1. Trang chủ
  2. » Lịch sử

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - Lê Văn Luyện

20 46 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 20
Dung lượng 372,62 KB

Nội dung

Làm cách nào để giải hệ phương trình có số ẩn và số phương trình lớn?. lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 1.. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG[r]

(1)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016

Chương 1

MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

lvluyen@hcmus.edu.vn

http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/dsb1

FB:fb.com/daisob1

(2)

Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính

2x+y = 5; 4x−y =

Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính

  

−x +y +z = 1;

4x −3y +5z = 6; 2x +y −z =

Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính

      

−2x +2y +z +2t = 1; 2x −2y +3z −3t = 2; x +y +z −2t = 2; 3x +4y −5z +2t =

Hỏi.Làm cách để giải hệ phương trình có số ẩn số phương trình lớn?

(3)

Nội dung

Chương 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG

TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận

2 Các phép biến đổi sơ cấp dịng

3 Hệ phương trình tuyến tính

4 Ma trận khả nghịch

(4)

1.1 Ma trận

1 Định nghĩa ký hiệu

2 Ma trận vng

3 Các phép tốn ma trận

Một số ký hiệu

• N={0,1,2, } tập hợp số tự nhiên

• Z={0,1,−1,2,−2, }tập hợp số nguyên

• Q=m

n |m, n∈Z, n6= tập hợp số hữu tỉ

• R: Tập hợp số thực

• C: Tập hợp số phức

(5)

1.1.1 Định nghĩa ký hiệu

Định nghĩa.Mộtma trận Acấpm×ntrênRlà bảng chữ nhật gồm m dịngncột với m×nphần tử R, có dạng

A=

   

a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn

   

Ký hiệu

A= (aij)m×n hayA= (aij), đóaij ∈R aij hay Aij phần tử vị trí dịngi cộtj củaA

(6)

Ví dụ A=

1 −3 −6

∈M2×3(R); B =  

1 2

∈M3×2(R)

Định nghĩa Ma trận có tất phần tử bằng0 gọi làma trận không, ký hiệu 0m×n (hay0)

Ví dụ

03×4=  

0 0 0 0 0 0

 

(7)

1.1.2 Ma trận vuông

Định nghĩa Nếu ma trậnA có số dịng số cột A gọi ma trận vuông

A=

   

a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann

   

Mn(R): Tập hợp tất ma trận vng cấpn trênR

Ví dụ

A=

 

−1

2 −1

∈M3(R); 03 =  

0 0 0 0 0

(8)

Định nghĩa NếuA= (aij)∈Mn(R)thì đường chứa phần tử a11, a22, , ann gọi làđường chéo (hayđường chéo)

củaA

A=

   

a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann

   

Ví dụ

A=

 

1

−2 −3

2 −2

 

(9)

Định nghĩa ChoA= (aij)∈Mn(R).Khi

Nếu phần tử nằmdưới đường chéo Ađều (nghĩa aij = 0,∀i > j) thìA gọi ma trận tam giác Nếu phần tử nằmtrên đường chéo A 0(nghĩa aij = 0,∀i < j) thìA gọi ma trận tam giác Nếu phần tử nằmngoài đường chéo (nghĩa

aij = 0,∀i6=j) thìA gọi làma trận đường chéo, ký hiệu

A=diag(a1, a2, , an)

Ví dụ A=

 

1 −3 0

, B =  

1 0

−2 0

−1 −4

 

C=diag(−1,0,5) =

 

−1 0 0 0

(10)

Nhận xét Ma trận A ma trận đường chéo vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác

Định nghĩa Ma trận vuông cấpn có phần tử đường chéo 1, phần tử nằm đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệuIn (hoặc I)

Ví dụ

I2=

1 0

; I3 =  

1 0 0

 

(11)

1.1.3 Các phép toán ma trận a) So sánh hai ma trận

Định nghĩa ChoA, B∈Mm×n(R).Khi đó, nếuaij =bij,∀i, j thìA B gọi làhai ma trận nhau, ký hiệuA=B

Ví dụ Tìmx, y, z để

x+ 1 2x−1 z

=

3y−4 y−1 2z+

?

