a b c b+c 2) 3) b c c a c+a a b a+b (a + b1 ) a 12 + b12 a 1b1 (a + b ) a +b 2 a 2b2 a +b a 3b3 (a + b ) 2 sin α cos 2α cos α sin β cos 2β cos β 4) sin γ cos 2γ cos γ 16 Tính định thức : −5 −4 −9 1), − 2 1 4) a1 7) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 d1 c1 b2 c2 d2 0 c2 7 5 0 5 − ; 2) 4 ; 3) a − b − c 2a 2b b − c − a ; 5) b1 3−3 −2 −5 2c 1 cos c ; 8) cos b cos a a2 c−a −b ; 6) 1 cos c cos b ( b + c) 2a 2b 2c cos a ; 9) ; b2 c2 (c + a ) a2 b2 x1 x2 0 cos α sin α y1 y2 cos β sin β z1 z2 cos γ sin γ c2 (a + b ) ; ; 1 0 x1 x2 x3 x4 x 10) x 12 22 2 2 x 2 x x ; 11) n y 0 x y 0 0 x y y 0 x (n + 1) n (n + 1) (n + 2) (2n − 1) 13) ; 14) 17 Dùng khai triển Laplace chứng minh a − b − a b = 4( a2 2 b a − b − a + b 2)( c +d ) c −d c −d 2 2 n n − 2 n − n − ; 12) n n − n − n − x a1 a a n a1 x a a n a1 a2 x a n (n + 2) 2 a a a x ; d c d c 18 Chứng minh tất định thức cấp k ma trận vuông A 0, định thức cấp lớn ( có ) A 19 Tính định thức sau cách đưa dạng tam giác n − n x1 x x n −1 x n n 3 n − n x x x n −1 x n − n n − n − − n 1) − − − x a a a a x a a a a x a 4) a a a x x1 ; 2) x x x ; 5) x xn x1 x x n −1 x 1 1 x x x x x x n −1 x x x x a0 a1 2n − n ; 3) n − 2n − ; a0 a a n − x1 −x x 0 − x x ; 6) 0 x ; 7) 20 Tính định thức sau cách sử dụng quan hệ hồi qui : a1 a a n x2 a a n − x2 x a n 0 xn 0 1 + a1 1 a 0 1 a1 0 a n −2 1) 0 0 a n −1 1 1 + a 1 1 + a 1 1 + a n −1 1 ; 2) cos ϕ 1 cos ϕ 0 1 1 0 0 1+ a n ; a b a b b a b a [2 n ] 0 0 cos ϕ ; 5) 3) 0 0 ; 4) 21 Tính định thức sau cách biểu diễn chúng thành tổng định thức : 1 1 x + a1 a a a n x1 a 0 0 a1 x + a2 a1 a2 a a n x1 a a n x2 x2 a2 0 x + a a n a1 x a n x3 x3 x3 a 0 a a x n a1 a2 a x + a n x xn 1) ; 2) ; 3) n 22 Tính định thức sau cách tách nhân tử bậc 1 1+ x x y z x z y y z x − x2 1) z y x ; 2) x n x n an n n + x n − x2 xn ; 3) + x 23 Giả sử A ∈M(n, R) cho A-1 = 3A2 Tính det(A2005 - A) 24 Chứng minh ma trận a b  A =  c d  đẳng thức sau A2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O 25 Giả sử A∈M(2, R) Chứng minh rằng, An = O với số tự nhiên n A2 = O 26 Tìm tất ma trận thực, cấp 2, mà bình phương ma trận khơng 27 Tính luỹ thừa sau b a b a + c      15 Kerf gồm ma trận thực A =  b c  cho  b a + b + c  = Θ2 Từ suy a  1      − a −1     , nên dimW = A = Do A = a 16 a) Nếu f