Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Định thức

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Định thức cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Tính định thức; Định thức và các phép biến đổi sơ cấp trên dòng; Định thức và ma trận khả nghịch; Phương pháp Cramer. Mời các bạn cùng tham khảo!

ử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức ⎛ ⎜ ⎜ A=⎜ −3 ⎜⎜ ⎝ −1 ⎞ ⎟ −2 ⎟ − 2⎟ ⎟⎟ ⎠ Định thức - phép biến đổi sơ cấp Giải −1 −1 − h3 → h3 + 2h1 − | A |= − − h4 → h4 − h1 1 −1 | A| Khai triển theo cột số −2 | A |= − 5 −2 ⋅ (−1)1+ −1 = −(−2) ⋅ (−1)1+ = −30 5 Định thức - phép biến đổi sơ cấp det (AT) = det (A) det(AB) = det(A) det(B) Ma trận có hàng (cột) khơng, det (A) = Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, det (A) = Chú ý: det(A+B) ≠ det(A) + det(B) Định thức - ma trận khả nghịch Định lý Ma trận vuông A khả nghịch det(A) ≠ Chứng minh Giả sử A ma trận khả nghịch nxn Khi tồn ma trận khả nghịch A-1, cho AA-1 = I Suy det(AA-1) = det (I) det(A) ≠ det(A).det(A-1) = Giả sử det(A) ≠ Khi A −1 = PA , với A ⎡ A11 ⎢A PA = ⎢ 21 ⎢ M ⎢A ⎣ n1 A12 L A22 L M An L A1n ⎤ A2 n ⎥ ⎥ M⎥ Ann ⎥⎦ T Định thức - ma trận khả nghịch * ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a j1 a j1 ! a j1 ⎟ ⎟ A=⎜ * ⎜ ⎟ ⎜ ai1 ai1 ! ai1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎧⎪ | A |, i = j * ⎝ ⎠ ai1 A j1 + ai2 A j +!+ ain A jn = ⎨ ⎪⎩ 0, i ≠ j * ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a j1 a j1 ! a j1 ⎟ ⎟ B=⎜ * ⎜ ⎟ ⎜ a j1 a j1 ! a j1 ⎟ ⎜ ⎟ * ⎝ ⎠ Định thức - ma trận khả nghịch Cơng thức tính ma trận nghịch đảo A-1 Cho A ma trận khả nghịch Khi A = PA , với A −1 ⎡ A ⎢ 11 ⎢ A21 PA = ⎢ ⎢ ! ⎢ A ⎣ n1 A12 ! A1n A22 ! A2n ! ! An2 ! Ann ⎤T ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Định thức - ma trận khả nghịch Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo Giải ⎡1 1 ⎤ A = ⎢2 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 0⎥⎦ A khả nghịch det( A) = −2 ≠ Tính phần bù đại số phần tử 1+1 1+ 2 A11 = (−1) = −4; A12 = (−1) = 3; A = (−1)1+3 = −1 13 3 A21 = 4; A22 = −3; A23 = −1; A31 = −2; A32 = 1; A33 = ⎡ −4 −2 ⎤ ⎢ −1 A = −3 ⎥ ⎥ −2 ⎢ ⎢⎣ −1 −1 ⎥⎦ Định thức - ma trận khả nghịch Tính chất ma trận nghịch đảo 1 det( A ) = det( A) −1 Nếu A khả nghịch, det( PA ) = (det( A))n−1 Định thức - ma trận khả nghịch Ví dụ Tính det(A), ⎛2 ⎜3 A=⎜ ⎜4 ⎜ ⎝ −3 −1 ⎞ −2 ⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 2⎠ Định thức - ma trận khả nghịch Ví dụ Tính det(A), với ⎛ ⎜ −2 A=⎜ ⎜ −2 ⎜ ⎝5 1 0⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠ Quy tắc Cramer ... 5⎟ ⎝ ⎠ 1) Tính det (A-1) 2) Tính det (5A )-1 3) Tính det (PA) 3 Định thức - ma trận khả nghịch Ví dụ Cho A ∈ M 3[ R ]; B ∈ M 3[ R ];det( A) = 2;det( B) = −3 1) Tính det (4AB )-1 2) Tính det (PAB)... ⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 2⎠ Định thức - ma trận khả nghịch Ví dụ Tính det(A), với ⎛ ⎜ −2 A=⎜ ⎜ −2 ⎜ ⎝5 1 0⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠ Định thức - ma trận khả nghịch Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo cách tính định thức ⎛1 ⎞ A... ⎢ ⎢⎣ −1 −1 ⎥⎦ Định thức - ma trận khả nghịch Tính chất ma trận nghịch đảo 1 det( A ) = det( A) −1 Nếu A khả nghịch, det( PA ) = (det( A))n−1 Định thức - ma trận khả nghịch Ví dụ Tính det(A), ⎛2