bài giảng ma trận và hệ phương trình tuyến tính

Phần tử ở vị trí i, j của AB có được bằng cách lấy các phần tử dòng i của A nhân với phần tử tương ứng ở cột j của B theo thứ tự đó rồi cộng các kết quả lại.. Dạng bậc thang của ma trậnM

SLIDES BÀI GIẢNG MÔN ĐẠI SỐ B1

Slides Chương 1:

Ma trận và Hệ phương trình

tuyến tính

Giảng viên: Trịnh Thanh Đèo

Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NĂM HỌC 2010-2011

1 Matrices

2 Matrix Operations

3 Square Matrices

4 Elementary row operations

5 Row echelon form of matrices

6 Gauss Elimination

7 Rank of matrices

8 Reduced row echelon form

9 Gauss-Jordan Elimination

10 Invertible matrices and inverse of matrices

11 Method for computing the inverse

12 Left and right invertible matrices

13 Matrices equations

14 System of linear equations

15 Gauss elimination

Ma trận

Mộtma trận A loại m × n (trên R) là một bảng chữ nhật gồm m × n

số thực được viết thành m dòng, mỗi dòng n phần tử như sau:

- trong đó a ij ∈ R là phần tử ở dòng i, cột j (gọi là vị trí (i, j) ) của A Khi đó ta ký hiệu A = (a ij)1≤i≤m

1≤j≤n

, hay đơn giản là A = (a ij)

Ta cũng dùng ký hiệu [A] ij để chỉ phần tử ở vị trí (i, j) của ma trận A Mỗi dòng của A được gọi là một vectơ dòng

Mỗi cột của A được gọi là một vectơ cột

Ma trận chỉ có một dòng cũng được gọi là vectơ dòng

Ma trận chỉ có một cột cũng được gọi là vectơ cột

Ma trận có mọi phần tử đều bằng 0 được gọi làma trận không,

ký hiệu bởi 0 (hay ghi cụ thể hơn: 0m×n)

Các dòng của A là (1, 2, 0) và (3, −1, 5);

Các cột của A là 1

3

,

2

−1

và05



- Tập hợp các ma trận loại m × n được ký hiệu bởi Mm×n(R)

- Ma trận loại n × n còn được gọi là ma trận vuông cấp n.

- Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu bởi Mn(R)

(thay vì Mn×n(R))

Nếu A = (a ij) vàB = (b ij) là hai ma trận cùng loại sao choaij =bij, ∀i, jthì

ta nói A và B bằng nhau, ký hiệu bởiA = B

Các phép toán trên ma trận

Tích của số thực α với ma trận A ∈ M m×n(R), ký hiệu αA hayAα,

là một ma trận loại m × n, được xác định bởi:

[αA]ij= α.[A]ij, ∀i, j.

(Nghĩa là ta nhân α vào từng vị trí của A).

Tích (−1)A được ký hiệu bởi −A và gọi là ma trận đối của A.

Tổng của hai ma trận A, B ∈ M m×n(R), ký hiệuA + B, là một ma trận

loại m × n, được xác định bởi:

[A + B]ij= [A]ij+ [B]ij, ∀i, j.

(Nghĩa là ta cộng các phần tử ở cùng vị trí của A và B với nhau) Tổng A + (−B) được ký hiệu bởi A − B và đọc là A trừ B

Các phép toán trên ma trận

Định lý. Với mọi A, B, C ∈ M m×n(R) và với mọi α, α0∈ R ta có

Tích của ma trận A = (a ij) ∈M m×n (R) và B = (b ij) ∈M n×p(R), kýhiệu AB , là một ma trận loại m × p, được xác định bởi:

[AB]ij=ai1.b1j+ai2.b2j+ +ain.bnj, ∀i, j.

Nghĩa là phần tử ở vị trí (i, j) của AB có được bằng cách lấy tích vô hướng của vectơ dòng i của A với vectơ cột j của B.

Chú ý.

Tích AB chỉ thực hiện được khi số cột của A bằng số dòng của B.

AB có số dòng bằng số dòng của A và số cột bằng số cột của B.

Phần tử ở vị trí (i, j) của AB có được bằng cách lấy các phần tử dòng i của A nhân với phần tử tương ứng ở cột j của B (theo thứ tự đó) rồi

cộng các kết quả lại

Quá trình đó có thể được minh họa bởi sơ đồ sau:

Các phép toán trên ma trận

Nhận xét.

