bài giảng tích phân suy rộng

TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại 1 ( ) lim ( ) b a a b f x dx f x dx +∞ →+∞ = ∫ ∫ (cận vô hạn) Cho f(x) khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +∞) Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ. Giới hạn trên còn được gọi là giá trị của tpsr. Nhận dạng tpsr loại 1 ( ) a f x dx +∞ ∫ 2 2 1 dx x x +∞ − + + ∫ 0 sin x dx x +∞ ∫ 2 0 1 2 3 x dx x x +∞ + + − ∫ VD: không là tpsr loại 1 0 sin x dx x +∞ ∫ là tpsr loại 1 Nếu f(x) liên tục trên [a, +∞) hoặc chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 trên [a, +∞) thì là tích phân suy rộng loại 1 Ví dụ 2 0 1 dx I x +∞ = + ∫ ( )b ϕ 2 b π →+∞ → 2 0 1 dx x +∞ = + ∫ Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ 2 0 1 b dx x = + ∫ 0 arctan b x= arctanb= 0 cosI xdx +∞ = ∫ ( )b ϕ 0 cos sin b xdx b= = ∫ Không có gh khi b →+∞ ln e x I dx x +∞ = ∫ ( )b ϕ ln b e x dx x = ∫ ln 1 b tdt= ∫ 2 1 ln 1 2 b   = −   b→+∞ →+∞ ⇒ Phân kỳ ⇒ Phân kỳ ĐỊNH NGHĨA ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx −∞ →−∞ = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) a a f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ −∞ −∞ = + ∫ ∫ ∫ Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi các tp vế phải hội tụ. (chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái phân kỳ, không cần biết tp còn lại) Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f x dx +∞ ∫ ( )f x dx α +∞ ∫ 1.f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α > a và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f x dx +∞ ∫ 2.f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α ≠ 0 ( ) a f x dx α +∞ ∫ và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f g dx +∞ ⇒ + ∫ ( ) a g x dx +∞ ∫ ( ) a f g dx +∞ ⇒ + ∫ 3.f, g khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. hội tụ ( ) a f x dx +∞ ∫ hội tụ và phân kỳ phân kỳ ( ) a f x dx +∞ ∫ ( ) a g x dx +∞ ∫ và hội tụ * * Công thức Newton-Leibnitz f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a, F là nguyên hàm của f trên [a, +∞), khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) a a f x dx F x F F a +∞ +∞ = = +∞ − ∫ trong đó ( ) lim ( ) x F F x →∞ +∞ = Lưu ý: các phương pháp tính tích phân xác định vẫn sử dụng được cho tp suy rộng. [...]... 0 TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Cho f(x) không âm và khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a Khi đó b ϕ (b) = ∫ f ( x)dx a là hàm tăng theo biến b ⇒ ϕ(b) hội tụ khi và chỉ khi ϕ(b) bị chận trên TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b], ∀b≥a Nếu f ( x) ≤ kg ( x), ∀x ≥ α ≥ a +∞ ∫a +∞ ∫a g ( x)dx hội tụ thì +∞ ∫a f ( x)dx phân kỳ thì f ( x )dx hội tụ +∞ ∫a g ( x)dx phân. .. thì f ( x )dx hội tụ +∞ ∫a g ( x)dx phân kỳ TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b], f ( x) ∀ b ≥ a Đặt k = lim x →+∞ g ( x ) +∞ ∫a • 0 ≠k ≠ ∞ •k=0 +∞ ∫a • k = ∞∫ +∞ a f ( x)dx, ∫ +∞ a g ( x)dx Cùng hội tụ hoặc phân kỳ g ( x)dx hội tụ⇒ ∫ +∞ a +∞ f ( x)dx hội tụ g ( x)dx phân kỳ ⇒ ∫a f ( x)dx phân kỳ Tích phân cơ bản +∞ ∫a dx α với a > 0 x Hội tụ ⇔... x  I =∫ +∞ cos x 1 +∞ +∞ sin