Bài giảng giải tích nhiều biến

TÍNH THỂ TÍCH BẰNG TÍCH PHÂN LẶP. TÍCH PHÂN BỘI HAI VÀ TÍCH PHÂN LẶP

Ch−¬ng 2: tÝch ph©n béi

Bài số 7

TÍNH THỂ TÍCH BẰNG TÍCH PHÂN LẶP

TÍCH PHÂN BỘI HAI VÀ TÍCH PHÂN LẶP

1 TÍNH THỂ TÍCH BẰNG TÍCH PHÂN LẶP

Một hàm hai biến liên tục ( , )f x y có thể lấy tích phân trên một miền phẳng R hoàn

toàn giống như cách mà một hàm một biến số liên tục có thể lấy tích phân trên một đoạn Khi đó ta nhận một số gọi là tích phân bội hai của hàm f(x,y) trên R và kí hiệu bởi

( , )

R

f x y dA

R

f x y dxdy

a Mô tả phương pháp tính thể tích bằng tích phân lặp :

Trong Giải tích một biến chúng ta đã sử dụng "Phương pháp phân hoạch" để

tìm thể tích

Xét một vật thể trong hệ tọa độ Oxyz được mô tả như hình vẽ: ở đây

( , ) 0

vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thì dV = A x dx( ) là thể tích của lát

cắt mỏng của vật thể dày dx, khi đó

công thức

( )

b

a

cho ta thể tích của vật thể giới hạn

giữa hai mặt phẳng x=a và x b=

Ta lại để ý rằng: Trong hình vẽ, tiết

diện trải từ mặt phẳng Oxy : z=0 lên

đến mặt cong z = f x y( , ) Với x là

bất kì cố định giữa a và b, biến y

thay đổi từ y x1( ) (có đồ thị là phần

đường cong bên trái trong mặt phẳng

xy) đến y x2( ) ((có đồ thị là phần

đường cong bên phải trong mặt

phẳng xy), và diện tích của tiết diện này là :

2

1

( )

( ) ,

y x

y x

Thế (2) vào (1) và nhận được tích phân lặp

( )

( ) 2

( ) ,

y x b

a y x

Giá trị này chính là thể tích V của vật thể

Để ý rằng ở đây: ( , )x y ∈D={a≤x≤b y x, ( )1 ≤y≤y x2( )}, D là miền lấy tích

phân

Nếu cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oy, khi đó :

( , )x y ∈D= x y( )≤x≤x y c( ), ≤y≤d

và dạng của tích phân lặp sẽ theo một thứ tự khác, đầu tiên theo x sau đó theo y,

( )

( ) 2

( ) 1

,

x y d

c x y

Các tích phân lặp (3) và (4) thường được viết không có dấu ngoặc như sau

2

1

( )

( ) ( , )

y x b

a y x

f x y dydx

2

1

( )

( ) ( , )

x x d

c x x

f x y dxdy

Thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp là rất quan trọng: Chúng ta luôn luôn làm

tích phân này (Câu hỏi ?)

Ví dụ 1 Sử dụng tích phân lặp để tìm thể tích

của tứ diện bị chặn bởi những mặt phẳng toạ độ

và mặt phẳng x+y+z=1

Giải: Thiết diện cắt bởi mặt phẳng x = một

hằng số là tam giác với đáy chạy từ y =0 đến

đường thẳng y= −1 x

Diện tích của nó là

( )

Thể tích cần tìm

1

2 0

1

2

x x

−

−

1

2

0

Kết quả này có thể được kiểm tra bởi hình học sơ cấp: thể tích của một tứ diện bất kì bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao

Ví dụ 2. Xác định miền lấy tích phân trong mặt

phẳng Oxy của tích phân lặp

( ) 2

2 4

1

,

x

f x y dydx

−

∫ ∫

Giải: Ở tích phân bên trong, với x cố định giữa

-1 và 2, y biến thiên từ đường cong 2

y= x lên đến đường thẳng y =4 Miền lấy tích phân

D= − ≤x≤ x ≤ y≤

Ví dụ 3. Tích phân lặp

2

1

0 2

x

x

ydydx

lấy tích phân trên một miền nào đó của mặt phẳng

Oxy Viết một tích phân tương đương khi đổi thứ tự

lấy tích phân, và tính cả hai tích phân đó

Giải :Miền lấy tích phân D={0≤x≤1,x2 ≤ y≤x}

Chú ý rằng hai đường cong 2

y=x và y= x có hai giao điểm M1(0,0), M2(1,1) khi 0≤ x≤1, và

trong miền D hàm 2

y= x có hàm ngược 1/ 2

x= y Lúc này ta có:

2

1

0 2

x

x

ydydx

1 2 0

x x

1

0

=∫ − =152 ,

Đổi thứ tự lấy tích phân: ta có thể viết lại cách xác định miền lấy tích phân như sau: D={y≤x≤ y1/ 2, 0≤ y≤1} Do đó tích phân đã cho có thể tính:

1/ 2

1

0 2

y

y

ydxdy

1

0

y

1

0

2

15

Trong miền đang xét, hàm số dưới dấu tích phân không âm nên cả hai tích phân lặp dẫn đến thể tích của cùng một vật thể nào đó

Chú ý: 1 Nếu hàm số dưới dấu tích phân là z= f x y( , ) 0≥ , liên tục trên miền hữu

còn một mặt là đồ thị hàm số z= f x y( , ), còn mặt xung quanh là phần mặt trụ có đường chuNn là biên của D các đường sinh cùng phương với trục Oz

2 Khi z= f x y( , ) 1≡ thì giá trị tích phân lặp chính là giá trị diện tích của

miền D

3 Tính tích phân lặp thực chất là đưa về tính các tích phân đơn, nên trong quá trình tính toán ta vẫn áp dụng các tính chất đã biết trong tích phân đơn

