Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: Trị riêng, véctơ riêng của ma trận; Chéo hóa ma trận; Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao; Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính; Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
Chương 4: Trị riêng, véctơ riêng Nội dung - 4.1 – Trị riêng, véctơ riêng ma trận 4.2 – Chéo hóa ma trận 4.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao 4.4 – Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính 4.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 4.1 Trị riêng, véctơ riêng ma trận - Số gọi trị riêng A, tồn véctơ x khác không, cho Ax x Khi đó, véctơ x gọi véctơ riêng ma trận vuông A tương ứng với trị riêng 4.1 Trị riêng, véctơ riêng ma trận - Giả sử 0 trị riêng ma trận A x : A x 0x A x 0x (A 0I )x Hệ có nghiệm khác khơng det(A 0I ) det( A I ) gọi phương trình đặc trưng ma trận vuông A Đa thức PA ( ) det( A I ) gọi đa thức đặc trưng A Vậy trị riêng nghiệm phương trình đặc trưng 4.1 Trị riêng, véctơ riêng ma trận - Định nghĩa Bội đại số trị riêng bội trị riêng trình đặc trưng phương Định nghĩa Không gian nghiệm hệ (A 1I )X gọi không gian riêng ứng với TR 1 , ký hiệu E 1 Định nghĩa Bội hình học trị riêng số chiều không gian riêng tương ứng với trị riêng 4.2 Chéo hóa ma trận - Định lý Hai ma trận đồng dạng có đa thức đặc trưng (tức chung tập trị riêng) Giả sử hai ma trận A B đồng dạng, tức (P ) P 1A P B det(B I ) det(P 1A P I ) det(P 1A P P 1IP ) det(P 1 (A I )P ) det(P 1 ).det( A I ).det( P ) det(A I ) Vậy A B đa thức đặc trưng Chú ý Hai ma trận đồng dạng có trị riêng véctơ riêng khác 4.1 Trị riêng, véctơ riêng ma trận - 1 Tìm trị riêng; sở, chiều A Ví dụ kgian riêng ứng 1 3 Lập phương trình đặc trưng A: 3 det( A I ) 1 4 ( 2)2 ( 6)1 3 Trị riêng 1 BĐS = BHH chưa biết? Trị riêng 2 BĐS = BHH = 4.1 Trị riêng, véctơ riêng ma trận - Tìm sở, chiều kgian riêng ứng với 1 ( A 1I ) X 1 x 3 42 x x Giải hệ cách biến đổi ma trận hệ số ta nghiệm tổng quát sở kgian x1 1 0 x x x , riêng E E 1 1 1 x 1 1 dim(E ) 3 Hoàn toàn tương tự ta tìm sở chiều khơng gian riêng ứng với trị riêng 2 4.2 Chéo hóa ma trận Định nghĩa Ma trận vng A gọi chéo hóa A đồng dạng với ma trận chéo Tức tồn ma trận khả nghịch P cho P 1A P D D ma trận chéo 1 0 D 0 0 k 4.2 Chéo hóa ma trận Định lý Ma trận vng A cấp n chéo hóa tồn n véctơ riêng độc lập tuyến tính Hệ Nếu ma trận vuông A cấp n có n trị riêng phân biệt A chéo hóa Hệ (thường sử dụng tập) Ma trận vng A cấp n chéo hóa bội hình học trị riêng bội đại số chúng 4.4 Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính - Tìm trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính f Bước Chọn sở E tùy ý kgvt V Tìm ma trận A f sở E Bước Tìm TR VTR ma trận A Bước Kết luận 1) TR ma trận TR axtt ngược lại 2) Nếu véctơ x VTR ma trận A ứng với TR 0, véctơ x cho [x ]E x VTR f ứng với TR 0 Chú ý VTR ma trận không VTR axtt mà tọa độ VTR ánh xạ tuyến tính sở E Cần đổi sang sở tắc 4.4 Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính - Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R R , biết f (x ) f ( x , x , x ) (5x 10x 5x ,2x 14x 2x , 4x 8x 6x ) Tìm trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính f 1) Chọn sở tắc R3 là: E {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} 10 5 Ma trận f E là: A 14 2 4 8 ( 5)( 10) 0 2) Tìm trị riêng, véctơ riêng A Trị riêng ma trận A là: 1 5, 2 10 Đây trị riêng ánh xạ tuyến tính 4.4 Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính - 3) Tìm véctơ riêng A: 1 Giải hệ phương trình 5 10 5 x1 ( A 1I ) X x2 x 2 4 4 8 x VTR A ứng với TR 1 tất véctơ 2 , 4 5 VTR f ứng với TR 1 véctơ x cho x E 2 4 x (5 , 2 ,4 ) (vì E sở tắc) Tương tự cho trị riêng 2 4.4 Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính - Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R R , biết f (1,1,1) (2,1,3); f (1,0,1) (6,3,5); f (1,1,0) (2, 1, 3) Tìm trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính f 1) Chọn sở R3 là: E {(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)} Ma trận f E là: 2 2 A 1 1 1 2) Tìm trị riêng, véctơ riêng A ( 2)( 4) Trị riêng ma trận A là: 1 0, 2 2, 3 Đây trị riêng ánh xạ tuyến tính 4.4 Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính - 3) Tìm véctơ riêng A: 1 Giải hệ phương trình 1 x 0 1 1 VTR A ứng với TR 1 tất véctơ , 1 VTR f ứng với TR 1 véctơ x cho x E x (1,1,1) 0(1,0,1) (1,1,0) (2 ,2 , ), 2 2 x1 ( A 1I ) X 1 x2 1 1 x Tương