Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 5 pgs ts hoàng chí thành

CHƯƠNG CẶP GHÉP VÀ ĐỒ THỊ HAI PHẦN 1/37 NỘI DUNG Tập đỉnh tựa cặp ghép Đồ thị hai phần Đồ thị riêng hai phần 2/37 5.1 TẬP ĐỈNH TỰA VÀ CẶP GHÉP  Bài tốn phân cơng nhiệm vụ  Khái niệm tập đỉnh tựa  Khái niệm cặp ghép 3/37 BÀI TỐN PHÂN CƠNG NHIỆM VỤ   Một quan có: - n nhân viên: x1, x2, …, xn - m nhiệm vụ: y1, y2,…, ym Mỗi nhân viên đảm nhiệm hay nhiều nhiệm vụ nhiệm vụ có số nhân viên đảm nhiệm Yêu cầu: Phân công cho nhân viên đảm nhiệm nhiệm vụ thích hợp với trình độ người đó? 4/37 TẬP ĐỈNH TỰA  Định nghĩa 5.1 Giả sử G = (V, E) đồ vơ hướng Tâp C  V gọi tập đỉnh tựa cạnh G kề với đỉnh C 5/37 TẬP ĐỈNH TỰA (tiếp)  Tập đỉnh tựa đồ thị tồn Ví dụ: Tập tất đỉnh Song ta thường quan tâm đến tập đỉnh tựa có đỉnh  C tập đỉnh tựa  V \ C tập ổn định 6/37 CẶP GHÉP Định nghĩa 5.2 Giả sử G = (V, E) đồ vơ hướng Tập W  E gọi cặp ghép W khơng có hai cạnh kề 7/37 CẶP GHÉP (tiếp) - Cặp ghép đồ thị tồn - Mỗi cạnh cặp ghép tạo nên ghép đỉnh với đỉnh kề - Ta thường quan tâm đến cặp ghép có nhiều cạnh 8/37 VÍ DỤ 5.1 Với đồ thị cho hình vẽ: - Các tập đỉnh tựa: {1, 2, 6}, {2, 5, 6}, - Các cặp ghép: {(1,2), (3,6)}, {(1,5), (2,4), (3,6)}, 9/37 5.2 ĐỒ THỊ HAI PHẦN Khái niệm đồ thị hai phần Thuật toán kiểm tra đồ thị đồ thị hai phần Một số tính chất đồ thị hai phần 10/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: 1) Trường hợp: a  B Suy ra: a  B1 Tồn đường đan (X) = < w1 u1 w2 u2 wq uq > dẫn đỉnh a tới đỉnh d nằm ngồi tập B - Nếu b  h(B) (a, b)  W Ta loại w1 , w2 , , wq khỏi W thay cạnh (a, b) , u1 , u2 , , uq vào W Khi đó, W cặp ghép số cạnh tăng thêm 1, trái với giả thiết W cặp ghép lớn 8/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: - Nếu b  h(B) b  h(B2) Ký hiệu đỉnh d’ = h-1(b)  B2 Đường đan: < (d’, b) + (b, a) + (X) > dẫn đỉnh d’ B2 tới đỉnh d nằm ngồi B Vậy thì: d’  B1 Suy mâu thuẫn 9/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: 2) Trường hợp a  B: Suy b  h(B2) (a, b) không tựa vào tập C Ký hiệu: d’ = h-1(b)  B2 Đường đan < (d’,b) + (b,a) > dẫn đỉnh d’ tới đỉnh a tập B Vậy d  B1 Mâu thuẫn Vậy C tập tựa đồ thị |C| = |W| Vì k số phần tử tập đỉnh tựa nhỏ nên k  |C| = |W| Định lý chứng minh 10/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp)  Ký hiệu d0 = max { |B| - |F(B)|  B  V1 } Vì   V1 || - |F()| = - = nên d0 số không âm Định lý 5.3: Số phần tử tập tựa bé đồ thị hai phần G = (V1, V2, F) |V1| - d0 11/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp)  Chứng minh định lý: Giả sử C tập tựa Tách C = C1  C2 , C1  V1 C2  V2 