Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véc tơ, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Không gian vectơ; Không gian con sinh bởi tập hữu hạn; Cơ sở và số chiều; Tìm cơ sở một số không gian con; Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính; Tọa độ của vec-tơ theo cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo!
Chương 4: Không gian véc tơ /46 Nội dung Không gian vectơ Kgian sinh tập hữu hạn Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Tìm sở số kgian Tọa độ vec-tơ theo sở /46 Không gian véc tơ Định nghĩa: x + y = y + x; (x + y) + z = x + (y + z) Tồn véc tơ không, ký hiệu cho x + = x Mọi x thuộc V, tồn vectơ, ký hiệu –x cho x + (-x) = Với số α , β ∈ K vector x: ( α + β ) x = αx + βx Với số α ∈ K , với x , y ∈V α( x + y ) = α x + α y 7.( αβ ) x = α ( β x ) 1x = x : Khơng gian véc tơ Tính chất khơng gian véctơ 1) Véctơ không 2) Phần tử đối xứng véctơ x 3) 0x = 4) α = 5) -x = (-1)x x ∈V α ∈K x ∈V Không gian véc tơ Ví dụ V1 = {( x1 , x2 , x3 ) xi ∈ R} Định nghĩa phép cộng hai véctơ sau: x + y = ( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) Định nghĩa phép nhân véctơ với số thực sau: α ⋅ x = α ( x1 , x2 , x3 ) = (αx1 ,αx2 ,αx3 ) ⎧ x1 = y1 ⎪ Định nghĩa nhau: x = y ⇔ ⎨ x2 = y ⎪x = y ⎩ 3 V1-Không gian véctơ R3 trường số thực Không gian véc tơ Ví dụ V2 = {ax + bx + c a, b, c ∈ R} Định nghĩa phép cộng hai véctơ: phép cộng hai đa thức thông thường, biết phổ thông Định nghĩa phép nhân véctơ với số: phép nhân đa thức với số thực thông thường, biết phổ thông Định nghĩa nhau: hai véc tơ hai đa thức nhau, tức hệ số tương ứng nhau) V2 - Không gian véctơ P2 [ x] Không gian véc tơ Ví dụ ⎧⎡a b ⎤ ⎫ V3 = ⎨⎢ a, b, c, d ∈ R ⎬ ⎥ ⎭ ⎩⎣ c d ⎦ Định nghĩa phép cộng hai véctơ: phép cộng hai ma trận biết chương ma trận Định nghĩa phép nhân véctơ với số: phép nhân ma trận với số biết Định nghĩa hai véctơ: hai véc tơ hai ma trận V3 - Không gian véctơ M [ R] Không gian véc tơ Ví dụ V = {( x 1, x , x ) x i ∈ R ∧ 2x + 3x + x = 0} Phép cộng hai véctơ nhân véctơ với số giống ví dụ V4 - KGVT CHÚ Ý: Có nhiều cách khác để định nghĩa hai phép toán V1, ( V2, V3 ) cho V1 ( V2, V3 ) không gian véctơ Không gian véc tơ Ví dụ V = {( x ,x ,x ) x i ∈ R ∧ x + x − 2x = 1} Phép cộng hai véctơ nhân véctơ với số giống ví dụ V4 - KHƠNG KGVT x = (1,2,1) ∈V4 , y = (2,3,2) ∈V4 x + y = (3,5,3) ∉ V4 Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Tập V- KGVT K M = {x1 , x2 , , xm } ∃α1,α ,!,α m ∈ K không đồng thời α1x1 + α x2 +!+ α m xm = α1x1 + α x2 +!+ α m xm = → α1 = α =!α m = M–phụ thuộc tuyến tính M – độc lập tuyến tính Không gian véc tơ Cho F G hai không gian K-kgvt V Định nghĩa giao hai không gian Giao hai không gian F G tập hợp V, ký hiệu F ∩ G = {x ∈ V | x ∈ F, x ∈ G} Định nghĩa tổng hai không gian Tổng hai không gian F G tập hợp V, ký hiệu F + G = { f + g | f ∈ F, g ∈ G} Không gian véc tơ Định lý F ∩ G & F + G hai không gian V dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G) Kết F ∩G ⊆ F ⊆ F +G ⊆V F ∩G ⊆ G ⊆ F +G ⊆V Không gian véc tơ Các bước để tìm khơng gian F+G Tìm tập sinh F Giả sử {f1, f2, …, fn} Tìm tập sinh G Giả sử {g1, g2, …, gn} F + G =< f1, f , , f n , g1, g , , g n > Không gian véc tơ Ví dụ Cho F G hai khơng gian R3, với F = {( x1, x2 , x3 ) | x1 + x2 − x3 = 0} G = {( x1, x2 , x3 ) | x1 − x2 + x3 = 0} Tìm sở chiều F I G Tìm sở chiều F + G Không