Tích tenxơ của các không gian véc tơ

Mục lục Trang Mở đầu Ch-¬ng 1: Dạng tuyến tính Dạng song tuyến tính Dạng toàn ph-¬ng I D¹ng tuyÕn tÝnh II D¹ng song tuyÕn tÝnh III Tích dạng tuyến tính IV Dạng toàn ph-ơng 11 Ch-¬ng 2: Tích tenxơ không gian véctơ Tích cđa vÐct¬ 14 I Tích tenxơ không gian véctơ 14 II Tenx¬ 19 III Các phép toán tenxơ 27 IV TÝch ngoµi cđa vÐct¬ 29 KÕt luËn 31 Tµi liƯu tham kh¶o 32 Lời nói đầu Các phép toán tenxơ có ứng dụng rộng rÃi nghành kỹ thuật nhtính độ lún móng (nền đất), tính t-ơng tác cọc đóng nền, tính ứng suất xuất vật thể đàn hồi d-ới tác dụng ngoại lực, công cụ cho nghiên cứu nghành vật lý chẳng hạn nh- tĩnh học, môi tr-ờng liên tục, trạng thái biến đổi không gian Các phép toán tenxơ ứng dụng đ-ợc trình bày nhiều tài liệu (xem [1], [5], [7]) Trong luận văn này, tập hợp, trình bày chứng minh chi tiết số định lý, tính chất tenxơ Luận văn đ-ợc trình bày ch-ơng: Ch-ơng I: Dạng tuyến tính Dạng song tuyến tính Dạng toàn ph-ơng I Dạng tuyến tính II Dạng song tuyến tính III Tích dạng tuyến tính IV Dạng toàn ph-ơng Ch-ơng II: Tích tenxơ không gian véctơ Tích véctơ I Tích tenxơ không gian véctơ II Tenxơ III Phép toán tenxơ IV Tích véctơ Trong ch-ơng I, trình bày dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn ph-ơng, chứng minh số định lý tính chất liên quan Ch-ơng I đ-ợc xem nh- phần chuẩn bị cho trình bày ch-ơng II Trong ch-ơng II Chúng trình bày tích tenxơ phép toán tenxơ, chứng minh số định lý, tính chất liên quan nh-: phép corut số, ánh xạ co đồng thời lấy ví dụ minh họa để làm rõ vấn đề đà nêu Cũng phần này, trình bày định nghĩa phép nhân số tính chất có liên quan Luận văn đ-ợc hoàn thành vào tháng năm 2009 tr-ờng đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Chúng xin cảm ơn thầy cô giáo khoa toán, bạn bè gia đình đà tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn ! Tác giả Ch-ơng I Dạng tuyến tính Dạng song tuyến tính Dạng toàn ph-ơng I Dạng tuyến tính Giả sử V không gian véctơ n chiều R với sở {e1en} Nh- ta đà biết, ánh xạ tuyến tính f: V R gọi dạng tuyến tính V Ta ký hiệu V * = {ánh xạ tuyến tính: V R} V * đ-ợc trang bị phép toán sau: i) f, g V*, ta lấy f + g ánh xạ: f + g: V R x  f(x) + g(x) ; xV ii) R, f V ta kÝ hiÖu f ánh xạ: f: V R x f(x) ; xV 1.1 NhËn xÐt i) V* cïng víi hai phÐp toán cộng nhân số không gian vectơ n chiều Ta dễ dàng kiểm tra đ-ợc V* thỏa mÃn tiên đề không gian véctơ thực đây, ta chứng minh V* có số chiều n Thật vậy, ta xét dạng tuyến tính f : e1  e2   en  …… f n : e1  e2   en  Khi ®ã {f1,…,fn} sở V* * {fi}ni=1 độc lập tuyến tÝnh n Ta