bài giảng đại số tuyến tính không gian vecto

Nếu V là không gian vectơ thì Các phần tử thuộc V được gọi là các vectơ.. Tổ hợp tuyến tínhPhương pháp xác định tổ hợp tuyến tính Để kiểm tra vectơ u có là tổ hợp tuyến tính của các vect

SLIDES BÀI GIẢNG MÔN ĐẠI SỐ B1

Slides Chương 3:

KHÔNG GIAN VECTƠ

Giảng viên: Trịnh Thanh Đèo

Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NĂM HỌC 2010-2011

8 Basis and dimension of vector spaces

9 Basis of the vector space spanning by the set

10 Basis of null spaces

11 Coordinates

12 Change-of-basis matrices

Không gian vectơ Rn

Ký hiệu Rn là tập hợp tất cả các bộ n-thứ tự u = (a1,a2, ,a n), với

a1,a2, ,a n∈ R

Mỗi bộ thứ tự như vậy được gọi là mộtvectơ

Vectơ có thể được viết dưới dạng vectơ dòng: u = (a1,a2, ,a n)

hoặc dưới dạngvectơ cột: u =

Các hệ số a i được gọi là các thành phần của vectơ u;

n được gọi là số chiều của vectơ u.

Vectơ có tất cả các thành phần đều bằng 0 được gọi là vectơ không,ký hiệu bởi 0 Vậy 0 = (0, 0, , 0).

Nếu u = (a1,a2, ,a n) ∈ Rn thì −u = (−a1, −a2, , −a n) được gọi là

vectơ đối của u.

Không gian vectơ Rn

Xét u = (a1,a2, ,a n),v = (b1,b2, ,b n) ∈ Rn Ta ký hiệu

u = v, nếu a1 =b1,a2 =b2, ,a n=b n

u + v = (a1+b1,a2+b2, ,a n+b n), gọi làtổng của u và v.

αu = (αa1, αa2, , αa n), gọi làtích của số thực α với vectơ u Tích (−1).u được ký hiệu bởi −u, và được gọi là vectơ đối của u Tổng u + (−v) được ký hiệu bởi u − v, và được gọi là u trừ v

Không gian vectơ Rn

Định lý. Với mọi u, v, w ∈ R nvà với mọi α, β ∈ R ta có:

Không gian vectơ tổng quát

Cho tập hợp V khác rỗng, ta định nghĩa phép cộnghai phần tử thuộc

V và phép nhân một số thực với một phần tử thuộc V sao cho

1) ∀u, v ∈ V, ta có u + v ∈ V

2) ∀u ∈ V, ∀α ∈ R, ta có αu ∈ V.

Khi đó V với phép cộng và nhân như trên được gọi là không gian vectơ nếu ∀u, v, w ∈ V và ∀α, β ∈ R, ta có:

i) u + v = v + u.

ii) (u + v) + w = u + (v + w).

iii) Tồn tại0 ∈ V sao cho u + 0 = u.

iv) Tồn tại −u ∈ V sao cho u + (−u) = 0.

v) 1.u = u.

vi) α.(β.u) = (αβ).u.

vii) (α + β).u = α.u + β.u.

viii) α.(u + v) = α.u + α.v.

Không gian vectơ tổng quát

Nhận xét. Nếu V là không gian vectơ thì

Các phần tử thuộc V được gọi là các vectơ

Các phần tử thuộc R được gọi là các vô hướng

Phần tử0 xác định duy nhất, được gọi là vectơ không

Phần tử −u xác định duy nhất, được gọi là vectơ đối của u.

Mệnh đề. Cho V là không gian vectơ và u, v ∈ V, α, β ∈ R Khi đó:

αu = 0 ⇔ α = 0 hoặc u = 0.

(−1)u = −u.

−(αu) = (−α)u = α(−u).

nếu αu = αv thì α = 0 hoặc u = v.

nếu αu = βu thì α = β hoặc u = 0.

Các ví dụ về không gian vectơ

Ví dụ 1. Không gian Rn là một trường hợp riêng của không gian vectơ

Ví dụ 2. Tập hợp M m×n(R) là không gian vectơ với phép toán cộng matrận và nhân ma trận với một số thực

Không gian này được gọi làkhông gian các ma trận loại m×n

Vectơ 0 trong M m×n(R) chính là ma trận không

và ‘vectơ' đối của ma trận A là ma trận −A.

