Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 3 pgs ts hoàng chí thành

CHƯƠNG CÁC TẬP HỢP ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ 1/61 NỘI DUNG  Tập ổn định  Tập ổn định  Nhân đồ thị 2/61 3.1 TẬP ỔN ĐỊNH TRONG Định nghĩa 3.1 Giả sử G = (V, F) đồ thị Tập B  V gọi tập ổn định đồ thị G nếu:  x  B : B  F(x) =  3/61 VÍ DỤ 3.1  Bài tốn tám quân hậu Hãy đặt quân hậu vào ô bàn cờ vua cho chúng không ăn lẫn 4/61 VÍ DỤ 3.1 (tiếp)  Xây dựng đồ thị vô hướng biểu diễn bàn cờ vua: - 64 ô bàn cờ 64 đỉnh, - Hai đỉnh x y có cạnh nối với đặt hai qn hậu vào hai đó, chúng ăn lẫn  Các cần tìm để đặt qn hậu tập ổn định gồm đỉnh 5/61 VÍ DỤ 3.1 (tiếp)  Bài tốn có 92 nghiệm suy từ 12 tập ổn định khác là: {A7,B2,C6,D3,E1,F4,G8,H5} {A6,B1,C5,D2,E8,F3,G7,H4} {A5,B8,C4,D1,E7,F2,G6,H3} {A3,B5,C8,D4,E1,F7,G2,H6} {A4,B6,C1,D5,E2,F8,G3,H7} {A5,B7,C2,D6,E3,F1,G4,H8} {A1,B6,C8,D3,E7,F4,G2,H5} {A5,B7,C2,D6,E3,F1,G8,H4} {A4,B8,C1,D5,E7,F2,G6,H3} {A5,B1,C4,D6,E8,F2,G7,H3} {A4,B2,C7,D5,E1,F8,G6,H3} {A3,B5,C2,D8,E1,F7,G4, H6} 6/61 VÍ DỤ 3.2 Bài tốn dung lượng thông tin (C.E Shannon) Giả sử máy phát truyền tín hiệu: a, b, c, d, e máy thu tín hiệu cho hai cách hiểu khác sau: a  p, q ; b  q, r ; c  r, s ; d  s, t ; e  t, p Hỏi số tín hiệu nhiều sử dụng để máy thu không bị nhầm lẫn bao nhiêu? 7/61 VÍ DỤ 3.2 (tiếp) Xây dựng đồ thị vô hướng gồm đỉnh a, b, c, d, e Hai đỉnh kề chúng biểu thị hai tín hiệu bị nhầm lẫn máy thu a b c d e p q r s t b a c e d Hình 3.1 Sự nhầm lẫn tín hiệu đồ thị biểu diễn 8/61 VÍ DỤ 3.2 (tiếp)  Tập tín hiệu cần chọn tập ổn định đây: {a, c} {a, d} {b, d} {b, e} {c, e} 9/61 TẬP ỔN ĐỊNH TRONG CỰC ĐẠI  Tập đỉnh B gọi tập ổn định cực đại thêm vào đỉnh làm tính ổn định  Tập B gọi tập ổn định lớn B tập ổn định có nhiều phần tử Lực lượng tập ổn định lớn gọi số ổn định đồ thị Ta thường ký hiệu số ổn định đồ thị u 10/61 TÌM NHÂN CỦA ĐỒ THỊ Thuật tốn 3.3 Chọn tập ổn định bé Kiểm tra xem có phải tập ổn định hay khơng Nếu ta nhận nhân bé Tăng dần số phần tử tập ổn định lặp lại phép kiểm tra, để nhận nhân khác Chú ý: Nếu đồ thị có số ổn định bé số ổn định ngồi đồ thị khơng có nhân 24/61 ỨNG DỤNG NHÂN VÀO TRỊ CHƠI  Trị chơi Nim: Có tập hợp hữu hạn hình trạng V Cho phép chuyển từ hình trạng sang số hình trạng khác, gọi nước Có tập hình trạng gọi tập hình trạng kết thúc Xuất phát từ hình trạng, hai đấu thủ chọn nước Ai rơi vào hình trạng kết thúc người thua 25/61 ỨNG DỤNG NHÂN VÀO TRÒ CHƠI (tiếp)  Biểu diễn đồ thị G = (V, F) cho trò chơi Nim sau: - Tập đỉnh V tập hình trạng -Với hình trạng x F(x) tập hình trạng chuyển đến trực tiếp từ x nước Nếu đồ thị biểu diễn trị chơi có nhân