xÐt  i 1 ifi = Cho vế tác động vào ej , ta ®-ỵc: n   f (e ) =   =   = i 1 j i i j j  i = i j  {fi}i=1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh n n * {fi}i=1 lµ hƯ sinh Víi f  V* , ta ®Ỉt f(ei) = n  XÐt f(x) = f  xiei =  i 1   n n n  x f(e ) =  a x =  i 1 i i i 1 i i i 1 aifi(x) i n f=  i 1 aifi  {fi}ni=1 hệ sinh Vậy V* không gian vectơ n_chiỊu ii) Gi¶ sư x=(x1,…,xn)  V , (a1, ,an)  Rn Khi ®ã, f : V  R víi n f(x) =  ax i 1 i i ánh xạ tuyến tính 1.2 Mệnh đề Giả sử V không gian véctơ Ơclit V* Khi ®ã, tån t¹i nhÊt yV cho (x) = xy x V Chøng minh: * Sù tån t¹i cđa y Lấy {e1,,en} sở trực chuẩn V giả sử (e1)=a1 (e ) =a2 (en)=a n Ta chän y = (a1, ,an)  V, x = (x1, ,xn)  V n  Khi ®ã ta cã: (x) = xiei =  i 1   n n  x (e ) =  a x = xy i 1 i i i 1 i i * y Giả sử tồn y(y1, ,yn)  V cho (x) = xy’  n  n  n    XÐt (x) =  xieiy’=  xiei yjej =  i 1   i 1   j 1     n n  x y = a x i 1 i i i 1 i i n   x (y –a ) = i i 1 i i i  = yi i = 1,n  y y Bây giờ, ta xét W không gian k_chiỊu cđa V, vµ ký hiƯu W ={fV*/f(x)=0,xW} 1.3 Mệnh đề W không gian (n-k)_chiều V* Chứng minh Tr-ớc hết, chứng minh W không gian cña V* LÊy f,g W  f V* cho f(x) = 0, xW vµ g V* cho g(x) = 0, xW  f(x) + g(x) = 0, xW  (f + g)(x) = 0, xW  f + g  W LÊy  R, f W  f V* cho f(x) = 0, xW  f(x) = 0, xW  (f)(x) = 0, xW  f W Vậy W không gian V* Giả sử {e1,,en} sở V cho e1,,ek W n Gọi {gi}i=1 dạng đối ngẫu cđa {ei}ni=1 Ta cã gk+1, ,gn W vµ {gk+1, ,gn} sở W Thật * {gi}ni=k+1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh n XÐt   g = Cho vế tác động vào e , ta ®-ỵc : i i i  k 1 j n   g (e ) =   =   = j   = i i  k 1 j i i j j i n {gi}i=k+1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh * {gi}ni=k+1 lµ hƯ sinh LÊy g W ký hiƯu g(ei) =  n  n  XÐt g(x) = g xiei = xig(ei) =  i  k 1  i  k 1   n n  a x =  a g (x) x i  k 1 i i i  k 1 i i n n  g =  aigi  {gi}i=k+1 lµ hƯ sinh i k Do {gk+1, ,gn} sở W Vậy W không gian (n-k)_chiều V II Dạng song tuyến tính Giả sử V1, V2 không gian véctơ n_chiều R, nh- ta đà biết (xem [2], [3]) ánh xạ :V1 V2 R đ-ợc gọi dạng song tuyÕn tÝnh trªn V1  V2 nÕu x1,x2 V1, y1,y2 V2,  R tháa m·n ®iỊu kiƯn: i) (x1+x2,y) = (x1,y) + (x2,y) ii) (x,y1+y2) = (x,y1) + (x,y2) iii) (x,y) = (x,y) = (x,y) Ta chó ý r»ng: a) Cố định x V1 (x,y) dạng tuyến tính V2 Cố định y V2 (x,y) dạng tuyến tính V1 b) Một dạng song tuyến tính V1 V2 không thiết dạng tuyến tính c) Một dạng song tuyến tính V V gọi đối xứng ta có: (x,y) = (y,x) x,y V Mét d¹ng song tuyÕn tÝnh V V gọi phản đối xứng nÕu ta cã: (x,y) = - (y,x) x,y V VÝ dụ: ánh xạ : R3 R3 R (x,y) x1y1 x2y2 + x3y3 