Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Các phép toán trên các ma trận; Định thức; Ma trận khả nghịch; Hạng của ma trận;...Mời các bạn cùng tham khảo!

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ThS Lê Nhật Nguyên Chương 1: Ma trận – Định thức – Hệ Phương Trình Bài 1: Ma trận Định nghĩa Cho số nguyên dưương m, n Ma trận A cỡ m  n bảng hình chữ nhật gồm m.n số aij (i=1,…,m; j=1,…,n) đưược thành m dòng, n cột:  a11 a 21  A    am1 a12 a22  am  a1n    a2 n    a   a  ij  mn  ij mn     amn  aij phần tử (số hạng) nằm dòng thứ i, cột thứ j Khi m=1, A đưược gọi ma trận dòng: A   a1 a1  a1 n  Khi n=1, A đưược gọi ma trận cột  a1  a  A   21        a m1  Đặc biệt m=n=1, A gồm phần tử: A   a1  Ta đồng A với phần tử Ví dụ  2  A  1 5  1  0 0 D  0   1  3 B  2   0 C   0 3  Ma trận khơng Là ma trận có tất phần tử Ký hiệu: Omn hay O Ví dụ 0 0 O23 0 0 0 0  O  32    0   0  Nhận xét Có nhiều ma trận không khác Ma trận Hai ma trận A B cỡ mn gọi tất phần tử vị trí tưương ứng Ký hiệu A = B 3 2  3 2  Ví dụ A  1 5 E  1 5 2 1  2 1  A=E So sánh O23 O32 ? O23  O32 Ma trận vuông Khi số hàng số cột (m=n), A = [aij]n gọi ma trận vuông cấp n Đường chéo phụ  a11 a12 a a 21 22  A    an1 an  a1n    a2n      ann  Một số ma trận vng đặc biệt: Đường chéo a11 a22 ann Ma trận vuông a) Ma trận đơn vị Là ma trận vng có phần tử đưường chéo 1: a11 = a22 = = ann =1 tất phần tử nằm ngồi đường chéo Ký hiệu In hay I.   0  0  In          0  1 cấp và cấp ? vị Hỏi: Viết các 1ma0trận đơn  I2   0  I3  0   0   Ma trận vuông b) Ma trận đối xứng Là ma trận vuông A   aij  n thỏa mãn: aij  a ji với i,j Ví dụ  1 A    1 5   Nhận xét Các phần tử đối xứng qua đưường chéo c) Ma trận phản đối xứng Là ma trận vuông A   aij  thỏa mãn: aij  a ji với i,j n Hỏi: aii =? aii = - aii  aii =  aii = (i=1,2,…,n) Ma trận vuông b) Ma trận phản đối xứng Là ma trận vuông A = [aij]n thỏa mãn: aij = - aji với i,j Hỏi: aii =? aii = - aii  aii =  aii = (i=1,2,…,n) Nhận xét Các phần tử đối xứng qua đưường chéo đối nhau, phần tử đưường chéo  3 Ví dụ A   2   1  Bài 2: Các phép toán ma trận Phép cộng Cho ma trận A   aij  Ví dụ B  bij  mn A  B   aij  bij   3 A   2    1  A B     3   m n cỡ mn m n  2  B     1 1 A B      1   Bài tập: Hãy tìm định thức khác khơng cấp cao ma trận sau: 2  6  0 3 Ta nói ma trận A có hạng Bài 5: Hạng ma trận Định nghĩa hạng ma trận Cho ma trận A cỡ m x n Hạng ma trận A cấp cao định thức khác không A Ký hiệu rank(A) hay r(A) Chú ý r(A)  {m,n} r(A) = A=O r(At) = r(A) Ma trận bậc thang • Định nghĩa Ma trận A cỡ mxn đưược gọi bậc thang (dòng) thoả mãn điều kiện sau: – Các hàng khác không (có phần tử khác khơng) ln nằm phía hàng khơng (có tất phần tử =0) có – Trên hai hàng khác khơng phần tử khác khơng hàng dưưới (tính từ trái qua) nằm bên phải cột chứa phần tử khác khơng hàng Ví dụ 2 1  0 A  0 1  , B   0 0 0   0 0 0 C 0  0 0 0 0 0  , D 0 0 1   0 0 0 1 0 0  , 3  0 1  2 3 1  0 0 Hạng ma trận bâc thang số dịng khác khơng nó.r(A)=3, r(C)=3 Tính hạng ma trận cách dùng phép biến đổi sơ cấp • Các phép biến đổi sau ma trận đưược gọi phép biến đổi sơ cấp: 1) Đổi chỗ hai dòng (cột) 2) Nhân dòng (cột) với số k khác 3) Nhân dòng (cột) với số k cộng vào dịng (cột) khác • Chú ý - Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận - Mọi