Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa; Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao; Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 5: Dạng Toàn Phương Dạng Toàn phương - Định nghĩa Dạng toàn phương Rn hàm thực f : R n  R X  ( x1, x2 , , xn )  R n : f ( X )  X T  A  X A ma trận đối xứng thực gọi ma trận dạng toàn phương (trong sở tắc) Ví dụ Cho  x1  x   x2   3  A     Khi ta có dạng tồn phương R2 T x Ax   x1  3  x1  2 x2    x  x x  x 1 2  x      Dạng Toàn phương - Dạng toàn phương R3 thường ghi dạng f (x )  f ( x , x , x )   A x12  B x 22  C x32  Dx 1x  Ex 1x  2Fx 2x Ma trận dạng toàn phương lúc ma trận đối xứng A M  D  E  Khi f(x) viết lại  ( x1 x2 D E B F  F C  f (x )  f ( x , x , x )   A D E  x1  x3 )  D B F  x2   x T  M  x     E F C  x     Dạng Toàn phương - Ví dụ  x1  x   x   R :   x   3 f ( x)  3x12  x22  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 Viết ma trận dạng toàn phương Giải  3  A 2     3 4     f ( x)  xT Ax   x1 x2  3   x1  x3   2   x2      3 4  x     Dạng Toàn phương - Cho dạng toàn phương f ( x)  xT Ax, với x  ( x1 x2 x3 )T Vì A ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa ma trận trực giao P ma trận chéo D: A  PDP T Khi đó: Đặt Ta có f (x )  x T PDP T x  (P T x )T D (P T x ) y  P T x  x  Py f ( y )  y T Dy  1  f ( y)  ( y1 y2 y3 )  2  0   y1   y2     3  y    f ( y )  f ( y 1, y , y )  1 y 12  2 y 22  3 y 32 Dạng Toàn phương - Định nghĩa Dạng toàn phương f ( y )  y T Dy gọi dạng tắc dạng tồn phương f (x )  x T A x Dạng tắc dạng tồn phương có số hạng bình phương Ma trận A ma trận dạng toàn phương f (x )  x T A x sở tắc Ma trận D ma trận dạng toàn phương f (x )  x T A x sở tạo nên từ cột ma trận trực giao P Khi làm việc với dạng tồn phương ta làm việc với ma trận A, làm việc với ma trận D Tất nhiên ma trận D có cấu trúc đơn giản Dạng Toàn phương - Dạng toàn phương f (x )  x T A x ln ln đưa dạng tắc f ( y )  y T Dy cách chéo hóa trực giao ma trận A dạng toàn phương Phép biến đổi gọi phép biến đổi trực giao đưa dạng tồn phương dạng tắc Cịn có nhiều phương pháp đưa dạng tồn phương tắc khác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay phép biến đổi sơ cấp) Phép biến đổi trực giao phức tạp có ưu điểm ta cịn làm việc với sở trực chuẩn (cơ sở từ cột ma trận P) Dạng Toàn phương - Đưa dạng tồn phương dạng tắc biến đổi trực giao Bước Viết ma trận A dạng tồn phương (trong tắc) Bước Chéo hóa A ma trận trực giao P ma trận chéo D Bước Kết luận P T AP  D Dạng tắc cần tìm là: f ( y )  y T Dy Với D ma trận dạng toàn phương ban đầu sở trực chuẩn từ cột ma trận trực giao P T y  P x Phép biến đổi cần tìm: Dạng Toàn phương - Ví dụ Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi trực giao Nêu rõ phép biến đổi f ( x1, x2 , x3 )  3x12  6x22  3x32  4x1x2  8x1x3  4x2 x3 Ma trận dạng toàn phương ma trận đối xứng:  2  A   2     3   Dạng Toàn phương - Chéo hóa A ma trận trực giao P (đã làm ví dụ trước)    P     2 1  18   1/   18  2   18  7 0  D  0     0 2    2 f ( y , y , y )  y  y  y Dạng tắc cần tìm là: 3 Phép biến đổi cần tìm: x  Py  x1   y1   x2   P  y      x  y   3  3 Dạng Toàn phương - Đưa toàn phương dạng tắc biến đổi Lagrange Phép biến đổi x = Py gọi phép biến đổi không suy biến ma trận P ma trận không suy biến Nội dung phương pháp Lagrange sử dụng phép biến đổi không suy biến đưa dạng tồn phương dạng tắc Phép biến đổi dễ thực dùng phép biến đổi sơ cấp, khơng cần tìm TR, VTR ma trận Nhược điểm phép biến đổi ta làm việc với dạng tắc sở thường khơng trực chuẩn Dạng Tồn phương - Đưa tồn phương dạng tắc biến đổi Lagrange x Bước Chọn thừa số khác khơng hệ số k Lập thành hai nhóm: nhóm gồm tất hệ số chứa x k , nhóm cịn lại khơng chứa số hạng Bước Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương Ta có tổng bình phương dạng tồn phương khơng chứa hệ số x k Bước Sử dụng bước 1, cho dạng toàn phương không chứa hệ số x k Chú ý: Nếu dạng toàn phương ban đầu tất hệ số x k 0, ta chọn thừa số khác hệ số x i x j Đổi biến: (k  i , j ) : y k  x k ; x i  y i  y j ;x j  y i  y j Dạng Toàn phương Ví