Ghi chú. Trong thực hành tính toán, ta có thể xem ma trận

A = (a ij) ∈M m×n(R) như là vectơ thuộc Rmn có dạng

(a11,a12, ,a 1n,a21, ,a 2n, ,a m1, ,a mn)

Chẳng hạn, ma trận 1 2 −1

3 −2 4

được xem như vectơ(1, 2, −1, 3, −2, 4)

Các ví dụ về không gian vectơ

Ví dụ 3. Ký hiệu Pn[t] là tập hợp các đa thức bậc ≤ n theo biến t.

Khi đó, Pn[t] là không gian vectơ với phép toán cộng đa thức và nhân

đa thức với số thực Không gian này được gọi làkhông gian các đa thức bậc ≤ n (theo biến t).

Vectơ 0 trong Pn[t] chính là đa thức không (nghĩa là đa thức có tất cả

các hệ số bằng 0)

và vectơ đối của đa thức f(t) = α0+ α1t + · · · + α n t nlà đa thức

−f(t) = −α0− α1t − · · · − α n t n

Ghi chú. Trong thực hành tính toán, ta có thể xem đa thức

f(t) = α0+ α1t + · · · + α n t n∈ Pn[t] như là vectơ thuộc R n+1 có dạng

(α0, α1, , αn)

Chẳng hạn, với đa thức f(t) = 2 − t + 3t2− 2t3 ta có:

f(t) được xem như vectơ (2, −1, 3, −2) trong R4

f(t) được xem như vectơ (2, −1, 3, −2, 0, 0) trong R6

f(t) không được xem như vectơ trong R3

Các ví dụ về không gian vectơ

Ví dụ 4. Ký hiệu P[t] là tập hợp các đa thức theo một biến t.

Khi đó, P[t] là không gian vectơ với phép toán cộng đa thức và nhân

đa thức với một số thực

Không gian này được gọi làkhông gian các đa thức biến t.

Không gian này có vectơ0 chính là đa thức không (nghĩa là đa thức

có tất cả các hệ số đều bằng 0)

và vectơ đối của đa thức f(t) = α0+ α1t + · · · + α n t nlà đa thức

−f(t) = −α0− α1t − · · · − α n t n

Ghi chú. Trong thực hành tính toán, ta có thể xem đa thức

f(t) = α0+ α1t + · · · + α m t m trong P[t] như là vectơ dạng

Tổ hợp tuyến tính

Cho các vectơ u, u1,u2, , u m thuộc không gian vectơ V.

Ta nói u là một tổ hợp tuyến tính của u1,u2, ,u m nếu tồn tại cácsố thực α1, α2, , αm sao cho

u = (0, 0, 1) không là tổ hợp tuyến tính của u1= (2, 1, 0),u2= (1, 0, 0)

vì thành phần thứ ba của u1 và u2 bằng 0, trong khi thành phần thứ

ba của u khác 0.

Ta có0 = 0u1+ 0u2+ · · · + 0u m, nên vectơ 0 luôn luôn là tổ hợp

tuyến tính của một họ bất kỳ các vectơ u1,u2, ,u m

Tổ hợp tuyến tính

Phương pháp xác định tổ hợp tuyến tính

Để kiểm tra vectơ u có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

u1,u2, ,u m hay không, ta giải phương trình

u = x1u1+x2u2+ +x m u m,với ẩn là x1,x2, ,x m∈ R

+ Nếu phương trình trên có nghiệm thì u là tổ hợp tuyến tính của

Tổ hợp tuyến tính

Ví dụ 1. Xét xem vectơ u = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (2, 1, 1),u2 = (−1, 1, −1),u3 = (1, 1, −2) hay không?

Do đó hệ có nghiệm duy nhất (x1,x2,x3) = (1, 2, 1)

Vậy vectơ u là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1,u2,u3

Dạng biểu diễn tuyến tính tương ứng là u = u1+ 2u2+u3

Tổ hợp tuyến tính

Ví dụ 2. Xét xem vectơ u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

Do đó hệ vô nghiệm

Vậy u không là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3

Tổ hợp tuyến tính

Ví dụ 3. Xét xem vectơ u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3

Dạng biểu diễn tuyến tính tương ứng là

u = (9 + 9t)u1+ (−5 − 7t)u2+tu3, t ∈ R.

Tổ hợp tuyến tính

Ví dụ 4. Xét xem đa thức f(t) = 6 − 4t − 2t2 có là tổ hợp tuyến tính của

f1(t) = 1 + t − t2, f2(t) = 1 − t + t2 và f3(t) = −1 + t + t2 hay không?

