Giải bài tập đại số tuyến tính Nguyễn Hữu Việt Hưng

Giải bài tập đại số tuyến tính Nguyễn Hữu Việt HưngChứng minh công thức De Morgan dạng tổng quátChứng minh các mệnh đề tập hợpBài tập chương Không gian véc tơBài tập chương Ma trận và ánh xạ tuyến tínhBài tập chương Định thức và Hệ phương trình ĐSTT

HƯỚNG DẪN ÔN THI MÔN HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

I NỘI DUNG KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ

1 Mục tiêu

Mục tiêu của kỳ thi kết thúc môn học là kiểm tra đánh giá việc tiếp thu những khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính, năng lực tư duy phân tích, tổng hợp và vận dụng kiến thức thể hiện qua việc trình bày logic chặt chẽ và chính xác các vấn đề liên quan bằng ngôn ngữ của môn học

2 Nội dung kiểm tra đánh giá

Toàn bộ nội dung đã giảng dạy của môn học, bao gồm hai phần lý thuyết và bài tập Trọng tâm là các kiến thức về không gian véc tơ, không gian con, hạng của

hệ véc tơ, hạng ma trận, chiều của không gian véc tơ, cấu trúc nghiệm của hệ phương đại số tuyến tính cũng như cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính và cách tính định thức; không gian Euclid, hệ véc tơ trực giao, phương pháp trực giao hóa, dạng song tuyến tính và dạng toàn phương

II CẤU TRÚC ĐỀ THI VÀ ĐIỀU KIỆN DỰ THI

Đề thi sẽ gồm có 2 câu hỏi lý thuyết và 3 câu hỏi bài tập Với tỷ trọng: 4 điểm cho phần lý thuyết và 6 điểm cho phần bài tập

Thang điểm sẽ được tính từ mức ¼ điểm cho mỗi bước suy luận logic cơ bản Vì vậy khi trình bày bài làm người làm bài cần trình bày lập luận khúc chiết đầy đủ Người dự thi sẽ phải chấp hành nghiêm túc các quy định, quy chế về các kỳ thi hết môn học của Nhà trường, ĐHQGHN và Bộ GD&ĐT Đặc biệt lưu ý Không được

sử dụng tài liệu, máy tính và điện thoại di động

VIETMATHS.NET

1

Bài tập chương Kiến thức chuẩn bị

1 Chứng minh công thức De Morgan dạng tổng quát

a A \ ∪i∈I Ai = ∩i∈I (A \ Ai)

Theo định nghĩa hai tập hợp bằng nhau, để chứng minh X = Y, ta phải chứng minh: X ⊂

Y và Y ⊂ X Nghĩa là: ∀x ∈ X → x ∈ Y và ngược lại ∀y ∈ Y → y ∈ X

() ∀ x ∈ A \ ∪i∈I Ai → x ∈ A và x ∉ ∪i∈I Ai → x ∈ A và x ∉ Ai ∀i ∈ I →

x ∈ A \ Ai ∀i ∈ I → x ∈ ∩i∈I (A\Ai) Vậy A \ ∪i∈I Ai ⊂ ∩i∈I (A \ Ai) (1)

() ∀ x ∈ ∩i∈I (A \ Ai) → x ∈ A \ Ai ∀i ∈ I → x ∈ A và x ∉ Ai ∀i ∈ I →

x ∈ A và x ∉ ∪i∈I Ai → ∀ x ∈ A \ ∪i∈I Ai Vậy ∩i∈I (A \ Ai) ⊂ A \ ∪i∈I Ai (2)

x ∈A ∪ (B \ A) ↔ x ∈A hoặc (x ∈ B và x ∉ A) ↔ x ∈ A hoặc x ∈ B ↔ x ∈ A∪B

- Nếu g∘ f là đơn ánh thì f là đơn ánh

Giả sử f không phải là đơn ánh → ∃ x ≠ x’ : f (x) = f (x’) → g(f (x)) = g(f (x’)) hay g∘ f (x) = g∘ f (x’) → g∘ f không phải là đơn ánh, trái giả thiết Vậy thì f

phải là đơn ánh

- Nếu g∘ f là toàn ánh thì g là toàn ánh

Giả sử g không phải là toàn ánh → ∃ z ∈ Z mà z ≠ g (y), ∀ y ∈ Y → ∃ z ∈ Z

mà z ≠ g (f (x)), ∀ x ∈ X hay ∃ z ∈ Z: z ≠ g∘ f (x), ∀ x ∈ X nghĩa là g∘ f không phải là toàn ánh, trái giả thiết Vậy g phải là toàn ánh

