Bài giảng tích phân suy rộng

Bài giải mẫu: Ví dụ 1: Xét hội tụ tích phân: Xét: Rõ ràng: Ta tìm cách sử dụng dấu hiệu so sánh cách xây dựng hàm g(x) tương đương với hàm f(x) Muốn vậy, ta thay vô bé (vô lớn) VCB (VCL) tương đương Ở ta có: có f(x) Do đó: Vậy hàm số g(x) cần xét là: Khi đó: Mà: (việc kiểm tra dành cho bạn) hội tụ (do s = ) Vậy theo dấu hiệu so sánh ta có: hội tụ 2.2.Ví dụ : Xét hội tụ tích phân: Ta tìm xây dựng hàm g(x) cách thay VCL tương đương Do nên x VCL bậc cao sinx Vậy: Nên: Vậy hàm g(x) cần xét là: Đến dễ kết luận tích phân cần xét hội tụ 2.3 Ví dụ 3: Xét hội tụ tích phân: Rõ ràng, tính trực tiếp tích phân hàm lấy tích phân có nguyên hàm hàm sơ cấp Mặc dù, VCB thay Cũng vậy, viết với ta tìm VCB tương đương để ta không VCL tương đương Vậy xây dựng hàm g(x) tương đương Tích phân sử dụng dấu hiệu Dirichlet để so sánh Ta tìm cách chặn hàm f(x) bất đẳng thức Ta có: Do vậy: Tuy nhiên, ta xét hàm Vì hàm f(x) xác định x = hàm g(x) lại không xác định Nếu không ý ta dễ dẫn đến ngộ nhận phân kỳ phân kỳ Ta phải xét khoảng mà f(x) lẫn g(x) xác định Do đó: Tích phân vế phải tích phân xác định nên hội tụ, tích phân lại hội tụ (do s = > 1) Vậy theo dấu hiệu so sánh tích phân cần xét phải hội tụ > Chú ý: hội tụ, phân kỳ Còn kỹ thuật nói “làm nhiều quen tay”, ta ý đến dấu hiệu so sánh để xây dựng hàm g(x) tương đương với hàm f(x) giới hạn f(x)/g(x) Và hai hàm có tính chất Mà muốn xây dựng hàm g(x) tương đương phải thay VCB, VCL có f(x) VCB , VCL tương đương Lúc hàm g(x) chắn có dạng: tùy vào loại tích phân xét ta có kết luận Có lẽ, để nhìn có cách Nếu trường hợp thay VCB, VCL để xây dựng hàm g(x) ta ý đến dấu hiệu định lý Dirichlet Abel Còn cuối cùng, không sử dụng Dirichlet Abel phải tìm cách chặn bất đẵng thức để sử dụng dấu hệu so sánh Chỉ cách (nhất xây dựng hàm tương đương) nhận biết “thằng” hội tụ, “thằng” phân kỳ nhìn vào thấy Bởi nhìn vào “thấy” vẻ đẹp Toán học nữa!? Tuy nhiên, làm nhiều, “level” lên cao ta dễ dàng biết hàm f(x) tương đương với hàm g(x) Và từ g(x) ta biết tích phân hội tụ hay phân kỳ  ... nhận phân kỳ phân kỳ Ta phải xét khoảng mà f(x) lẫn g(x) xác định Do đó: Tích phân vế phải tích phân xác định nên hội tụ, tích phân lại hội tụ (do s = > 1) Vậy theo dấu hiệu so sánh tích phân. .. Đến dễ kết luận tích phân cần xét hội tụ 2.3 Ví dụ 3: Xét hội tụ tích phân: Rõ ràng, tính trực tiếp tích phân hàm lấy tích phân có nguyên hàm hàm sơ cấp Mặc dù, VCB thay Cũng vậy, viết với ta... tụ tích phân: Ta tìm xây dựng hàm g(x) cách thay VCL tương đương Do nên x VCL bậc cao sinx Vậy: Nên: Vậy hàm g(x) cần xét là: Đến dễ kết luận tích phân cần xét hội tụ 2.3 Ví dụ 3: Xét hội tụ tích