Vậy f là tổ hợp tuyến tính của f1,f2,f3

Dạng biểu diễn tuyến tính tương ứng là f = f1+ 2f2− 3f3

Tổ hợp tuyến tính

Ví dụ 5. Xét xem ma trận A =



3 2

−1 4

có là tổ hợp tuyến tính của các

Vậy A là tổ hợp tuyến tính của A1,A2,A3

Dạng biểu diễn tuyến tính tương ứng là A = A1+ 4A2− 2A3

Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Họ các vectơ u1,u2, ,u m được gọi làđộc lập tuyến tính nếu từđẳng thức α1u1+ α2u2+ + αm u m= 0 (với α1, α2, , αm∈ R),

Nhận xét. i)Tập S = {u} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi u 6= 0.

ii) Mọi tập hợp chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.

iii) Nếu tập S độc lập tuyến tính thì mọi tập con của S đều độc lập tuyến

Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Phương pháp xác định tính độc lập và phụ thuộc tuyến tính

Để xác định tập hợp S gồm các vectơ u1,u2, , u m là độc lập hayphụ thuộc tuyến tính, ta giải phương trình

x1u1+x2u2+ +x m u m= 0 với ẩn là x1,x2, ,x m∈ R

+ Nếu PT có nghiệm duy nhất (bằng 0) thì S độc lập tuyến tính.

+ Nếu PT có vô số nghiệm thì S phụ thuộc tuyến tính.

Ghi chú. Nếu xem các vectơ trên thuộc Rn thì thay vì giải hệ, ta có thểđặt A =

,và xác định r(A) Khi đó:

+ Nếu r(A) = m (bằng số vectơ trong S) thì S độc lập tuyến tính.

+ Nếu r(A) < m thì S phụ thuộc tuyến tính.

Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 1. Xác định tập hợp các vectơ u1 = (1, 2, 3),u2 = (4, 5, 6),

u3= (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Khi đó r(A) = 2 (bé hơn số vectơ),

nên u1,u2,u3 phụ thuộc tuyến tính

Khi đó:

+ Nếu det(A) 6= 0 thì S độc lập tuyến tính.

+ Nếu det(A) = 0 thì S phụ thuộc tuyến tính.

Chẳng hạn, trong Ví dụ trên ta có det(A) = 0 nên u1,u2,u3 phụ thuộctuyến tính

Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 2. Xác định tập hợp các vectơ u1 = (1, 2, 3, 1),u2= (1, 1, 2, 3),

u3= (1, 3, 1, 2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Do đó r(A) = 3 (bằng số vectơ),

nên u1,u2,u3 độc lập tuyến tính

Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3. Xác định các đa thức f1 = 1 +t + t2, f2= 1 − 2t + t2 và

f3= 1 + 2t − t2 là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Do đó r(A) = 3 (bằng số vectơ),

nên f1,f2,f3 độc lập tuyến tính

Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 4. Xét xem các ma trận

Ma trận trên có hạng bằng 3 (bé hơn số vectơ),

nên A1,A2, A3, A4 phụ thuộc tuyến tính

Không gian vectơ con

Cho W là tập hợp con của không gian vectơ V.

Nếu W là không gian vectơ với các phép toán+, đã được trang bị

trên V thì W được gọi là không gian con của V.

Khi đó ta ký hiệu W ≤ V.

Ví dụ.

Các tập hợp {0v } và V là các không gian con của không gian vectơ V.

Các không gian này được gọi là cáckhông gian con tầm thường của V.

Nhận xét. Cho V là một không gian vectơ và W ⊆ V Khi đó

i) Nếu W là không gian con của V thì 0 v ∈ W.

ii) Nếu0v 6∈ W thì W không là không gian con của V.

Không gian vectơ con

Định lý. Tập hợp W ⊆ V là không gian con của không gian vectơ Vkhi vàchỉ khi các điều sau được thỏa:

Không gian vectơ con

Phương pháp xác định không gian con

Để xác định một tập hợp W ⊂ V có là không gian con của không gian vectơ V hay không, ta thực hiện như sau:

Nếu0 6∈ W thì ta suy ra Wkhông làkhông gian con của V →dừng.

Nếu0 ∈ W thì ta suy ra W 6= Ø và sang bước 2.

Bước 2. Lấy u, v là hai vectơ bất kỳ thuộc W,

Suy ra tính chất của u và v (dựa vào tính chất của W).

Kiểm tra u + v và αu (α ∈ R) có thỏa tính chất của W hay không (dựa vào tính chất của u và v)?

+ Nếu u + v và αu thỏa tính chất của W thì u + v ∈ W và αu ∈ W.

Do đó W là không gian con của V.

+ Nếu u + v hoặc αu không thỏa tính chất của W thì ta chỉ ra một

ví dụ cụ thểcủa u, v ∈ W sao cho u + v 6∈ W

hoặc u ∈ W và α ∈ R sao cho αu 6∈ W.

Khi đó ta kết luận W không là không gian con của V.

Không gian vectơ con

Ví dụ 1. Kiểm tra tập hợp W = {(x1,x2,x3) ∈ R3|x1=x2+x3} có làkhông gian con của không gian vectơ R3 hay không?

Suy ra, u + v ∈ W và αu ∈ W, ∀α ∈ R.

Vậy W là không gian con của R3

Không gian vectơ con

Ví dụ 2. Kiểm tra tập hợp W = {(x1,x2,x3) ∈ R3|x1+x2+x3 = 1} có làkhông gian con của không gian vectơ R3 hay không?

Giải.

Ta có0 = (0, 0, 0) 6∈ W

nên W không là không gian con của R3

Ví dụ 3. Kiểm tra tập hợp W = {(x1,x2,x3) ∈ R3|x1=x2x3} có là khônggian con của không gian vectơ R3 hay không?

Giải.

Ta có u = (1, 1, 1) ∈ W nhưng 2u = (2, 2, 2) 6∈ W

nên W không là không gian con của R3

Không gian sinh bởi một tập hợp

Cho S = {u1,u2, ,u m } là tập con khác Ø của không gian vectơ V Đặt W là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc S, nghĩa là W =α1u1+ α2u2+ · · · + αm u m| αi∈ R

Khi đó ta có:

i) W là không gian con của V,

ii) W chứa S.

iii) Nếu W0 là không gian con của V và S ⊆ W0 thì W ⊆ W0

Ta gọi không gian W là không gian sinh bởi tập hợp S,

ký hiệu là W = hSi.

Khi đó S được gọi là tập sinh của W (hay S sinh ra W).

Vậy hSi = P

i

αi u i| αi ∈ R, u i ∈ S

Quy ước. Ta quy ước rằng không gian sinh bởi tập hợp rỗng là không gian

{0}, nghĩa là hØi = {0}.

Không gian sinh bởi một tập hợp

Ví dụ 1. Chứng minh tập hợp S =ε1= (1, 0, 0), ε2= (0, 1, 0),

ε3= (0, 0, 1)} là một tập sinh của không gian R3

Không gian sinh bởi một tập hợp

Ví dụ 2. Chứng minh tập hợp S = {u1 = (1, 2),u2= (3, 5)} là một tậpsinh của R2

Giải.

Với mọi u ∈ R2, ta được u có dạng u = (a, b).

Xét hệ với ma trận hóa (u>1 u>2|u>) =1 3 a

Vậy u là tổ hợp tuyến tính của S,

nghĩa là u ∈ hSi.

Vậy R2⊆ hSi.

Và rõ ràng hSi ⊆ R2

Do đó S là tập sinh của R2

Không gian sinh bởi một tập hợp

Định lý. Cho W1, W2 là các không gian con của không gian vectơ V Đặt W1+W2= {u1+u2| u1∈ W1,u2∈ W2}

Khi đó:

i) W1+W2 là không gian con của V.

ii) Nếu W1= hS1i và W2= hS2i thì W1+W2 = hS1∪ S2i

Chứng minh.

i) Do vectơ0 thuộc W1 và W2, nên 0 = 0 + 0 ∈ W1+W2

Do đó W1+W2 6= Ø

Với mọi u, v ∈ W1+W2,

tồn tại u1,v1∈ W1 và u2,v2∈ W2 sao cho u = u1+u2 và v = v1+v2

Do đó αu + v = (αu1+v1) + (αu2+v2) ∈W1+W2

Vậy W1+W2 là không gian con của V.

ii) Đặt W = hS1∪ S2i

Do S1⊆ W nên W1= hS1i ⊆ W.

Tương tự, W2⊆ W Do đó W1+W2⊆ W.