Giải.Ta có

  

x+ = 3y−4; 2x−1 = y−1;

z = 2z+ ⇔

  

(12)

b) Chuyển vị ma trận

Định nghĩa ChoA∈Mm×n(R).Ta gọi ma trận chuyển vị củaA, ký hiệu A>, ma trận cấp n×m, có từA cách xếp dòng củaA thành cột tương ứng, nghĩa

A=

   

a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn

   

thìA>=

   

a11 a21 am1

a12 a22 am2

a1n a2n amn

    Ví dụ

NếuA=

 

1 −1 −8 −3

  thìA

>=

   

1

−1 −8

4 −3

   

(13)

Tính chất Cho A, B ∈Mm×n(R) Khi đó: i) (A>)> =A;

ii) A>=B>⇔A=B

Định nghĩa ChoA∈Mm×n(R).NếuA>=Athì ta nói A làma trận đối xứng

Ví dụ.Cho A=

 

1 −2

−2

.Hỏi Acó ma trận đối xứng khơng?

Giải.Ta cóA>=

 

1 −2

−2

.Suy raA=A>.Vậy Alà ma trận

(14)

c) Nhân số với ma trận

Định nghĩa Cho ma trậnA∈Mm×n(R), α∈R.Ta định nghĩa tích củaα với A(ký hiệu αA) ma trận xác định cách nhân phần tử củaA vớiα, nghĩa

(αA)ij =αAij,∀i, j

Nếuα =−1, ta ký kiệu(−1)A bởi−A gọi ma trận đối củaA

Ví dụ ChoA=

3 1 −3

.Khi

1 2A=

6 2 −6

2 −A=

−3 −4 −1 −1

(15)

Tính chất Cho A ma trận vàα, β ∈R, ta có

i) (αβ)A=α(βA);

ii) (αA)>=αA>;

iii) 0.A=0 1.A=A

d) Tổng hai ma trận

Định nghĩa ChoA, B∈Mm×n(R).Khi đótổng củaA vàB, ký hiệu A+B ma trận xác định bởi:

(A+B)ij =Aij +Bij Nhận xét Để tính A+B thì:

1 A vàB cấp;

2 Các vị trị tương ứng cộng lại.

(16)

Ví dụ ChoA=   −3 

vàB =

2 −3 2

.TínhA>+ 2B

−3A+ 2B>? Giải

• A>+ 2B =

1 −3

+

4 −6 4

=

5 10 −5

• −3A+ 2B>=

  −3 −6 −3 −9  +   4 −6  =   13 2 −9 −5  

Ví dụ.(tự làm) ChoA=

 

1 −3 −3

vàB =  

3 −2

 .Tính

2A−5I3 và3A−2B>?

(17)

Tính chất Cho A, B, C ∈Mm×n(R) α, β∈R, ta có i) A+B =B+A (tính giao hốn);

ii) (A+B) +C=A+ (B+C) (tínhkết hợp);

iii) 0m×n+A=A+ 0m×n=A;

iv) A+ (−A) = (−A) +A= 0m×n; v) (A+B)>=A>+B>;

vi) α(A+B) =αA+αB;

vii) (α+β)A=αA+βA;

(18)

e) Tích hai ma trận

Định nghĩa Cho hai ma trậnA∈Mm×n(R), B∈Mn×p(R).Khi đó, tích củaA vớiB (ký hiệuAB) ma trận thuộc Mm×p(R) xác định bởi:

(AB)ij :=Ai1B1j+Ai2B2j+· · ·+AinBnj

     

a11 a12 a1n ai1 ai2 ain

am1 am2 amn

               

b11 b1j b1p

b21 b2j b2p

bn1 bnj bnp

         

(19)

Nhận xét Để tính tích AB thì:

1 Số cột A số dịng B;

2 Phần tử thứi, j củaAB dịng icủa A nhân cột j củaB

Ví dụ ChoA=

1 −1

;B=

  −2 1 

vàC =

3 −2

.Tính

AB, BA, AC, CA, BC, CB? Giải

• AB=

1 −1

  −2 1  = −3 11

• BA=

  −2 1  

1 −1

=

 

11 1 −4

(20)

• AC khơng tồn tạivì số cột củaA khơng số dịng C

• CA=

3 −2

1 −1

=

9 −1 −5 −3

• BC =

  −2 1   −2 =   −2 −5 −6 −2  

• CB khơng tồn tạivì số cột củaA khơng số dịng C Ví dụ.(tự làm) ChoA=

1 −2

−1

;B =

2 −2 −4

TínhAB> vàA>B?

Đáp án AB> =

−4 −13 −6

; A>B =

   

1 10 −12 12 15 −18 18

−3 −4 −3

   

Ngày đăng: 09/03/2021, 06:37

TỪ KHÓA LIÊN QUAN