Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 10 pgs ts hoàng chí thành

CHƯƠNG 10 ĐỒ THỊ PHẲNG 1/24 NỘI DUNG Bài toán ba biệt thự ba nhà máy Đồ thị phẳng Các điều kiện cho tính phẳng đồ thị Sắc số đồ thị phẳng 2/24 10.1 BÀI TOÁN BA BIỆT THỰ VÀ BA NHÀ MÁY Bài toán: Trong thị trấn có ba biệt thự ba nhà máy cung cấp: điện, nước khí đốt Mỗi biệt thự muốn mắc đường cáp điện ngầm, đường ống cấp nước, đường ống cấp khí đốt riêng từ nhà đến ba nhà máy mà không gặp đường ống biệt thự khác Hỏi có làm đường hay khơng? 3/24 10.1 BÀI TỐN BA BIỆT THỰ VÀ BA NHÀ MÁY (tiếp) A Điện Nước B C Gas 4/24 10.2 ĐỒ THỊ PHẲNG Định nghĩa 10.1 Đa đồ thị vô hướng G gọi đồ thị phẳng biểu diễn mặt phẳng cho khơng có hai cạnh cắt nhau, trừ đỉnh - Diện hữu hạn đồ thị phẳng miền kín mặt phẳng giới hạn cạnh đồ thị cho nối hai điểm thuộc diện nét liền mà khơng cắt cạnh - Đồ thị cịn có diện vơ hạn, phần bù mặt phẳng hợp diện hữu hạn 5/24 10.2 ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) Định lý 10.1: Số diện hữu hạn đa đồ thị phẳng G chu số đồ thị Chứng minh: Quy nạp theo số diện hữu hạn h G - h = 1: có chu trình đơn nhất, biên diện Suy chu số - (h-1)  (h) : Giả sử đồ thị phẳng G với n đỉnh, m cạnh p mảng liên thơng có h diện 6/24 10.2 ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) Chứng minh định lý: Lập đồ thị G’ từ G cách bớt cạnh e biên diện để số diện hữu hạn bớt Khi đó, G’ có h-1 diện Theo giả thiết quy nạp, c(G’) = h-1 = (m - 1) - n + p (p khơng đổi bớt cạnh chu trình) Suy ra, số diện hữu hạn G là: h = m - n +p = c(G) 7/24 10.1 ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) Hệ 10.1 Nếu đa đồ thị phẳng G có n đỉnh, m cạnh, p mảng liên thông h diện thì: n - m + h = p +1 (cơng thức Euler tổng quát) Chứng minh: Số diện đồ thị phẳng số diện hữu hạn cộng thêm (diện vơ hạn), chu số cộng Vậy thì, h = m - n + p +1 Do đó, n - m + h = p +1 8/24 10.2 ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) Hệ 10.2 Trong đơn đồ thị phẳng có đỉnh có bậc khơng q Chứng minh: Khơng tính tổng qt giả thiết đơn đồ thị liên thông Trong đơn đồ thị phẳng diện hữu hạn giới hạn cạnh, mà cạnh thuộc nhiều hai diện nên: 3h ≤ 2m  h ≤ 2m/3 9/24 10.2 ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) Phản chứng: Giả sử đỉnh đồ thị G có bậc Khi đó, tổng tất bậc đỉnh G = 2m  6n Theo cơng thức Euler thì: n - m + h = + p = Ta có:  m  m  2m  Suy điều vô lý 3 10/24 10.3 CÁC ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH PHẲNG CỦA ĐỒ THỊ  Định lý 10.2 Giả sử G đồ thị G’ đồ thị Đồ thị G phẳng G’ phẳng Đồ thị G’ khơng phẳng G khơng phẳng 11/24 10.3 CÁC ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH PHẲNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Ký hiệu:  độ dài chu trình ngắn số cạnh đồ thị G khơng có chu trình Số  gọi đai đồ thị  Định lý 10.3 Nếu G đồ thị phẳng n đỉnh đai  ≥ thì: m ≤  (n-2)/( -2) Chứng minh: Do h. ≤ 2m nên theo công thức Euler:  (m - n + 2) ≤ 2m Suy điều phải chứng minh 12/24 VÍ DỤ 10.1 Bài toán ba biệt thự ba nhà máy: Đai đồ thị  = Vậy thì: m = > 4.