gian véc tơ Giải câu ∀x = ( x1, x2 , x3 ) ∈ F I G ⇔x∈ F & x∈G ⎧ x1 + x2 − x3 = ⇔⎨ ⎩ x1 − x2 + x3 = Khi ⎧ x =α ⎪⎪ ⇔ ⎨ x2 = 3α ⎪ ⎪⎩ x3 = 2α x = ( x1, x2 , x3 ) = (α ,3α , 2α ) ⇔ x = α (1,3,2) fi E = { (1,3, 2)} tập sinh F ∩G E độc lập tuyến tính Suy E sở ⇒ dim(F ∩G) = F«G Khơng gian véc tơ Giải câu Bước Tìm tập sinh F E1 = {(-1,1,0),(2,0,1)} Bước Tìm tập sinh G E2 = {(1,1,0),(−1,0,1)} fi F + G = < (- 1,1,0),(2,0,1), (1,1,0),(- 1,0,1) > ⎛ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −1 −1 1 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎯⎯ →⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −1 0 ⎞ ⎟ ⎟ −1 ⎟ ⎟ 0 ⎠ fi dim( F + G ) = r ( A) = Cơ sở: E = { (- 1,1,0),(0, 2,1),(0,0, - 1)} Khơng gian véc tơ Ví dụ Cho F G hai không gian R3, với F = {( x1, x2 , x3 ) | x1 + x2 + x3 = 0} G =< (1,01,);(2,3,1) > Tìm sở chiều F I G Tìm sở chiều F + G Khơng gian véc tơ Ví dụ Cho F G không gian R3, với F =< (1,0,1);(1,1,1) > G =< (1,1,0);(2,1,1) > Tìm sở chiều F I G Tìm sở chiều F + G Tọa độ véc tơ Định nghĩa toạ độ véctơ Cho E={e1, e2, …, en} sở thứ tự K-kgvt V ∀x ∈V ⇔ x = x1e1 + x2e2 + + xnen Bộ số ( x 1, x , , x n ) véctơ x sở E ⎛ ⎜ ⎜ [x]E = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 ⎞ ⎟ x2 ⎟ ⎟ ! ⎟ xn ⎟⎠ gọi tọa độ Tọa độ véc tơ Ví dụ Cho E = {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)}là sở R3 x=(3,1,-2) véctơ R3.Toạ độ véctơ x sở E? ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ [ x ] = x Giả sử E ⎜ ⎟ ⇔ x = x1e1 + x2e2 + x3e3 ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ ⇔ (3,1, −2) = x1 (1,1,1) + x2 (1,0,1) + x3 (1,1,0) ⎧ x1 + x2 + x3 = ⎛ −4 ⎞ ⎪ ⎜ 2⎟ x + x = ⇔ [ x ] = ⎨ E ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎪ x +x = − ⎩ ⎝ ⎠ Tọa độ véc tơ Tính chất tọa độ véctơ ⎛ ⎜ ⎜ [x]E = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎧ x =y ⎪ 1 ⎪ x2 = y x = y ⇔ ⎨ ⎪ ! ⎪ x =y n ⎩ n x1 ⎞ ⎟ x2 ⎟ ⎟ ! ⎟ xn ⎟⎠ ⎛ ⎜ ⎜ [ y]E = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ y1 ⎞ ⎟ y2 ⎟ ⎟ ! ⎟ yn ⎟⎠ ⎛ x +y ⎜ 1 ⎜ x +y [x + y]E = ⎜ 2 ! ⎜ ⎜ x +y ⎝ n n ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ [α x] = ⎜ E ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎜ α x1 ⎞ ⎟ α x2 ⎟ ⎟ ! ⎟ ⎟ α x n ⎠ ⎝ Bổ sung sở Định lý: (về sở khơng tồn vẹn) Cho V kgvt hữu hạn chiều S tập độc lập tuyến tính V Khi S khơng phải sở V thêm vào S số véc tơ để sở V Cơ sở v Định lý: Cho V kgvt hữu hạn chiều S tập sinh V Khi S khơng phải sở V ta loại bỏ số véc tơ S để sở V Tổng trực tiếp v Định nghĩa: Cho W1, W2 khơng gian V Ta nói W khơng gian tổng trực tiếp W1, W2, ký hiệu W! ⨁W! Nếu ! = !! + !! & !! ∩ !! ={0} Tổng trực tiếp v Định nghĩa Cho W1, W2,…,Wn không gian V Ta nói W khơng gian tổng trực tiếp W1, W2, ,Wn ký hiệu !! ⨁!! ⨁ … ⊕ !! Nếu ! = !! + !! + ⋯ + W_n & W! ⋂( !!! W! )={0} ... để x thuộc không gian sinh M? Không gian véc tơ Không gian véc tơ Không gian véc tơ Không gian véc tơ Cho F G hai không gian K-kgvt V Định nghĩa giao hai không gian Giao hai không gian F G tập... thuộc tuyến tính ? Bỏ số véctơ họ độc lập tuyến tính ta thu họ độc lập tuyến tính Cho họ véctơ M chứa m véctơ M = {x1 , x2 , , xm } ? Cho họ véctơ N chứa n véctơ N = { y1 , y2 , , yn } Nếu véctơ... α ( β x ) 1x = x : Khơng gian véc tơ Tính chất khơng gian véctơ 1) Véctơ không 2) Phần tử đối xứng véctơ x 3) 0x = 4) α = 5) -x = (-1 )x x ∈V α ∈K x ∈V Không gian véc tơ Ví dụ V1 = {( x1 , x2