dạng song tuyÕn tÝnh ThËt vËy, x,x’R3, y,y’R3 ta cã: (x+x’,y) = (x1+x1’)y1- (x2+x2’)y2 + (x3+x3’)y3 = x1y1 + x1’y1 – x2y2 – x2’y2 + x3y3 + x3’y3 = (x1y1– x2y2+ x3y3) + (x1’y1 – x2’y2+ x3’y3) = (x,y) + (x’,y) tuyến tính biến x T-ơng tự, tuyến tính biến y Vậy dạng song tuyến tính 1.4 Định nghĩa Giả sử dạng song tuyến tính V, {ei}ni=1 sở V Đặt (ei,ej) = aij, i,j=1,2,n Khi A=(aij)nxn đ-ợc gọi ma trận dạng song tuyến tÝnh n n NhËn xÐt: Gi¶ sư x,yV, x =  xe , y =  ye n n   Ta cã (x,y) =   xiei, yjej = j 1  i 1     x1 Đặt [x] = x n , i i i 1 j j j 1 n n i 1 j 1 n   x y (e ,e ) =  x y a i j i j i , j 1 i j ij (1)  y1  [y] =     y n  th× (x,y) = [x]*A[y] (2) BiĨu thøc (1) (2) biểu thức tọa độ dạng song tuyến tính 1.5 Mệnh đề Giả sử {e1}ni=1 (1) {ei}ni=1 sở V Gọi C = (cij)nxn ma trận chuyển từ sở (1) sang (2) Gọi B ma trận sở {ei}ni=1 Khi B = C*AC Chứng minh Gọi x(xi), y(yi)đối với sở (1); x(xi), y(yi)đối víi c¬ së (2) Víi [x] = C[x’], [y] = C [y’] Khi ®ã:  (x,y) = [x]*A[y] = (C [x])*A(C[y]) = [x]*C*AC[y] Đặt B = C*AC Vậy (x,y) = [x]*B[y] Cho ánh xạ : : R3 R3  R VÝ dô: (x,y)  x1y1 – x2y2 + x3y dạng song tuyến tính a) Xác định ma trận sở tắc R3 b) Trong R3 chän c¬ së e1’(1,1,0), e2’(0,1,0), e3’(0,0,1) (*) Viết biểu thức tọa độ sở * Giải a) Trong R3 chọn sở t¾c {e1,e2,e3} e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) Ta cã aij = (ei,ej) 1 0 A  0  0 0 1 b) BiÓu diễn sở {e1,e2,e3} qua sở tắc ta ®-ỵc 1 0 C  0 0 0  1 1 0     C  1  1 0  * 0 1 0  1 0 1 0 1         B  C AC  1  1  0  0  0 0  1  1 0  0 1 0  1 0  1  *  BiĨu thøc täa ®é (x,y) = [x’]*B[y’]   x1' ' 1   y1    x3'  1  1   y 2'  0  1   y3'   x2'        x1'  x2' y1'  x1'  x2'  x3' y2'   x2'  x3' y3' III Tích dạng tuyến tính 1.6 Định nghĩa Giả sử f,g V* Tích f g đ-ợc ký hiệu f g đ-ợc xác định f  g x, y   f x g  y   f  y g x   f ( x) g ( x) f ( y) g ( y) Từ định nghĩa, ta có nhận xét: i) f  f = ii) f  g = - g  f iii) f  g: Vn  Vn R dạng song tuyến tính 1.7 Mệnh đề Ký hiÖu LV = {f song tuyÕn tÝnh:V  V R} Ta ý tới ánh xạ fij LV , cho: f11(e1,e1)=1 f1(ei,ej)=0 với i,j không đồng thời b»ng f12(e1,e2)=1 f2(ei,ej)=0 (i,j)≠(1,2)  fnn(en,en) fn(ei,ej)=0 (i,j)≠(n,n) NhËn xét: Khi LV không gian véctơ với phÐp to¸n (f+)(x,y) = f(x,y) +(x,y) (f)(x,y) = f(x,y) f,   LV,   R Ta dƠ dµng kiĨm tra đ-ợc LV thỏa mÃn tiên đề không gian véctơ thực {f11,,fnn} sở LV 18 nên có ánh xạ tuyến tính v: V  V  V  V’ y x  x y Ta thÊy : u  v = id v u = id Do u v đẳng cấu nghịch đảo Vậy V V đẳng cÊu víi V’  V NhËn xÐt: TÝch tenx¬ cđa nhiều không gian có tích chất kết hợp 2.4 Bổ ®Ị R  V ®¼ng cÊu