phép biến đổi tuyến tính, f(Θ) = Θ, nên mE3 = Θ Từ suy m = Ngược lại, m = 0, f(X) = AX Với X1, X2 ∈ M(3, R) a ∈ R : f(X1 + X2) = A(X1 + X2) = AX1+ AX2 = f(X1) + f(X2), f(aX1) = A(aX1) = a(AX1) = af(X1) Vì f phép biến đổi tuyến tính b) Giả sử X ∈ Kerf Gọi Y1, Y2, Y3 cột thứ 1, 2, tương ứng X AX = Θ3 tương đương với AYj = Θ3×1 Giải hệ AYj = Θ3×1 ta có nghiệm Yj = ( 2t, -5t, t )c với t tuỳ ý thuộc R Vậy X có dạng  x y 2z    X=  − 5x − 5y − 5z   x y z    0   =x  − 0   0   0  + y 0 − 0  0  0 + z  0  0 0  2  5  Từ dễ dàng suy dimKerf = Với X ∈ M(3, R) AX = Z Gọi Y1, Y2, Y3 cột thứ 1, 2, tương ứng X Z1, Z2, Z3 cột thứ 1, 2, tương ứng Z, AX = Y tương đương với AYj = Zj Coi Zj = ( z1j, z2j, z3j)c tham số, phương pháp khử Gauss thấy hệ AYj = Zj có nghiệm ⇔ -z1j - 2z2j + z3j = Vậy Imf gồm Z = (zij)3×3 thoả hệ ẩn : -z1j - 2z2j + z3j = 0, j = 1, 2, 17 Với p(x), q(x) ∈R[x]2, với a, b ∈ R, f(ap(x) + [ap( x ) + bq ( x )]dx bq(x)) = −∫1 =a 1 −1 −1 ∫ p(x )dx + b ∫ bq( x)dx = af(p(x)) + bf(q(x)) Suy f tuyến tính ∫ p( x)dx Kerf gồm đa thức với hệ số thực p(x) = a0 + a1x + a2x cho : −1 = ⇔ 3a0 + a2 = Vậy dim Kerf = ‘’ chiều khơng gian nghiệm phương trình 3a0 + a2 = ’’ = - rank( 3, 0, ) = 18 Vì f(a + bx + cx2) = x(b + 2cx) - (a + bx + cx2) = -a + cx2, nên Imf = { m + nx2| m, n ∈R}≠ R[x]2 Suy f khơng tồn cấu f(a + bx + cx2) = -a + cx2 = θ ⇔ a = c = Vì Kerf = { bx | b ∈R}≠ {θ θ} Suy f không đơn cấu 19 f(a + bx) = ax + bx2 ⇒ Imf = { mx + nx2| m, n ∈R}≠ R[x]2 Suy f không toàn cấu f(a + bx) = ax + bx2 = θ ⇔ a = b = Vì Kerf = {θ} Suy f đơn cấu 20 Rõ ràng Imf = R, nên f toàn cấu a b    c − a   | a, b, c ∈ R} ≠{ Θ }, nên f không đơn cấu Kerf = { a + c c    21 Phương trình  c a + b + c  = đương với hệ  x y    z t  , với ẩn a, b, c tham số x, y, z, t, tương a+c=x c=y c=z a+b+c=t Bằng phương pháp khử Gauss, thấy hệ có nghiệm ⇔ y = z  x y   y t   | x, y, t ∈R } ≠ M(2, R) Suy f khơng tồn cấu Vậy Imf = { a b   c d   thoả Kerf gồm ma trận thực a+c=0 c=0 c=0 a + b + c = 0 0   d   | d∈R} ≠ {Θ Từ có a = b = c = 0, nên Kerf = { Θ2} Suy f không đơn cấu x 24 (fg)(ϕ) = ( (gf)(ϕ) = ∫ ϕ(t )dt )' = ϕ(x) = id(ϕ) ⇒ fg = id x ∫ ϕ' (t)dt = ϕ(x) - ϕ(0) fn(ϕ) = [ϕ(x)](n) = n!an , fn+1(ϕ) = [ϕ(x)](n+1) = 0, với ϕ(x) = a0 + a1x + + anxn 25 Ma trận f sở tự nhiên  0   A=  1  −1 0   