7 Với f : R → R xác định bởi f (x) = x2 – 3x + 2 Hỏi f có phải là một đơn ánh? Toàn ánh? Tìm f (R) , f (0), f -1 (0), f ([0, 5]), f -1 ([0,5])

Dễ thấy x2 – 3x + 2 = 0 có nghiệm là 1 và 2 → f (1) = f (2) = 0 f không phải là đơn

ánh f cũng không phải là toàn ánh Các câu hỏi còn lại là dễ

8 A là tập hợp đúng n phần tử Chứng minh rằng số lượng các tập hợp con của A có

đúng 2n phần tử

Chú ý công thức khai triển nhị thức Niu tơn: (1+1)n

12 Lập bảng cộng và bảng nhân của vành Zn với n = 12 và n = 15 Tìm các phần tử khả nghịch đối với phép nhân trong hai vành đó

Lời giải đối với n = 12 (n = 15 – làm tương tự)

17 Chứng minh tập hợp Q (√2 ) = { a + b√2 | a, b ∈ Q} lập nên 1 trường với phép

toán cộng và nhân thông thường

VIETMATHS.NET

5

Trước hết ta làm rõ các phép toán cộng và nhân trong Q (√2 )

- Phép cộng: (a + b√2) + (a’ + b’√2) là c + d√2 với c = (a+a’), d = (b+b’)

- Phép nhân: (a + b√2) (a’ + b’√2) là x + y√2

Với x = aa’ + 2bb’ y = ab’ + a’b

Từ đó dễ kiểm tra được: phép cộng có tính kết hợp, giao hoán, phần tử không là:

aa’ + 2bb’ = 1 và ab’ + a’b = 0

- Nếu a ≠ 0, ta có b’ = -a’b / a → aa’ + 2b(-a’b/a) = 1 → a’ (a – 2b2/a) = 1 → a’ = a/(a2-2b2) → b’ = -b//(a2-2b2) (chú ý: vì a, b ∈ Q nên a2 – 2b2 ≠ 0)

- Nếu a = 0 thì b≠ 0 → a’ = 0 → b’ = 1/(2b)

Gộp lại ta có nghịch đảo của a + b√2 là a/(a2-2b2) + [-b/(a2-2b2)]√2

18 Chứng minh rằng nếu số phức z ∉ R thì trường các phần tử dạng :

R (z) = { a + bz | a, b ∈ R } trùng với trường số phức C

Hiển nhiên mỗi phần tử a + bz với a, b ∈ R là một số phức → R (z) ⊂ C (1)

Ngược lại, giả sử z = x + iy, (y≠0) ∀ z’ = x’ + iy’ ∈C Gọi a , b là các số thực thỏa mãn z’ = a + bz = a + b(x+iy) = a+bx + iby → a+bx = x’, y’ = by → b = y’/y , a = x’ – bx = x’ – xy’/y = (x’y – xy’) / y

Tóm lại, ∀ z’ = x’ + iy’ ∈ C ta có z’ = (x’y – xy’) / y + (y’/y) z → z’ ∈R (z) Vậy

C ⊂R (z) (2) Từ (1) và (2) suy ra R (z) = C

22 23 Sinh viên tự làm vì dễ

30 Sinh viên tự làm, gợi ý sử dụng biểu diễn dạng lượng giác của số phức

31 Sinh viên tự làm, gợi ý sử dụng biểu diễn dạng lượng giác của số phức Các căn bậc n

của 1 số phức là các điểm tại các đỉnh của 1 đa giác đều n cạnh Giả sử tổng các căn bậc

n của 1 số phức là một véc tơ từ tâm đến 1 điểm S nào đó Véc tơ này là không đổi khi ta quay cả hệ đi 1 góc 360o/n Điều này chỉ xảy ra khi véc tơ tổng = θ

