bài giảng ma trận và hệ phương trình tuyến tính

SLIDES BÀI GIẢNG MÔN ĐẠI SỐ B1 Slides Chương 1: Ma trận Hệ phương trình tuyến tính Giảng viên: Trònh Thanh Đèo Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NĂM HỌC 2010-2011 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) / 54 NOÄI DUNG 10 11 12 13 14 15 16 17 Matrices Matrix Operations Square Matrices Elementary row operations Row echelon form of matrices Gauss Elimination Rank of matrices Reduced row echelon form Gauss-Jordan Elimination Invertible matrices and inverse of matrices Method for computing the inverse Left and right invertible matrices Matrices equations System of linear equations Gauss elimination Gauss-Jordan elimitation Homogeneous systems Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) / 54 Ma traän Một ma trận A loại m × n (trên R) bảng chữ nhật gồm m × n số thực viết thành m dòng, dòng n phần tử sau:     a11 a12 a1n a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   a21 a22 a2n     A=   hoaëc A =   , am1 am2 amn am1 am2 amn - aij ∈ R phần tử dòng i, cột j (gọi vò trí (i, j)) A Khi ta ký hiệu A = (aij )1≤i≤m , hay đơn giản A = (aij ) 1≤j≤n Ta dùng ký hiệu [A]ij để phần tử vò trí (i, j) ma trận A Mỗi dòng A gọi vectơ dòng Mỗi cột A gọi vectơ cột Ma trận có dòng gọi vectơ dòng Ma trận có cột gọi vectơ cột Ma trận có phần tử gọi ma trận không, ký hiệu (hay ghi cụ thể hơn: 0m×n ) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) / 54 Ma trận Ví dụ Xét A = −1 Các dòng A (1, 2, 0) vaø (3, −1, 5); vaø , Các cột A −1 - Tập hợp ma trận loại m × n ký hiệu Mm×n (R) - Ma trận loại n × n gọi ma trận vuông cấp n - Tập hợp ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn (R) (thay Mn×n (R)) Nếu A = (aij ) B = (bij ) hai ma trận loại cho aij = bij , ∀i, j ta nói A B nhau, ký hiệu A = B Ví dụ Ta có x y z t Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) = p q r s ⇔ x = p, y = q, z = r, t = s Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) / 54 Các phép toán ma trận Tích số thực α với ma trận A ∈ Mm×n (R), ký hiệu αA hay Aα, ma trận loại m × n, xác đònh bởi: [αA]ij = α.[A]ij , ∀i, j (Nghóa ta nhân α vào vò trí A) Tích (−1)A ký hiệu −A gọi ma trận đối A Ví dụ Xét A = 2A = 10 12 αA = α 2α 3α 4α 5α 6α −A = −1 −2 −3 −4 −5 −6 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ta coù: Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) / 54 Các phép toán ma trận Tổng hai ma trận A, B ∈ Mm×n (R), ký hiệu A + B, ma trận loại m × n, xác đònh bởi: [A + B]ij = [A]ij + [B]ij , ∀i, j (Nghóa ta cộng phần tử vò trí A B với nhau) Tổng A + (−B) ký hiệu A − B đọc A trừ B Ví dụ Xét A = −3 A+B= −1 A−B= −3 −5 −5 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) vaø B = 2 Ta coù ; Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) / 54 Các phép toán ma trận Đònh lý Với A, B, C ∈ Mm×n (R) với α, α ∈ R ta coù i) A + B = B + A; ii) (A + B) + C = A + (B + C); iii) A + = A; iv) A + (−A) = 0; v) 1.A = A; vi) (αα )A = α(α A); vii) (α + α )A = αA + α A; viii) α(A + B) = αA + αB Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) / 54 Các phép toán ma trận Tích ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n (R) B = (bij ) ∈ Mn×p (R), ký hiệu AB, ma trận loại m × p, xác đònh bởi: [AB]ij = ai1 b1j + ai2 b2j + + ain bnj , ∀i, j Nghóa phần tử vò trí (i, j) AB có cách lấy tích vô hướng vectơ dòng i A với