tự cho trị riêng 2 , 3 4.4 Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính - Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R R , biết ma trận f sở E {(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)} 2 1 A 2 1 2 14 25 14 Tìm trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính f 1) Hiển nhiên chọn sở R3 là: E {(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)} ma trận f E cho sẵn A 2) Tìm trị riêng, véctơ riêng A Trị riêng ma trận A là: ( 3)( 6)2 1 3, 2 Đây trị riêng ánh xạ tuyến tính 4.4 Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính - 3) Tìm véctơ riêng A: 1 Giải hệ phương trình 1 1 2 1 x1 ( A 1I ) X 2 4 2 x2 x 1 1 14 25 11 x VTR A ứng với TR 1 tất véctơ 1 , 1 VTR f ứng với TR 1 véctơ x cho x E x (1,1,1) (1,2,1) (1,1,2) ( ,0,2 ), Tương tự cho trị riêng 2 4.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính - Cho ánh xạ tuyến tính f :V V Trong chương trước ta biết ánh xạ tuyến tính ma trận A ánh xạ sở E Khi làm việc với axtt f ta làm việc với ma trận A Trong không gian véctơ V có vơ số sở E, F, G,… Tương ứng với sở có vơ số ma trận f sở khác Mỗi ma trận đại diện (thay thế) cho ánh xạ tuyến tính Khi làm việc với axtt, ta làm việc với ma trận Chọn ma trận có cấu trúc đơn giản nhất, ta chọn ma trận chéo D Bài tốn đặt ra: Tìm sở B (nếu có) V cho ma trận f B ma trận chéo D 4.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính - Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính f :V V gọi chéo hóa tồn sở B V, cho ma trận f sở ma trận chéo D Ánh xạ tuyến tính coi ma trận nên chéo hóa ánh xạ tuyến tính chéo hóa ma trận Ánh xạ tt chéo hóa ma trận chéo hóa Ma trận ánh xạ tt sở khác đồng dạng nên chúng có đa thức đặc trưng, tập trị riêng Một ma trận f sở A chéo hóa ma trận f sở khác chéo hóa ngược lại 4.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính - Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính f :V V Bước Chọn sở E khơng gian véctơ V Tìm ma trận A f sở E Bước Chéo hóa ma trận A (nếu được) Bước Kết luận Nếu A chéo hóa được, f chéo hóa Nếu A khơng chéo hóa được, f khơng chéo hóa Giả sử A chéo hóa ma trận P ma trận chéo D Khi sở B cần tìm có: tọa độ véctơ B sở E cột ma trận P.(Chú ý!!) Ma trận f sở B ma trận chéo D 4.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R R , biết f (x ) (2x 2x x , 2x x 2x ,14x 25x 14x ) Tìm sở B (nếu có) R3 cho ma trận f B ma trận chéo D, tìm D (Tương đương: chéo hóa f được) 1) Chọn sở tắc R3 E {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} 2 1 Ma trận f E A 2 1 2 14 25 14 2) Chéo hóa (nếu được) ma trận A ( 3)( 6)2 Kiểm tra thấy BHH 2 nhỏ BĐS Vậy A khơng chéo hóa được, suy f khơng chéo hóa 4.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính - Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R R , biết f (1,1,1) (1, 7,9); f (1,0,1) (7,4, 15); f (1,1,0) (7,1, 12) Tìm sở B (nếu có) R3 cho ma trận f B ma trận chéo D, tìm D (Tương đương: chéo hóa f được) Bước Tìm ma trận f E {(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)} 4 4 A 11 8 8 Bước Chéo hóa A (nếu được) Phương trình đặc trưng: ( 1)( 3)2 1 Bội đại số = Bội hình học = 2 3 Bội đại số = Bội hình học = ? 4.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính - Tìm VTR f 1 1: Hệ (A 1I )X X 2 2 VTR f ứng với TR 1 x cho x E 2 2 x (1,1,1) 2 (1,0,1) 2 (1,1,0) ( , ,3 ) Chọn VTR f ứng với TR 1 là: b1 (1, 1,3) 2 3: Hệ (A 2I )X X x VTR f ứng với TR 2 3 x cho E 4.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính - x ( )(1,1,1) (1,0,1) (1,1,0) x (2 , ,2 ) x (2,1,2) (2,2,1) Chọn hai VTR độc lập tuyến tính f ứng với TR 2 3 b2 (2,1,2);b3 (2,2,1) Cơ sở B cần tìm là: B {(1, 1, 3); (2,1,2); (2, 2,1)} Ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B là: 1 0 D 3 0 3 Bài tập Chéo hóa ma trận sau (nếu được) 1 2 2 1) A 3 ; 1, 2,3 2) A ; 2,8 3 2 4 2 2 1 3) A 1 ; 0,1, 4) A ; 5, 0 1 16 4 6 5) A ; 3,3,1 6) A 1 3 ; 2, 2,1 2 2 5 1 5 ... - 4. 1 – Trị riêng, véctơ riêng ma trận 4. 2 – Chéo hóa ma trận 4. 3 – Chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao 4. 4 – Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính 4. 5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến. .. 1 Bội đại số = Bội hình học = 2 2 Bội đại số = Bội hình học = ? 4. 2 Chéo hóa ma trận - Bước Tìm véctơ riêng độc lập tuyến tính... 0 2 4. 4 Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính - Trong chương ánh xạ tuyến tính ta biết: coi ánh xạ tuyến tính ma trận,