32 Phân tích các đa thức sau đây thành các nhân tử bất khả quy trên R[X] và C[X]

a X3 + 3X2 + 5X + 3

b X3 – X2 – X - 2

Sinh viên tự làm Gợi ý : Dễ nhận thấy các đa thức trên có 1 nghiệm thực Vậy, chúng có thể phân tích thành (x – x0)(ax2 + bx + c) Nếu biệt thức của ax2 + bx + c âm thì phân tích trên là phân tích bất khả quy trên R[X] Trên C, các đa thức trên luôn có đủ 3 nghiệm, nên sẽ phân tích được thành dạng (x – x0)(x – z1)(x – z2)

VIETMATHS.NET

7

Bài tập chương Không gian véc tơ

1 Các tập hợp sau đây có lập thành không gian véc tơ trên trường K hay không, đối với

các phép toán thông thường

a A = {(x1, …, xn) ∈ Kn | x1 + … + xn = 0}

Rõ ràng A với phép cộng (x1, …, xn) + (y1, …, yn) := (x1+y1, …, xn+yn) (∈ Kn) làm thành một nhóm giao hoán (phép cộng có tính kết hợp, giao hoán, phần tử không là (0, …, 0), phần tử đối của (x1, …, xn) là (-x1, …, -xn)

∀ a ∈ K, và x = (x1, …, xn) ∈ A, phép nhân a (x1, …, xn) := (ax1, …, axn) (∈ Kn)

có tính phân phối 2 phía đối với phép cộng, hơn nữa a(bx) = (ab)x, 1x = x

Vậy A là một không gian véc tơ trên trường K

Tương tự a E là không gian véc tơ trên trường K

2 F = {(x1, …, xn) ∈ Rn | x1, …, xn ∈ Z} có lập thành một không gian véc tơ trên

trường số thực R hay không?

Không! Không định nghĩa được phép nhân giữa a ∈ R với x ∈ F

3 Với các phép toán thông thường, Q có là một không gian véc tơ trên trường số thực

R hay không? R có là một không gian véc tơ trên trường số phức hay không?

Không! Tương tự 2

6 Các véc tơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

a e1 = (-1, -2, 1, 2), e2 = (0, -1, 2, 3), e3 = (1, 4, 1, 2), e4 = (-1, 0, 1, 3)

Xét ràng buộc tuyến tính xe1 + ye2 + ze3 +te4 = 0 hay

(1) → x = z – t, thay vào (2) có -2 (z - t) – y + 4z = 0 hay -y +2z + 2t = 0 Cộng (1) và (3) → 2y + 2z + 2t = 0 hay y + z + t = 0

Kết hợp -y +2z + 2t = 0 và y + z + t = 0 → z+t = 0 → y = 0 Thay vào (3)

→ x = 0, thay vào (2) → z = 0, thay vào (4) → t = 0

Vậy hệ véc tơ e1, e2, e3, e4 là độc lập tuyến tính

b α1 = (-1, 1, 0, 1), α2 = (1, 0, 1, 1), α3 = (-3, 1, -2, -1)

Giải theo phương pháp tương tự a

7 Chứng minh rằng hai hệ véc tơ sau đây là các cơ sở của C3 Tìm ma trân chuyển từ cơ

sở thứ nhất sang cơ sở thứ hai

(1) e1 = (1, 2, 1), e2 = (2, 3, 3), e3 = (3, 7, 1)

(2) a1 = (3, 1, 4), a2 = (5, 2, 1), a3 = (1, 1, -6)

Dễ chứng minh e1, e2, e3 là độc lập tuyến tính (như trong 6.a hoặc tính định thức cấp

3 lập từ chúng ≠ 0) → chúng làm thành 1 cơ cở của C3 Tương tự a1, a2, a3 cũng là

1 cơ sở của C3 Để tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (1) sang cơ sở (2) ta phải tìm biểu diễn tuyến tính của mỗi véc tơ trong hệ (2) qua cơ sở (1) Điều này tương đương với việc giải ba hệ phương trình:

VIETMATHS.NET

10 V = {(x, y) ∈ RxR | y > 0} Định nghĩa phép cộng và nhân với vô hướng như sau :

(x, y) + (u, v) = (x+u, yv) ∀ (x, y), (u, v) ∈ V,

 a(x, y) + b(x, y) = (ax, ya)+ (bx, yb) = (ax+by, yayb) = ((a+b)x, ya+b) = (a+b) (x, y)

 a(x, y) + a(u, v) = (ax, ya)+ (au, va) = (a(x+u), (yv)a) = a(x+u, yv) =

= a((x, y)+(u, v))

 a(b(x, y)) = a(bx, yb) = (abx, (yb)a) = ((ab)x, yab) = (ab)(x, y)

