bài giảng tích phân 3 tích phân suy rộng

Nội dung - – Tích phân suy rộng Tài liệu: 1) Кудрявцев Л.Д Сборник задач по мат анализу, Том 2, Москва, 2003 2) James Stewart Calculus 6th edition, USA, 2008 I Tích phân suy rộng loại Bài tốn Tìm diện tích S miền vơ hạn giới hạn ñường cong: y = f ( x) ≥ 0, trục hồnh, đường thẳng x = a +∞ b a a s = ∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx b →+∞ b → +∞ Tích phân suy rộng loại y = f ( x) khả tích đoạn +∞ Tích phân [ a, b], với b > a b f ( x ) dx ∫ f ( x)dx = blim ∫ →+∞ a a ñược gọi tích phân suy rộng loại Các tích phân sau tích phân suy rộng loại a a −∞ b f ( x)dx ∫ f ( x)dx = blim ∫ →−∞ +∞ a +∞ −∞ −∞ a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx +∞ b a a f ( x)dx ∫ f ( x)dx = blim ∫ →+∞ Nếu giới hạn tồn hữu hạn tích phân gọi hội tụ Ngược lại, giới hạn khơng tồn vơ cùng, tích phân gọi phân kỳ Hai vấn ñề ñối với tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy rộng (thường phức tạp) 2) Khảo sát hội tụ Tính tích phân suy rộng (cơng thức Newton – Leibnitz) Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) [ a, +∞ ) +∞ b a a F (b) − F (a ) ) f ( x)dx = blim ( ∫ f ( x)dx = blim ∫ →+∞ →+∞ Tích phân tồn tồn lim F (b) := F (∞) b→+∞ +∞ ∫ a +∞ f ( x)dx = F ( x) = F (+∞) − F (a ) a Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn y = , trục hồnh đường thẳng x = x b +∞ b  −1  dx dx −   S = ∫ = lim ∫ = lim  = lim + =    b→∞ b →+∞ x →+∞ x x x  b   1 Diện tích miền S 1, hữu hạn Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn , trục hồnh đường thẳng x = y= x +∞ ( ) b b dx dx = blim ln | x | = lim = lim ln b = +∞ S= ∫ ( ) ∫ →+∞ b→∞ x →+∞ x x S miền có diện tích vơ hạn, +∞ Tính diện tích miền phẳng giới hạn Ví dụ y = , trục hoành x +1 +∞ ( ) +∞ dx dx b S= ∫ =2∫ = ⋅ blim arctan x = π →+∞ −∞ x + x +1 Diện tích miền S π Tính tích phân Ví dụ I= +∞ ∫ e −2 x dx I= +∞ ∫ e −2 x dx = − e Ví dụ −2 x +∞  e−∞ e−2  = − −  = 2  2e  Tính tích phân I= +∞ ∫ e I= +∞ ∫ e dx = x ln x +∞ ∫ e +∞ dx x ln x d (ln x)  1  =− = − − =  ln x ln x e  ln(+∞) ln e  Ví dụ Tính tích phân I= +∞ ∫ dx x2 − 5x + 1 1 = = − x − x + ( x − 2)( x − 3) x −3 x −2 +∞  +∞ +∞  I= ∫ − dx = ln | x − | − ln | x − | x−2  x −3 = (+∞) − (+∞) Dạng vơ định.? Khơng phép dùng: lim ( f + g ) = lim f + lim g x →+∞ x →+∞ x →+∞ chưa ñảm bảo hai giới hạn vế phải chắn tồn +∞ x−3  x −3 I = ln = lim  ln x − x→∞  x −  4−3  − ln − = ln1 − ln = ln  Tích phân hàm khơng âm Tiêu chuẩn so sánh Trường hợp x0 = b ñiểm kỳ dị ( ∀x ≥ a ) f ( x) ≥ 0, g ( x) ≥ khả tích [ a, b ) f ( x) ≤ g ( x) lân cận trái b Khi đó: b b 1) Nếu ∫ g ( x)dx a 2) Nếu hội tụ, ∫ f ( x)dx hội tụ a b ∫ f ( x)dx a b phân kỳ, ∫ g ( x)dx phân kỳ a Tương tự cho trường hợp x0 = a ñiểm kỳ dị Tích phân hàm khơng âm Tiêu chuẩn so sánh (x0 = b ñiểm kỳ dị nhất) ( ∀x ≥ a ) f ( x) ≥ 0, g ( x) ≥ khả tích [ a, b ) f ( x) K = lim Khi đó: x →b g ( x ) − b 1) K = : ∫ g ( x)dx b hội tụ, a 2) K hữu hạ n, ≠ : hội tụ a b b ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx a ∫ g ( x)dx HT PK a b 3) K = +∞ : ∫ f ( x)dx a b hội tụ, ∫ g ( x)dx a hội tụ Kết (ñược sử dụng ñể khảo sát hội tụ) b ∫ a b ∫ a ( x − a) α (b − x ) α  phâ n kỳ , nế u α > dx =   hoä i tụ , nế u α ≤  phâ n kỳ , nế u α > dx =   hộ i tụ , nế u α ≤ Chú ý: Kết luận ngược lại so với tích phân loại một! Ví dụ I =∫ Khảo sát hội tụ x →1+ Ta có f ( x) = ≃ ( x − 1)( x + 1) Chọn g ( x) = ( x − 1) 1/ 2 Tích phân ∫ f ( x)dx dx x2 − 1 ( x − 1) 1/ f ( x) ⇒ lim = x →+∞ g ( x ) hữu hạn, khác ∫ g ( x)dx hội tụ hay phân kỳ 1 Vì ∫ g ( x)dx hội tụ ( α = < 1), nên tích phân I hội tụ Ví dụ f ( x) = Ví dụ f ( x) = ( ex −1 ) ) ln + x3 dx ex −1 Khảo sát hội tụ I = ∫ ln + x3 ( x →0 + x3/ hội tụ α = < ≃ = 2/5 x ( x − 0) Khảo sát hội tụ x3 ( − x ) (3 + x) x →3− x3dx 9− x I =∫ 18 ≃ ( x − 3)1/ 2 hội tụ α = < 5x + x I =∫ dx tan x − x Ví dụ Khảo sát hội tụ 3 x x tan x − x = x + + ο ( x3 ) − x = + ο ( x3 ) 3 x →0 + 5x + x x1/ ≃ = tan x − x x / ( x − 0)5 / phân kỳ α = > Ví dụ Khảo sát hội tụ I =∫ f ( x) = x →4− x +2 ≃ = ( x − 4)1 x−4 x −2 dx x −2 phân kỳ α = Khảo sát hội tụ Ví dụ I= +∞ ∫ sin xdx x sin xdx +∞ sin xdx I =∫ +∫ = I1 + I 2 x x 1 sin x lim = x →0 x Ta có I1 khơng tích phân suy rộng mà tích phân xác định nên HT sin x ≤ = g ( x) x x +∞ Vì ∫ g ( x)dx HT , nên I1 HT, suy I HT I Tính tích phân sau +∞ 1) ∫ dx ( x + 1)( x − 2) +∞ 2) ∫ dx ( x − 1)( x + 2)( x + 3) ln − ln + ln (5 x − 3) 3) ∫ dx ( x − 2)(3 x + x − 1) 11 ln + ln 5 ( x + 1) 4) ∫ dx x ( x − 1) + ln +∞ +∞ +∞ dx x − ( x + 1) ( ) 5) ∫ 17 − ln + 16 128 +∞ 6) ∫ dx x +x+2 x+3 7) ∫ dx x ( x + x + 1) +∞ +∞ x2 8) ∫ dx x +1 +∞ dx 9) ∫ x + 4x + +∞ dx 10) ∫ x − x e +e arctan 7 π ln − 18 π arctan π +∞ 11) ∫ e + e x x dx +∞ 12) ∫ dx x (ln x + 1) − 2ln π +∞ 13) ∫ dx cosh ( x ) +∞ 14) ∫ xe −2 x dx +∞ dx 15) ∫ x ( x + 3) 1 ln +∞ dx 16) ∫ x +1 e +∞ x 17) ∫ x dx +1 +∞ dx 18) ∫ e −1 +∞ dx x 19) ∫ +∞ x x −1 dx 20) ∫ sinh x ln π 4ln π  e +1  ln    e −1  +∞ 21) ∫ e −3 x dx 1 3e +∞ dx 22) ∫ x ln x e +∞ xdx 23) ∫ x +∞ dx 24) ∫ (1 + x ) x +∞ xdx 25) ∫ x −1 1 ln π ln  π  + − arctan   3 3 +∞ 26) ∫ ( dx x +1 + x ) +∞ 27) ∫ e −2 x cos3 xdx +∞ dx 28) ∫ ( x + x + 1) −∞ +∞ dx (4 x + 1) x + 29) ∫ +∞ 30) ∫ ( x + 12 ) x2 + dx 3 13 4π 3 π 13π +∞ 31) ∫ dx ( x + 3) +∞ dx 32) ∫ 3/ 2 ( x + 3) +∞ − x3 33) ∫ x e dx +∞ ln xdx 34) ∫ x +∞ 35) ∫ 1 ( x + 1) dx 10 5 64 ( 36) ∫ ) − x − x3 dx 37) ∫ −1 −2 x dx (1 + x ) − x dx 39) ∫ x x −1 40) ∫ 15 2 π (4 − x) − x 2 38) ∫ x dx 625 187 dx x x −1 2 π 5 π π +π ... Tích phân suy rộng loại y = f ( x) khả tích ñoạn +∞ Tích phân [ a, b], với b > a b f ( x ) dx ∫ f ( x)dx = blim ∫ →+∞ a a ñược gọi tích phân suy rộng loại Các tích phân sau tích phân suy rộng loại... hạn tích phân gọi hội tụ Ngược lại, giới hạn không tồn vơ cùng, tích phân gọi phân kỳ Hai vấn đề tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy rộng (thường phức tạp) 2) Khảo sát hội tụ Tính tích phân. .. x 1 ⇒ f ( x) = x < = g ( x) Tích phân cho hội tụ xe x x Ví dụ Khảo sát hội tụ I = +∞ ∫ f ( x) = x3 + x + dx x + 3x + x3 + x + x→+∞ x3/ ≃ = 3/ Tích phân hội tụ 3 x + 3x + x x Khảo sát hội tụ I