Nếu dòng i của A là dòng 0 thì dòng i của AB cũng là dòng 0.

Nếu cột j của B là cột 0 thì cột j của AB cũng là cột 0.

Nói chung AB 6= BA, nghĩa là tích ma trậnkhông có tính giao hoán

Nếu AB = BA thì ta nói A và B giao hoán nhau

Chẳng hạn, mỗi ma trận A ∈ M n(R) đều giao hoán với chính nó

Định lý. Với mọi A, A0 ∈ Mm×n,B, B0 ∈ Mn×p,C ∈ M p×q và α ∈ R ta có:

i) (AB)C = A(BC);

ii) A0 = 0; 0A = 0;

iii) A(B ± B0) =AB ± AB0;

iv) (A ± A0)B = AB ± A0B;

Các phép toán trên ma trận

Chuyển vị của ma trận A ∈ M m×n (R), ký hiệu bởi A> (đọc là A chuyển vị), là ma trận loại n × m được xác định bởi [A>]ij= [A]ji, ∀i, j.

Đường chéo và ma trận đường chéo

Cho A = (a ij) là một ma trận vuông cấp n Khi đó

Đường chứa các phần tử a11,a22, , a nn được gọi là đường chéo chínhhayđường chéo của A.

b b b b b b b

 đường chéo chính

Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo của A đều bằng 0, nghĩa là a ij = 0, ∀i 6= j, thì A được gọi là ma trận đường chéo.

Ma trận đường chéo với các phần tử thuộc đường chéo lần lượt là

a1,a2, ,a n được ký hiệu bởidiag(a1,a2, ,an)

Đường chéo của A là đường chứa các phần tử 1, 5, 9.

B là ma trận đường chéo và B = diag(3, 1, 2)

Ví dụ 2. Ta có: diag(1, 2, 3, 4) =

Ñònh lyù.

i) αdiag(a1,a2, ,a n) = diag(αa1, αa2, , αa n);

ii) diag(a1,a2, ,a n)±diag(b1,b2, ,b n) = diag(a1±b1,a2±b2, ,a n ±b n);

iii) diag(a1,a2, ,a n)diag(b1,b2, ,b n) = diag(a1b1,a2b2, ,a n b n);

iv) diag(a1,a2, ,a n)>= diag(a1,a2, ,a n);

Ví duï.

3diag(4, 5, −2, 1) = diag(12, 15, −6, 3);

diag(7, −1, 4) + diag(−4, 3, 1) = diag(3, 2, 5);

diag(2, 1, 3, −2)diag(−4, 5, 2, 1) = diag(−8, 5, 6, −2);

diag(1, 2, 3, 4)>= diag(1, 2, 3, 4);

Ma trận vuông

Ma trận đường chéo cấp n với mọi phần tử thuộc đường chéo đều

bằng 1 được gọi làma trận đơn vị cấp n, ký hiệu bởiIn

Tích của số thực α với ma trận đơn vị được gọi là ma trận vô hướng

* Như vậy, ma trận vô hướng αI n có các phần tử thuộc đường chéobằng α và các phần tử không thuộc đường chéo bằng 0

Nhận xét. Cho A ∈ M m×n và α ∈ R Khi đó

i) A.I n=I m.A = A.

ii) (αI m)A = αA.

Lũy thừa và đa thức ma trận

Lũy thừa của ma trận A ∈ M n là các ma trận vuông cấp n, được xác

định bằng quy nạp như sau:

Mệnh đề. Cho A ∈ M n và k, l ∈ N Khi đó:

i) I k

n=I n;

ii) A k A l=A k+l=A l A k;

iii) A kl= (A k)l

Ma trận tam giác

Cho A là ma trận vuông cấp n Khi đó

Nếu mọi phần tử ở bên dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là

a ij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên

Nếu mọi phần tử ở bên trên đường chéo của đều bằng 0 (nghĩa là

a ij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới

Các ma trận tam giác trên, tam giác dưới được gọi chung làma trận tam giác

Nếu A>=A (nghĩa là a ij=a ji, ∀i, j) thì A được gọi là ma trận đối xứng

Nếu A>= −A (nghĩa là a ij= −a ji, ∀i, j) thì A được gọi là ma trận phản xứng

iv) Tổng, hiệu của các ma trận đối xứng là ma trận đối xứng;

v) Tổng, hiệu của các ma trận phản xứng là ma trận phản xứng;