Ma trận S chuyển từ sở tự nhiên sang α1, α2, α3 1 1    S = 1  1 0    Ma trận f sở α1, α2, α3 0   0      − 1  1  S- 1 −   − 0     AS = 1 1  1  1 0    = b) Theo 12, dimKerf = - rank(A) = - = Kerf = { X ∈ C3 | AX = θ3×1} = { ( 0, t, -t )c | t ∈ C } = { t( 0, 1, -1 )c| t ∈ C } Vậy ( 0, 1, -1 )c sở Kerf Thực ra, từ có dimKerf = 26 i) ϕ(1) = 0, ϕ(x) = = 0,5.2, ϕ(x2) = 2x = -2 + 2( + x) ψ(1) = 2, ψ(x) = x = -0,5.2 + (1 + x), ψ(x2) = -3x = 1,5.2 - 3(1 + x) ζ(1) = x + = + x, ζ(x) = , ζ(x2) = -(x + 1) = -(1 + x) Vậy ma trận ϕ, ψ, ζ tương ứng  0,5 −   A =  0   1 − 0,5 1,5   , C = , B =  −   0  1 0  −1 1  0 ii) ϕ(2 + x + 3x2) = + 6x = -2,5(1-x) + 3,5(1+x), ϕ(1 + 2x) = = (1-x) + (1-x), ϕ(x + 3x2) = + 6x = -2,5(1-x) + 3,5(1+x) ψ(2 + x + 3x2) = - 8x = 6(1-x) -2(1+x), ψ(1 + 2x) = + x = 0,5(1-x) + 1,5(1+x), ψ(x + 3x2) = -8x = 4(1-x) - 4(1+x) ζ(2 + x + 3x2) = - (x+1) = - x, ζ(1 + 2x) = + (x+1) = 2(1- x) + 3(1+x), ζ( x + 3x2) = - 3(x + 1) = (1-x) - 2(1 + x) Vậy ma trận ϕ, ψ, ζ tương ứng  − 2,5 − 2,5   , B = A =  , ,   27 i) f(2) = 2x, f(1 + x) = x + 0,5x2  0,5  , C   − , −   =   −  g(2) = + 2x +2x2, g(1 + x) = -1 + 2x + x2 Vậy ma trận f, g tương ứng 0    A = 2   0,5     − 1   , B = 2  2    7 24 (2 + x + 3x2)+ 12 (1 + 2x) + (x + 3x2), ii) f(1 - x) = x - 0,5x2 = 5 18 (2 + x + 3x2)+ (1 + 2x) + (x + 3x2) f(1 + x) = x + 0,5x2 = 13 2 g(1 - x) = + x = 12 (2 + x + 3x ) - (1 + 2x) - (x + 3x2), 5 2 g(1 + x) = 2x + x = - 12 (2 + x + 3x ) + (1 + 2x) + (x + 3x2), Vậy ma trận f, g tương ứng −7   24  A=   12    −5  18    ,B=  4  9  13 −     12 12   −1   6   3  −3   4  28 i) f(1-x) = f(3-2-x) = 3f(1) - f(2+x) = -1 = -0,5(1-x) - 0,5(1+x), f(1+x) = f(2+x-1) = f(2+x) - f(1) = = 0,5(1-x) + 0,5(1+x), f(x+x2) = f(-(x-x2) + 2(2+x) - 4) = -2x + = 2(1 - x) Ma trận f sở { - x, + x, x + x2 }  − 0,5 0,5     − 0,5 0,5   0   ii) f(1-x) = f(3-2-x) = 3f(1) - f(2+x) = -1 = -0,5(1+x) - 0,5(1-x), f(1+x) = f(2+x-1) = f(2+x) - f(1) = 1= 0,5(1+x) + 0,5(1-x), f(x2) = f(-2 + (2+x) - (x - x2)) = -2f(1) + f(2+x) - f(x - x2) = 1- 2x = -0,5(1+x) + 1,5(1- x) Ma trận f cặp sở { - x, + x, x2 } { + x, - x, + x + x2 }  − 0,5 0,5 − 0,5     − 0,5 0,5 1,5   0    − 1  − 1  −1 0  1         29 Ký hiệu α1 =  0  , α2 =  0  , α3 =   , α4 =  1  0  0  − 1       − − 0       =-α1, ϕ(α4) = =-α3, ϕ(α2) = =-α1 + α2 - α3, ϕ(α3) = ϕ(α1) =  0   1  = α + α + α , nên ma trận ϕ sở  −1 −1     1 −1 −1      0   1 −1   −1 0 1       0 − −       =-α1 - 4α2 ψ(α1) = =-α1+ α2, ψ(α2) = =-α1 - α4, ψ(α3) = 1 −      =α + 2α + α , nên ma trận ψ sở 2α , ψ(α ) = 4 −1 −1 −1     − 2  0 0    − − 1   30 α = (x – 2)e1+ (2 – z)(e1 + e2) + z(e1 + e2 + e3) = xe1+ 2e2 + ze3, nên toạ độ α sở e1 , e2, e3 ( x, 2, z)c f(α α) có toạ độ theo sở tự nhiên 0 1    − 1  3   x x +        =  3x − z  z   2x + 10 + 3z      Từ ta có x+4 = -1, 3x-z = y, 2x + 10 + 3z = Suy x = -5, y =-15, z =0 31 Ma trận chuyển sở { α1 , α2, α3 } sang sở { β1 , β2, β3 } S= 2    3  1    Ma trận f sở { β1 , β2, β3 } S-1AS 32 a) Ma trận chuyển sở {e1, e2, e3} sang sở {e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3 } 1 1    0 1  0    S= Ma trận f sở e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3 S-1AS = 1 −  1 − − 1     2 0 −1  3 0  7     1 1  − − −       1  =  − − − 14  0   11 19     b) Kerf khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính x – 2y –z = 3x + 2z = 7x + 4y + 8z = Giải hệ ta suy Kerf = { (-4t, -5t, 6t)c | t ∈R }, dimKerf =1 c) Imf = { AX | X∈ R3 } nên Imf ={ Y = ( y1, y2, y3)c ∈R3 | AX = Y có nghiệm } Bằng phương pháp khử Gauss, ta suy hệ AX = Y có nghiệm 2y1 – 3y2 + y3 = Vậy Imf ={ Y = ( y1, y2, y3)c ∈R3 | 2y1 – 3y2 + y3 = 0} dimImf = – rank(2, - 3, 1) = – = 1    1   33 Ma trận chuyển từ sở tự nhiên R sang {α α , α } S = Ma trận chuyển từ sở tự nhiên R sang sở { β1; β2; β3 } R3 T= 1 1    1  1 0    Ma trận f cặp sở { α1, α2}, { β1, β2, β3 } T-1AS = 0     − 1 1 −    1  0 −1    1     =  3  1   1 −1 1   − − 1     34 Ma trận S chuyển sở { α1, α2} sang { β1 , β2} 1  S=  3  1 2   2   −1  − 2 3 2  − − 4    =   =   −  1   3 a) Ma trận f sở { β1 , β2} S-1AS =  − − 4 3 5        − −        40 19   =   − 71 − 34  Ma trận f + g fg sở { β1 , β2} tương ứng  40 19     42 23    +   =    − 68 − 28   − 71 − 34     40 19     − 71 − 34   4   3  , b) Tìm ma trận fg - 2gf sở tự nhiên Ma trận chuyển sở { α1, α2} sang sở tự nhiên 1  C =    3 −1  − 2  =  2 −1  Ma trận chuyển sở { β1 , β2} sang sở tự nhiên 3 2 T =   1  −1  − 2  =   −1 3 Ma trận fg - 2gf sở tự nhiên C-1ACT-1BT - 2T-1BTC-1AC 35 Ma trận chuyển từ sở α1 , α2, α3 sang sở α2 , α3, α1  0 1   S = 1 0   0   Ma trận chuyển