tất hình trạng kết thúc nằm nhân ta có chiến lược chắn thắng sau đây: 26/61 ỨNG DỤNG NHÂN VÀO TRÒ CHƠI (tiếp)  Chiến lược chắn thắng Tìm cách đưa đối thủ vào nhân Khi đối thủ nhân đối thủ chọn nước đến hình trạng nằm ngồi nhân Đến lượt ta đi, ngồi nhân ta ln chọn nước để đưa đối thủ trở vào nhân Đối thủ chắn bị thua ta thắng 27/61 VÍ DỤ 3.9 Giả sử ta có m que k số nguyên dương cho trước (k ≤ m) Hai người tham gia chơi bốc que: Đến lượt đi, người chơi phải bốc số que không vượt k Ai bốc que cuối người thắng 28/61 VÍ DỤ 3.9 (tiếp) Hình trạng trị chơi số que lại mặt đất Đồ thị trò chơi G = (V, F) với: - V = { m, m -1, , 1, } - F(x) = { x-1, x-2, , x-k }, tập có số âm ta bỏ 29/61 VÍ DỤ 3.9 (tiếp) Hàm Grundy đồ thị G là: g(x) = x mod (k+1) nhân tập B = { x x mod (k+1) = } Số hình trạng kết thúc nằm nhân Do vậy, m  B trước áp dụng chiến thuật trên, chắn ta thắng 30/61 VÍ DỤ 3.9 (tiếp) Đồ thị trò chơi bốc que với m = 10, k = 10 Hình 3.10 Đồ thị trị chơi bốc que 31/61 VÍ DỤ 3.9 (tiếp)  Hàm Grundy đồ thị trò chơi g(x) = x mod nhân đồ thị tập hợp B = {8, 4, 0}  Nếu trước, để thắng ta bốc que để cịn lại que (thuộc nhân B) Sau đối thủ bốc q que (1  q  3) ta bốc 4-q que, để số que cịn lại (vẫn thuộc nhân) Tiếp tục trên, đối thủ bốc q que (1 q  3) ta lại bốc 4-q que hết Đối thủ không cịn que để bốc ta thắng 32/61 VÍ DỤ 3.10 Có ba đống que với số lượng tương ứng m1, m2, m3 Hai người chơi bốc que Đến lượt đi, người chơi bốc số que tuỳ ý đống Ai bốc que cuối người thắng 33/61 VÍ DỤ 3.10 (tiếp) Trước hết, ta xét trị chơi đơn giản sau đây: Có đống gồm m que Hai người tham gia chơi, đến lượt người chơi phải bốc số que tuỳ ý Ai bốc que cuối người thắng 34/61 VÍ DỤ 3.10 (tiếp) Đồ thị trị chơi đồ thị định hướng có m+1 đỉnh: m, m-1, , 1, cặp (i, j) tạo nên cạnh i > j Hàm Grundy đồ thị là: g(x) = x Đồ thị trò chơi bốc ba đống que đồ thị tổng ba trò chơi riêng biệt mà ta vừa xét: G = G1 + G2 + G3 35/61 VÍ DỤ 3.10 (tiếp) Hàm Grundy G là: g((x,y,z)) = g1(x)  g2(y)  g3(z) Nhân đồ thị B = { (x,y,z) x y  z = } Hình trạng (0, 0, 0) hình trạng kết thúc nằm nhân Do vậy, áp dụng chiến thuật chơi 36/61 VÍ DỤ 3.10 (tiếp) Chẳng hạn, với m1 = 6, m2 = 5, m3 = Nếu trước, ta phải bốc đống thứ hai que để dẫn tới đỉnh (6, 4, 2)  B Sau đối thủ bốc dẫn tới đỉnh nằm ngồi nhân, ta bốc để dẫn đến đỉnh nằm nhân 37/61 VÍ DỤ 3.10 (tiếp) Chẳng hạn, bốc que đống thứ ta bốc que đống thứ hai dẫn tới hình trạng (3,1,2)  B Anh ta lại bốc que đống thứ ta bốc que đống thứ ba để dẫn tới hình trạng (0, 1, 1)  B Anh ta bốc que đống ta bốc nốt que đống lại thắng  Có thể mở rộng trị chơi thành trò chơi với số đống que tuỳ ý 38/61