Làm cách nào để giải hệ phương trình có số ẩn và số phương trình lớn?. lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 1.. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG[r]
(1)ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016
Chương 1
MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
lvluyen@hcmus.edu.vn
http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/dsb1
FB:fb.com/daisob1
(2)Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính
2x+y = 5; 4x−y =
Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính
−x +y +z = 1;
4x −3y +5z = 6; 2x +y −z =
Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính
−2x +2y +z +2t = 1; 2x −2y +3z −3t = 2; x +y +z −2t = 2; 3x +4y −5z +2t =
Hỏi.Làm cách để giải hệ phương trình có số ẩn số phương trình lớn?
(3)Nội dung
Chương 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận
2 Các phép biến đổi sơ cấp dịng
3 Hệ phương trình tuyến tính
4 Ma trận khả nghịch
(4)1.1 Ma trận
1 Định nghĩa ký hiệu
2 Ma trận vng
3 Các phép tốn ma trận
Một số ký hiệu
• N={0,1,2, } tập hợp số tự nhiên
• Z={0,1,−1,2,−2, }tập hợp số nguyên
• Q=m
n |m, n∈Z, n6= tập hợp số hữu tỉ
• R: Tập hợp số thực
• C: Tập hợp số phức
(5)1.1.1 Định nghĩa ký hiệu
Định nghĩa.Mộtma trận Acấpm×ntrênRlà bảng chữ nhật gồm m dịngncột với m×nphần tử R, có dạng
A=
a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn
Ký hiệu
A= (aij)m×n hayA= (aij), đóaij ∈R aij hay Aij phần tử vị trí dịngi cộtj củaA
(6)Ví dụ A=
1 −3 −6
∈M2×3(R); B =
1 2
∈M3×2(R)
Định nghĩa Ma trận có tất phần tử bằng0 gọi làma trận không, ký hiệu 0m×n (hay0)
Ví dụ
03×4=
0 0 0 0 0 0
(7)1.1.2 Ma trận vuông
Định nghĩa Nếu ma trậnA có số dịng số cột A gọi ma trận vuông
A=
a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann
Mn(R): Tập hợp tất ma trận vng cấpn trênR
Ví dụ
A=
−1
2 −1
∈M3(R); 03 =
0 0 0 0 0
(8)Định nghĩa NếuA= (aij)∈Mn(R)thì đường chứa phần tử a11, a22, , ann gọi làđường chéo (hayđường chéo)
củaA
A=
a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann
Ví dụ
A=
1
−2 −3
2 −2
(9)Định nghĩa ChoA= (aij)∈Mn(R).Khi
Nếu phần tử nằmdưới đường chéo Ađều (nghĩa aij = 0,∀i > j) thìA gọi ma trận tam giác Nếu phần tử nằmtrên đường chéo A 0(nghĩa aij = 0,∀i < j) thìA gọi ma trận tam giác Nếu phần tử nằmngoài đường chéo (nghĩa
aij = 0,∀i6=j) thìA gọi làma trận đường chéo, ký hiệu
A=diag(a1, a2, , an)
Ví dụ A=
1 −3 0
, B =
1 0
−2 0
−1 −4
C=diag(−1,0,5) =
−1 0 0 0
(10)Nhận xét Ma trận A ma trận đường chéo vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác
Định nghĩa Ma trận vuông cấpn có phần tử đường chéo 1, phần tử nằm đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệuIn (hoặc I)
Ví dụ
I2=
1 0
; I3 =
1 0 0
(11)1.1.3 Các phép toán ma trận a) So sánh hai ma trận
Định nghĩa ChoA, B∈Mm×n(R).Khi đó, nếuaij =bij,∀i, j thìA B gọi làhai ma trận nhau, ký hiệuA=B
Ví dụ Tìmx, y, z để
x+ 1 2x−1 z
=
3y−4 y−1 2z+
?