víi V Chøng minh Xét ánh xạ tuyến tính u: R V V k x kx ánh xạ tuyến tính v: V  RV x  1x Ta thÊy u  v = id v  u= id Do ®ã u v đẳng cấu nghịch đảo Vậy R V đẳng cấu với V Nhận xét: R R đẳng cấu với R 2.5 Định nghĩa Giả sử V1,, Vn tập hữu hạn không gian tuyến tính ánh xạ i=n f: V= Vi V gọi đa tuyến tính với x = (x1,,xn)V t-ơng ứng i=1 f(x1,x2,,xn)V cho ánh xạ g: Vi V xi f(a1,,ai-1,xi,ai+1,,an) ánh xạ tuyến tính i=n ánh xạ đa tuyến tính: V= Vi R gọi dạng đa tuyến tính i=1 Từ không gian Vi ta dựng không gian vectơ W cho: 19 i = n   W vµ W    Vi  sinh i =  i=n i) Có ánh xạ tuyến tính : Vi i=1 i=n ii) Gi¶ sư f:  Vi  W ánh xạ đa tuyến tính có ánh xạ tuyến tính i=1 g: W  W’ cho f=g   Kh«ng gian W xác định nh- gọi tích tenxơ không gian V i đ-ợc kí hiệu: n Vi hc V1  V2  …  Vn i 2.6 Nhận xét i) Nếu tất Vi đồng với không gian V, tích tenxơ chúng đ-ợc n ký hiệu V mn chiỊu n ii) Víi mäi phÇn tư (x1,…,xn) cđa Vi , giá trị (x1,,xn) ánh xạ đ-ợc ta ký i hiệu: n xi x1  x2  …  xnvµ gäi lµ tÝch tenxơ véctơ x1,,xn i II TENXƠ Giả sử V không gian vectơ n chiều có sở {e1(1,0,,0),,en(0,0,,1)} V* không gian đối ngẫu V với sở {fi}ni=1 đối ngẫu {e1,,en} Ta gọi tenxơ p lần phản biến q lần hiệp biến V phần tử tích tenxơ p V q Trong p không gian V q không gian V* 2.7 Chú ý i) Cặp số (p,q) gọi cấp tenxơ ii) Khi q=0 (hoặc p=0) ta nói lũy thừa tenxơ cấp p V (hoặc lũy thừa tenxơ cấp q V*) 20 iii) Các tenxơ phản biến cấp 1(p=1,q=0) vectơ V đ-ợc gọi vectơ phản biến Các tenxơ hiệp biến cấp 1(p=0,q=1) vectơ V* đ-ợc gọi vectơ hiệp biến iv) Các vô h-ớng (phần tử tr-ờng R) tenxơ cấp không v) Khi p q khác tenxơ p lần phản biến q lần hiệp biến gọi tenxơ hỗn hợp Do tích chất kết hợp giao hoán tích tenxơ ta việc xét tích p   q  V =  V    V      p q vi) Các phần tử Vpq có dạng k(x  x  …  x  g  g  …  g ) 1  2 q p víi xi  V, gi  V*, k R Các tích dạng (x1 x2  xp  g1  g2  …  gq) gọi tenxơ phân tích đ-ợc n vii) Với {fi}i=1 sở đối ngẫu {ei}ni=1 Vqp nhận sở gồm np+q phần tử véctơ phân tích đ-ợc dạng j j e  e  f  …  f q ; ik,jl = 1,2,…,n ip  i1  Gi¶ sư xVqp th× cã sù biĨu diƠn: x=  1i1 i p  n 1 j1 jq  n j1 jq i …i xj1…jp ei  …  ei  f  …  f q p (1) i i Khi xj1jp đ-ợc gọi thành phần x q Với i1ip số phản biến j1jq số hiệp biến Tìm quy luật biến đổi thành phần tenxơ thay đổi sở Giả sử sở liên hệ với sở cũ biểu thøc: n e’ k =  i k 1 ik t ei , k k Trong sở ta cã f’ k n =  sj fj k j k 1 k k 21 x=   x’ , , q   1 p e’ e’ f’ f’ q p 1 q 1      1 p i1   ip  q jq 1 j1  =  x’  t e  t e  s f  s f 1 q  i1 1 i1  i p p ip j1 j1   jq jq   , , q =   , ,     i1 ip   x’ pt t s s qe e f f