Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 1 pgs ts hoàng chí thành

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Giảng viên: PGS.TS Hồng Chí Thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HN MỞ ĐẦU - Lý thuyết Đồ thị ngành khoa học đời sớm - Lý thuyết Đồ thị giúp mơ tả hình học giải nhiều toán thực tế phức tạp liên quan đến khái niệm như: đường đi, chu trình, tập ổn định, chu số, sắc số, duyệt đồ thị, đường ngắn nhất, tâm đồ thị, luồng vận tải, đồ thị phẳng, bao trùm, biểu thức, mã tối ưu …bằng thuật toán ngắn gọn lý thú - Lý thuyết Đồ thị gắn kết nhiều ngành khoa học với 2/63 MỞ ĐẦU (tiếp) Bài giảng điện tử “Lý thuyết Đồ thị” bao gồm: - 11 chương - phân thành 20 học trình bày vấn đề cốt lõi lý thuyết đồ thị thuật toán tiêu biểu; giúp người học cài đặt máy tính ứng dụng thực tế 3/63 CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 4/63 NỘI DUNG  Các khái niệm đồ thị  Biểu diễn đồ thị máy tính  Một số tính chất đường đồ thị  Bậc đỉnh tính liên thơng 5/63 1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐỒ THỊ  Định nghĩa 1.1 Đồ thị cặp G = (V, E), đó: - V tập hợp đỉnh (vertex), - E  V  V tập hợp cạnh (edge) 6/63 VÍ DỤ 1.1 Đồ thị G cho hình vẽ - Tập đỉnh V = {a, b , c, d, e}, - Tập cạnh E = {(a, b), (a, c), (b, c), (d, b), (d, c), (e, a), (e, b), (e, d)} b c a e d Hình 1.1: Đồ thị hữu hạn 7/63 TÍNH KỀ TRONG ĐỒ THỊ Đỉnh kề: Nếu (a,b) cạnh đồ thị G thì: - Đỉnh b kề với đỉnh a - Hai đỉnh a b kề với cạnh (a,b) Hai cạnh kề nhau: hai cạnh có đỉnh chung 8/63 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ (tiếp)  Định nghĩa 1.2 Đồ thị cặp G = (V, F), đó: - V tập hợp đỉnh, - F : V  2V , gọi ánh xạ kề  Sự tương đương hai định nghĩa:  x, y  V : (x, y)  E  y  F(x) 9/63 VÍ DỤ 1.2 Ánh xạ kề đồ thị hình vẽ: F(a) = {b, c} , F(b) = {c} , F(c) =  , F(d) = {b, c} F(e) = {a, b, d} b c a e d Hình 1.1: Đồ thị hữu hạn 10/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG  Định lý 1.3 Tổng tất bậc đỉnh đồ thị hai lần số cạnh đồ thị Chứng minh: Ta tính bậc đỉnh Mỗi đỉnh thuộc cạnh bậc tăng thêm Mà cạnh có hai đỉnh 16/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THƠNG (tiếp)  Hệ 1.1: Số đỉnh có bậc lẻ đồ thị phải số chẵn  Hệ 1.2: Nếu đồ thị G có hai đỉnh bậc lẻ hai đỉnh phải liên thơng với 17/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THƠNG (tiếp)  Định lý 1.4 Đồ thị G có n đỉnh Nếu bậc đỉnh G không nhỏ n/2 đồ thị G liên thơng 18/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THƠNG (tiếp)  Chứng minh: Phản chứng: Giả sử đồ thị G khơng liên thơng Khi đó, có hai đỉnh a b nằm hai mảng liên thơng khác Vậy thì, n ≤ r(a) + r(b) ≤ n-2 Suy điều mâu thuẫn 19/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THƠNG (tiếp) Định lý 1.5 Giả sử đồ thị G có n đỉnh, m cạnh, p mảng liên thơng khơng có đỉnh nút Khi đó: (n  p )( n  p  1) m 20/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THƠNG (tiếp) Chứng minh: Giả sử mảng Gi có ni đỉnh Thế ni ≥ Khơng tính tổng qt xem G1 mảng có nhiều đỉnh Ta "dồn" đỉnh cho mảng G1 mà không làm thay đổi số đỉnh, số cạnh số mảng liên thông đồ thị n2 = n3 = = np = 21/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Chứng minh: Cách “dồn” đỉnh vào mảng G1: Giả sử mảng Gi mà n1  ni  Chọn a đỉnh Gi cho ta bỏ a cạnh kề với phần cịn lại liên thơng Giả sử a nối với k đỉnh Gi 22/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THƠNG (tiếp) Chứng minh: Hiển nhiên  k  ni -1 < n1 Ta chọn k đỉnh mảng G1 và: - Thêm k cạnh nối a với đỉnh chọn G1 - Xoá bỏ k cạnh nối a với đỉnh Gi Đỉnh a liên thông với đỉnh G1 nên thuộc vào mảng G1 23/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THƠNG (tiếp) Chứng minh: Ta đồ thị với số đỉnh, số cạnh, số mảng liên thơng khơng thay đổi mảng Gi bớt a k cạnh cịn đỉnh, G1 thêm đỉnh a k cạnh 24/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Minh hoạ cách “dồn” đỉnh: a G1 G i Hình 1.8 Cách dồn đỉnh cho mảng G1 25/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THƠNG (tiếp) Chứng minh: Thực phép “dồn” khi: n1 = n -p +1, n2 = n3 = = np = G1 có m cạnh Vậy m = số cạnh G1, đó: ( n  p )( n  p  1) m Định lý chứng minh 26/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THƠNG (tiếp) Hệ 1.3 (n  2)( n  1) Đồ thị G có n đỉnh số cạnh m  G liên thơng Chứng minh: Theo Định lý 1.9 thì: Suy ra: ( n  p )( n  p  1) m (n  2)( n  1) (n  p)( n  p  1) m 2 Bất đẳng thức thỏa mãn p = 1, G liên thông 27/63 ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ  Đồ thị gọi đầy đủ hai đỉnh có cạnh nối Ký hiệu Kn đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh - Đồ thị đầy đủ Kn đồ thị liên thông - Mỗi đỉnh Kn có bậc n-1 - Hai đỉnh nối với đường ngắn có độ dài 1, cạnh nối hai đỉnh 28/63 MỘT SỐ TÍNH CHẤT Đồ thị vơ hướng n đỉnh (n  3), khơng có đỉnh nút bậc đỉnh không nhỏ 2, ln có chu trình đơn Đồ thị n đỉnh (n  4) bậc đỉnh không nhỏ ln có chu trình đơn độ dài chẵn 29/63 MỘT SỐ TÍNH CHẤT (tiếp) Đồ thị n đỉnh (n  2) khơng có đỉnh nút ln có hai đỉnh bậc Nếu đồ thị n đỉnh (n  4) có hai đỉnh bậc hai đỉnh khơng thể đồng thời có bậc bậc n-1 Trong đồ thị n đỉnh (n  4) mà bốn đỉnh tuỳ ý có đỉnh kề với ba đỉnh cịn lại, số đỉnh bậc n-1 đồ thị khơng n-3 30/63