 1(x, y) = (1x, y1) = (x, y)

Vậy V là không gian véc tơ trên R với các phép toán nói trên

Cơ sở của V : (1, 1) là véc tơ ≠ 0 = (0, 1)

(0, 2) cũng là véc tơ ≠ 0 = (0, 1)

Ta kiểm tra xem hệ hai véc tơ này có độc lập tuyến tính hay không :

Xét ràng buộc : a (1, 1) + b (0, 2) = (0, 1) ↔ (a, 1) + (0, 2b) = (0, 1) ↔ (a, 2b) = (0, 1) → a = 0, b = 0 Vậy (1, 1) và (0, 2) là đltt ∀ (x, y) ∈ V, xét a (1, 1) + b (0, 2) = (x, y) ↔ (a, 2b) = (x, y)

→ a = x, b = log2y

Tóm lại ∀ (x, y) ∈ V ta luôn có (x, y) = x (1, 1) + log2y (0, 2) → (1, 1), (0,2) là một cơ sở của V Tương tự (1, 1) , (0, e) là một cơ sở của V

11 Ma trận chuyển từ cơ sở sang một cơ sở khác thay đổi thế nào nếu

a Đổi chỗ hai véc tơ trong cơ sở thứ nhất

Gọi (α) = (α1, … , αn) là cơ sở thứ nhất, (β) = (β1, … , βn) là cơ sở thứ hai

Ta có (aij)nxn là ma trận chuyển từ cơ sở (α) sang (β), với βj = ∑ aijαi Vậy việc đổi chỗ hai véc tơ thứ tự ik và is trong (α) tương ứng với việc đổi chỗ 2 hàng thứ ik

và is trong ma trận (aij)nxn

b Đổi chỗ 2 véc tơ trong cơ sở thứ hai → đổi chỗ 2 cột tương ứng trong ma trận

c Đặt các véc tơ trong mỗi cơ sở theo thứ tự hoàn toàn ngược lại → hoán vị các phần tử đối xứng qua đường chéo chính, sau đó hoán vị các phần tử đối xứng qua đường chéo phụ

15 Chứng minh rằng W = {(x1, …, xn) ∈ Rn, x1+2x2+…+nxn = 0} là một không gian con của Rn. Tìm số chiều và cơ sở của không gian con đó

Dễ kiểm tra W đóng kín với phép toán cộng và nhân của Rn :

↔ (2a2 +3a3 +…+nan , -a2, …, -an) = (0, …, 0) ↔ a2= …= an = 0

→ dim A = n-1 và hệ véc tơ nói trên là một cơ sở của W

17 Chứng minh rằng W = {(aij)nxn , aij = aji } là không gian con của M(nxn) Tìm số chiều và cơ sở của W

Cơ sở của W là hệ gồm các ma trận:

- Có 1 phần tử trên đường chéo = 1, tất cả các phần tử còn lại = 0

- Có 2 phần tử đối xứng qua đường chéo = 1, tất cả các phần tử còn lại = 0 → dim W = n + (1+2+ +(n-1)) = n(n+1)/2

18 Chứng minh rằng W = {(aij)nxn , aij = -aji } là không gian con của M(nxn) Tìm số chiều và cơ sở của W

Tương tự 17

19 Giả sử V1 ⊂ V2 là các không gian con của V Chứng minh rằng dim V1 ≤ dim V2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi V1 = V2 Khẳng định đó còn đúng không nếu V1, V2

là các không gian con tùy ý của V

V1 ⊂ V2 → V1 là không gian con của V2 Vì vậy dim V1 ≤ dim V2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi V1 = V2 (mệnh đề 4.3 trang 64)

Khẳng định đó không còn đúng nếu V1, V2 là các không gian con tùy ý của V

20 Giả sử V1, V2 là các kg véc tơ con của V Chứng minh rằng nếu dim V1 + dim V2 > dim V thì V1 ∩ V2 chứa ít nhất 1 véc tơ khác 0

Giả sử ngược lại V1 ∩ V2 = {0} Gọi (α1, …, αr) là một cơ sở của V1, (β1, …, βs) là một cơ sở của V2 Ta thấy βi (i = 1, …, s) không thể biểu diễn tuyến tính qua (α1, …,