q 1 q 1 p j1 jq 1 p q Tõ (1) suy i …i xj1…jp = q   , ,     i1 ip   x’ pt t s s qe e f f q (2) 1 q p j1 jq p q (2) công thức biểu thị thành phần cũ tenxơ qua thành phần Từ công thức (2) ta biểu thị thành phần qua thành phần cũ, ta gọi sở cũ sở sở sở cũ Nếu gọi T S ma trận phép chuyển ng-ợc ta có T = T-1 = Sc, S’ = S-1 = Tc   Khi ®ã ta đ-ợc: x p = q , , jq i …i   j1 xj1…jps 1…s pt …t ip 1 q q i1 q (3) p V cho mét hƯ thèng np+q phÇn tư: Đảo lại, giả sử không gian V, V ,  q * i …i xj1…jp q cho chuyển từ sở cũ sang së míi V: e’1,e’2,…,e’n , V*: f’1,f’2,…,f’n p  V : e’ e’ f’1 f’q (k,l=1,2, ,n) q   p Thì phần tử biến đổi theo công thức (2) (3) Vậy ứng với hệ thống n p+q phần tử có tenxơ x Vpq Theo luật biến đổi phần tử xác định p sở khác không gian q V tenxơ x Từ quy tắc biến đổi ta có nhận xét sau: 22 1) Mn cho mét hƯ gåm nn+p phÇn tư cđa tr-ờng R liên kết với sở j1 jq p ei  …  ei  f  …  f (ik,jl=1,…,n) , cđa kh«ng gian (  V)   V   , cã thÓ q  p xem hệ thành phần tenxơ p lần phản biến q lần hiệp biến, điều kiện cần đủ hệ thống biến đổi theo quy luật (2) (3) 2) Ta nhận thấy tenxơ p lần phản biến q lần hiệp biến đ-ợc xem nhmột ánh xạ đa tuyến tính Giả sử x = 1i1 i p n 1 j1 jq  n j1 jq i …i xj1…jp ei  …  ei  f  …  f q p   V   V    V  R x : V   V  V   p _ lân q _ lân j1 jq  i …i e ,…,e ,f ,…,f   x p ip j1…jq  i1  VÝ dô: Cho xV12(R2) víi V cã c¬ së {e1,e2}, V* cã c¬ së {f1,f2} x = 2e1  e1  f1 + 3e1  e1  f2 + 4e1  e2  f1 + 5e1  e2  f2 + 6e2  e1  f1 + 7e2  e1  f2 + 8e2  e2  f1 + 9e2  e2  f2 Tenxơ x đ-ợc đồng với ánh xạ tam tuyến tÝnh, cho: x: V  V  V* R {e1,e1,f1} 2 {e1,e1,f2} 3 {e1,e2,f1} 4 {e1,e2,f2} 5 {e2,e1,f1} 6 {e2,e1,f2} {e2,e2,f1} {e2,e2,f2} 3) Véctơ không gian V Giả sử sở đó, véctơ xV có dòng tọa độ [x] = (x1,x2,,xn) 23 Khi chuyển sang sở mới, dòng tọa ®é cđa x biÕn ®ỉi theo quy t¾c n  [x] = [x]’T  [x]’= [x]T-1 = [x]Sc tøc lµ x = xisi i Vậy tenxơ xV tenxơ phản biến cấp 4) Véctơ không gian V* n [f] = [f]S [f] ‘= [f]S = [f]T hay f’ =  fiti -1 c i Vậy tenxơ f V* tenxơ hiệp biến cấp 5) Ma trận phép biến đổi tuyến tính V Giả sư ma trËn cđa phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh A sở e1,,en A=a j i n   j  A= a e i j  j 1    Trong mét c¬ së míi ma trËn cđa A cã d¹ng   A’=  a '  = TAT-1 = TASc lµ a'   t a i j i s j i, j Vậy phần tử ma trận phép biến đổi tuyến tính thành phần tenxơ lần phản biến lần hiệp biến 6) Ma trận dạng song tuyến tính Giả sử đà cho dạng song tuyến tính (x,y) VxV Trong sở dạng có ma trận A = [aij] , aij = (ei,ej) Trong mét c¬ së míi, ma trËn A’ cđa (x,y) sÏ lµ C A’ = [a’ij]  TAT i j