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Mộtphép biến đổi sơ cấp trên dòng biến ma trận A thành ma trận A0 làmột phép biến đổi ϕ nào đó thuộc một trong ba loại sau:

1) Loại 1 ϕ hoán vị 2 dòng i và j của A, ký hiệuϕ :=di ↔ d j

2) Loại 2 ϕ nhân dòng i của A với một số α 6= 0, ký hiệuϕ :=di → αd i

3) Loại 3 ϕ cộng dòng i của A với α lần dòng j 6= i, ký hiệu

ϕ :=di → d i+ αdj

Nếu A biến thành A0 qua phép biến đổi ϕ thì ta ký hiệu

A0 = ϕ(A) hoặc A−→ Aϕ 0

Để đơn giản, ta có thể viết αd i thay cho d i → αd i,

và d i+ αd j thay cho d i → d i+ αd j

Dạng bậc thang của ma trận

Ma trận bậc thanglà ma trận thỏa mãn các điều kiện:

Các dòng 0 (nếu có) nằm dưới các dòng khác 0;

Trên mỗi dòng khác 0 (nếu có), phần tử khác 0 đầu tiên của dòngtrên nằm bên trái phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới

Các phần tử khác 0 này được gọi là cácphần tử trụ

Ví dụ. Các ma trận sau là ma trận bậc thang:

Một ma trận bậc thang tương đương dòng với ma trận A được gọi là dạng bậc thang của A.

Ta có B là ma trận bậc thang,

và B tương đương dòng với A.

Do đó B là dạng bậc thang của A.

Nhận xét.

i) Nếu A = 0 thì dạng bậc thang của A cũng là ma trận 0.

ii) Dạng bậc thang của một ma trận luôn tồn tại và không duy nhất(trừ ma trận 0).

Thuật toán Gauss

Để tìm dạng bậc thang cho ma trận A = (a ij) ∈ Mm×n, ta thực hiệnnhư sau:

1) Cho i := 1 và j := 1.

2) Chọn phần tử trụ:

Nếu a ij 6= 0 thì chọn a ij là phần tử trụ.

Nếu a ij = 0 và tồn tạik > i sao cho a kj6= 0 thì thực hiện phép đổi dòng

k với dòng i và chọn a ij làm phần tử trụ.

Nếu a ij= 0 và với mọik > i ta có a kj= 0 thì thayj bởi j + 1 (nghĩa là

qua phải một cột) và quay lại bước 2

3) Với a ij là phần tử trụ, ta thực hiện lần lượt các phép biến đổi

d k−a kj

a ij d i, ∀ k > i, để đưa tất cả các phần tử bên dưới phần tử trụ về 0

sau đó thay i := i + 1 và j := j + 1 rồi quay lạibước 2

* Quá trình trên kết thúc khi i = m hoặc j = n

* Ma trận thu được cuối cùng trong thuật toán trên chính là một dạng

bậc thang của A.

Ví dụ. Áp dụng thuật toán Gauss, tìm dạng bậc thang của ma trận

Hạng của ma trận

Nhận xét.

Ta có thể chứng minh được rằng, mọi dạng bậc thang của một matrận luôn có cùng số dòng khác 0

Ta gọi số dòng khác 0 trong một dạng bậc thang của A là hạng của A,

nên r(A) = 3.

Mệnh đề. Cho A, B ∈ M m×n(R) Khi đó:

i) 0 ≤ r(A) ≤ m và n;

ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0;

iii) Nếu A ∼ B thì r(A) = r(B);

iv) r(A>) =r(A).

Dạng chính tắc theo dòng của ma trận

Ma trận chính tắc theo dònglà ma trận bậc thang và thỏa mãn điều kiện:Các phần tử trụ là số 1, gọi làsố 1 chuẩn

Tất cả các thành phần còn lại của cột chứa số 1 chuẩn đều bằng 0.Cột này được gọi là cột chuẩn

Ví dụ. Các ma trận sau là ma trận chính tắc theo dòng:

Một ma trận chính tắc theo dòng và tương đương dòng với ma trận A được

gọi là dạng chính tắc theo dòng của A.

Ta có B là ma trận chính tắc theo dòng,

và B tương đương dòng với A.

Do đó B là dạng chính tắc theo dòng của A.