(6-2)/(4-2) = Theo Định lý 10.5, đồ thị không phẳng 13/24 10.3 CÁC ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH PHẲNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Đồ thị hai phần đầy đủ Km,n đơn đồ thị có m+n đỉnh gồm m đỉnh “bên trái” n đỉnh “bên phải” cho đỉnh “bên trái” kề với đỉnh “bên phải” K2,2 K2,3 14/24 10.3 CÁC ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH PHẲNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Hệ 10.3 Đồ thị hai phần đầy đủ Km,n đồ thị phẳng m  n  15/24 VÍ DỤ 10.2 Đồ thị đầy đủ đỉnh: Đồ thị có đai  = Vậy m = 10 > 3.(5-2)/(3-2) = b a c d e Đồ thị K5 không phẳng Từ suy ra, đồ thị đầy đủ Kn với n  không phẳng 16/24 10.3 CÁC ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH PHẲNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Định lý 10.3 (Kuratowski) Đồ thị phẳng khơng chứa cấu hình K3,3 K5  Ta áp dụng định lý Kuratowski để xét tính chất phẳng đồ thị 17/24 VÍ DỤ 10.3 Xét đồ thị sau (bên phải) hình vẽ lại (bên trái): b b a a c c c e d e e c d e Đồ thị chứa cấu hình K5 Do vậy, khơng phẳng 18/24 10.4 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG Định lý 10.4 (Kemple - Heawood) Mọi đồ thị phẳng khơng có đỉnh nút có sắc số khơng lớn Chứng minh: Quy nạp theo số đỉnh n đồ thị - n = 1, 2, 3, 4, : Hiển nhiên - (n-1)  (n): theo Hệ 10.3, G có đỉnh x bậc khơng Bỏ đỉnh x khỏi G, ta G’ 19/24 10.4 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) Theo quy nạp, G’ có sắc số khơng vượt q Lấy cách tô màu G’ - Nếu đỉnh kề với đỉnh x tô màu cịn thừa màu để tô cho x Sắc số G sắc số G’ 20/24 10.4 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) - Nếu đỉnh x kề với đỉnh đỉnh kề với x đánh số thứ tự theo chiều kim đồng hồ tô màu ta đổi màu đỉnh để dành màu cho đỉnh x a b e x d c 21/24 10.4 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) Xét tất đường G đỉnh a gồm đỉnh tô màu màu Xét hai trường hợp: 1) Trong đường đường qua đỉnh c ta tráo đổi màu với màu cho tất đỉnh đường Sau đó, ta tô màu cho đỉnh x 22/24 10.4 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) 2) Ngược lại, có đường từ a đến c gồm tồn đỉnh tơ màu đường hai cạnh (c,x) (x,a) tạo thành chu trình G Do tính phẳng nên hai đỉnh b d nằm bên bên ngồi chu trình Suy ra, khơng có đường nối b với d gồm đỉnh tơ màu Vậy lại tráo đổi màu với màu cho đỉnh đường qua đỉnh b Khi hai đỉnh b d màu Tô màu cho đỉnh x 23/24 BÀI TỐN BỐN MÀU Bài tốn: - Vào khoảng năm năm mươi kỷ 19 Gazri, thương gia người Anh, tô màu đồ hành nước mình, nhận ln tô màu - Năm 1852 ông ta thông báo giả thuyết cho De Morgan - Năm 1878 Keli đăng toán Tuyển tập cơng trình Hội Tốn học Anh, gây nên ý nhiều người 24/24 BÀI TOÁN BỐN MÀU (tiếp) - Năm 1976, ba nhà khoa học người Mỹ K.Appel, W Haken J Koch chứng minh máy tính điện tử giả thuyết Gazri Định lý 10.5 (Appel - Haken): Mọi đồ thị phẳng khơng có đỉnh nút có sắc số không Dễ thấy rằng, đồ thị vơ hướng đầy đủ Kn (n  5) có sắc số lớn nên không phẳng 25/24