bài giảng giải tích c1

chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân Bài giảng Giải tích C1 GV: Trần Vũ Khanh, Ph.D Khoa Toán Tin Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM 20th October 2010 Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Tích phân chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Giới hạn liên tục 1.1 Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân Đạo hàm Vi phân 2.3 Ứng dụng đạo hàm vi phân chương Tích phân 3.1 Nguyên hàm 3.2 Tích phân xác định 3.3 Tích phân suy rộng Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Tích phân chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân Chương Giới hạn liên tục (8 tiết) 1.1 Giới hạn dãy số 1.2 Giới hạn hàm số 1.3 Hàm liên tục Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Tích phân chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân 1.1 Giới hạn dãy số Định nghĩa dãy số Cho ánh xạ u : N → R Các giá trị u n ∈ N lập thành dãy số Nếu đặt un = u(n), ta viết dãy số sau: u1 , u2 , u3 , , un , hay {un }∞ n=1 hay đơn giản ta viết {un }, u1 gọi số hạng đầu tiên, u2 số hạng thứ 2, cách tổng quát ta gọi un số hạng thứ n Thí dụ: n ∞ } , n + n=1 (−1)n (n + 1) ∞ b) { }n=1 , 3n n c) {(−1) }, an = (−1)n , a) { {−1, 1}, d) Dãy Fibonacci: a1 = 1, a2 = 1, với n ≥ : an = an−1 + an−2 Dãy số phát minh vào thể kỷ 13 nhà toán học người Ý để giải toán liên quan đến việc sinh sản thỏ Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Sự hội tụ dãy Cho dãy số {un } số thực L Ta nói dãy {un } hội tụ (hay tiến dần) L ∀ , ∃N0 cho ∀n ∈ N : n ≥ N0 ⇒ |un − L| < Trong trường hợp ta nói L giới hạn dãy {un } ký hiệu L = lim un hay un → L n → ∞ n→∞ Ngược lại, trường hợp dãy {un } không hội tụ ta nói dãy {un } phân kỳ Thí dụ: Chứng minh limn→+∞ n = n+1 Giải: Thật vậy, ta có: | n − |= < ⇔ n > 1/ − n+1 n+1 n Nếu chọn N0 = [1/ − 1] ∀n ∈ N : n ≥ N0 ⇒ | n+1 − 1| < Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 (đpcm) chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Định lý Nếu dãy {an } có giới hạn giới hạn Thí dụ: ta thấy dãy {(−1)n } phân kỳ a2n = a2n+1 = −1 Các phép toán dãy hội tụ Cho hai dãy số hội tụ {an }, {bn } cho số thực c Khi đó: lim c = c n→∞ lim an ± bn = lim an ± lim bn n→∞ n→∞ n→∞ lim an bn = lim an lim bn n→∞ n→∞ n→∞ ( lim c an = c lim an ) n→∞ lim an lim n→∞ an = n→∞ lim bn = n→∞ bn lim bn n→∞ Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 n→∞ chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Định lý (Bất đẳng thức kẹp) Cho ba dãy số {an }, {bn }, {cn } Nếu hai dãy {an }, {bn } hội tụ số thực L an ≤ cn ≤ bn với n ∈ N dãy số {cn } hội tụ L Thí dụ: Tính lim n→∞ sin 2n √ ? 1+ n Hệ Cho dãy số {an } Nếu lim |an | = lim an = n→∞ Thí dụ: Tính limn→∞ n (−1) n n→∞ ? Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Dãy tăng dãy giảm Dãy số {an } gọi dãy tăng an ≤ an+1 gọi dãy giảm an ≥ an+1 với n ≥ Một dãy gọi đơn điệu dãy tăng giảm Thí dụ: Dãy n dãy giảm, dãy −1 n dãy tăng Dãy bị chặn Dãy số {an } gọi dãy bị chặn có số thực M cho an ≤ M với n ≥ gọi dãy bị chặn có số thực N cho an ≥ N với n ≥ Nếu dãy vừa bị chặn vừa bị chặn gọi dãy bị chặn Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân Định lý Mọi dãy đơn điệu bị chặn hội tụ Thí dụ: Cho a1 = 2, an = 12 (an + 6) với n ≥ 1, CMR dãy hội tụ Thí dụ: CMR dãy (1 + )n hội tụ n Số e e = lim (1 + )n n→∞ n Số e gọi số Néper hay số tự nhiên Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Tích phân chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân 1.2 