Nhận xét.

i) Mỗi ma trận A đều có duy nhất một dạng chính tắc theo dòng.

ii) Dạng chính tắc theo dòng của ma trận A được ký hiệu bởi R A

Thuật toán Gauss-Jordan (thuật toán chính tắc)

Bằng cách thay các biến đổi ởBước 3 trong thuật toán Gauss bởi

3') Với a ij là phần tử trụ, ta nhân dòng i của ma trận cho 1

a ij

để đưa a ij

về số một chuẩn

Thực hiện biến đổi d k − a kj d i, ∀ k 6= i, để đưa cột j về cột chuẩn.

Ma trận thu được cuối cùng trong thuật toán được gọi là dạng chính tắc theo dòng của A.

Thuật toán tương ứng được gọi làthuật toán Gauss-Jordan

Tóm lại:

Thuật toán Gauss-Jordan là thuật toán biến đổi các cột của A thành

cáccột chuẩntheo thứ tự từ trái qua phải để được dạng chính tắctheo dòng

Quá trình biến đổi một ma trận về dạng chính tắc theo dòng cònđược gọi là quá trình chuẩn hóa

Ví dụ. Áp dụng thuật toán Gauss-Jordan, tìm dạng chính tắc theo dòng

Ma trận khả nghịch và nghịch đảo của ma trận

Cho A là ma trận vuông cấp n.

Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại B ∈ M n (R) sao cho AB = BA = I n

Ma trận B thỏa mãn điều kiện trên được gọi là nghịch đảo của A.

Dễ dàng kiểm tra AB = BA = I2

Do đó A khả nghịch và B là nghịch đảo của A.

Mệnh đề 1. Nếu A ∈ M n (R) khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 thì

A−1 khả nghịch và có nghịch đảo là(A−1)−1=A

A> khả nghịch vàø có nghịch đảo là(A>)−1= (A−1)>

∀α ∈ R \ {0}, αA khả nghịch và có nghịch đảo là(αA)−1= 1

αA−1

Mệnh đề 2. Nếu A, B ∈ M n (R) là hai ma trận khả nghịch thì AB khả

nghịch và có nghịch đảo là (AB)−1=B−1A−1

Hệ quả. Nếu A1,A2, ,A k ∈ M n(R) là các ma trận khả nghịch thì

A1A2 A k khả nghịch và có nghịch đảo là (A1A2 A k)−1 =A−1k A−12 A−11

Phương pháp tìm nghịch đảo của ma trận

Định lý. Cho A là ma trận vuông cấp n Khi đó

i) A khả nghịchkhi và chỉ khi A ∼ I n (nghĩa là r(A) = n).

Nhận xét. Để xét tính khả nghịch của A và tìm A−1, ta thực hiện như sau:

1) Thành lập ma trận mở rộng ( A | In )

2) Dùng biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ( A | I n) về dạng ( In | B )

Khi đó B chính là A−1

Nếu A không biến đổi được thành I n (nghĩa là r(A) < n) thì A không

khả nghịch

Ma trận khả nghịch một phía

Cho A là ma trận vuông cấp n.

Ta nói A khả nghịch trái nếu tồn tại B ∈ M n (R) sao cho BA = I n

Khi đó B được gọi là nghịch đảo trái của A.

Ta nói A khả nghịch phải nếu tồn tại B0 ∈ M n (R) sao cho AB0=I n

Khi đó B0 được gọi lànghịch đảo phải của A.

Ma trận khả nghịch trái và ma trận khả nghịch phải được gọi chung

là khả nghịch một phía.

Nhận xét. Nếu A khả nghịch thì A khả nghịch trái và khả nghịch phải

Định lý. Nếu A ∈ M n (R) khả nghịch một phía thì A khả nghịch và nghịch đảo một phía của A cũng chính là nghịch đảo của A.

Hệ quả. Nếu A, B ∈ M n (R) sao cho AB = I n thì BA = I n

Cho A, C là các ma trận khả nghịch và B là một ma trận Khi đó

i) Nghiệm của phương trình AX = B là X = A−1.B.

ii) Nghiệm của phương trình XA = B là X = B.A−1

iii) Nghiệm của phương trình AXC = B là X = A−1.B.C−1

Ví dụ. Ta có 1 2

3 5

khả nghịch và có nghịch đảo là −5 2

3 −1

 Do đó

Nghiệm của phương trình 1 2

Nghiệm của phương trình X1 2

3 −1

,

−3 −2

khả nghịch và có nghịch đảo là



−2 −3



Do đó nghiệm của phương trình trên là

Mộthệ phương trình tuyến tính (trên R) là một hệ thống gồm m phương trình bậc nhất với n ẩn có dạng tổng quát như sau:

với các a ij,b i là các số thực cho trước, các x j là các giá trị cần tìm

Ta gọi các a ij là cáchệ số , các b i là cáchệ số tự do và các x j là cácẩn

Hệ phương trình tuyến tính

Ta có (∗) ⇔AX = B nên ta có thể ký hiệu AX = B thay cho hệ (∗).

