bài giảng tích phân 1

Nội dung - – Tích phân bất định – Tích phân xác định – Tích phân suy rộng – Ứng dụng tích phân Tài liệu: Кудрявцев Л.Д Сборник задач по математическому анализу, Том 2, 2003 I Tích phân bất định Định nghĩa Hàm số y = F(x) ñược gọi nguyên hàm hàm hàm y = f ( x) [a,b], y = F(x) liên tục, có đạo điểm thuộc ñoạn [a,b] F ' ( x) = f ( x) Hai nguyên hàm sai khác số Tập hợp tất nguyên hàm y = f(x) gọi tích phân bất định hàm y = f(x), ký hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C I Tích phân bất định Tính chất ( ∫ f ( x)dx ) ' = f ( x) d ( ∫ f ( x)dx ) = f ( x)dx Nếu f(x) hàm khả vi, ' f ∫ ( x)dx = f ( x) + C Nếu f(x) hàm khả vi, ∫ df ( x) = f ( x) + C ∫ α f ( x)dx = α ∫ f ( x)dx ∫ ( f ( x) + g ( x) ) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx Tích phân số hàm ∫ sinh xdx = cosh x + c ∫ cosh xdx = sinh x + c dx ∫ = x + c cosh x dx = − coth x + c ∫ sinh x dx x ∫ = arctan + c a a x +a dx x x ∫ = arcsin + c = − arccos + c a a a2 − x2 ∫ dx x2 ± a2 ( ) = ln x + x ± a + C a≠0 Phương pháp ñổi biến Nếu tồn hàm hợp f (ϕ ( x)) hàm t = ϕ ( x) liên tục ñoạn [a,b] khả vi khoảng (a,b), ' f ( ϕ ( x )) ⋅ ϕ ( x)dx = ∫ f (t )dt t =ϕ ( x ) ∫ Nếu tồn hàm hợp x = ϕ −1 (t ) hàm t = ϕ ( x) , ' f ( t ) ⋅ dt = f ( ϕ ( x )) ϕ ( x)dx −1 ∫ ∫ x =ϕ ( t ) ' f ( x ) ⋅ dx = f ( ϕ ( t )) ϕ (t )dt −1 ∫ ∫ t =ϕ ( x ) dx I =∫ sin x dx sin xdx dt d cos x I =∫ =∫ = −∫ = −∫ 2 sin x sin x 1− t2 − cos x Ví dụ Tính  x  dt dt   cos x −  = ∫ −∫  = ln  cos x +  + C = ln  tan  + C  t −1 t +1      Ví dụ Tính I =∫ ln(arccos x)dx − x ⋅ arccos x t = ln(arccos x) ⇒ dt = I =∫ −dx − x arccos x t2 = ∫ tdt = + C = ln ( arccos x ) + C 2 − x ⋅ arccos x ln(arccos x)dx Phương pháp tích phân phần Giả sử hai hàm u = u ( x), v = v( x) liên tục ñoạn [a,b] khả vi khoảng (a,b) Nếu tồn ' u ⋅ v ∫ v ⋅ u dx , tồn ∫ dx Ngoài ra: ' ' ' u ⋅ v dx = u ⋅ v − v ⋅ u dx ∫ ∫ ∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du Phương pháp tích phân phần dx u = ln ( ax ) ⇒ du = x ñặt ∫ Pn ( x)ln ( ax ) dx dv = Pn ( x)dx ⇒ v = ∫ Pn ( x)dx ax P ( x ) ⋅ e ⋅ dx ∫ n ∫ Pn ( x) ⋅ cos ax ⋅ dx ∫ Pn ( x) ⋅ sin ax ⋅ dx ∫ Pn ( x) ⋅ arcsin ax ⋅ dx ∫ Pn ( x) ⋅ arccos ax ⋅ dx ∫ Pn ( x) ⋅ arctan ax ⋅ dx ∫ Pn ( x) ⋅ arccot ( ax ) ⋅ dx ñặt u = Pn ( x) dv = phầ n cò n lạ i Ví dụ Tính I = ∫ arccos xdx Đặt u = arccos x ⇒ du = −2arccos xdx dv = dx ⇒ v = x − x2 −2 x arccos x ⇒ I = x arccos x − ∫ dx = x arccos x + I1 − x2 −dx u = arccos x ⇒ du = − x2 xdx xdx dv = ⇒ v = = − − x +C ∫ 1− x − x2 I1 = − − x arccos x − ∫ dx = − − x arccos x − x + C2 2 Tích phân hàm hữu tỷ Pn , Qm ña thức bậc n m với hệ số thực Pn ( x) ∫ Qm ( x)dx Chia tử cho mẫu, ñưa tích phân phân thức ñúng (Đại số) Mẫu đa thức với hệ số thực, phân tích thừa số bậc bậc hai ( ) ( Qm ( x) = ( x − a1 ) ( x − ak ) ⋅ x + p1 x + q1 ⋯ x + pv x + qv s1 sk t1 ) tv Tích phân hàm vơ tỷ: Tích phân Trêbưsev ∫ x m ( ax n ) p + b dx a, b: số thực, m, n, p: hữu tỷ, tất số khác Trường hợp 1: p số nguyên N x = t Đặt , với N BSC nhỏ mẫu m n m +1 Trường hợp 2: số nguyên n n s Đặt ax + b = t , với s mẫu p m +1 Trường hợp 3: + p số nguyên n −n s a + bx = t Đặt , với s mẫu p Ví dụ I =∫ Tính dx x ( x3 + 2)5 I = ∫x Tích phân Trêbưsev: −2 (x +2 ) −5 / dx m +1 −2 + + p= − = −2 ∈ Z m = −2, n = 3, p = −5 / ⇒ n 3 −3 Đổi biến: + 2x = t ⇒ −6 x −4 dx = 3t dt −5 /  x +2 x dx = ∫ x    x  − t −1 t − −5 dt = ∫ − t −3 dt =∫ ⋅t ⋅ 2 x +2 I = ∫ x x x    x  −2 −5  ( ) −3 −4 ( ) −5 / x −4 dx Ví dụ I =∫ Tính ( dx x 1− x Tích phân Trêbưsev: I = ∫ x −1/ ) (1 − x ) m = −1/ 3, n = 1/ 6, p = −1 ⇒ p ∈ Z BSCNN mẫu m, n Đổi biến: x = t ⇒ dx = 6t 5dt t −1 −2 dt I = ∫ t (1 − t ) 6t dt = ∫ 1− t = ∫ t + t + dt + ∫ dt 1− t ( ) 1/ −1 dx Ví dụ Tính I =∫ 1+ x dx x Tích phân Trêbưsev: I = ∫ x −1/ (1 + x ) 1/ 1/ dx m + −1/ + = = 2∈ Z m = −1/ 2, n = 1/ 4, p = 1/ ⇒ n 1/ BSCNN mẫu m, n Đổi biến: + x 1/ I = ∫x −1/ ( ⋅x 3/ ) ( =t ⇔ x ) 1/ / 1/ ⋅ 1+ x ⋅x ( −3/ = t − ⇒ x dx = 3t dt −3/ ⋅dx = ∫ x 1/ ) I = ∫ t − ⋅t ⋅ 3t dt = ∫ 3t − 3t dt ( ) 1/ 1/ 1+ x x −3/ dx Tích phân hàm lượng giác ∫ R ( sin x,cos x )dx Trong đó: R(u,v) hàm hữu tỷ theo biến u, v x Cách giải chung: ñặt t = tan   , x ∈ ( −π , π ) 2 dt ⇒ x = 2arctan t ⇒ dx = 2 + t 2t 1− t2 Tích phân hàm sin x = ,cos x = 1+ t2 1+ t2 hữu tỷ  2t − t  dt ∫ R ( sin x,cos x )dx = 2∫ R  + t , + t  + t   Trong nhiều trường hợp, cách giải cồng kềnh Ví dụ Tính dx I =∫ 3sin x + 4cos x + Đổi biến: t = tan( x / 2), x ∈ ( −π , π ) dt ⇒ dx = 1+ t2 2t 1− t2 sin x = ,cos x = 1+ t 1+ t2 dt dt I = 2∫ = 2∫ 2 6t + 4(1 − t ) + 5(1 + t ) t + 6t + −2 −2 = ∫ (t + 3) d (t + 3) = +C = +C t +3 tan( x / 2) + −2 Tích phân hàm lượng giác ∫ R ( sin x,cos x )dx 1) R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x )  −π π  ,  ñặt t = cos x, x ∈   2 2) R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) ñặt t = sin x, x ∈ ( 0, π ) 3) R ( − sin x, − cos x ) = R ( sin x,cos x ) ñặt t = tan x, x ∈  −π , π   2 p q sin x ⋅ cos x ⋅ dx 4) ∫ ñặt t = sin x t = cos x Hoàn toàn tương tự cho hàm Hyperbolic: coshx, sinhx Ví dụ Tính (2sin x + 3cos x)dx I =∫ sin x cos x + 9cos3 x R ( − sin x, − cos x ) = R ( sin x,cos x ) Đổi biến: t = tan( x), x ∈ ( −π / 2, π / ) dx ⇒ dt = cos x Chia tử mẫu cho cos3 x 2t 2t + (2 tan x + 3)d (tan x) dt + ∫ 2 dt =∫ dt = ∫ I =∫ t +9 t +3 t +9 tan x + tan x t +C = ln(t + 9) + arctan + C = ln(tan x + 9) + arctan 3 Ví dụ I = ∫ cos3 x ⋅ sin xdx Tính Đổi biến: t = sin x ⇒ dt = cos xdx ( ) I = ∫ cos x ⋅ sin x ( cos xdx ) = ∫ − sin x sin x ( cos xdx ) 11 11 t t sin x sin x = ∫ (1 − t )t dt = − + C = − +C 11 11 dx I =∫ Ví dụ Tính sin x cos x I =∫ ( sin ) x + cos x dx sin x cos x sin xdx dx =∫ +∫ sin x cos x d (cos x) d (cos x) 1 − cos x = + ln +C = −∫ +∫ 2 cos x + cos x cos x − cos x Ví dụ I = ∫ (sinh x ⋅ cosh x)dx Tính R ( − sinh x, − cosh x ) = − R ( sinh x,cosh x ) Đổi biến: t = sinh( x) ⇒ dt = cosh xdx I = ∫ (sinh x cosh x)(cosh xdx) 2 = ∫ sinh x(sinh x + 1)(cosh xdx) 6 t t sinh x sinh x = ∫ t (t + 1)dt = + + C = + +C 6 2 Tích phân hàm lượng giác a1 sin x + b1 cos x I= dx a sin x + b cos x ∫ Phân tích a1 sin x + b1 cos x = A ( a sin x + b cos x ) + B ( a sin x + b cos x ) ' = ( Aa + Bb)cos x + ( Ab − aB )sin x  Ab − aB = a1 Đồng hai vế:  giải tìm A, B  Aa + Bb = b1 A(a sin x + b cos x)' dx I =∫ + ∫ Bdx a sin x + b cos x = A ln(a sin x + b cos x) + Bx + C Ví dụ Tính (2sin x + 3cos x)dx I =∫ sin x + 4cos x Phân tích: 2sin x + 3cos x = A(sin x + 4cos x) + B (sin x + 4cos x) 2sin x + 3cos x = ( A − B)sin x + (4 A + B)cos x  A =1  A − 4B = ⇔   B = −1/ 4 A + B = A(sin x + 4cos x) B (sin x + 4cos x)' I= dx + dx sin x + 4cos x sin x + 4cos x ∫ ∫ Bd (sin x + 4cos x) I = A dx + = Ax + B ln ( sin x + 4cos x ) + C sin x + 4cos x ∫ ∫ ' Tích phân hàm lượng giác a1 sin x + b1 cos x + c1 I= dx a sin x + b cos x + c ∫ Phân tích a1 sin x + b1 cos x + c1 = A ( a sin x + b cos x + c ) + B ( a sin x + b cos x + c ) + C ' = ( Aa + Bb)cos x + ( Ab − aB)sin x + ( Bc + C )  Ab − aB = a1  Đồng hai vế:  Aa + Bb = b1  Bc + C = c  giải tìm A, B, C Cdx I = A ln(a sin x + b cos x + c) + Bx + ∫ a sin x + b cos x + c Tích phân cuối tính cách đổi biến chung: t = tan(x/2) Ví dụ Tính (2sin x + cos x + 3)dx I =∫ 3sin x + 4cos x + Phân tích: 2sin x + cos x + = A(3sin x + 4cos x + 5) + B(3sin x + 4cos x + 5)' + C 2sin x + cos x + = (3 A − B)sin x + (4 A + 3B)cos x + (5 A + C ) 3 A − B =  A = 2/5   ⇒  A + 3B = ⇔  B = −1/  5A + C =  C =1   d (3sin x + 4cos x + 5) Cdx I = A∫ dx + B ∫ +∫ 3sin x + 4cos x + 3sin x + 4cos x + I = Ax + ln(3sin x + 4cos x + 5) + I1 với I1 tính ví dụ trước Tích phân hàm Hyperbolic ∫ R ( sinh x,cosh x )dx Trong đó: R(u,v) hàm hữu tỷ theo biến u, v  x Cách giải chung: ñặt t =   2 2t 1+ t2 sin x = ,cos x = 2 1− t 1− t Tích phân hàm hữu tỷ  2t + t  dt ∫ R ( sinh x,cosh x )dx = 2∫ R  − t , − t  − t   Trong nhiều trường hợp, ñặt t = sinhx, t = coshx, t = tanhx ... hữu tỷ Phân tích: Pn ( x) = Qm ( x) ( x − a Pn ( x) ) s1 (x + p1 x + q1 ) t1 As1 A1 A2 = + +⋯ + s1 ( x − a1 ) ( x − a1 ) ( x − a1 ) + (x B1 x + C1 + p1 x + q1 + ) (x B2 x + C2 + p1 x + q1 ) +⋯... dt 1 t ( ) 1/ 1 dx Ví dụ Tính I =∫ 1+ x dx x Tích phân Trêbưsev: I = ∫ x 1/ (1 + x ) 1/ 1/ dx m + 1/ + = = 2∈ Z m = 1/ 2, n = 1/ 4, p = 1/ ⇒ n 1/ BSCNN mẫu m, n Đổi biến: + x 1/ I = ∫x 1/ ... q1 ) +⋯ + (x Bt1 x + Ct1 + p1 x + q1 ) t1 Qui ñồng, ñồng hai vế, giải tìm hệ số Đưa tích phân cần tính tích phân sau Tích phân hàm hữu tỷ dx 1 ∫ = + C, n ≠ n n 1 ( x − a) ( n − 1) ( x − a ) (