Bài giảng tích phân

Bài giảng tích phân

Sở GD & Đt nghệ an Trờng THPT Đặng thúc hứa 66sin4x + cos2xdxsin x + cos x tích phân ( ) ( )6688x+1-x-1dx 1 == dxx+1 2 x+1I = . Giáo viên : Phạm Kim Chung Tổ : Toán Năm học : 2007 - 2008 122007bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa _____________________________ Tháng 12 năm 2007 __________________________________ (Trang 1 Thực ra trên mặt đất lm gì có đờng, ngời ta đi lắm thì thnh đờng thôi ! - Lỗ Tấn - Viết một cuốn ti liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t tởng lớn của một nh viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán l có hạn Khi tôi có ý tởng viết ra những điều tôi gom nhặt đợc tôi chỉ mong sao qua từng ngy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn khoăn, ngơ ngác hơn V nếu còn ai đọc bi viết ny nghĩa l đâu đó tôi đang có những ngời thầy, ngời bạn cùng chung một niềm đam mê sự diệu kì Toán học . Thử giải một bi toán khó . nhng cha thật hi lòng ! ( ) ( )()()6622842x+1-x-1dx 1=dx=x+1 2x+1 -2x ( )( ) ( )()()( )( ) ( )()() 242 2 242 222 2242 42x+1 x- 2x+1+ 2-1x x-1 x- 2x+1+ 2+1x11dx + dx22x+1-2x x+1-2x ( )( )()()( )( )()() 22 222 242 4242 4 2 42 4 22-1 2+1x+1x x-1x1x+1 1x-1= dx+ dx+ dx+22 22x+ 2x+1 x+ 2x+1x - 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x + 1 2211+1x=dx21x- +2+ 2x() 22211+ dx2-1x+211x- +2- 2 x- +2+ 2xx()2211-1x+dx21x+ - 2- 2x()() () 22211- dx2+1x+211x+ - 2+ 2 x+ - 2- 2xx 21dx-1x=21x- +2+ 2x() () 2211dx- dx-2-1 2-1xx+-42 4211x- +2- 2 x- +2+ 2xx()21dx+1x+21x+ - 2- 2x()()()() 2211dx+ dx+2+1 2+1xx+-42 4211x+ - 2+ 2 x+ - 2- 2xx 11x+ -2-2 x+ -2+22+ 2 2- 2 2- 2 2+ 2xx=u+v+ln +ln +C118 8 16 16x+ + 2- 2 x+ + 2+ 2xx ( Với 1x- = 2+ 2tgu= 2- 2tgvx ) (Nếu dùng kết quả ny để suy ngợc có tìm đợc lời giải hay hơn ? ) 122007bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 2Phần lý thuyết Định nghĩa : Giả sử f(x) l một hm số liên tục trên một khoảng K, a v b l hai phần tử bất kì của K, F(x) l một nguyên hm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi l tích phân từ a đến b của f(x) v đợc kí hiệu l . Ta dùng kí hiệu ()bafxdx()bFxa để chỉ hiệu số : F(b) F(a) Công thức Newton Laipnit : ()bafxdx= ()bFxa = F(b) F(a) Ví dụ : ()312301x11xdx 1 0033===33 Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc v f, a v b m không phụ thuộc vo kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta có thể viết : F(b) F(a) = = ()bafxdx()bafxdx()baftdt =()bafudu . Các tính chất của tích phân . 1. ()aafxdx=02. () ()baabfxdx=-fxdx3. () () () () bbaafx gxdx= fxdx gxdxbaVD : ()()eee22111ee312x dx 2 xdx 3 dx x 3ln x e 1 3 1 0 e 211xx+= + =+ =+=+2 4. () () ()cbcaabfxdx= fxdx+ fxdxVD : 22101 01110 1001xxx dx xdx x dx xdx xdx 11022 =+=+=+ = 5. f(x) 0 trên đoạn [a ; b] 0 ()bafxdx6. f(x) g(x) trên đoạn [a ; b] ()bafxdx()bagxdx VD : Chứng minh rằng : 2200sin2xdx 2 sinxdx 7. m f(x) M trên đoạn [a ; b] m(b a) = bamdx ()bafxdxbaMdx = M(b a) VD : Chứng minh rằng : 21152xdxx 2 + HD . Khảo sát hm số 1yxx=+ trên đoạn [1; 2] ta có : [][]1;21;25y ;y22= =max min 122007bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 3 Do đó : 22 211 1152 dx x dx dxx2+ 2122152x x dx x11x2 +21152xdxx 2+ Phần phơng pháp Phơng pháp đổi biến số : t = v(x) . VD . Tính tích phân : 210xIdxx 1=+ Đặt : . Khi x= 0 thì t=1, khi x=1 thì t=2 . 