Ta gọi eA là ma trận hóa(hayma trận hệ số mở rộng) của hệ (∗)

Ví dụ. Hệ phương trình



2x1 − x2 + x3 = 1

x1 + x2 − 3x3 = 4có ma trận hóa là eA =



2 −1 1 1

1 1 −3 4



Nếu A ∈ M n(R) là ma trận tam giác trên và mọi phần tử thuộc đường

chéo của A đều khác 0 thì hệ AX = B được gọi là hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác (hayhệ tam giác)

Ví dụ. Giải hệ phương trình

thay x3 = 2 vào (2) ta đượcx2= −1,

thay x3 = 2 vàx2= −1 vào (1) ta được x1= 3

Vậy nghiệm của hệ là (x1,x2,x3) = (3, −1, 2)

Hệ phương trình tuyến tính

Nếu A ∈ M m×n (R) là ma trận bậc thang thì hệ AX = B được gọi là hệ phương trình tuyến tính dạng bậc thang(hay hệ bậc thang)

Định lý. Giả sử hệ AX = B là một hệ bậc thang gồm m phương trình, n ẩn và ta có r = r(A), r0=r(e A) Khi đó

i) Nếu r < r0 thì hệ vô nghiệm

ii) Nếu r = r0 =n thì hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm này được xác

định thông qua phép thế ngược các phương trình từ dưới lên trên

iii) Nếu r = r0 <n thì hệ có vô số nghiệm với n − r ẩn tự do.

Đồng thời, các ẩn ứng với các cột không chứa phần tử trụcủa A là

ẩn tự do, các ẩn còn lại được xác định thông qua phép thế ngược cácphương trình từ dưới lên trên

Ví dụ. Giải hệ phương trình

Hệ trên có dạng bậc thang và có r(A) = r(A0) = 3, n = 4

nên hệ có vô số nghiệm với 1 ẩn tự do

Cột thứ tư của A không chứa phần tử trụ nên ta có thể đặt x4=t.

Thành lập ma trận hóa eA = (A | B).

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa eA về dạng bậc thang.

- Nếu trong quá trình biến đổi có một dòng xuất hiện dạng

(0 0 · · · 0 | a), vớia 6= 0,

thì ta kết luận hệ vô nghiệm mà không cần biến đổi tiếp

- Nếu không xuất hiện dòng dạng trên thì khi thuật toán kết thúc tathu được ma trận hóa của một hệ bậc thang

Từ đó ta xác định được nghiệm của hệ

Phương pháp giải hệ như trên được gọi là phép khử Gauss

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

Thay x3 = −1 vào dòng thứ hai ta đượcx2= −3

Thay x = −3,x = −1 vào dòng đầu ta đượcx = 2

Phương trình này vô nghiệm.

Nên hệ đã cho vô nghiệm

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình

Ma trận cuối có dạng bậc thang với cột thứ 3 không chứa phần tử trụ

Do đó hệ có vô số nghiệm với x3=t tùy ý.

Thay x3 =t vào phương trình thứ hai ta được x2= −5 − 7t.

Thay x2,x3 vào phương trình thứ nhất ta được x1= 9 + 9t.

Vậy hệ có vô số nghiệm xác định bởi:

Phép khử Gauss

Định lý. Cho hệ phương trình tuyến tính dạng AX = B Khi đó: hoặc hệ

có nghiệm duy nhất, hoặc hệ có vô số nghiệm, hoặc hệ vô nghiệm

Cụ thể hơn, ta có kết quả sau:

Định lý Kronecker-Capelli. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B gồm

m phương trình, n ẩn, có dạng ma trận hóa là e A = (A|B).

Khi đó r(e A) = r(A) hoặc r(e A) = r(A) + 1 Hơn nữa

Nếu r(A) < r(e A) thì hệ vô nghiệm;

Nếu r(e A) = r(A) = n (bằng số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất;

Nếu r(e A) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm.

Hệ quả. Cho A là ma trận vuông cấp n Khi đó, hệ phương trình AX = B có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi A khả nghịch Đồng thời, nghiệm duy nhất của hệ là X = A−1B.