vectơ cột j B Chú ý Tích AB thực số cột A số dòng B AB có số dòng số dòng A số cột số cột B Phần tử vò trí (i, j) AB có cách lấy phần tử dòng i A nhân với phần tử tương ứng cột j B (theo thứ tự đó) cộng kết lại Quá trình minh họa sơ đồ sau: Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) / 54 Các phép toán ma trận ✓✏ b11 b1j b1n   a11 a12 a1n  ✓✏   b2j b2n ✓✏ ✓✏    b21 ✒✑  ai1   a a in   i2 ✒✑✒✑  ✒✑    an1 an2 ann ✓✏            ✒✑ ✓✏  bn1 bnj bnn ✒✑ ai1 b1j + ai2 b2j + ain bnj + Ví dụ   1 2  −2 1 = −1 −1 −2 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) −2 −2 −2 Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) / 54 Các phép toán ma trận Nhận xét Nếu dòng i A dòng dòng i AB dòng Nếu cột j B cột cột j AB cột Nói chung AB = BA, nghóa tích ma trận tính giao hoán Nếu AB = BA ta nói A B giao hoán Chẳng hạn, ma trận A ∈ Mn (R) giao hoán với Đònh lý Với A, A ∈ Mm×n , B, B ∈ Mn×p , C ∈ Mp×q α ∈ R ta coù: i) (AB)C = A(BC); ii) A0 = 0; 0A = 0; iii) A(B ± B ) = AB ± AB ; iv) (A ± A )B = AB ± A B; v) α(AB) = (αA)B = A(αB) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 10 / 54 Hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình tuyến tính (trên R) hệ thống gồm m phương trình bậc với n ẩn có dạng tổng quát sau:  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ;    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ; (∗)    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm , với aij , bi số thực cho trước, xj giá trò cần tìm Ta gọi aij hệ số, bi  a11 a12 a1n  a21 a22 a2n Đặt A =   am1 am2 amn hệ số tự xj ẩn      x1 b1  x2   b2      ,X =    , B =    .   xn bm Ta gọi A ma trận hệ số, X cột ẩn B cột hệ số tự hệ (∗) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 40 / 54 Hệ phương trình tuyến tính Ta có (∗) ⇔ AX = B nên ta có  2x1 − x2 + x3 x + x2 + x3 Ví dụ  x1 − x2 − 2x3 thể ký hiệu AX = B thay cho hệ (∗)      x1 −1 = 1 1 x2  = 4 = ⇔ 1 x3 −1 −2 =   a11 a12 a1n b1  a21 a22 a2n b2   Đặt A = (A|B) =    am1 am2 amn bm Ta goïi A ma trận hóa (hay ma trận hệ số mở rộng) hệ (∗) Ví dụ Hệ phương trình có ma trận hóa A = Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) 2x1 − x2 x1 + x2 −1 1 −3 + x3 = − 3x3 = 4 Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 41 / 54 Hệ phương trình tuyến tính Nếu A ∈ Mn (R) ma trận tam giác phần tử thuộc đường chéo A khác hệ AX = B gọi hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác (hay hệ tam giác)   x1 + x2 − 2x3 = −2; 2x2 + 3x3 = 4; Ví dụ Giải hệ phương trình  4x3 = (1) (2) (3) Giải Hệ có dạng hệ tam giác Từ (3) ta x3 = 2, thay x3 = vào (2) ta x2 = −1, thay x3 = x2 = −1 vào (1) ta x1 = Vậy nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = (3, −1, 2) Nhận xét Hệ tam giác có nghiệm Nghiệm xác đònh phép ngược phương trình từ lên Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 42 / 54 Heä phương trình tuyến tính Nếu A ∈ Mm×n (R) ma trận bậc thang hệ AX = B gọi hệ phương trình tuyến tính dạng bậc thang (hay hệ bậc thang) Đònh lý Giả sử hệ AX = B hệ bậc thang gồm m phương trình, n ẩn ta có r = r(A), r = r(A) Khi i) Nếu r < r hệ vô nghiệm ii) Nếu r = r = n hệ có nghiệm nghiệm xác đònh thông qua phép ngược phương trình từ lên iii) Nếu r = r < n hệ có vô số nghiệm với n − r ẩn tự Đồng thời, ẩn ứng với cột không chứa phần tử trụ A ẩn tự do, ẩn lại xác đònh thông qua phép ngược phương trình từ leân