2tx 1=+ Ta có : dtdt =. Do đó : 2xdx xdx2= 212012x1dt1 1Id x lntln212t 2 2x1====+ Quy trình giải toán . () ()()()x xxbbaafxdx= gv v' d Bớc 1 . Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hm liên tục, đổi cận . Bớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt Bớc 3 . Tính . ()()()vbvagtdt Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 2eedxx ln x 2 .()221dx2x 1 3.1230x dxx 1+ 4. 342xdxx 1 5 .234dxsin x 6 .()10dx2x 1 x 1+ + 7. ()41dxx 1x+ Phơng pháp đổi biến số : x = u(t) . VD . Tính tích phân : 1201x dx Đặt x = sint t;22 . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t=2 Vậy với x = sint thì x0;1 t0;2 v dx = costdt . Do đó :1222200 0 01 x dx 1 sin t cos tdt cos t cos tdt cos tdt= = = 22 = =201cos2t 1sinx cosx O 1dt t sin2t2222 40+ = += Quy trình giải toán . ()bafxdxBớc 1 . Đặt x = u(t), t;sao cho u(t) có đạo hm liên tục trên đoạn; , f(u(t)) đợc xác định trên đoạn v . b;() ()ua;u= = 122007bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 4 Bớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt Bớc 3 . Tính . ()gtdt Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 120dx1x+ 2 .1220dx1x 3.120dxx x1+ + 4.1220x 1xdx 5 .1320x 1xdx+ 6 . 5205xdx5x+( Đặt x=5cos2t) Phơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t) VD1 . Tính tích phân : I = 1201xdx+ Cách (1) Đặt 222t11+x = x-t 1= -2xt t x2t+= Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 12 v dx = 22t12t+dt . Do đó : 12 12 12 12 1222 42231111t1t1 1 t2t1 1 1 1I . dt dt tdt 2 dt dt2t 2t 4 t 4 t t + + +===++31= = 2212 12 12t1 1ln t82 8t111= +()12ln 2 122+ nên ta có thể chọnt0;4 . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì tCách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;14= v dx=21dtcos t . Do đó : ()()1444442222234200 0 000dsint1111cost1 x dx 1 tg t dt dt dt dtcos t cos t cos t cos t cos t1sint+=+ = = = = = = ()()()()()()()()2244001sint 1sint111dsint dsint4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t ++=+ + + 1= = ()()()()()()()()()()244422000d1 sint d1 sintdsint11 1 1 1 1dsint4 1sint 1sint 4 2 1sint1sint 41sint 1sint++=+ ++ ++40= = 211 1 11sint1sint 11sint.lnln404444 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 2 cos t 4 1 sin t000+++ =++ =()12ln 2 122+. Bình luận : Bi toán ny còn giải đợc bằng phơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rng khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép tính toán đơn giản hơn. Nhng ngợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán di dòng v nếu quả thật không khá tích phân thì cha hẳn đã l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn . VD2 . Tính tích phân : I = 1201dx1x+ 122007bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 5Cách (1) Đặt 222t11+x = x-t 1= -2xt t x2t+= Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 12 v dx = 22t12t+dt . Do đó : 12 12222112t t 1 1I . dt dtt12t t+==+= = 12ln t1()ln 2 1= nên ta có thể chọnt0;4 . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì tCách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;14= v dx=21dtcos t . Do đó : 1444422 22200 000cos t111 1cosdx dt dt dt dtcost cost cost cost1x 1tgt====++ t= ()()420dsint11sintln421sint1sint0===+( )ln 2 1 . Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 221x 1dx 2 .2221xdxx 1 3.021x 2x 2dx++ 4.1220dx1x4x3++ 5 .122dx112xx+ 6 .120xdxx x1+ Chú ý : Khi đứng trớc một bi toán tích phân, không phải bi toán no cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng phơng pháp đổi biến số . Có nhiều bi toán phải qua 1 hay nhiều phép biến đổi mới xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ ( sẽ nói đến ở phần Phân Loại Các dạng Toán ) Phơng pháp tích phân từng phần . Nếu u(x) v v(x) l hai hm số có đạo hm liên tục trên đoạn [a; b] thì : () () () ()()() ()bbaabuxv'xdx=ux.vx - vxu'xdxa hay () () ()()()bbaabuxdv=ux.vx - vxdua VD1. Tính 20x cosxdx Đặt = , ta có : uxdv cos xdx=du dxvsinx== 122007bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 6 ()2200x cos xdx x sin x sin xdx cosx 1222200= =+ = Nhận xét : Một câu hỏi đặt ra l đặt có đợc không ? ucosxdv xdx== Ta hãy thử : 222200x1x cos xdx cosx x sin xdx2220=+, rõ rng tích phân 220x sin xdx còn phức tạp hơn tích phân cần tính . Vậy việc lựa chọn u v dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng phơng pháp tích phân từng phần . Ta hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất ! VD2. Tính 251ln xdxx Ta thử đặt : 51uxdv ln xdx==rõ rng để tính v= l một việc khó khăn ! ln xdx Giải . Đặt 5ulnx1dv dxx== ta có : 541dux11vdxx4x=== Do đó : 22545 41122ln x ln x 1 dx ln2 1 1 15 ln2dx11x 4x 4 x 64 4 4x 256 64 = + = + = Nhận xét : Từ 2 VD trên ta có thể rút ra một nhận xét ( với những tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u v dv phải thoả mãn : 1 du đơn giản, v dễ tính . 2 Tích phân sau ( )vdu phải đơn giản hơn tích phân cần tính( )udv. Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 1x0xedx 2 .13x0xedx 3.()20x 1cosxdx 4.()602xsin3xdx 5 . 12x0x edx 6 .220x sin xdx 7.2x0ecosxdx 8. 9. 10. e1ln xdx()522xln x 1 dx()e21ln x dx Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó ! Phần phân loại các dạng toán ê Tích phân của các hm hữu tỷ A. Dạng : I()()a0Px=dxax + b 122007bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 7Công thức cần lu ý : Idx ln ax b Cax b a = =+++ Tính I1x1dx+= x1 Tính I22x5dx=+ x1 Tính I33xdx2x 3=+ Phơng pháp : Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho nhị thức : ax+b, đa tích phân về dạng : I()Q x dx dxax b=++ ( Trong đó Q(x) l hm đa thức viết dới dạng khai triển ) B. Dạng : I()()a02Px=d xax + bx + c1. Tam thức : có hai nghiệm phân biệt . ()2fx ax bx c=++ Công thức cần lu ý : I( )()()u' xdx ln u x Cux= =+ Tính I22dxx4= Cách 1. ( phơng pháp hệ số bất định ) ()()21AAB02AB22ABx2ABAB11x4x2x2B2=+==+++ =+= Do đó : I22dxx4==11dx2x2- 11dx2x2+= 1x2ln C2x2++ Cách 2. ( phơng pháp nhảy tầng lầu ) Ta có : I 22222 1 2x 2x 4 1dx dx dx ln x 4 ln x 2 Cx4 2x4 x4 2== =++ < Tổng quát >Tính I22dxxa= Tính I22xdx9x= Tính I23x 2dxx1+= Tính I22xdxx5x6=+ Tính I323xdxx 3x 2=+ Phơng pháp : Khi bậc của đa thức P(x) <2 ta sử dụng phơng pháp hệ số bất định hoặc phơng pháp nhảy tầng lầu. Khi bậc của đa thức P(x) 2 ta sử dụng phép chia đa thức để đa tử số về đa thức có bậc < 2 . 122007bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 8 2. Tam thức : có nghiệm kép . () ( )22fx ax bx c x=++=+ Công thức cần lu ý : I( )()()2u' x1dx Cux ux= = + Tính I( )()22dx 211dx Cx4x4 x2x2===+ + Tính I24xdx4x 4x 1=+ . Đặt : 2x 1 = t dtdx=22x t 1= +, lúc đó ta có : I22t1 dt dt 22dx222lntttt t+==+=C+ Tính I22x3dxx 4x 4=+ Tính I32xdxx 2x 1=++ Phơng pháp : Để tránh phức tạp khi biến đổi ta thờng đặt :txtx += = v thay vo biểu thức trên tử số . 3. Tam thức : vô nghiệm . ()2fx ax bx c=++ Tính I21dxx1=+ Đặt : 21x tg dx dcos= = , ta có : I()221ddcos tg 1==+C=+ , với ( )tg x = < Tổng quát > Tính I221dxxa=+ . HD Đặt xatg= 2adx dcos= , ta có : IdCaa== + Tính I22dxx2x2=++ Tính I22x 1dxx2x5+=++ Tính I22xdxx 4=+ Tính I32xdxx 9=+ êC. Dạng : I()()32Px=d xa0ax + bx + cx + d 1. Đa thức : có một nghiệm bội ba. ()32fx ax bx cx d=+++ 122007bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 9 Công thức cần lu ý : I()nn111dx Cxn1x= + ( )n1 = Tính I()31dxx1= Nếu x > 1 , ta có : I()()()()()233 2x111dx x 1 d x 1 C C2x1 2x1===+=+ . Nếu x < 1 , ta có : I()()()()()233 21x11dx 1 x d 1 x C C21x 2x1= = = + = + Vậy : I()31dxx1==()21C2x 1+ Chú ý : mm1x, với x > 0x= Tính I()3xdxx1= Đặt : x 1 = t ta có : I323 2t1 1 1 1 1dt dt Ctttt2t+= =+ =+ Tính I()23x4dxx1= Tính I()33xdxx1= Tính I()43xdxx1=+ 2. Đa thức : có hai nghiệm . ()32fx ax bx cx d=+++ Tính I()()21dxx1x1=+ Đặt : x + 1 = t , ta có : I()231ddttt2 t 2t==2t Cách 1 < Phơng pháp nhảy tầng lầu > Ta có : 22 2 23232 32 32 2 32 21 3t4t13t4t4 3t4t13t2 3t4t132t 2t t 2t 4 t 2t t 2t 4 t t 2t 4 t t+ = = =+ Do đó : I23232 23t 4t 1 3 2 3 1dt dt ln t 2t ln t Ct2t 4tt 4 2t=+=++ . Cách 2 < Phơng pháp hệ số bất định > ()( )232 22B 11AtBC1 A C t 2A B t 2B 2A B 0t2t t t2A C0=+= + + ++ +=+=1B21A41C4=== Do đó : 32 2 211t21112112dt dt dt ln t ln t 2 Ct2t 4t t2 4tt t2 4 t+ = = + = + [...]... − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫  NhËn xÐt : Tõ 2 VD trªn ta cã thĨ rót ra mét nhËn xÐt ( víi nh÷ng tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u v dv phải thoả mÃn : 1 du đơn giản, v dễ tính . 2 Tích phân sau ( ) vdu phải đơn giản hơn tích phân cần tính ( ) udv . Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 1 x 0 xedx 2 . 1 3x 0 xedx ∫ 3. () 2 0 x 1cosxdx π − ∫ 4. () 6 0 2xsin3xdx π − ∫ ... 7. 2 x 0 ecosxdx π ∫ 8. 9. 