Không gian sinh bởi một tập hợp

Ngược lại, S1 ⊆ W1 ⊆ W1+W2 và S2⊆ W2⊆ W1+W2

Cơ sở và chiều của không gian vectơ

Tập hợp B ⊆ V được gọi là cơ sở của không gian vectơ V nếu

B là tập sinh của V,

B độc lập tuyến tính

Ví dụ.

a) Ta có B0= {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} là tập sinh của R3

Dễ dàng chứng minh B0 độc lập tuyến tính,

nên B0 là cơ sở của R3 Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc của R3

Tổng quát, tập hợp tất cả các vectơ dòng của ma trận đơn vị I nsẽ tạothành một cơ sở của Rn Cơ sở này được gọi làcơ sở chính tắc của Rn

b) Ta có B = {(1, 2), (3, 5)} là tập sinh của R2 và B độc lập tuyến tính

Do đó B cũng là cơ sở của R2

c) Tập hợp B0 = {1,t, t2, ,t n} là cơ sở của Pn[t], gọi là cơ sở chính tắc

của Pn[t].

Tập hợp B0 = {E ij, 1 ≤i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là cơ sở của M m×n(R), gọilà cơ sở chính tắc của M m×n(R)

Cơ sở và chiều của không gian vectơ

Định lý. Nếu B = {u1,u2, ,u n } là cơ sở của không gian vectơ V thì với mọi vectơ u ∈ V, tồn tại duy nhất một bộ các số thực α1, α2, , αnsao cho

u = α1u1+ α2u2+ · · · + αn u n

Chứng minh.

Sự tồn tại Do B là tập sinh của V nên mọi vectơ thuộc V đều là tổ

hợp tuyến tính của B,

nghĩa là tồn tại các αi sao cho u = α1u1+ α2u2+ · · · + αn u n

Sự duy nhất. Giả sử tồn tại các αi, βi∈ R sao cho

Cơ sở và chiều của không gian vectơ

Định lý. Nếu không gian vectơ V có một cơ sở gồm n vectơ thì mọi cơ sở khác của V cũng gồm n vectơ.

Từ Định lý trên ta được mọi cơ sở của không gian vectơ V đều có

cùng số phần tử

Ta gọi số phần tử trong một cơ sở của V là chiều của V,

Cơ sở và chiều của không gian vectơ

Mệnh đề. Cho V là không gian vectơ n chiều Khi đó:

i) Mọi tập con của V gồm n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V.

ii) Mọi tập sinh của V gồm n vectơ đều là cơ sở của V.

Hệ quả 1. NếuS = {u1,u2, ,u n} là cơ sở của không gian vectơ V và

α1, α2, , αn là các số thực khác 0 thìS0 = {α1u1, α2u2, , αn u n} cũng

là cơ sở của V.

Hệ quả 2.

i) Mọi tập độc lập tuyến tính gồm n vectơ trong R n đều là cơ sở của Rn

ii) Mọi tập độc lập tuyến tính gồm n + 1 đa thức trong P n[t] đều là cơ sở

của Pn[t].

iii) Mọi tập độc lập tuyến tính gồm mn ma trận trong M m×n(R) đều là cơ

sở của M m×n(R)

Cơ sở và chiều của không gian vectơ

Ví dụ 1. Chứng minh B = {u1 = (1, 2, 3),u2= (2, 3, 1),u3= (3, 1, 2)} là

cơ sở của R3

Suy ra B độc lập tuyến tính

Mà dim R3= 3 và B gồm 3 vectơ thuộc R3

Vậy B là cơ sở của R3

Cơ sở và chiều của không gian vectơ

Ví dụ 2. Kiểm tra tập hợp B = {f1= 1 +t + t2, f2 = 1 − 2t + t2,

f3= 1 + 2t − t2} có là cơ sở của P2[t] hay không?

Suy ra B độc lập tuyến tính

Mà dim P2[t] = 3 và B gồm 3 vectơ thuộc P2[t].

Vậy B là cơ sở của P2[t].

Cơ sở và chiều của không gian vectơ

Định lý 1. Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều Khi đó

i) Nếu W là không gian con của V thì dim W ≤ dim V.

ii) Nếu W là không gian con của V và dim W = dim V thì W = V.

Định lý 2. Cho W1,W2 là các không gian con hữu hạn chiều của không

gian vectơ V Khi đó

dim(W1+W2) = dimW1+ dimW2− dim(W1∩ W2)

Cơ sở của không gian sinh bởi một tập hợp

Phương pháp tìm cơ sở cho không gian sinh bởi một tập hợp

Để tìm cơ sở và chiều cho không gian W sinh bởi các vectơ u1,u2, ,u m,

ta có thể thực hiện như sau:

Coi u1,u2, ,u m là các vectơ trong Rn

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa A về dạng bậc thang

hoặc dạng chính tắc theo dòng

Khi đó các vectơ dòng khác 0 trong dạng bậc thang (hoặc dạng chính

tắc theo dòng) của A tạo thành cơ sở của W.

Và do đó dim W = r(A).