a '  t a t    ij  Tøc lµ ij VËy phần tử ma trận dạng song tuyến tính thành phần tenxơ lần hiệp biến 2.8 Bổ đề V đẳng cấu tuyến tính với V* 24 Chứng minh Ta xét ánh xạ y : V  V* x  y x lµ mét ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh p Trong ®ã y : V  R   x. ThËt vËy, tr-íc hÕt ta chứng minh y ánh xạ tuyến tính x1,x2V; ,R ta cã: y (.x1+.x2)() = y (.x1+.x2)() ; V = (.x1+.x2). = .x1. + .x2. =  y x () +  y x () =  y (x1)() +  y (x2)() =  y (x1)+ y (x2)() ; V Ta suy ra: y (.x1+.x2) =  y (x1)() +  y (x2) VËy y lµ ánh xạ tuyến tính Mặt khác từ x1 x2 y (x1) y (x2) Khi tồn  ®Ĩ y (x1)() ≠ y (x2)()  y x () ≠ y x () yx≠yx Vậy y đơn ánh Hơn dim V = dim V*, nên y đẳng cấu tuyến tính 25 2.9 MƯnh ®Ị a) Vqp  Vp-1 q+1 b) Vpq  Vp+1 q-1 Chøng minh   a) Gi¶ sư fVpq víi f : V   V V      V  R p _ lan q _ lan {x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq}  f{x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq} Ta xÐt ¸nh x¹ g nh- sau:   g :V   V V        V  R ( p 1) _ lan ( q 1) _ lan   x1,…,xp, y ,y1,…,yq  f(x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq) xp   Trong ®ã y x V* , y x : V  R p p  xp. Khi ta xét ánh xạ : Vqp  Vp-1 q+1 f  (f)=g Ta chøng minh đẳng cấu tuyến tính ánh xạ tuyến tính Thật vậy, f1,f2Vpq ; ,R (f1)=g1, (f2)=g2, ta cã:     (.f1+.f2)x1,x2,…, y x ,y1,…,yq = g*x1,…, y x ,y1,…,yq p p = (.f1+.f2)(x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq) = (.f1)(x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq) + (.f2)(x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq) = .f1(x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq) + .f2(x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq)     = .g1x1,…,xp-1, y x ,y1,…,yq + .g2x1,…,xp-1, y x ,y1,…,yq p p     = .(f1)x1,…,xp-1, y x ,y1,…,yq + .(f2)x1,…,xp-1, y x ,y1,…,yq p p     = (.(f1)+.(f2))x1,…,xp-1, y x ,y1,…,yq ; x1,…,xp-1, y x ,y1,…,yq p p 26 Suy (.f1+.f2)=.(f1) + .(f2) đơn ánh Với f1,f2Vpq f1f2 Khi ®ã  (x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq) cho: f1(x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq) ≠f2(x1,…,xp-1,xp,y1,…,yq)      g1x1,…,xp-1, y x ,y1,…,yq ≠g2x1,…,xp-1, y x ,y1,…,yq p p      (f1)x1,…,xp-1, y x ,y1,…,yq ≠(f2)x1,…,xp-1, y x ,y1,…,yq p  (f1)≠(f2) VËy đơn ánh p+q Mặt khác: dimVqp = dimVp-1 q+1 = n Do đẳng cấu tuyến tính ĐPCM b) Chứng minh t-ơng tự câu a) ta có: Vpq  Vp+1 q-1 2.10 VÝ dơ a)Cho TV11 víi T: V x V*  R (x,f)  f(x) Ta lÊy g: V* x V*  R (h,f)  g(h,f) Trong ®ã, h: V  R suy xh cho   h()=xh. Mµ g(h,f) = T(xh,f) = f(xh) VËy V11  V20 b) Cho TV11 víi T: V x V*  R (x,f)  