từ sở α3 , α1, α2 sang sở α2 , α3, α1  0   T =  0 1 1 0    Ma trận f sở α2 , α3, α1  137 274   =   − 244 − 488  1   A = S-   −1   5     1   0 1     S =  0 1  −  1 0  1 0          =  − 3   3 2  1   Ma trận g sở α2 , α3, α1 B=T -1 1     −1  T =  5    0 1 1 0        1 0  1   0 1   1 1        1 1    =   0 1    ( Ta tìm A B theo định nghiã, từ f(α α2) = -α α2 + 3α α3, f(α α3) = 2α α1 + 5α α3 = 5α α3 + 2α α1, f(α α1) = α1 + 3α α2 + 2α α3 = 3α α2 + 2α α3 + α1 α3) = α3 + α1 + α2 = α2 + α3 + α1, g(α α1) = α1 + α2 = α2 + α1.) g(α α2) = α2, g(α Ma trận f + g, fg, gf sở α2 , α3, α1 A + B, AB , BA 36 a) Nếu f ánh xạ tuyến tính f(0, 0, 0) = (0, 0, 0) = ( m, 0, 0) Từ suy m = Ngược lại, m = kiểm tra trực định nghĩa thấy f tuyến tính b) Ma trận chuyển từ sở tự nhiên sang {α α1, α2, α3 } 1    S = 1 1  1   Ma trận f sở tự nhiên A =  0     − − 1  −2    Ma trận f sở {α α1, α2, α3 } S-1AS = 1 −    1 − 1 0    ( Ta tìm ma trận theo định nghĩa, từ f(α α1) = f(1, 1, 0) = (2, 1, 1) = α1 + α2, f(α α2) = f(1, 0, 1) = (2, -3, 5) = -3α α1 + 5α α2 f(α α1) = f(0, 1, 1) = (0, 2, 0) = α1 - α2 + α3 ) Do dimKerf = - rankA = 0, nên Kerf = {θ} Suy f đơn cấu 37 a) Với A= 1 2     2  2 1   , X = ( x, y, z ) f(X) = XA Với X1, X2 ∈R3, a b ∈R f(aX1+bX2) = (aX1+bX2)A = aX1A+bX2A = af(X1) + bf(X2) Theo định nghĩa, f phép biến đổi tuyến tính b) f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, 2, 2) = e1 + 2e2 + 2e3, f(e2) = f(0, 1, 0) = (2, 1, 2) = 2e1 + e2 + 2e3, f(e3) = f(0, 0, 1) = (2, 2, 1) = 2e1 + 2e2 + e3 Ma trận f sở tự nhiên R3 A Ma trận chuyển từ sở tự nhiên sang {α α1, α2, α3 } 2 4   S = 3   6   Ma trận f sở {α α1, α2, α3 } S-1AS c) rankA = ⇒ dimImf = dimKerf = ⇒ Imf = R3 Kerf = {θ} Suy f song ánh ( hay đẳng cấu ) → R3, ( x, y, z) |  → ( x, y, z)A-1 f-1 : R3  38 a) Với A= 1 a     a  , X = ( x, y, z)  a 1   f(X) = XA Với X1, X2 ∈R3, a b ∈R f(aX1+bX2) = (aX1+bX2)A = aX1A+bX2A = af(X1) + bf(X2) Theo định nghĩa, f phép biến đổi tuyến tính b) Ma trận f sở tự nhiên R3 Ac Vì Khơng tồn f-1 ⇔ Ac không khả nghịch ⇔ |Ac| = ⇔ (a+3)(a2 - 3a + 3) = ⇔ a = -3 c) Ac ma trận f sở tự nhiên R3 * Khi a ≠ -3, rankAc = 3, nên dimKerf = - rankA = Suy Kerf = {θ θ} * Khi a = -3, Kerf = {X = ( x, y, z ) ∈R3 | XA = Θ3×1}= không gian nghiệm x - 3y + 2z = 2x + y -3z = -3x + 2y + z = Giải hệ ta có Kerf = { (x, x, x ) ∈R3 | x∈R} Suy dimKerf = (1, 1, 1) sở Kerf 39 Với p(x), q(x) ∈ R[x]n a, b ∈R : f(ap(x) + bq(x)) = x ∫ (ap(t ) + bq(t ))dt = a x + ∫0 p(t )dt b x ∫ q(t )dt = af(p(x)) + bf(q(x)) Suy f ánh xạ tuyến tính f(xk) = xk+1, k = 0, 1, , n k +1 Suy ma trận f cặp sở {1, x, , xn }, {1, x, , xn+1 }    0    1 0     A = 0        0    n +1  dimKerf = dimR[x]n - rankA = n + - ( n + 1) = 0, nên Kerf = {θ θ} Suy f đơn cấu dimImf = rankA = n + 1< dim R[x]n+1, nên Imf ≠ R[x]n+1 Suy f khơng tồn cấu 40 Với p(x), q(x) ∈ R[x]n a, b ∈R : f(ap(x) + bq(x)) = ap'(x) + bq'(x) = af(p(x)) + bf(q(x)) Suy f ánh xạ tuyến tính f(xk) = kxk-1, k = 0, 1, , n Suy ma trận f cặp sở {1, x, , xn }, {1, x, , xn-1 } A=      0   0 0       0 n    p(x) = a0 + a1x + + anx ∈ Kerf ⇔ a1 + 2a2x + + nanxn-1 = ∀x ∈R ⇔ a1 = a2 = = an = ⇔ p(x) = a0 Vậy Kerf = { p(x) = a0 | a0 ∈R } 41 Với p(x), q(x) ∈ R[x]n a, b ∈R : f(ap(x) + bq(x)) = (2x-1)(ap(x) + bq(x))' + 3(ap(x) + bq(x)) = a((2x-1)p'(x) + 3p(x)) + b((2x-1)q'(x) + 3q(x)) = af(p(x)) + bf(q(x)) Suy f ánh xạ tuyến tính n f(1) = 3, f(x) = 2x-1 + 3x = -1 + 5x, f(x2) = (2x-1)2x + 3x2 = -2x + 7x2, f(x3) = (2x-1)3x2 + 3x3 = -3x2 + 9x3 Suy ma trận f sở {1, x, x2, x3 } A= 3 −1  0 − 0  0 0     − 3   Do |A| ≠ nên A khả nghịch Suy tồn f  1     , f(X) = AX g(X) = XA 42 a) Ký hiệu A = ∀X1, X2 ∈ M(2, R) ∀a, b ∈R ta có f(aX1+bX2) = A(aX1 + bX2) = aAX1 + bAX2 = af(X1) + bf(X2) g(aX1+bX2) = (aX1 + bX2)A = aX1A + bX2A = ag(X1) + bg(X2) Vậy f g phép biến đổi tuyến tính b) Tìm ma trận f g sở { e11, e12, e21, e22 }   = 4e11 + 3e21,  f(e11) =    f(e12) =  4   = 4e12 + 3e22, 0 3 1  = e11 + e21, f(e22)  f(e21) =  1  =  1   = e12 + e22  1   = 4e11 + e12,  g(e11) =   0  g(e12) = 3    = 3e11 + e12,  0  0  = 4e21 + e22, g(e22)  g(e21) =    =  0   = 3e21 + e22   Ma trận f g sở { e11, e12, e21, e22 } tương ứng 4  0 B=   0  0  1 1   4  , C 1 0 =  0  0  0 3  1   − 1  − 1  −   1         c) Tìm ma trận f g sở  0  ,  0  ,   ,  1  − 1  − 1  −        Ma trận chuyển sở { e11, e12, e21, e22 } sang sở  0  ,  0  ,   ,  1    1 S= 1  −1 −1  0   0  −1 0  1 0    − 1  − 1  −   1         Ma trận f g sở  0  ,  0  ,   ,  1 tương ứng S-1BS S-1CS d)  − 1  1  0        -1 − 1       f (M) = A M = =  1  − 1  −        -1 − −       g (M) = MA = = → M(2, R) g-1 : M(2, R)  → M(2, R) e) f-1 : M(2, R)  -1 → A X → XA-1 X| X| 43 Giả sử A khả nghịch Ta có : A-1(AB)A = BA Theo định nghĩa AB đồng dạng với BA Ví dụ :  1 1      0     A= ,B= AB = Θ2, nên AB có giá trị riêng 0    0   , nên BA có giá trị riêng ±1 BA = Vì AB khơng đồng dạng với BA 44 Giả sử k giá trị riêng AB, ứng với véctơ riêng α Nếu k = |AB – xE| = có nghiệm x = Suy |AB| = Do |BA -0E| = |BA| = |B||A| = |A||B| = |AB| = 0, nên |BA – xE| = nhận x = làm nghiệm Vậy k = giá trị riêng BA Nếu k ≠ : (AB)α = kα ⇒ B(AB)α = B(kα) ⇒ (BA)(Bα) = k(Bα) Nếu Bα = θ, ABα = θ nên kα = θ Do α ≠ θ, suy k = Vô lý Vậy Bα ≠ θ Do Bα vectơ riêng BA ứng với giá trị riêng k Tương tự, ta chứng minh giá trị riêng BA giá trị riêng AB 45 Nếu  k    k  -1  A=S  S,     0 k  n   A có n giá trị riêng k1, , k2 Giả sử Xi véctơ riêng ứng với giá trị riêng ki : AXi = kiXi ⇒ A2Xi = A(AXi) = A(kiXi) = kiAXi = ki2Xi Suy ki2 giá trị riêng A2 Do A2 = Θ, nên A2 có giá trị riêng Vì ki Suy A = S-1ΘS = Θ 46 Giả sử k giá trị riêng A, ứng với véctơ riêng α Nếu k = 0, k nghiệm |A – xE| = 0, ta có |A| =0 Suy A khơng khả nghịch, vơ lý Vậy k ≠ AX = kX ⇒ X = A-1(kX) ⇒ X = k(A-1X) ⇒ A-1X = k-1X Vậy X véc tơ riêng A-1 ứng với giá trị riêng k-1 Vì A = (A-1)-1, nên X véctơ riêng A-1, X véctơ riêng A 47 AnX = An-1(AX) = An-1(kX) = kAn-1X = = kn-1AX = knX Vậy kn giá trị riêng An X véctơ riêng tương ứng n ∑a A i n i n ∑ a (A X ) ∑ a ( k X ) i i i i n (∑ a i k i ) f(A)X = ( i =0 )X = i =0 = i=0 = i =0 X Vậy f(k) giá trị riêng f(A) X véctơ riêng tương ứng 48 Giả sử k giá trị riêng A với X véctơ riêng tương ứng Theo 54, A2n + E có giá trị riêng k2n + Do Θ có giá trị riêng 0, nên k2n + = Suy k ∉R 49 p(x) = det(A - xE) đa thức với hệ số thực có bậc cấp A, A có cấp lẻ p(x) đa thức bậc lẻ, có nghiệm thực, trái với giả thiết Suy A có cấp chẵn Nếu detA ≤ 0, p(0) = detA ≤ Trong p(x) > x đủ lớn, p(x) có bậc chẵn Vì p(x) có nghiệm thực, trái với giả thiết Suy detA > 50 p(x) = det(A - xE) đa thức với hệ số thực có bậc cấp A Nếu A có cấp lẻ p(x) đa thức bậc lẻ, có nghiệm thực Nếu A có cấp chẵn p(x) đa thức bậc chẵn, p(x) > x đủ lớn Ta có p(0) = detA < Vì p(x) có nghiệm thực 51 Đa thức đặc trưng x2 + 1, nghiệm thực 52 Tìm giá trị riêng phức véctơ riêng thuộc C2 ma trận sau  1    −1 0 Đa thức đặc trưng x2 + 1, có nghiệm k1 = i k2 = -i * Với k1 = i : Hệ -ix1 + x2 = 0, -x1 - ix2 = c cho véc tơ riêng X1 = t( i, -1) , t∈C* * Với k2 = -i : Hệ ix1 + x2 = 0, -x1 + ix2 = cho véc tơ riêng X2 = t( i, 1)c, t ∈C* 53  1    −1 0 2004 Ký hiệu − i i   S =  1 , 0 i   − i -1   Vì ta có S AS =  1   -1  −  S  1   −   Vậy 54 a) 2004  i 2004     (−i) 2004   = E2 .S =  2004 = E2 − 21 − −1 0       − 0  − 15 − 10  − 0  10   S-1 = 70  , B = S-1AS =  b) A có giá trị riêng -1, -3, Các véctơ riêng tương ứng −  0   − 21        − 15   − 10  5  −       , X2 = t 10  , X3 = t   , t ∈R* X1 = t  − 21 −    − 15 − 10  − 10  Lấy S =  , 0 1 −1 0      10  0  − 0  10  0   ⇒ A10 = S  0  S-1 S-1AS =  55  − 2   5 −  6 −9    có giá trị riêng k1 = 1, k2,3 = Véctơ riêng ứng với k1 = t(1, 1, 1)c, t ∈C* Véctơ riêng ứng với k2,3 = t1(1, 1, 0)c+ t2(1, 0, -3)c, t1 t2 số phức không đồng thời 1 0    0 0 0 0 0 0   1 0    có giá trị riêng k1 = k2 =1, k2 = k3 = Véctơ riêng ứng với k1,2 =1 t(0, 0, 0, 1)c, t ∈C* Véctơ riêng ứng với k2,3 = t1(0, 1, 0, 0)c+ t2(0, 0, 1, 0)c, t1 t2 số phức không đồng thời 3 −1 0    1 0   − 3   4 −1 −1    có giá trị riêng k = c Véctơ riêng t1(1, 1, -1, 0) + t2(1, 1, 0, 1)c, t1 t2 số phức không đồng thời 56 A có giá trị riêng -1, -3, Các véctơ riêng tương ứng −  0   − 21        − 15   − 10  5  −       , X2 = 10  , X3 =   , t ∈R* X1 =  − 21 −    − 15 − 10  − 10  Lấy S =  , 0 1 −1 0      10   −     0  0 410  -1 -1 10    S AS = ⇒A =S S 57 Bình phương ma trận cho  cos2ϕ − sin 2ϕ    cos 2ϕ   sin 2ϕ Ma trận có phương trình đặc trưng : k2 - 2cos(2ϕ).x + = Phương trình có π nghiệm thực ∆' = cos2(2ϕ) - ≥ 0, hay cos2(2ϕ) = Vậy, ϕ = n ( n ∈ Z ) ... b) iii) Tập hàm khả tích (a, b) iv) Tập hàm đơn điệu (a, b) v) Tập hàm thoả điều kiện f(0) = vi) Tập hàm thoả điều kiện f(0) = Trong tập sau R[x], tập không gian i) Tập đa thức bậc n ii) Tập đa... thuộc tuyến tính véctơ thuộc L{ α1 , α2, , αn } có hai biểu diễn tuyến tính qua { α1 , α2, , αn } 11 Chứng minh rằng, hệ α1 , α2, α3 độc lập tuyến tính hệ α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 độc lập tuyến tính. .. cộng vào cột sau Tách dần định thức theo cột thứ 2, 3, thành tổng định thức có cột tỉ lệ Đáp số : 2) Cộng cột 2, cột vào cột Rút thừa số chung a+b+c Đáp số : 3) Nhân cột với cộng vào cột Đáp số