treân Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 43 / 54 Heä phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình   x1 + x2 − 2x3 + x4 = −2; x2 + 3x3 − 2x4 = 4;  x3 + 4x4 = (1) (2) (3) Giải Hệ có dạng bậc thang có r(A) = r(A ) = 3, n = nên hệ có vô số nghiệm với ẩn tự Cột thứ tư A không chứa phần tử trụ nên ta đặt x4 = t Từ (3) ta x3 = − 4t, thay x3 = − 4t vaøo (2) ta x2 + 3(8 − 4t) − 2t = 4, neân x2 = −20 + 14t, thay x3 = − 4t vaø x2 = −20 + 14t vào (1) ta x1 + (−20 + 14t) − 2(8 − 4t) + t = −2, neân x1 = 34 − 23t Vậy hệ có vô số nghiệm, xác đònh (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (34 − 23t, −20 + 14t, − 4t, t), t ∈ R Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 44 / 54 Phép khử Gauss Đònh lý Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có dạng ma trận hóa tương đương dòng hai hệ phương trình tương đương Phép khử Gauss Dựa vào Đònh lý trên, để giải hệ phương trình tuyến tính dạng AX = B, ta thực sau: Thành lập ma trận hóa A = (A | B) Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A dạng bậc thang - Nếu trình biến đổi có dòng xuất dạng (0 · · · | a), với a = 0, ta kết luận hệ vô nghiệm mà không cần biến đổi tiếp - Nếu không xuất dòng dạng thuật toán kết thúc ta thu ma trận hóa hệ bậc thang Từ ta xác đònh nghiệm hệ Phương pháp giải hệ gọi phép khử Gauss Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 45 / 54 Phép khử Gauss   x1 + 2x2 + 5x3 = −9; x − x2 + 3x3 = 2; Ví dụ Giải hệ phương trình  3x1 − 6x2 − x3 = 25 Giaû  i Ma trận hóa hệ  vàdùng phép khử −9 d −d1 1 −1 0 −3 −2 2−−2−−→ d −3d −6 −1 25 −12 −16   −9 d3 −4d2 −− −−→0 −3 −2 11 0 −8 Từ dòng thứ ba ta x3 = −1 Gauss,  ta −9 11 52 Thay x3 = −1 vào dòng thứ hai ta x2 = −3 Thay x2 = −3, x3 = −1 vào dòng đầu ta x1 = Vậy nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = (2, −3, −1) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 46 / 54 Phép khử Gauss   x1 + x2 − 2x3 = 4; Ví dụ Giải hệ phương trình 2x1 + 3x2 + 3x3 = 3;  5x1 + 7x2 + 4x3 = Giải Ta có matrận hóa :     4 1 −2 1 −2 1 −2 d2 −2d1 d3 −2d2 2 −5−−−−→0 −5 3−−−−→0 d3 −5d1 14 −15 0 −5 Dòng thứ ma trận cuối tương ứng với phương trình 0x1 + 0x2 + 0x3 = −5 Phương trình vô nghiệm Nên hệ cho vô nghiệm Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 47 / 54 Phép khử Gauss   x1 + x2 − 2x3 = 4; Ví dụ Giải hệ phương trình 2x1 + 3x2 + 3x3 = 3;  5x1 + 7x2 + 4x3 = 10 Giải Ta có ma trậ      n hóa:  4 1 −2 1 −2 1 −2 d2 −2d1 d3 −2d2 2 −5−−−−→0 −5 3−−−−→0 d3 −5d1 14 −10 0 0 10 Ma trận cuối có dạng bậc thang với cột thứ không chứa phần tử trụ Do hệ có vô số nghiệm với x3 = t tùy ý Thay x3 = t vào phương trình thứ hai ta x2 = −5 − 7t Thay x2 , x3 vaøo phương trình thứ ta x1 = + 9t Vậy hệ có vô số nghiệm xác đònh bởi: (x1 , x2 , x3 ) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 48 / 54 Phép khử Gauss Đònh lý Cho hệ phương trình tuyến tính dạng AX = B Khi đó: hệ có nghiệm nhất, hệ có vô số nghiệm, hệ vô nghiệm Cụ thể hơn, ta có kết sau: Đònh lý Kronecker-Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B gồm m phương trình, n ẩn, có dạng ma trận hóa A = (A|B) Khi r(A) = r(A) r(A) = r(A) + Hơn Nếu r(A) < r(A) hệ vô nghiệm; Nếu r(A) = r(A) = n (bằng số ẩn) hệ có nghiệm nhất; Nếu r(A) = r(A) < n hệ có vô số nghiệm Hệ Cho A ma trận vuông cấp n Khi đó, hệ phương trình AX = B có nghiệm A khả nghòch Đồng thời, nghiệm hệ X = A−1 B Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 49 / 54 Phương pháp Gauss-Jordan Để tìm nghiệm hệ dạng AX = B (mà không cần áp dụng phép ngược), ta đưa ma trận hóa A = (A | B) dạng tắc theo dòng Phương pháp gọi Phương pháp Gauss-Jordan   x1 + 2x2 + 3x3 = −1; 2x + 3x2 + 4x3 = 1; Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 − x2 + 2x3 = −2 Giả áp dụng thuật toá  i Ma trận hóahệ  n Gauss-Jordan: −1 −1 d2 −2d1 2 1−− 3 −−→ 0 −1 −2 d3 −d1 −1 −2 −3 −1 −1   1d   d1 +2d2 −1 0 d3 −3d2 d2 −2d3 −3−− 1 −− −−→0 −−→0 −d2 d1 +d3 0 −10 0 −2 Do nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = (3, 1, −2) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 50 / 54 Phương pháp Gauss-Jordan Ví  dụ Giải hệ  x1 + 2x2 2x + 4x2  5x1 + 10x2 Giaûi Ta  2 10 phương trình + x3 − 2x4 + 4x5 = 3; + 3x3 + 3x4 + 3x5 = 2; + 7x3 + 4x4 + 10x5 = coù    −9 −2 chuẩn hóa −5 −4 3 2 −−−−−→ 0 0 0 0 10 Cột cột chuẩn; Cột 2, cột không chuẩn Do ta đặt x2 = r; x4 = s; x5 = t Từ dòng ta x1 + 2r − 9s + 9t = neân x1 = − 2r + 9s − 9t Từ dòng ta x3 + 7s − 5t = −4 nên x3 = −4 − 7s + 5t Vậy nghiệm hệ phương trình (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (7 − 2r + 9s − 9t, r, −4 − 7s + 5t, s, t) Với r, s, t số thực bất kyø Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 51 / 54 Phương pháp Gauss-Jordan   x1 + 2x2 + 2x + 3x2 − Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 − x2 +    −1 0 chuẩn hóa 1 −−−−−→ 0 Giải Ta có 2 −1 −2 0 Do nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = (3, 1, −2)   x1 + x2 − Ví dụ Giải hệ phương trình 2x1 + 3x2 +  5x1 + 7x2 +    1 −2 −9 chuẩn hóa 3 −−−−−→ 0 Giải Ta có 2 0 Do hệ vô nghiệm Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations 3x3 = −1; 4x3 = 1; 2x3 = −2  1 −2 2x3 = 4; 3x3 = 3; 4x3 =  0 (Algebra B1) 52 / 54 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính gọi tất hệ số tự hệ 0, nghóa hệ có dạng AX = Nhận xét i) Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm u = (0, 0, , 0), gọi nghiệm tầm thường hệ ii) Hệ phương trình tuyến tính có trường hợp nghiệm nghiệm (là nghiệm tầm thường) vô số nghiệm iii) Do hệ có cột hệ số tự cột nên giải hệ ta không cần thành lập ma trận mở rộng mà ta cần lấy ma trận hệ số để biến đổi Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations (Algebra B1) 53 / 54 Hệ phương trình tuyến tính   x1 + x2 − 2x3 2x + 3x2 + 3x3 Ví dụ Giải hệ phương trình  5x1 + 7x2 + 4x3     −9 1 −2 chuẩn hóa   −−−−−→  Giaûi Ta coù:  0 Do hệ có vô số nghiệm xác đònh (x1 , x2 , x3 ) = (9t, −7t, t), t ∈ R   x1 + 2x2 + 3x3 2x + 3x2 + 5x3 Ví dụ Giải hệ phương trình  3x1 + 4x2 + 6x3     0 chuaån hóa Giải Ta có:   −−−−−→   0 Do hệ có nghiệm (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Matrices and Systems of linear equations = 0; = 0; = = 0; = 0; = (Algebra B1) 54 / 54 ... tam giác ma trận tam giác trên; ii) Tổng, hiệu, tích, lũy thừa ma trận tam giác ma trận tam giác dưới; iii) Chuyển vò ma trận tam giác ma trận tam giác dưới, ngược lại; iv) Tổng, hiệu ma trận đối... gọi ma trận tam giác Các ma trận tam giác trên, tam giác gọi chung ma trận tam giác Nếu A = A (nghóa aij = aji , ∀i, j) A gọi ma trận đối xứng Nếu A = −A (nghóa aij = −aji , ∀i, j) A gọi ma trận. .. phần tử vò trí (i, j) ma trận A Mỗi dòng A gọi vectơ dòng Mỗi cột A gọi vectơ cột Ma trận có dòng gọi vectơ dòng Ma trận có cột gọi vectơ cột Ma trận có phần tử gọi ma trận không, ký hiệu (hay