f(x) LÊy g: VxV  R (x,y)  g(x,y) Mµ g(x,y) = Tx, y  = y (x) = x.y p 27 VËy V11 V02 III Các phép toán tenxơ 2.11 Định nghĩa i) Giả sử T S tenxơ p lần phản biến q lần hiệp biến có thành phần i i i i T = Tj1jp S = Sj1…jp q q Tỉng cđa T S đ-ợc ký hiệu T+S xác định nh- sau: i …i   i …i T + S Tj1jp+Sj1jp q q ii) Giả sử T tenxơ p lần phản biến q lần hiệp biến R Phép nhân tenxơ T với số thực đ-ợc ký hiệu T xác ®Þnh nh- sau:  i …i  T Tj1…jp q iii) Giả sử T tenxơ p lần phản biến q lần hiệp biến S tenxơ r lần phản biến s lần hiệp biến Tích tenxơ T S tenxơ kÝ hiƯu lµ T  S víi p + r lần l-ợt phản biến q+s lần hiệp biến đ-ợc xác định nh- sau: T S: V   V V   V V            V V  V  R p _ lân r _ lân q _ lân s _ lân (x1,…,xp,xp+1,…,xp+r,y1,…,yq,yq+1,…,yq+s)  x(x1,…,xp,y1,…,yq).y (xp+1,…,xp+r,yq+1,…,yq+s) iv) PhÐp nh©n tenxơ liên hệ với phép cộng tenxơ quy luật ph©n phèi T  (S+U) = T  S + T  U (S+U)  T = S  T + U T v) Phép nhân với vô h-ớng đ-ợc liên hệ quy luật (kT) S = T  (kS) = k(T  S) 2.12 VÝ dô i) Cho tenxơ TV01 , T: V* R SV01 , S: V*  R víi fV* n  T(f) = T ifi =  i 1   n T-¬ng tù: S(f) =  S i i 1 i n n   T (f ) =   T i 1 i i i i 1 i 28 Khi ®ã (T+S) :V*  R n f   i(Ti+Si) i 1 Hay T + S (Ti + Si) ii) Cho TV20, T : V* x V*  R n (h,g)   hg i 1 i i S V11, S : V x V*  R (x,f)  f (x) Ta cã S  TV31 Khi ®ã S  T: V x V* x V* x V*  R n (x,f,h,g)  S(x,f).T(h,g)=f(x)  higi i 1 Ngoài phép toán đ-ợc trình bày 2.11 ta định nghĩa phép corút số, phép toán đ-a tenxơ cấp p+q tenxơ cấp p+q-2 2.13 Định nghĩa i i Giả sử cho x = xj1jp Khi tenxơ q  i1…i…ip  x’   x’  i=i jjjq i đ-ợc gọi co x theo cặp số thứ tự (i,j) ta kÝ hiƯu x’ = C x j 2.14 VÝ dơ Cho tenxơ xV11 (R2) Giả sử R2 có sở {e1,e2}, (R2)* có sở {f1,f2} Khi V11 có c¬ së {e1f1,e1f2,e2f1,e2f2} xV11  x = x11e1f1 + x21e1f2 + x21e2 f1 + x22e2f2 Khi ®ã C11x = x11 + x22 29 2.15 Mệnh đề p-1 ánh xạ co C: Vpq (Rn) Vq-1 ánh xạ tuyến tính Chøng minh Víi t,hVpq (Rn) ta cã:  i …i i …i  i …i (t+h) = tj1…jp+hj1…jp = j1…jp i Suy C (t+h) = j q q …i…i  ’ij …j …j i  j  p q = i …i…ip =  t’ + j1…j…jq i  j  q i …i…i  …i   t’ij …i +h’ …j…j j …j…j  i  j  p p q q …i…i  h’ij …j …j i  j  p q i i = C (t) + C (h) j j  i …i…ip Mặt khác R, ta có t = t  j1…j…jq  i C (t) = j …i  t’ij …i …j…j i  j  p q i …i…ip =   t’ j1…j…jq i  j  i = C (t) j i VËy ánh xạ C ánh xạ tuyến tính j IV Tích hai véctơ Giả sử V không gian vectơ n chiều R V lũy thừa tenxơ cấp hai V Ta đặt: x  y = x  y - y  x V Khi x y đ-ợc gọi song vectơ phân tích đ-ợc tích cđa x vµ y 30 Ta ký hiƯu  V không gian sinh song véctơ 2.16 Mệnh đề ánh xạ : V V (x,y)  x  y Cã