αr), vì nếu thế thì βi ∈ V1 →V1 ∩ V2 ≠ {0} Tiếp theo nếu βi biểu diễn tuyến tính

VIETMATHS.NET

11

qua (α1, …, αr, β1, …, βi-1) thì biểu diễn ấy phải có dạng βi = 0.α1 + … + 0.αr + a1β1

+ … + ai-1βi-1 = a1β1 + … + ai-1βi-1.Điều này là không thể vì (β1, …, βs) là đltt Vậy

hệ véc tơ (α1, …, αr, β1, …, βs) là độc lập tuyến tính trong V → r + s ≤ dim V hay dim V1 + dim V2 < dim V – trái giả thiết Vậy V1 ∩ V2 ≠ {0}

21 Giả sử V1, V2 là các kg véc tơ con của V Chứng minh rằng nếu dim (V1 +V2) = dim (V1 ∩ V2) +1 thì V1+V2 trùng với 1 trong hai không gian con đã cho còn V1 ∩ V2

trùng với không gian con còn lại

Giả sử (α1, …, αr) là 1 cơ sở của V1 ∩ V2 (nếu V1 ∩ V2 = {0} thì r = 0) Bổ sung vào

hệ này các véc tơ để nhận được (α1, …, αr, β1, …, βs) là cơ sở của V1 Và (α1, …, αr,

γ1, …, γt) là cơ sở của V2 → (α1, …, αr, β1, …, βs, γ1, …, γt) là cơ sở của V1 + V2 (*)

(*) Giải thích: (α1, …, αr, β1, …, βs, γ1, …, γt) là một cơ cở của V1 + V2

- Trước hết ta thấy (α1, …, αr, β1, …, βs, γ1, …, γt) là một hệ sinh của V1 + V2 (1)

Xét ràng buộc: x (1, 2, 0, 1) + y (1, 1, 1, 0) + z (1, 0, 1, 0) = 0 ↔

x + y + z = 0 , 2x + y = 0 , y + z = 0 , x = 0 → y = 0 , z = 0

Vậy hệ (α1,α2,α3) là độc lập tuyến tính → rank (α1,α2,α3,α4) = 3

Bước 2 Từ bước 1, ta có (α1, α2, β 1,β 2) là một hệ sinh của U + V Chú ý rằng α1, α2,

β1,β 2 ∈ R3 nên hệ 4 véc tơ ấy là phụ thuộc tuyến tính (vì 4 > 3)

Xét ràng buộc xα1 + yα2 + zβ1 = 0 ↔ x(1, 2, 1) + y(1, 1, -1) +z(2, 3, -1) = 0 →

13

x + y = 2x’ + y’ x + y – y’ = 2x’ (1) (1)+(3) → 2x – 3y’ = x’ 2x + y = 3x’ + 2y’ → 2x + y - 2y’= 3x’ (2) (2)–(1) → x - y’ = x’

x – y = -x’ + 2y’ x – y - 2y’= -x’ (3) → y’ = x’ , x = 2x’

Thay vào (1) → y = 2x’ + x’ -2x = x’ Vậy α = 2x’α1 + x’α2 =x’(2α1+α2) →

→ α = x’(3, 5, 1) Vậy U ∩ V là không gian có cơ sở là (3, 5, 1)

25 Tương tự

26 Tương tự

27 Chứng minh rằng với mỗi không gian con V1 của không gian véc tơ V tồn tại một không gian con V2 sao cho V = V1⊕V2 Không gian con V2 có duy nhất không ? Giả sử (α1, …, αr) là một cơ sở của V1 Bổ sung vào hệ này các véc tơ để nhận được cơ

cở (α1, …, αr, β1, …, βs) của V Hiển nhiên β1, …, βs ∉V1 Gọi V2 = L (β1, …, βs), ta có :

V1 ∩ V2 = {0} và V = V1⊕V2 V2 là không duy nhất vì β1, …, βs là không duy nhất

30 K[X]n là không gian véc tơ các đa thức với hệ số trong K, bậc ≤ n Tìm không gian thương K[X]n / K[X]m và số chiều của nókhi m < n

