Đang tải... (xem toàn văn)
Tích vô hướng Euclid trên R n Một số khái niệm. Nội dung[r]
(1)Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng
(2)Nội dung
1 Tích vơ hướng Euclid trên Rn
Một số khái niệm Các tính chất
2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng
Khái niệm
Phép chiếu trực giao
Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn
(3)Tích vơ hướng Euclid trênRn Một số khái niệm
Nội dung
1 Tích vơ hướng Euclid trên Rn
Một số khái niệm Các tính chất
2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng
Khái niệm
Phép chiếu trực giao
Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn
(4)R
Tích vơ hướng Euclid mặt phẳng R2
Chou= (u1,u2)vàv= (v1,v2)trênR2
Tích vơ hướng (haytích trong) củau vớivđược định nghĩa u·v:=u1v1+u2v2.
Độ dài vec-tơu xác định ∥u∥:=
√ u2
1+u22 (=
√ u·u).
Góc θ∈[0, π]giữa vec-tơu vec-tơvđược xác định cosθ:=√ u1v1+u2v2
u2 1+u22
√ v2
1+v22
(
= u·v ∥u∥∥v∥
)
.
Vec-tơuđược gọi làvng góc với vec-tơvnếuu·v=0
Khoảng cáchgiữa vec-tơ uvà vec-tơvđược xác định
d(u,v) :=
√
(5)Tích vơ hướng Euclid trênRn Một số khái niệm
Tích vơ hướng Euclid trên Rn
Chou,v∈Rn, vớiu= (u
1, ,un)vàv= (v1, ,vn)
Tích vơ hướng (haytích trong) củau vớivđược định nghĩa u·v:=
n ∑
i=1
uivi=u1v1+ .+unvn. Độ dài vec-tơu xác định
∥u∥:=√u·u
(
=
√ u2
1+ .+u2n )
. Góc θ∈[0, π]giữa vec-tơu vec-tơvđược xác định
cosθ:= u·v ∥u∥∥v∥
(
= √ u1v1+ .+unvn
u2
1+ .+u2n √
v2
1+ .+v2n )
.
Vec-tơuđược gọi làvng góc với vec-tơvnếuu·v=0
Khoảng cáchgiữa vec-tơ uvà vec-tơvđược xác định
d(u,v) :=∥u−v∥
(
=
√
(u1−v1)2+ .+ (un−vn)2 )
(6)R
Nội dung
1 Tích vơ hướng Euclid trên Rn
Một số khái niệm Các tính chất
2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng
Khái niệm
Phép chiếu trực giao
Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn
(7)Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất
Tính chất tích vơ hướng Euclid trên Rn
Choc∈Rvàu,v,w∈Rn Ta ln có:
u·v=v·u.
u·(v+w) =u·v+u·w.
c(u·v) = (cu)·v=u·(cv) u·u=∥u∥2.
u·u≥0, vàu·u=0⇔u=0. ∥cu∥=|c|∥u∥
(8)R
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Vớiu,v∈Rnta ln có |u·v| ≤ ∥u∥∥v∥.
Chứng minh:
Trường hợpu=0ta có|0·v|=0=0∥v∥=∥u∥∥v∥ Xét trường hợpu̸=0 Với mọit∈Rta có:
0≤(tu+v)·(tu+v) = (u·u)t2+2(u·v)t+v·v.
Đặta=u·u,b=2(u·v),c=v·v Dou̸=0, nêna>0
Chú ý rằng, vớia>0, tam thức bậc haiat2+bt+c≥0∀ t∈Rkhi và
chỉ
b2−4ac≤0
⇔ b2≤4ac
(9)Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất
Bất đẳng thức tam giác
Vớiu,v∈Rnta ln có ∥u+v∥ ≤ ∥u∥+∥v∥. Chứng minh:
Ta có
∥u+v∥2= (u+v)·(u+v)
=u·u+2(u·v) +v·v =∥u∥2+2(u·v) +∥v∥2 ≤ ∥u∥2+2|u·v|+∥v∥2
≤ ∥u∥2+2∥u∥∥v∥+∥v∥2 (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
(10)R
Định lý Pythagor
Các vec-tơu,v∈Rn vng góc với nhau
khi khi ∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2. Chứng minh:
Từ chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta có ∥u+v∥2=∥u∥2+2(u·v) +∥v∥2.
Từ ta suy
uvng góc với v ⇔ u·v=0