tÝnh chÊt sau: i)  lµ song tuyÕn tÝnh ii) xy = - yx 2.17 Mệnh đề Tích tenxơ có tÝnh chÊt sau: (x+y)  z = x  z + y  z x  (y+z) = x  y + x  z (ax)  y = x  (ay) = a(x  y) (x  y)  z = x  (y  z) Chøng minh (x+y)  z = (x+y)  z – z  (x+y) = x z + y z - z x - z y = (x  z-z  x) + (y  z-z  y) = x  z + y  z. T-¬ng tù chøng minh đ-ợc 2) 3) Ta có (x y)  z = (x  y-y  x)  z = (x  y-y  x)  z - z  (x  y-y  x) = x y z - y x z - z x y + z y x T-¬ng tù x  (y  z) = x  (y  z-z  y) = x  (y  z-z  y) - (y  z-z  y)  x = x y z - x z y - y z x + z y x Suy (x  y)  z = x  (y z) 31 Kết luận Luận văn đà đạt đ-ợc kết sau: - Chứng minh tính chÊt vỊ d¹ng tun tÝnh, d¹ng song tun tÝnh, tÝch dạng tuyến tính, dạng toàn ph-ơng (mệnh đề 1.2, mệnh đề 1.3, mệnh đề 1.7, định lý 1.8) - Chỉ ví dụ phép toán đổi chØ sè (2.10), phÐp co rót c¸c chØ sè(2.14), phÐp nhân véctơ - Tìm quy luật biến đổi thành phần tenxơ thay đổi sở Từ đó, ta thấy đ-ợc tenxơ ánh xạ đa tuyến tính - Chứng minh số tính chất tenxơ (bổ đề 2.8, mệnh đề 2.9, mệnh ®Ị 2.15) Trong thêi gian tíi chóng t«i tiÕp tơc nghiên cứu tenxơ đa tạp khả vi thực n-chiều ứng dụng tenxơ vào việc khảo sát độ cong đa tạp Riemann 32 Tài liệu tham khảo Tiếng việt [1] GS Cao Văn Chí (2003), Nền móng công trình, NXB Xây dựng [2] Nguyễn Văn Giám, Mai Quý Năm, Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Sum, Ngô Sỹ Tùng (2000), Toán cao cấp (tập 1), NXB Giáo dục [3] Nguyễn Thị H-ờng (2007), Về tr-ờng tenxơ không gian Rn, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [4] Ngô Thúc Lanh (1970), Đại số tuyến tính, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [5] Nguyễn Xuân Lựu (2006), Lý thuyết đàn hồi, NXB Giao thông vận tải [6] Đoàn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, NXB Đại học s- phạm [7] D-ơng Văn Thứ (chủ biên) (2007), Nguyễn Ngọc Oanh, Cơ học môi tr-ờng liên tục, NXB từ điển bách khoa Hà Nội Tiếng nga [1] M.Spivak (1985), Giải tích toán học đa tạp (Bản dịch tiếng việt), NXBĐH THCN Hà Nội ... tuyến tính III Tích dạng tuyến tính IV Dạng toàn ph-ơng Ch-ơng II: Tích tenxơ không gian véctơ Tích véctơ I Tích tenxơ không gian véctơ II Tenxơ III Phép toán tenxơ IV Tích véctơ Trong ch-ơng... TÝch tenx¬ không gian véctơ Tích hai véctơ I Tích tenxơ không gian véctơ Nếu f : V W ánh xạ tuyến tính f(V) không gian W Nếu f : VxV W ánh xạ song tuyến tính f(VxV) nói chung không gian V Chính... tuyến tính Sau ta tìm cách đ-a ánh xạ song tuyến tính ánh xạ tuyến tính nhờ khái niệm tích tenxơ không gian véctơ 2.1 Định lý Giả sử cho không gian véctơ V V tồn không gian véctơ W ¸nh x¹ song tuyÕn