Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 2 pgs ts hoàng chí thành

CHƯƠNG HÀM GRUNDY TRÊN ĐỒ THỊ 1/29 NỘI DUNG     Hàm Grundy Sự tồn hàm Grundy Tổng đồ thị Hàm Grundy đồ thị tổng 2/29 2.1 HÀM GRUNDY  Định nghĩa  Các tính chất  Ví dụ  Điều kiện cho tồn hàm Grundy 3/29 2.1 HÀM GRUNDY (tiếp)  Hàm Grundy hàm toán học xây dựng đồ thị, P M Grundy đề xuất để nghiên cứu số tính chất lý thú đồ thị Ký hiệu N = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm 4/29 ĐỊNH NGHĨA HÀM GRUNDY Giả sử G = (V, F) đồ thị Hàm g : V  N gọi hàm Grundy đồ thị G nếu:  x  V : g(x) = {N \ g(F(x))} 5/29 CÁC TÍNH CHẤT 1)  x, y  V, y  F(x) g(x)  g(y) 2)  u  N , u < g(x) : u  g(F(x)) , nghĩa là:  y  F(x) : g(y) = u 6/29 NHẬN XÉT Đồ thị có đỉnh nút khơng có hàm Grundy Nếu F(x) =  g(x) = Tập hợp {x x  V, g(x) = 0} khác rỗng  x  V : g(x)  F(x) - hàm Grundy nhận giá trị khơng lớn 7/29 VÍ DỤ 2.1 Hàm Grundy khơng 0 1 0 Hình 2.1 Đồ thị có hai hàm Grundy 8/29 VÍ DỤ 2.2 Hàm Grundy khơng tồn Hình 2.2 Đồ thị khơng có hàm Graundy Vậy với điều kiện đồ thị có hàm Grundy? 9/29 2.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI Định lý 2.1: Đồ thị G khơng có chu trình có hàm Grundy Chứng minh: Khơng tính tổng qt, giả thiết đồ thị G liên thông Xây dựng hai dãy tập đỉnh: V0, V1, P0, P1, sau: V0 = V P0 = { x | F(x) = Ø} 10/29 2.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI (tiếp) Tiếp tục cách làm ta xác định giá trị hàm g đỉnh đồ thị cách Định lý chứng minh ta có thuật tốn tìm hàm Grundy cho đồ thị phi chu trình 15/29 VÍ DỤ 2.3 Xét đồ thị có hướng hình vẽ cách xây dựng hàm Grundy P1 b P3 a d P0 c P2 Hình 2.4 Đồ thị tập Pi 16/29 2.3 TỔNG CỦA CÁC ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị dạng ánh xạ kề: G1 = (V1,F1) G2 = (V2,F2)  Định nghĩa 2.2: Đồ thị G = (V, F) gọi tổng G1 G2 , ký hiệu G1+ G2 với: 1) V = V1  V2 2) (x,y)  F(a,b)  x = a  y  F2(b) x  F1(a)  y = b 17/29 2.3 TỔNG CỦA CÁC ĐỒ THỊ (tiếp) a a1 a2 ak b1 b2 bk b Hình 2.5 Cách xây dựng đồ thị tổng Giả sử đồ thị G1 có hàm Grundy g1, đồ thị G2 có hàm Grundy g2 Liệu đồ thị tổng G1 + G2 có hàm Grundy hay khơng mối quan hệ với hàm g1, g2 nhế nào? 18/29 d - TỔNG CÁC SỐ NGUYÊN  Để trả lời câu hỏi này, ta đưa phép toán d-tổng số nguyên sau: Với số nguyên không âm u, v  N , ta biểu diễn chúng dạng nhị phân sau: u = uk uk-1 … u1 u0 v = vk vk-1 v1v0 , với ui, vi chữ số Đặt wi = (ui + vi) mod 19/29 d - TỔNG CÁC SỐ NGUYÊN (tiếp) Số nguyên w có biểu diễn nhị phân là: wk wk-1 w1w0 gọi d - tổng u v, ký hiệu là: w = u  v 20/29 d - TỔNG CÁC SỐ NGUYÊN (tiếp) Chú ý rằng, phép toán thực giống câu lệnh gán w := u XOR v ; ngôn ngữ lập trình Pascal Ví dụ: 75=2 12  15 = 21/29 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỐN d - TỔNG Phép tốn d-tổng có tính chất giao hoán kết hợp: uv=vu, (u  v)  w = u  (v  w) Phép toán d-tổng có đơn vị: u  =  u = u d-tổng hai số chúng giống nhau: u  v =  u = v 22/29 2.4 HÀM GRUNDY CỦA ĐỒ THỊ TỔNG Định lý 2.2: Nếu g1 hàm Grundy đồ thị G1, g2 hàm Grundy đồ thị G2 g((x,y)) = g1(x)  g2(y) hàm Grundy đồ thị tổng G = G1 + G2 23/29 2.4 HÀM GRUNDY CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Chứng minh: Theo định nghĩa hàm Grundy, ta phải chứng minh: Nếu (x,y)  F((a,b)) g((a,b))  g((x,y)) Nếu u  N , u < g((a,b))  (x,y)  F((a,b)) cho g((x,y)) = u 24/29 2.4 HÀM GRUNDY CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Thật vậy, giả sử (x,y)  F((a,b)) Theo định nghĩa ánh xạ kề F, ta phải xét hai trường hợp sau: 1) x = a, y  F2(b) Khi g2(y)  g2(b) g((a,b)) = g1(a)  g2(b) = g1(x)  g2(b)  g1(x)  g2(y) = g((x,y)) 2) x  F1(a), y = b : Chứng minh hoàn tồn tương tự Tính chất chứng minh xong 25/29 2.4 HÀM GRUNDY CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Bây ta chứng minh tính chất Giả sử u  N u < g((a,b)) Ký hiệu v = g1(a) w = g2(b) Ta có: u < v  w Đặt t = u  v  w Hiển nhiên t  u  v  w Hơn t  u = u  v  w  u = v  w > u (*) 26/29 2.4 HÀM GRUNDY CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Xét biểu diễn nhị phân số trên: u = uk=0 v = vk=1 w = wk t = 01k Giả sử k số bit biểu diễn nhị phân số t Nếu uk = (uk + tk) mod = Suy ra: t  u < u, trái với mệnh đề (*) Vậy uk = 27/29 2.4 HÀM GRUNDY CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Do bit thứ k t nên vk wk phải Giả sử vk = Đặt s = t  v Ta có s < v = g1(a) Vì g1 hàm Grundy đồ thị G1 nên tồn x  F1(a) cho s = g1(x) 28/29 2.4 HÀM GRUNDY CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Theo định nghĩa đồ thị tổng thì: (x,b)  F((a,b)) g((x,b)) = g1(x)  g2(b) = s  w = t  v  w = u - Khi wk = 1, chứng minh hoàn toàn tương tự Phần chứng minh xong kết thúc chứng minh định lý 29/29