xdx sin x I= +∫ 2 1 x 1 x = sin1 const +∫ +∞ sin xdx 1 x 2 hội tụ tuyệt đối ⇒ I hội tụ x dx TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 Điểm kỳ dị: Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0} Nếu lim f ( x) = ∞ ± x → x0 ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b] Tích phân suy rộng loại 2 là b ∫a f ( x)dx với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b] ... hội tụ I =∫ +∞ cos x 1 x 2 dx Hàm lấy tích phân thay đổi dấu trên [1, +∞) I1 = ∫ +∞ 1 f ( x) dx = ∫ 1 f ( x) ≤ 2 , x +∞ 1 +∞ dx ∫1 ⇒ I hội tụ tuyệt đối x 2 cos x dx 2 x hội tụ ⇒ I1 hội tụ I =∫ +∞ cos x x 1 dx Hàm lấy tích phân thay đổi dấu trên [1, +∞) I1 = ∫ +∞ 1 f ( x) dx = ∫ 1 f ( x) ≤ , x +∞ 1 +∞ dx ∫1 x ⇒ Không có kết luận cho I1 cos x dx x phân kỳ Dùng tích phân từng phần cho I u = 1 ⇒ du = −... α sao cho có thể kết luận I hội tụ hay phân kỳ chọn α = 3/2 ln x f ( x) x 2 ln x = = 1/2 1 g ( x) x 3/2 x +∞ ∫1 x→+∞ → 0 g ( x)dx hội tụ ⇒ ∫ +∞ 1 f ( x)dx hội tụ Sự hội tụ tuyệt đối (hàm có dấu tùy ý) +∞ ∫a Cho f(x) khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a, nếu hội tụ thì +∞ ∫a f hội tụ Khi đó ta nói +∞ ∫a hội tụ tuyệt đối • Sự hội tụ tuyệt đối là sự hội tụ của tích phân |f| • Hội tụ tuyệt đối ⇒ hội tụ f... > 1  2 ⇔α > I hội tụ ⇔  3 3 α > 0  1 1 (2) f ( x) : ,α < 0 ⇒ I phân kỳ 1 2 x3 2 1 ,α = 0 (3) f ( x ) : 5 1 x3 ⇒ I phân kỳ +∞ 2 − x x e dx 1 I =∫ (không thay tương đương được) 1 Xét g ( x) = α x 2 −x 2 +α f ( x) x e x = = x 1 g ( x) e α x x →+∞ → 0, ∀α Không thể KL pkỳ Chọn α > 1 +∞ ∫1 1 dx α x hội tụ ⇒ I hội tụ Trong khi viết bài, chỉ cần chọn α = 2, ta kết luận được I hội tụ Tức là 2 −x f (... 1 Lưu ý: 1.Hàm dưới dấu tích phân thay đổi dấu 2.Không thể so sánh I với +∞ dx ∫0 x2 +∞ x −1 3.I cùng bản chất với J = ∫ dx 3 1 x + 3x + 2 ⇒ I hội tụ I =∫ +∞ 1  cos 1 − 1 dx x ÷ x   Tiêu chuẩn so sánh 2 dùng được cho hàm âm  cos 1 − 1 < 0, ∀x ∈ [1, +∞) x ÷ x    cos 1 − 1 : x  − 1  = − 1 f ( x) = x  ÷  2÷ x  2x   2x  +∞ ∫1 f ( x)dx cùng bản chất với Vậy I phân kỳ +∞ ∫1 g ( x)dx =... hội tụ hoặc phân kỳ g ( x)dx hội tụ⇒ ∫ +∞ a +∞ f ( x)dx hội tụ g ( x)dx phân kỳ ⇒ ∫a f ( x)dx phân kỳ Tích phân cơ bản +∞ ∫a dx α với a > 0 x Hội tụ ⇔ α > 1 (Nghĩa là: α > 1 thì tp hội tụ, α ≤ 1 thì tp phân kỳ) Chứng minh: ϕ (b) = ∫ b a dx α x ln b − ln a,α = 1  = 1  1 1   α −1 − α −1 ÷,α ≠ 1 1 − α  b a   Ví dụ Khảo sát sự hội tụ: I = ∫ +∞ 1 x −1 dx 3 x + 3x + 2 Hàm dưới dấu tp liên tục trên . TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại 1 ( ) lim ( ) b a a b f x dx f x dx +∞ →+∞ = ∫ ∫ (cận vô hạn) Cho f(x) khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a gọi là tích phân suy rộng loại 1 của. hội tụ. (chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái phân kỳ, không cần biết tp còn lại) Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f x dx +∞ ∫ ( )f x dx α +∞ ∫ 1.f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi. hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f x dx +∞ ∫ 2.f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α ≠ 0 ( ) a f x dx α +∞ ∫ và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng