bài giảng đạo hàm và vi phân

Công thức Leibnitz tính ñạo hàm cấp cao... Phương pháp tính ñạo hàm cấp cao.1 Sử dụng các ñạo hàm cấp cao của một số hàm ñã biết 2 Phân tích thành tổng các hàm “ñơn giản”.. 3 Phân tích t

Nội dung -

0

( )

f − x

x x

x

x x

x x x

sinlim

1arctan + π

Ví dụ

1arctan , 0( )

2

x x

x

x f

2(0) lim

x

x f

−

=

Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic

( )

x y

y x

=

Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số.

( )( )

'

( )( )

( )( )

−

+

= + ⋅

+

Công thức Leibnitz (tính ñạo hàm cấp cao)

Phương pháp tính ñạo hàm cấp cao.

1) Sử dụng các ñạo hàm cấp cao của một số hàm ñã biết

2) Phân tích thành tổng các hàm “ñơn giản”.

3) Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong ñó f là hàm

3) Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong ñó f là hàm

ña thức, chỉ có vài ñạo hàm khác không, sau ñó sử dụng

công thức Leibnitz

4) Sử dụng khai triển Maclaurint, Taylor (sẽ học)

n y

n y

2

11

2

11

n n

n y

+ ∆ −

Vi phân của hàm hợp.

( )( )

Vi phân của hàm cho bởi phương trình tham số

( )( )

'

( )( )

'

( )

dy = y x dx

f

Ví dụ Bán kính của hình cầu ño ñược là 21cm, với

sai số không quá 0.05cm Hỏi sai số lớn nhất của thể

tích hình cầu ño ñược so với thể tích thực là bao nhiêu?

III Các ñịnh lý về giá trị trung bình

1) Liên tục trên ñoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b)

III Các ñịnh lý về giá trị trung bình

Định lý Lagrange Cho hàm y = f(x).

1) Liên tục trên ñoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b) } ∃ ∈c ( )a b, :

Định lý Cauchy Cho hai hàm y = f(x) và y = g(x).

1) Liên tục trên ñoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b) } ∃ ∈c ( )a b, :

'

'

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Hàm f x( ) = arctan x liên tục và khả vi trên ñoạn [a,b].

IV Công thức Taylor, Maclaurint

IV Công thức Taylor, Maclaurint

luôn tính ñược ña thức Taylor.

Trong ñịnh lý sau ta thấy P n (x) là xấp xĩ (tốt nhất) cho

hàm y = f(x) (khác nhau một ñại lượng là VCB bậc n + 1).

Phần dư ghi ở dạng Peano

( ) ( ( 0 ) )

n n

Khi cần ñánh giá phần dư, sử dụng dạng Lagrange:

Khai triển Taylor tại x0 = 0 gọi là khai triển Maclaurint.

Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp

Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp

Có thể dùng phương pháp sau ñể nhớ các khai triển

ln(1 )

1

dx x

Các ứng dụng của công thức Taylor, Maclaurint

1) Xấp xỉ hàm y = f(x) bởi một ña thức bậc n.

2) Tìm ñạo hàm cấp cao của y = f(x) tại ñiểm x0.

3) Tìm giới hạn của hàm số.

4) Tính gần ñúng với ñộ chính xác cho trước.

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint ñến cấp 3 của hàm

2

1( )

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint ñến cấp 5 của hàm

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint ñến cấp 4 của hàm

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint ñến cấp 4 của hàm

Nhân tử và mẫu cho 1 + x, ta ñược:

2

2

1( )

Đổi biến, ñặt:

Ví dụ Tìm khai triển Taylor tại x0 = 2 ñến cấp 3 của hàm

2

1( )

Ví dụ Tính giới hạn 3

0

tan sinlim

tan sinlim

( )2

lim

x

x

x x

Ví dụ Tính giới hạn ( 3 ) 2

3 0

ln 1 2sin 2 coslim

4

( )3

lim

x

x

x x

Ví dụ Tính giới hạn 2

0

1 2 tanlim

3/ 3 ( )

→

+

+

Phần dư trong khai triển Maclaurint của hàm y = cos x là

2 2 !

n n

I Tìm ñạo hàm cấp n

1

1) (x −1)2x−

32) ln

3

x x

I Tìm khai triển Maclaurint ñến cấp n

x + x + x + ο x

I Tìm khai triển Taylor tại x0 ñến cấp n

I Tính giới hạn

2

4 0

→

arctan

3 0

ln(1 ) 15) lim

I Tính giới hạn

sin

0

ln(1 ) 16) lim

sin7) lim

2 0

ln(1 ) arcsin8) lim

725

−

1/ 3

2 0

cosh 2 (1 3 )11) lim

1 arcsin12) lim

5

283

sinh 1/ 2 2 0

arcsin14) lim

1

74

25

3 4 0

sin 1 sin119) lim

1 420) lim

e

5cos12

2