dụ Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi f ( x1, x2 , x3 )  3x12  6x22  3x32  4x1x2  8x1x3  4x2 x3 Chọn thừa số 3x 12 Lập thành hai nhóm: f ( x1 , x2 , x3 )  (3x12  x1 x2  x1 x3 )  (6 x22  x32  x2 x3 ) f ( x1 , x2 , x3 )  3( x12  x1 x2  x1 x3 )  (6 x22  3x32  x2 x3 ) 3 Lập thành tổng bình phương đủ nhóm 16 16 f  3( x1  x2  x3 )2  x2 x3  x22  x32  (6 x22  x32  x2 x3 ) 3 3 Dạng Toàn phương 14 28 f  3( x1  x2  x3 )  ( x2  x2 x3  x3 ) 3 3 14 28 Lặp lại từ đầu cho dạng toàn phương: x2  x2 x3  x3 3 14 Chọn thừa số x2  14 x  28 x x   x 14 Lập nhóm:  x2  x2 x3  x3 2 3  3  3  Lập thành tổng bình phương đủ nhóm đầu 14 14  x2  x3   x3  x3 3 14   x  x   7x 32  Dạng Toàn phương 14 f  3( x1  x2  x3 )2   x2  x3   x32 3 y   Đặt:  y2 y    x1  x2  x3 3  x2  x3  x3 Vậy dạng tắc cần tìm là: (*) phép biến đổi cần tìm f  y12 (*) 14  y2  y32 Dạng Toàn phương Ví dụ Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi f ( x1, x2 , x3 )  4x1x2  4x1x3  4x2 x3 Trong dạng tồn phương khơng có hệ số chứa x k Chọn hệ số tùy ý chứa xmxn, ví dụ: 4x1x2 Đổi biến:  x1  y1  y2   x2  y1  y2  x y  3 f  y12  y22  4( y1  y2 ) y3  4( y1  y2 ) y3 Dạng Toàn phương f  y12  y1 y3  y22  f  (4 y12  y1 y3 )  y22  f  4( y12  y1 y3 )  y22  f  4( y1  y3 )  y22  y32 Đổi biến:  z1  y1  y3   z  y2  z y  3 2 Dạng tắc cần tìm là: f ( z1 , z2 , z3 )  z1  z2  z3  x1  z1  z2  z3 Phép biến đổi cần tìm:   x2  z1  z2  z3  x3  z3  Dạng Toàn phương - Định nghĩa Dạng toàn phương f (x) = xTAx gọi là: xác định dương, (x  0) : f (x )  xác định âm, (x  0) : f (x )  nửa xác định dương, (x ) : f (x )  (xi  0) : f ( xi )  nửa xác định âm, (x ) : f (x )  (xi  0) : f ( xi )  không xác định dấu, (xi  x j ) : f ( xi )   f ( x j )  Dạng Toàn phương - Giả sử dạng toàn phương đưa tắc được: f ( y )  1 y 12  2 y 22   n y n2 Nếu (k  1, , n ) : k  0, dạng tồn phương xđ dương Nếu (k  1, , n ) : k  , dạng tồn phương xđ âm Nếu (k  1, , n ) : k  k  , nửa xđ dương Nếu (k  1, , n ) : k  k  , nửa xđ âm Nếu 1  0; 2  0, dạng tồn phương khơng xác định dấu Dạng Tồn phương - Giả sử dạng toàn phương đưa tắc được: f ( y )  1 y 12  2 y 22   n y n2 Số hệ số dương gọi số dương quán tính Số hệ số âm gọi số âm quán tính Tồn nhiều phương pháp đưa dạng tồn phương dạng tắc Các dạng tắc thường khác Có điểm chung dạng tắc là: số lượng hệ số âm số lượng hệ số dương khơng thay đổi Luật qn tính Chỉ số dương quán tính, số âm quán tính dạng tồn phương đại lượng bất biến khơng phụ thuộc vào cách đưa dạng tồn phương dạng tắc Dạng Toàn phương - Định nghĩa Cho ma trận thực A vuông cấp n Tất định thức tạo nên dọc theo đường chéo gọi định thức cấp 1, 2,…, n  a11 a12 a13  a1n  a  a a  a 23 2n   21 22 A   a31 a32 a33  a3n          a  a a  a  n1 n n nn  1 2 3  n Dạng Toàn phương - Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng toàn phương f (x) = xTAx  f (x ) xác định dương (i  1, n ) :  i   f (x ) xác định âm (i  1, n ) : (1)i  i  Dạng Toàn phương Ví dụ Với giá trị m dạng toàn phương sau xác định dương f ( x1, x2 , x3 )  x12  x22  mx32  2x1x2  8x1x3  4x2 x3  1  Ma trận dạng toàn phương là: A   1     m   Dạng toàn phương xác định dương định thức dương 1  a11   3  1 1 2  30 1 1 4 2 0 m  m  28 Dạng Toàn phương Ví dụ Tìm m để dạng tồn phương khơng xác định dấu f ( x1, x2 , x3 )  x12  5x22  mx32  4x1x2  6x1x3  2x2 x3 Đưa dạng toàn phương tắc biến đổi Lagrange f  (x 12  4x 1x  6x 1x )  (5x 22  mx 32  2x x )  f  (x  2x  3x )2  x 22  14x x  (m  9)x 32  f  (x  2x  3x )2  (x  7x )2  (m  58)x 32 Dạng tồn phương khơng xác định dấu có hệ số âm hệ số dương  m  58 ... - Giả sử dạng tồn phương đưa tắc được: f ( y )  1 y 12  2 y 22   n y n2 Số hệ số dương gọi số dương quán tính Số hệ số âm gọi số âm quán tính Tồn nhiều phương... thường khác Có điểm chung dạng tắc là: số lượng hệ số âm số lượng hệ số dương không thay đổi Luật quán tính Chỉ số dương quán tính, số âm qn tính dạng tồn phương đại lượng bất biến không phụ thuộc... - Đưa toàn phương dạng tắc biến đổi Lagrange x Bước Chọn thừa số khác không hệ số k Lập thành hai nhóm: nhóm gồm tất hệ số chứa x k , nhóm cịn lại khơng chứa số hạng Bước Trong