10. e 1 ln xdx ∫ () 5 2 2xln x 1 dx () e 2 1 ln x dx Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó ! Phần phân loại các dạng toán ê Tích phân của các hm hữu tỷ A. Dạng : I () () a0 Px =dx ax + b 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ ... phần Phân Loại Các dạng Toán ) Phơng pháp tích phân từng phần . Nếu u(x) v v(x) l hai hm số có đạo hm liên tục trên đoạn [a; b] thì : () () () () () () () ∫∫ bb aa b uxv'xdx=ux.vx - vxu'xdx a hay () () () () () ∫∫ bb aa b uxdv=ux.vx - vxdu a VD1. TÝnh 2 0 x cosxdx π ∫ §Ỉt ⎨ = , ta cã : ux dv cos xdx = ⎧ ⎩ du dx vsinx = ⎧ ⎨ = ⎩ 12 2007 bài giảng tích phân ... có đợc không ? ucosx dv xdx = = Ta hÃy thö : 2 22 2 00 x1 x cos xdx cosx x sin xdx 2 22 0 ππ π ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫ , râ rng tích phân 2 2 0 x sin xdx còn phức tạp hơn tích phân cần tính . Vậy việc lựa chọn u v dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng phơng pháp tích phân từng phần . Ta hÃy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhÊt ! VD2. TÝnh 2 5 1 ln x dx x ∫ Ta thử đặt : 5 1 u x dv... 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ T rang 13 Tính I 6 6 x dx x 1 = − ∫  TÝnh I 100 dx 3x 5x = + ∫  TÝnh I () 2 50 dx x 2x 7 = + ∫  TÝnh I () () 2000 2000 1x dx x1 x − = + ∫ 2. Kĩ thuật đặt ẩn phụ với tích phân cã d¹ng : I (... ba. () 32 fx ax bx cx d=+++ 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ T rang 4 Bớc 2 . BiĨu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt B−íc 3 . TÝnh . () gtdt Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 1 2 0 dx 1x+ 2 . 1 2 2 0 dx 1x− ∫ ... hẳn đà l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn . VD2 . Tính tích ph©n : I = 1 2 0 1 dx 1x+ ∫ 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ T rang 16 Tích phân của các hm lợng giác A. Sử dụng thuần tuý các công thức lợng giác . Công thøc h¹ bËc : 22 1 cos2x... Bμi tËp tù luyÖn : 1. 2 2 0 xcos xdx π ∫ 2. 3 0 x cosxdx π ∫ 3. 6 2 0 x sin xcos xdx π ∫ 4. 2 23 0 x cos xdx π ∫ 5. 33 0 x x sin dx 2 2. Tích phân dạng : () b a Pxlnxdx Đặt dv = P(x)dx để dễ tìm v . 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ T rang ... giác để tạo ra các bài toán tích phân của hàm lợng giác nghe có vẻ hiển nhiên quá, ta hÃy xuất phát từ hàm phân thức hữu tỷ xem sao ? Tôi sẽ xuất phát từ bi toán tìm nguyên hm : 2 dx I x1 = . Tôi sẽ đặt : x=tgt ( 2 2 1 dx dt 1 tg t dt cos t = =+ ) và ra mắt bài toán : − ∫ 2 2 1+tg x I= dx 1tgx B¹n sÏ suy nghÜ r»ng quá đơn giản nhng bạn sẽ cho cách giải thế nào với bài toán này : 2 1 I=... bằng phơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rng khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép tính toán đơn giản hơn. Nhng ngợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán di dòng v nếu quả thật không khá tích phân thì cha hẳn đà l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn . VD2 . Tính tích ph©n : I = 1 2 0 1 dx 1x+ ∫ . thật không khá tích phân thì cha hẳn đã l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn . VD2 . Tính tích phân : I = 1201dx1x+ 12200 7bài giảng tích phân Phạm. riêng của nó ! Phần phân loại các dạng toán ê Tích phân của các hm hữu tỷ A. Dạng : I()()a0Px=dxax + b 12200 7bài giảng tích phân Phạm Kim Chung