ma trận đưa ma trận bậc thang phép biến đổi sơ cấp Ví dụ Tìm hạng ma trận sau: 3  A  1  3 7 1   h1  h2        5  7  5     1 3h1h2 h2h3 2h1h3     0 2 4 8  0 2 4 8 0 1 2 4 0 0  r(A)=2 VD: Tìm hạng ma trận sau: 3 2 A 5  7 1 3 1 4 1 2   h  h1    5 2   7 7 1  1 0 7 13     0 14 26 12 3    14  26   2 h1 h 5 h1 h 7 h1 h 1  1 0 7 13  h 3 h    0 0 4 2    0 0    1 0 2 h  h 2 h  h    0  0 1 1 3 1 7 7  13 1 0 4 r(A)=4 1  2  7 1  5  2  VD: 1 2 A 3  4 4 6 12 12 16 1 0 h 2 h3   0  0 0 0 0 5 1 2 h1 h  11  34hh11 hh34  0 0   0 0 14    20  0 0 5   r ( A )   0  0 5  1  0 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Khái niệm Hệ phương trình tuyến tính với m phương trình, n ẩn số có dạng:  a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a x  a x    a x  b  21 22 2n n   am1 x1  am x2    amn xn  bm aij (i=1,…,m; j=1,…,n) hệ số ẩn, bi (i=1,…,m) hệ số tự do, x1,…, xn ẩn số Khi b1 = b2 = =0: Ta gọi hệ phương trình tuyến tính Điều kiện có nghiệm Ma trận hệ số Đặt (Ma trận chính)  a11 a A   21    am1 a12 a22  am  a1n   a2 n       amn  Ma trận bổ sung (Ma trận suy rộng)  a11  a21  A    am1 a12 a22  am  a1n b1    a2 n b2       amn bm  Nhận xét r ( A)  r ( A) Định lý (Kronecker-Capelli) Hệ Phương trình tuyến tính có nghiệm  r ( A)  r ( A) Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính Từ ĐL (Kronecker-Capelli) ta có kết luận: Hệ vơ nghiệm (i ) r ( A)  r ( A) ( ii ) r ( A )  r ( A )  n (n: số ẩn) Hệ có nghiệm (iii ) r ( A)  r ( A)  r  n Hệ có vơ số nghiệm (có n-r nghiệm tự do) Phương pháp khử Gauss: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận bổ sung A (và A) dạng bậc thang, so sánh r ( A), r ( A) từ suy kết Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y  z  5t   4 x  y  z  t  14   6 x  y  z  2t  13  x  y  z  t  2   A  6   2  h 3 h  13   0   2  h  h3  2   0   3 4 6 9 1 3 2 3 4 0 3 4 0 0 2  13   h 1 h   3 h1 h  14   h 1 h      0 13        13  2   1  9 h  h 2 h  h    11 40      0    22    13   1  2   0  3 4 13 3 4 0 0  13    11 40   13 52    22   13   1  2    14  Ta thấy r ( A)  r ( A)   (số ẩn) Hệ có vơ số nghiệm Hệ trở thành: 2x-3y-8-10=-13  2x-3y=5 3a  x   2 x  y  z  5t  13   y  a (a  R)   z  t    z2  t  2    t  2  3 4 13   0     0 2  Ví dụ Giải biện luận hpt theo tham số m  3t   x  2y 2 x  y  z  5t  16   3 x  y  z  8t  23 5 x  12 y  z  13t  m 1   A 3   12  1 2 h1 h   3 h1 h 16  5 h1 h     0 1 23   13 m  0 1      0 1 1  0 0 m  39  2 h  h bo h 3   1   1  2 m  35 r ( A)  2 , m  39 r ( A)   3 , m  39 Kết luận: • Khi m  39: Hệ vơ nghiệm r ( A)  r ( A) • Khi m = 39: r ( A)  r ( A)   Hệ có vơ số nghiệm Hệ trở thành:  x   2a  5b   3t  x  y y  2 a b   y  z t   z  a t  b x+4-2a+2b+3b=7 ... n =1: A = [a 11] det(A) = a 11  a 11 a12  A   a 21 a22  a 11 a12 det( A)   a11a22  a21a12 a 21 a22 b) n=2 b) n=3 a 11 det( A)  a 21 a 31 a12 a22 a32 a22  a 11 a32 a13 a23  a 11 | M 11 |  a12... 12 |  a13 | M 13 | a33 a23 a 21 a23 a 21 a22  a12  a13 a33 a 31 a33 a 31 a32 (a11a22a33 a12a23a 31 a13a32a 21) (a13a22a 31 a23a32a 11 a33a21a12) b) n=3 a 11 det( A)  a 21 a12 a22 a13 a23  a 11. .. cách sau - Tính theo cột 1: det(A)= a 11 |M 11| - a 21 |M 21| +…+ ( -1 ) n+1an1 |Mn1| - Tính theo dịng i: det(A)= ( -1 ) i +1 ai1 |Mi1| + ( -1 ) i+2 ai2 |Mi2| +… + ( -1 ) i+nain |Min| - Tính theo cột j: 1? ?? j 2