Giới hạn hàm số Ta xét hàm số f (x) = x − x + Bảng bên cho ta giá trị hàm f điểm gần khác x f ͑x͒ x f ͑x͒ 1.0 1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999 2.000000 2.750000 3.440000 3.710000 3.852500 3.970100 3.985025 3.997001 3.0 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001 8.000000 5.750000 4.640000 4.310000 4.152500 4.030100 4.015025 4.003001 Ta thấy x gần giá trị f gần Nói cách khác để giá trị hàm f xấp xỉ ta cần lấy x đủ gần Khi ta nói giới hạn hàm f (x) x tiến gần ta viết: lim x − x + = x→2 Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Định lý a Nếu hàm f (x) liên tục đoạn [a, b] khả tích đoạn [a, b] b f : [a, b] → R hàm bị chặn, liên tục ngoại trừ số điểm gián đoạn loại khả tích đoạn [a, b] x dx? Thí dụ: Tính Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Các tính chất tích phân xác định Giả sử f g hai hàm khả tích đoạn chứa a, b c b Nếu d số b d f (x)dx = d f (x)dx, a a b cdx = d (b − a), Nếu f (x) = d số a b b (f (x) + g (x))dx = a a b b f (x)dx + a g (x)dx, a c f (x)dx = a b f (x)dx + f (x)dx, c Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân b Nếu f (x) ≤ g (x) [a, b] a < b b f (x)dx ≤ a g (x)dx, a Nếu m M giá trị nhỏ lớn f [a, b] a < b b m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M(b − a) a Nếu hàm f khả tích đoạn [a, b] |f | khả tích [a, b] giả sử a < b Khi đó: b b f (x)dx ≤ a |f (x)|dx a Nếu f hàm chẵn a a f (x)dx = −a f (x)dx, f hàm lẻ a Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Định lý (Về giá trị trung bình) Nếu hàm f liên tục đoạn [a, b] đoạn có điểm c cho b f (x)dx = f (c)(b − a) a Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân Ta đặt chương Tích phân x f (t)dx, a ≤ x ≤ b Φ(x) = a Định lý: Nếu hàm f liên tục đoạn [a, b] hàm Φ(x) có đạo hàm đoạn b a Φ (x) = d dx f (t)dt = f (x), a < x < b, a b Φ (x + ) = f (a), c Φ (x − ) = f (b) Vậy hàm liên tục đoạn [a, b] có nguyên hàm đoạn Cơng thức Newton-Leibnitz Nếu hàm f liên tục đoạn [a, b] F (x) nguyên hàm đoạn b f (x)dx = F (b) − F (a) a π Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Định lý (Phương pháp biến đổi số) b Xét tích phân f (x)dx với f (x) hàm liên tục đoạn [a, b] Giả sử a hàm x = ϕ(t) thỏa mãn điều kiện sau: a ϕ : [α, β] → [a, b], b ϕ(t) có đạo hàm liên tục đoạn [α, β], c ϕ(α) = a, ϕ(β) = b Khi b β f (ϕ(t))ϕ (t)dt f (x)dx = a α 1 − x dx Thí dụ: Tính Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Định lý (Phương pháp tích phân phần) Giả sử u(x) v (x) hàm có đạo hàm liên tục đoạn [a, b] Khi đó: b b udv = uv |ba − a vdu, a hay b b u(x)v (x)dx = u(x)v (x)|ba − a v (x)u (x)dx a e ln xdx Thí dụ: Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Tích phân suy rộng loại Giả sử f (x) xác định [a, +∞) khả tích đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < ∞ Nếu tồn giới hạn (hữu hạn hay vô cùng) b lim b→∞ +∞ f (x)dx := a f (x)dx a giới hạn gọi tích phân suy rộng f (x) [a, +∞) Nếu giới hạn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ; giới hạn vô hay khơng tồn ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Tương tự, a a f (x)dx f (x)dx := lim c→−∞ −∞ c a +∞ f (x)dx := +∞ −∞ −∞ +∞ Thí dụ: Xét tích phân a f (x)dx f (x)dx + a dx (a > 0) xα Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Định lý (Tiêu chuẩn hội tụ (trường hợp f (x) ≥ 0) Nếu f (x) ≥ [a, ∞) cho +∞ a f (x)dx hội tụ ∃M > b f (x)dx ≤ M, ∀b ∈ [a, +∞) a Định lý (So sánh 1): Giả sử f (x) g (x) khơng âm khả tích [a, b], ∀b ≥ a f (x) ≤ g (x) lân cận ∞ (tức ∀x đủ lớn) Khi a Nếu b Nếu +∞ a +∞ a +∞ f (x)dx hội tụ a +∞ a g (x)dx phân g (x)dx hội tụ f (x)dx phân kỳ Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 kỳ chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Định lý (So sánh 2): Giả sử f (x) g (x) khơng âm khả tích [a, b], ∀b ≥ a lim x→+∞ f (x) = k g (x) Khi a Nếu k = +∞ a +∞ f (x)dx hội a +∞ g (x)dx a g (x)dx hội tụ ⇒ b Nếu < k < +∞ +∞ a f (x)dx, c Nếu k = +∞ i j +∞ a +∞ a +∞ f (x)dx, hội tụ ⇒ a g (x)dx phân kỳ ⇒ +∞ Thí dụ: Xét g (x)dx hội tụ f (x)dx phân kỳ +∞ a √ x dx 1+x Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 tụ tính chất chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Tiêu chuẩn hội tụ (trường hợp f (x) có dấu tùy ý) +∞ +∞ Nếu a |f (x)| dx hội tụ a f (x)dx hội tụ Trong trường hợp +∞ +∞ người ta nói a f (x)dx hội tụ tuyệt đối Nếu a f (x)dx hội tụ mà +∞ a +∞ f (x)dx a +∞ f (x)dx, ta −∞ |f (x)| dx khơng hội tụ ta nói tích phân Lưu ý: Đối với tích phân b −∞ f (x)dx tiêu chuẩn so sánh tương tự +∞ cosx Thí dụ: Xét dx + x2 Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 bán hội tụ có chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Tích phân suy rộng loại Giả sử f (x) khả tích [a, c), ∀c ∈ [a, b) limx∈b− f (x) = ∞ Nếu tồn giới hạn (hữu hạn hay vô cùng) c lim− c→b b f (x)dx := a f (x)dx a giới hạn gọi tích phân suy rộng loại f (x) đoạn b [a, b] Nếu giới hạn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng a f (x)dx hội tụ; giới hạn vô không tồn ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Định nghĩa hồn toàn tương tự cho trường hợp limx→a+ f (x) = ∞: b lim+ c→a b f (x)dx f (x)dx = c a Nếu f (x) có điểm gián đoạn vơ d ∈ (a, b) ta định nghĩa b d f (x)dx := a a Trần Vũ Khanh b f (x)dx + f (x)dx, Bài giảng Giải d tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Các tiêu chuẩn hội tụ sau Định lý Nếu f (x) ≥ [a, b] tiến đến vơ x → b− hội tụ ∃M > cho b a f (x)dx c f (x)dx ≤ M, ∀c ∈ [a, b) a Định lý (So sánh 1) Giả sử f (x) g (x) không âm lân cận trái b ta có f (x) ≤ g (x) Khi a Nếu b Nếu b a b a g (x)dx hội tụ f (x)dx phân kỳ b a f (x)dx hội tụ b a Trần Vũ Khanh g (x)dx phân kỳ Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân Định lý (So sánh 2) Giả sử f (x) g (x) không âm lim x→b − f (x) = k g (x) Khi a Nếu k = b a g (x)dx hội tụ ⇒ b a b Nếu < k < +∞ f (x)dx, b a b a f (x)dx hội tụ g (x)dx tính chất c Nếu k = +∞ i j b a b a b f (x)dx hội tụ ⇒ a g (x)dx hội tụ, b g (x)dx phân kỳ ⇒ a f (x)dx phân kỳ, Thí dụ: Xét √ x dx ex − Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Tích phân chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Tiêu chuẩn hội tụ (trường hợp f (x) có dấu tùy ý) Nếu b a |f (x)| dx hội tụ người ta nói Nếu b a b a b a b a f (x)dx hội tụ Trong trường hợp f (x)dx hội tụ tuyệt đối f (x)dx hội tụ mà b a |f (x)| dx khơng hội tụ ta nói tích phân f (x)dx bán hội tụ Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 ... phân 2.3 Ứng dụng đạo hàm vi phân chương Tích phân 3.1 Nguyên hàm 3.2 Tích phân xác định 3.3 Tích phân suy rộng Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Tích phân chương Giới hạn liên tục chương... 1.2 Giới hạn hàm số 1.3 Hàm liên tục Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Tích phân chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân 1.1 Giới hạn dãy số Định nghĩa dãy số... kỷ 13 nhà toán học người Ý để giải toán liên quan đến việc sinh sản thỏ Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1 chương Giới hạn liên tục chương Đạo Hàm Vi Phân chương Tích phân Sự hội tụ dãy Cho dãy