bài giảng đại số tuyến tính không gian vecto

SLIDES BÀI GIẢNG MÔN ĐẠI SỐ B1 Slides Chương 3: KHÔNG GIAN VECTƠ Giảng viên: Trònh Thanh Đèo Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NĂM HỌC 2010-2011 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) / 60 NOÄI DUNG Vector space Rn Vector spaces Examples of vector spaces Linear combinations Linear independence and linear dependence Vector subspaces Spanning sets Basis and dimension of vector spaces Basis of the vector space spanning by the set 10 Basis of null spaces 11 Coordinates 12 Change-of-basis matrices Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) / 60 Không gian vectơ Rn Ký hiệu Rn tập hợp tất n-thứ tự u = (a1 , a2 , , an ), với a1 , a2 , , an ∈ R Mỗi thứ tự gọi vectơ Vectơ viết dạng vectơ dòng: u = (a1 , a2 , , an )   a1  a2   dạng vectơ cột: u =    an Các hệ số gọi thành phần vectơ u; n gọi số chiều vectơ u Vectơ có tất thành phần gọi vectơ không, ký hiệu Vậy = (0, 0, , 0) Neáu u = (a1 , a2 , , an ) ∈ Rn −u = (−a1 , −a2 , , −an ) gọi vectơ đối cuûa u Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) / 60 Không gian vectơ Rn Xét u = (a1 , a2 , , an ), v = (b1 , b2 , , bn ) ∈ Rn Ta ký hiệu u = v, a1 = b1 , a2 = b2 , , an = bn u + v = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ), αu = (αa1 , αa2 , , αan ), gọi tổng u v gọi tích số thực α với vectơ u Tích (−1).u ký hiệu −u, gọi vectơ đối u Tổng u + (−v) ký hiệu u − v, gọi u trừ v Ví dụ (x − y, y − z, z − x) = (0, 0, 0) ⇔ x = y = z (1, 2, −2, 1) + (2, 3, 1, −2) = (3, 5, −1, −1) 2(1, 4, 7) − 3(1, 1, 2) = (−1, 5, 8) Tập hợp Rn với phép toán cộng nhân gọi không gian vectô Rn Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) / 60 Không gian vectơ Rn Đònh lý Với u, v, w ∈ Rn với α, β ∈ R ta có: i) u + v = v + u ii) (u + v) + w = u + (v + w) iii) u + = u iv) u + (−u) = v) 1.u = u vi) α(βu) = (αβ)u vii) (α + β)u = αu + βu viii) α(u + v) = αu + αv Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) / 60 Không gian vectơ tổng quát Cho tập hợp V khác rỗng, ta đònh nghóa phép cộng hai phần tử thuộc V phép nhân số thực với phần tử thuộc V cho 1) ∀u, v ∈ V, ta coù u + v ∈ V 2) ∀u ∈ V, ∀α ∈ R, ta có αu ∈ V Khi V với phép cộng nhân gọi không gian vectơ ∀u, v, w ∈ V ∀α, β ∈ R, ta coù: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) Tồn ∈ V cho u + = u Tồn −u ∈ V cho u + (−u) = 1.u = u α.(β.u) = (αβ).u (α + β).u = α.u + β.u α.(u + v) = α.u + α.v Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) / 60 Khoâng gian vectơ tổng quát Nhận xét Nếu V không gian vectơ Các phần tử thuộc V gọi vectơ Các phần tử thuộc R gọi vô hướng Phần tử xác đònh nhất, gọi vectơ không Phần tử −u xác đònh nhất, gọi vectơ đối u Mệnh đề Cho V không gian vectơ u, v ∈ V, α, β ∈ R Khi đó: αu = ⇔ α = hoaëc u = (−1)u = −u −(αu) = (−α)u = α(−u) neáu αu = αv α = u = v αu = βu α = β u = Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) / 60 Các ví dụ không gian vectơ Ví dụ Không gian Rn trường hợp riêng không gian vectơ Ví dụ Tập hợp Mm×n (R) không gian vectơ với phép toán cộng ma trận nhân ma trận với số thực Không gian gọi không gian ma trận loại m×n Vectơ Mm×n (R) ma trận không ‘vectơ' đối ma trận A ma trận −A Ghi Trong thực hành tính toán, ta xem ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n (R) vectơ thuộc Rmn có dạng (a11 , a12 , , a1n , a21 , , a2n , , am1 , , amn ) −1 Chẳng hạn, ma trận xem vectô −2 (1, 2, −1, 3, −2, 4) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) / 60 Các ví dụ không gian vectơ Ví dụ Ký hiệu Pn [t] tập hợp đa thức bậc ≤ n theo biến t Khi đó, Pn [t] không gian vectơ với phép toán cộng đa thức nhân đa thức với số thực Không gian gọi không gian đa thức bậc ≤ n (theo biến t) Vectơ Pn [t] đa thức không (nghóa đa thức có tất hệ số 0) vectơ đối đa thức f(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn đa thức −f(t) = −α0 − α1 t − · · · − αn tn Ghi Trong thực hành tính toán, ta xem đa thức f(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn ∈ Pn [t] vectơ thuộc Rn+1 có dạng (α0 , α1 , , αn ) Chẳng hạn, với đa thức f(t) = − t + 3t2 − 2t3 ta có: f(t) xem vectơ (2, −1, 3, −2) R4 f(t) xem vectơ (2, −1, 3, −2, 0, 0) R6 f(t) không xem vectơ R3 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) / 60 Các ví dụ không gian vectơ Ví dụ Ký hiệu P[t] tập hợp đa thức theo biến t Khi đó, P[t] không gian vectơ với phép toán cộng đa thức nhân đa thức với số thực Không gian gọi không gian đa thức biến t Không gian có vectơ đa thức không (nghóa đa thức có tất hệ số 0) vectơ đối đa thức f(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn đa thức −f(t) = −α0 − α1 t − · · · − αn tn Ghi Trong thực hành tính toán, ta xem đa thức f(t) = α0 + α1 t + · · · + αm tm P[t] vectơ dạng (α0 , α1 , , αm , 0, 0, ) 3t2 (vô hạn số 0) − 2t3 xem Chẳng hạn, đa thức f(t) = − t + (2, −1, 3, −2, 0, 0, ) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces vectơ (Algebra B1) 10 / 60 Cơ sở không gian nghiệm Ví  dụ Tìm sở chiều cho không  x1 + x2 + x3 = 0; x + 2x2 + x3 = 0;  x1 + 3x2 + 3x3 =    1 1 Chuẩn hóa    −−−−−−→ Giải Ta có: 3 gian nghiệm hệ:  0  Nghiệm hệ là: (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0) Hệ nghiệm Cơ sở không gian nghiệm W B = Ø dim W = Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 46 / 60 Tọa độ Cho B = {u1 , u2 , , un } sở không gian vectơ V Khi đó, ∀u ∈ V, tồn α1 , α2 , , αn cho u = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un   α1 α2   Đặt [u]B =    αn Ta gọi [u]B tọa độ vectơ u theo sở B Chú ý Tọa độ vectơ theo sở B có ý nghóa ta cố đònh thứ tự xuất vectơ B Do đó, từ sau, nói đến tọa độ ta ngầm hiểu thứ tự xuất vectơ B cố đònh Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 47 / 60 Tọa độ Nhận xét Tọa độ vectơ u ∈ Rn theo sở tắc Rn u Tọa độ đa thức f(t) ∈ Pn [t] theo sở tắc Pn [t] cột hệ số f(t) theo thứ tự từ hệ số bậc đến hệ số bậc n Ví dụ Tọa độ u = (3, 