Ký hiệu: C1’ = V1 \ C1 Khi đó, F(C1’)  C2 , ngược lại thì: - a  C1’ mà đỉnh kề y  C - cạnh (a, y) không tựa vào tập C  mâu thuẫn 12/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: C1  F(C1’) tập tựa C1  F(C1’)  C Do đó, với tập tựa thay tập tựa dạng C1  F(C1’) với số phần tử không lớn Vậy, số phần tử tập tựa bé là: { | C1  F(C1’) |  C1  V1 } = { | C1 | + | F(C1’) |  C1  V1} = | V1| - max { | C1’| - | F(C1’) |  C1’  V1} = | V1 | - d0 13/37 SỐ HỤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN Từ Định lý 5.3, ta gọi d0 số hụt đồ thị  Hệ 5.4: a) Số ổn định đồ thị hai phần G | V2| + d0 b) Số phần tử cặp ghép lớn G | V1| - d0 14/37 BÀI TỐN PHÂN CƠNG NHIỆM VỤ (tiếp) Giả thiết: - Mỗi nhân viên đảm nhận k nhiệm vụ - Mỗi nhiệm vụ có k nhân viên đảm nhận Kết luận: Ln phân cơng cơng việc thích hợp 15/37 BÀI TỐN PHÂN CƠNG NHIỆM VỤ (tiếp) Ký hiệu: V1 - tập nhân viên, |V1| = n V2 - tập nhiệm vụ, |V2| = m Xây dựng độ thị hai phần G = (V1,V2, F) : xi  F(yj)  xi đảm nhận nhiệm vụ yj Từ giả thiết, đỉnh kề với k cạnh, số cạnh kề với F(B)  số cạnh kề với B - Số cạnh kề với B k.| B | - Số cạnh kề với F(B) k.| F(B) | 16/37 BÀI TỐN PHÂN CƠNG NHIỆM VỤ (tiếp) Số cạnh kề với F(B)  số cạnh kề với B nên |B|  |F(B)| , suy d0 = Theo Hệ 5.4, lực lượng cặp ghép lớn |V1| - d0 = |V1| Do đó, phân cơng n nhân viên đảm nhân n nhiệm vụ Thay đổi vai trò V1 V2 , suy lực lượng cặp ghép lớn |V2|, nên |V1| = |V2| Bài tốn ln giải 17/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN Từ đồ thị cho có trích đồ thị riêng hai phần hay không ? Định lý 5.5: Đồ thị vô hướng G = (V, E) với: - |V| = 2n , - bậc đỉnh khơng nhỏ n ; ln có đồ thị riêng hai phần G” = (V1, V2, E”) đó: | V1 | = |V2 | = | E”| = n E’’ cặp ghép lớn G 18/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: Xây dựng đồ thị riêng hai phần G” = (V1, V2, E”): Lấy dần vào E’’ cạnh G: đỉnh cạnh khác đôi cạnh lại kề với cạnh E” Giả sử | E” | = k 1) Nếu k = n, định lý chứng minh 19/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: 2) Nếu k < n |V |  2k +2 Giả sử E” = {(a1, a2), (a3, a4), , (a2k-1, a2k)} Khi có hai đỉnh a2k+1, a2k+2 khơng nằm cạnh thuộc E” Theo cách chọn tập E’’ a2k+1, a2k+2 kề với đỉnh E” kề với n đỉnh E” 20/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN (tiếp) Trong E” đánh dấu đỉnh kề với a2k+1 a2k+2: có đỉnh đánh dấu lần Giả sử aj đỉnh kề với E”, loại (ai, aj) khỏi E” , thêm vào (ai, a2k+1) (aj, a 2k+2) Số cạnh E” tăng thêm Tiếp tục vậy, sau số bước, | E”| = n, ta xây dựng đồ thị riêng hai phần G” 21/37 VÍ DỤ 5.7 Đồ thị đồ thị riêng hai phần: 6 22/37