Giải.Ta có
x+ = 3y−4; 2x−1 = y−1;
z = 2z+ ⇔
(12)b) Chuyển vị ma trận
Định nghĩa ChoA∈Mm×n(R).Ta gọi ma trận chuyển vị củaA, ký hiệu A>, ma trận cấp n×m, có từA cách xếp dòng củaA thành cột tương ứng, nghĩa
A=
a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn
thìA>=
a11 a21 am1
a12 a22 am2
a1n a2n amn
Ví dụ
NếuA=
1 −1 −8 −3
thìA
>=
1
−1 −8
4 −3
(13)
Tính chất Cho A, B ∈Mm×n(R) Khi đó: i) (A>)> =A;
ii) A>=B>⇔A=B
Định nghĩa ChoA∈Mm×n(R).NếuA>=Athì ta nói A làma trận đối xứng
Ví dụ.Cho A=
1 −2
−2
.Hỏi Acó ma trận đối xứng khơng?
Giải.Ta cóA>=
1 −2
−2
.Suy raA=A>.Vậy Alà ma trận
(14)c) Nhân số với ma trận
Định nghĩa Cho ma trậnA∈Mm×n(R), α∈R.Ta định nghĩa tích củaα với A(ký hiệu αA) ma trận xác định cách nhân phần tử củaA vớiα, nghĩa
(αA)ij =αAij,∀i, j
Nếuα =−1, ta ký kiệu(−1)A bởi−A gọi ma trận đối củaA
Ví dụ ChoA=
3 1 −3
.Khi
1 2A=
6 2 −6
2 −A=
−3 −4 −1 −1
(15)
Tính chất Cho A ma trận vàα, β ∈R, ta có
i) (αβ)A=α(βA);
ii) (αA)>=αA>;
iii) 0.A=0 1.A=A
d) Tổng hai ma trận
Định nghĩa ChoA, B∈Mm×n(R).Khi đótổng củaA vàB, ký hiệu A+B ma trận xác định bởi:
(A+B)ij =Aij +Bij Nhận xét Để tính A+B thì:
1 A vàB cấp;
2 Các vị trị tương ứng cộng lại.
(16)Ví dụ ChoA= −3
vàB =
2 −3 2
.TínhA>+ 2B
−3A+ 2B>? Giải
• A>+ 2B =
1 −3
+
4 −6 4
=
5 10 −5
• −3A+ 2B>=
−3 −6 −3 −9 + 4 −6 = 13 2 −9 −5
Ví dụ.(tự làm) ChoA=
1 −3 −3
vàB =
3 −2
.Tính
2A−5I3 và3A−2B>?
(17)Tính chất Cho A, B, C ∈Mm×n(R) α, β∈R, ta có i) A+B =B+A (tính giao hốn);
ii) (A+B) +C=A+ (B+C) (tínhkết hợp);
iii) 0m×n+A=A+ 0m×n=A;
iv) A+ (−A) = (−A) +A= 0m×n; v) (A+B)>=A>+B>;
vi) α(A+B) =αA+αB;
vii) (α+β)A=αA+βA;
(18)e) Tích hai ma trận
Định nghĩa Cho hai ma trậnA∈Mm×n(R), B∈Mn×p(R).Khi đó, tích củaA vớiB (ký hiệuAB) ma trận thuộc Mm×p(R) xác định bởi:
(AB)ij :=Ai1B1j+Ai2B2j+· · ·+AinBnj
a11 a12 a1n ai1 ai2 ain
am1 am2 amn
b11 b1j b1p
b21 b2j b2p
bn1 bnj bnp
(19)Nhận xét Để tính tích AB thì:
1 Số cột A số dịng B;
2 Phần tử thứi, j củaAB dịng icủa A nhân cột j củaB
Ví dụ ChoA=
1 −1
;B=
−2 1
vàC =
3 −2
.Tính
AB, BA, AC, CA, BC, CB? Giải
• AB=
1 −1
−2 1 = −3 11
• BA=
−2 1
1 −1
=
11 1 −4
(20)• AC khơng tồn tạivì số cột củaA khơng số dịng C
• CA=
3 −2
1 −1
=
9 −1 −5 −3
• BC =
−2 1 −2 = −2 −5 −6 −2
• CB khơng tồn tạivì số cột củaA khơng số dịng C Ví dụ.(tự làm) ChoA=
1 −2
−1
;B =
2 −2 −4
TínhAB> vàA>B?
Đáp án AB> =
−4 −13 −6
; A>B =
1 10 −12 12 15 −18 18
−3 −4 −3