2, 4) theo sở  tắcB0 R3  [u]B0 = u = 2 Tọa độ đa thức f(t) = 2−4t+3t2 theo  cơsở tắc B0 P2 [t] [f]B0 = −4 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 48 / 60 Tọa độ Phương pháp tìm tọa độ vectơ u theo sở B Để tìm tọa độ vectơ u theo sở B = {u1 , u2 , , un } không gian vectơ V, ta thực sau: Giải phương trình u = x1 u1 +x2 u2 +· · ·+xn un , với ẩn x1 , x2 , , xn Do B sở V nên phương trình có nghiệm (x , x , , xn ) = (α1 , α2 , , αn )   α1 α2   Khi [u]B =    αn Chú ý Neáu coi u, u1 , u2 , , un vectơ thuộc Rn ta thành lập ma trận hóa (u1 u2 · · · un |u ) để giải hệ Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 49 / 60 Tọa độ Ví dụ Trong không gian R3 , tìm tọa độ vectơ u = (4, 1, 5) theo sở B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)} Giaûi    1 0 chuẩn hóa Ta có (u1 u2 u3 |u ) = 0 1 1 −−−−−→ 0 −1 1 0   Do [u]B = −1  Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 50 / 60 Tọa độ Ví dụ Trong không gian P2 [t], tìm tọa độ đa thức f(t) = + 5t + 2t2 theo sở B = {f1 (t) = 1, f2 (t) = + t, f3 (t) = (3 + t)2 } Giaûi Xem f = (3, 5, 2), f1 = (1, 0, 0),  Ta coù (f1 f2 f3 |f ) = 0 0    Do [f]B = −7 f2 = (3, 1, 0), f3 = (9, 6, 1)    0 chuẩn hóa 5 −−−−−→ 0 −7 2 0 Mệnh đề Cho B sở không gian vectơ V u, v ∈ V, α ∈ R Khi đó: [u + v]B = [u]B + [v]B [αu]B = α[u]B Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 51 / 60 Ma trận chuyển sở Cho B = {u1 , u2 , , un }, B = {u1 , u2 , , un } sở không gian vectơ V Ñaët P = ([u1 ]B [u2 ]B [un ]B ) Ta gọi P ma trận chuyển sở từ B sang B , ký hiệu P = (B → B ) Ví dụ Xác đònh ma trận chuyển từ sở tắc B0 sang sở B = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (1, 1, 4), u3 = (2, 0, 5)} cuûa R3 Giải   1 Ta có (B0 → B) = ([u1 ]B0 [u2 ]B0 [u3 ]B0 ) = (u1 u2 u3 ) = 2 0 Tổng quát: Nếu B = {u1 , u2 , , un } sở Rn B0 sở tắc Rn (B0 → B) = (u1 u2 un ) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 52 / 60 Ma trận chuyển sở Phương pháp xác đònh ma trận chuyển sở Để xác đònh (B → B ), ta thực sau: Cho vectơ u thuộc V Ta xác đònh [u]B Lần lượt thay u u1 , u2 , , un ta xác đònh [u1 ]B , [u2 ]B , , [un ]B Khi (B → B ) = ([u1 ]B [u2 ]B [un ]B ) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 53 / 60 Ma trận chuyển sở Ví dụ Tìm ma trận chuyển từ sở B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)} sang sở B = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (2, 3, 1), u3 = (3, 1, 2)} R3 Giải Xét vectơ u = (a,   b, c) ∈ R  1 1 a chuaå n hoù a Ta coù (u1 u2 u3 |u )=0 1 b−−−−−→0 0 1 c   a−b neân [u]B =  a − c  Lần lượt thay u u1 , u2 , c−a+b       −1 −1      , [u3 ]B= 1 [u1 ]B= −2 , [u2 ]B=  −1 −1 Do (B → B ) = ([u1 ]B [u2 ]B [u3 ]B ) =  −2 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces  a−b a − c  c−a+b u3 ta   (Algebra B1) 54 / 60 Ma trận chuyển sở Ví dụ Cho W không gian sinh vectơ u1 = (1, 0, 1, 1), u2 = (1, 1, 0, 1), u3 = (1, 1, 1, 0) a) Chứng minh tập hợp B = {u1 , u2 , u3 } sở W b) Cho u = (a, b, c, d) ∈ R4 Tìm mối liên hệ a, b, c, d để u ∈ W Với điều kiện đó, xác đònh [u]B theo a, b, c, d c) Đặt B = {u1 = (0, 1, 2, −3), u2 = (2, 0, 1, 3), u3 = (0, 1, −2, 1)} Chứng minh B sở W xác đònh (B → B )       u1 1 1 1 đưa dạng 0 Giải Ta có A=u2 =1 1 −−−−−−→ 0 −1 baäc thang u3 1 0 −1 Suy ra, r(A) = Do B độc lập tuyến tính Mà B tập sinh W, nên B sở cuûa W Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 55 / 60 Ma trận chuyển sở b) Vì W = B nên u ∈ W ⇔ u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u3 Ta coù (u1 u2 u3 |u ) =    1 1 a  1 b  chuẩn hóa    =  1 c  −−−−−→  0 1 d Do u ∈ W ⇔ 2a − b − c − d = 0 0  a−b  a−c   a−d 2a − b − c − d   a−b Hơn nữa, từ điều kiện ta [u]B =  a − c  a−d Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 56 / 60 Ma trận chuyển sở   u1 c) Đặt A = u2  u 3    −3 đưa dạng  −−−−−−→  −3  Ta coù A =  baäc thang −2 0 −4 Do r(A ) = Vậy B độc lập tuyến tính Từ điều kiện u câu b) ta suy u1 , u2 , u3 ∈ W, nên B ⊂ W Mà dim W = = số vectơ B, nên B sở W       −1 −1      ; [u3 ]B = 2 Cũng từ câu b) ta suy [u1 ]B = −2 ; [u2 ]B = −1 −1   −1 −1  −2  Do (B → B ) = −1 −1 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 57 / 60 Ma trận chuyển sở Phương pháp thứ hai xác đònh ma trận chuyển sở Nếu xem B = {u1 , u2 , , un }, B = {u1 , u2 , , un } tập hợp vectơ thuộc Rn để tìm ma trận chuyển sở (B → B ), ta thực sau: Thành lập ma trận mở rộng A = (u1 u2 un |u u u n ) Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng, đưa A dạng (In |P) Khi P = (B → B ) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 58 / 60 Ma trận chuyển sở Ví dụ Tìm ma trận chuyển từ sở B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)} sang sở B = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (2, 3, 1), u3 = (3, 1, 2)} cuûa R3 Giaûi  1 1 u3 ) =  1  1  −1 1   −1 1   Ta coù (u1 u2 u3 |u1  u2 0 −1  −−−−−→ −2 0  −1 Do (B → B ) =  −2 chuẩn hóa Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 59 / 60 Ma trận chuyển sở Đònh lý Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều B, B sở V Khi đó, với u thuộc V ta có [u]B = (B → B )[u]B Đònh lý Cho V không gian vectơ n chiều B, B , B sở V Khi đó: i) (B → B) = In ii) (B → B ) = (B → B )(B → B ) iii) (B → B ) khả nghòch (B → B )−1 = (B → B) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Vector Spaces (Algebra B1) 60 / 60 ... dụ không gian vectơ Ví dụ Không gian Rn trường hợp riêng không gian vectơ Ví dụ Tập hợp Mm×n (R) không gian vectơ với phép toán cộng ma trận nhân ma trận với số thực Không gian gọi không gian. .. Họ vectơ không độc lập tuyến tính gọi phụ thuộc tuyến tính Nhận xét i) Tập S = {u} độc lập tuyến tính u = ii) Mọi tập hợp chứa vectơ phụ thuộc tuyến tính iii) Nếu tập S độc lập tuyến tính tập... vectơ V Nếu W không gian vectơ với phép toán +, trang bò V W gọi không gian V Khi ta ký hiệu W ≤ V Ví dụ Các tập hợp {0v } V không gian không gian vectơ V Các không gian gọi không gian tầm thường