Chúng ta biết rằng với W là không gian con của V, xác lập được quan hệ tương đương ~ :

a ~ b ↔ a – b ∈ W Không gian thương V/W được định nghĩa là V/~ Mỗi phần tử của V/W là một lớp tương đương theo quan hệ tương đương ~ và có thể biểu diễn ở dạng [a]

= a + W Đồng thời dim V/W = dim V – dim W

Bây giờ xem xét V = K[X]n , W = K[X]m Hai đa thức fn và gn ∈ K[X]n là tương đương với nhau nếu fn - gn ∈ K[X]m – nghĩa là hiệu của chúng là một đa thức bậc ≤ m Nói cách khác chúng tương đương với nhau nếu tất cả các hệ số của xn, xn-1, …, xm+1 trong fn

và gn là tương ứng bằng nhau Vậy :

K[X]n / K[X]m = { anxn + an-1xn-1 + … +am+1xm+1 + K[X]m , ai ∈ K}

dim (K[X]n / K[X]m) = dim K[X]n - dim K[X]m = n+1 – (m+1) = n – m

Hệ cơ sở là các véc tơ xn, xn-1, …, xm+1

Bài tập chương Ma trận và ánh xạ tuyến tính

n-2

=

cos φ - sin φ sin φ cos φ

cos φ - sin φ sin φ cos φ

cos 2φ - sin2φ -2cosφ sinφ

2cosφ sinφ cos2φ – sin2φ

cos φ - sin φ

sin φ cos φ

n-2

cosφ -sinφ sinφ cosφ

5 Chứng minh rằng nếu các tích của hai ma trận AB và BA đều có nghĩa và hơn nữa

AB có nghĩa → Nếu A có cấp m x n thì B có cấp n x p BA có nghĩa → p = m →

AB là ma trận cấp m x m , BA là ma trận cấp n x n Lại có AB = BA → m = n

6 Ma trận tích AB (A = (aij) m x n, B = (bij) n x p) sẽ thay đổi thế nào nếu

a Đổi chỗ hai hàng i và j của ma trận A

Gọi C = (cuv)m x p là ma trận tích AB → cuv = ∑

k=1, , n aukbkv → Các phần tử hàng thứ i của A chỉ tham gia vào hàng thứ i của C, các phần tử hàng thứ j của A chỉ tham gia vào hàng thứ j của C:

k=1, , n aikbkv , cjv = ∑

k=1, , n ajkbkv Vậy đổi chỗ hai hàng i và j của A sẽ dẫn đến đổi chỗ hai hàng i và j của ma trân tích

b Cộng vào hàng thứ i tích của vô hướng c với hàng thứ j của ma trận A

Các phần tử hàng i, cột k của ma trận A bây giờ sẽ là dik = aik + cajk →

Các phần tử hàng i, cột v của ma trận C bây giờ sẽ là

civ = ∑

k=1, , n dikbkv = ∑k=1, , n (aik+caik)bkv = ∑k=1, , n aikbkv + c ∑k=1, , n ajkbkv

→ hàng i của ma trận tích được cộng thêm tích của vô hướng c với hàng thứ j

c Đổi chỗ hai cột i và j của ma trận B

Gọi C = (cuv)m x p là ma trận tích AB → cuv = ∑

k=1, , n aukbkv → Các phần tử cột thứ i của B chỉ tham gia vào cột thứ i của C, các phần tử cột thứ j của A chỉ tham gia vào cột thứ j của C:

k=1, , n aukbki , cuj = ∑

k=1, , n aukbkj Vậy đổi chỗ hai cột i và j của B sẽ dẫn đến đổi chỗ hai cột i và j của ma trân tích

d Cộng vào cột thứ i tích của vô hướng c với cột thứ j của ma trận B

Các phần tử hàng k, cột i của ma trận A bây giờ sẽ là dki = bki + cbkj →

Các phần tử hàng u, cột i của ma trận C bây giờ sẽ là

Cui = ∑

k=1, , n aukdki = ∑k=1, , n auk (bki + cbkj)= ∑k=1, , n aukbki + c ∑k=1, , n aukbkj

→ cột i của ma trận tích được cộng thêm tích của vô hướng c với cột thứ j

7 Vết của ma trận - tr (cij)mxm := c11 + c22 + … + cnn Chứng minh rằng nếu A.B và B.A có nghĩa thì tr (AB) = tr (BA)

AB và BA có nghĩa → nếu cấp của A là m x n, cấp của B sẽ là n x m