bài giảng tích phân 2

Nội dung - – Tích phân xác định – Tích phân suy rộng – Ứng dụng tích phân Tài liệu: 1) Кудрявцев Л.Д Сборник задач по мат анализу, Том 2, Москва, 2003 2) James Stewart Calculus 6th edition, USA, 2008 I Tích phân xác định Bài tốn Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn đường cong: y = f ( x), trục hồnh, hai ñường thẳng x = a x = b Chia S cách tùy ý làm n miền con: S1, S2, …, Sn Xấp xỉ miền S1, S2, …, Sn hình chữ nhật Hình trường hợp chia thành phần Hình trường hợp chia thành 12 phần n lớn, diện tích tính xác Trên miền S1, S2, …, Sn lấy tùy ý ñiểm Ta có S = S1 + S + + Sn S ≈ f ( x1* ) ⋅ ( x1 − x0 ) + f ( x2* ) ⋅ ( x2 − x1 ) + + f ( xn* ) ⋅ ( xn − xn−1 ) n S ≈ ∑ f ( xi* ) ⋅ ∆xi i =1  n  * Nếu giới hạn I = lim  ∑ f ( xi ) ⋅ ∆xi  tồn không phụ ∆xi →0  i=1  * i thuộc cách chia S cách lấy điểm x , I gọi tích phân xác định hàm y = f(x) ñoạn [a,b]   S = lim  ∑ f ( xi ) ⋅ ∆xi  = ∫ f ( x)dx max( ∆xi )→0  i=1  a n b Ví dụ Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn ñường cong: y = x , trục hồnh, hai đường thẳng x = x = Chia S thành miền, chọn điểm trung gian bên trái Cơng thức Newton - Leibnitz Nếu f(x) liên tục [a,b], với nguyên hàm F(x) b ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a) b a Công thức Đạo hàm theo cận Nếu f(x) liên tục [a,b], với nguyên hàm F(x) ' x   ∫ f (t )dt  = f ( x) a     ϕ ( x) ∫ a '  ' f (t ) dt  = f ( x) ⋅ ϕ ( x)  Hai phương pháp tính tích phân xác định Đổi biến Nếu f(x) liên tục (a,b), ϕ (t ), ϕ ' (t ) xác ñịnh liên tục khoảng ( t1 , t2 ) , Khi ñó: b t2 a t1 ( ∀t ∈ (t1, t2 ) ) a < ϕ (t ) < b ' f ( x ) dx = f ( ϕ ( t )) ⋅ ϕ (t )dt ∫ ∫ ϕ (t1 ) = a,ϕ (t2 ) = b Hai phương pháp tính tích phân xác định Từng phần Nếu u(x), v(x) với ñạo hàm liên tục [a,b], b b udv = uv − vdu ∫ ∫ b a a Chứng minh a Ví dụ Tích phân lớn I= π /2 ∫ sin xdx, J = π /2 ∫ sin xdx ∀ x ∈ 0, π / sin x < sin x ⇒ )) ( ( π /2 ∫ sin xdx < π /2 Ví dụ Chứng minh ∫ sin xdx 19 x dx