2 TÍCH PHÂN BỘI HAI VÀ TÍCH PHÂN LẶP

a Tích phân bội hai

Giá trị của tích phân đơn ( )

b

a

f x dx

∫ được xác định bởi hàm ( )f x và đoạn [a,b]

Trong trường hợp của tích phân bội hai, đoạn [a,b] được thay bởi miền R trong mặt phẳng Oxy, và tích phân bội hai trên R thì được kí hiệu bởi biểu tượng

( , )

R

f x y dA

Xét một hàm số liên tục ( , )f x y xác định trên miền R trong mặt phẳng Oxy

Cần thiết phải giả sử rằng R là bị chặn, theo nghĩa đó dẫn đến nó chứa trong một hình

chữ nhật đủ lớn và kết thúc ở vô cùng theo mọi hướng; nói cách khác, như trong

trường hợp của tích phân đơn ở đó a hoặc b là vô cùng, tích phân bội sẽ trở thành suy

rộng

Phủ R bởi mạng lưới những

đường thẳng song song với các

trục, ở đó khoảng cách giữa các

đường thẳng song song liên tiếp

nhau được phép bằng nhau hay

không bằng nhau Những đường

thẳng này chia mặt phẳng thành

nhiều những hình chữ nhật chứa

toàn bộ bên trong R, được đánh số

chúng theo thứ tự từ 1 đến n, kí

hiệu bởi ∆A k là diện tích của hình

chữ nhật thứ k Bây giờ chúng ta

chọn bất kì điểm (x k,y k) trong

hình chữ nhật thứ k và lập tổng

1 ,

n

k

=

∆

Nếu tổng đó tiến đến một giới hạn duy nhất khi n tiến đến vô vùng (và giá trị lớn

nhất của đường chéo của các hình chữ nhật tiến đến không- không phụ thuộc vào việc chia bằng các đường thẳng và cách chọn điểm (x k,y k) trong hình chữ nhật) thì

giá trị giới hạn đó được gọi là tích phân bội hai :

1

k R

=

Chú ý: 1 Miền lấy tích phân R là miền bị chặn và những miền đó được giới hạn bởi hữu hạn các đường cong trơn Hàm số dưới dấu tích phân ( , )f x y là hàm liên tục trên

R

2 Chúng ta sẽ không nghiên cứu kỹ lí thuyết tích phân bội vì đó là một chủ đề khó, và đẹp; sinh viên muốn tham khảo sẽ tự nhận đươc trong phép tính vi phân nâng cao Ở đây chúng ta chủ yếu xét ý nghĩa về mặt trực giác của tích phân bội hai và tập trung chú ý của đến các ứng dụng của chúng đối với hình học và vật lí

b Tích phân bội hai trong tính thể tích vật thể:

Giả sử rằng z= f x y( , ): xác định, liên tục trên R và là phương trình của mặt

trong không gian Oxyz , ở đó ( , ) 0 f x y > trên R, khi đó f x( k,y k)∆A k xấp xỉ thể tích của cột mỏng trong hình vẽ; tổng (2) là tổng của tất cả các thể tích đó và do vậy xấp

xỉ thể tích toàn phần của vật thể bao bởi mặt cong, và giới hạn (3) là tích phân bội hai

( , )

R

f x y dA

chính là thể tích chính xác của vật thể, chính xác hơn là thể tích khối trụ có mặt đáy

R còn một mặt là đồ thị hàm số z= f x y( , ), còn mặt xung quanh là phần mặt trụ có đường chuNn là biên của D các đường sinh cùng phương với trục Oz

+ Nếu ( , )f x y nhận giá trị hằng số,

nghĩa là ( , )f x y =c, thì

( , )

R

f x y dA=cA

ở đó A là diện tích của miền R

+ Nếu ( , ) 1f x y = ta có

R

dA= A

+ Nếu ( , )f x y nhận cả giá trị dương và

âm, thì tích phân bội hai biểu diễn thể

có nghĩa là, thể tích đại số giữa mặt

( , )

( , ) 0

Vì diện tích của hình chữ nhật

với các cạnh song song với các trục toạ độ có thể viết như sau A∆ = ∆ ∆x y, đó là lí do

để ký hiệu

( , )

R

f x y dxdy

là tích phân bội hai (1)

Ở dạng này tích phân bội có sự tương đồng với tích phân lặp, và khi miền R có hình dạng đơn giản nào đó tích phân bội hai (1) luôn luôn bằng một tích phân lặp được chọn một cách thích hợp Tuy nhiên tích phân bội hai không hoàn toàn giống

như tích phân lặp Tích phân bội hai cũng có các tính chất cơ bản tương tự như

tích phân đơn

+ Một miền R được gọi là thẳng đứng đơn giản (có hai cạnh cùng phương với

Oy) nếu nó có thể được miêu tả bởi các bất đẳng thức dạng

ở đó y= y x1( ) và y= y x2( ) là các hàm số liên tục trên [a,b] (H.20.8)

+ Tương tự, một miền được gọi là nằm ngang đơn giản (có hai cạnh cùng

c≤y≤d x y1( )≤x≤x y2( ) (6)

ở đó x= x y1( ) và x=x y2( ) là các hàm số liên tục trên [c d, ]

Hình 20.8 Hình 20.9

c Liên hệ tích phân lặp và tích phân bội hai:

Mọi tích phân lặp là một tích phân bội hai tuy nhiên điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng

Định lý

Nếu R là miền thẳng đứng đơn giản cho bởi (5), thì

2

1

( )

( )

y x b

và nếu R là miền nằm ngang đơn giản cho bởi (6), thì

2

1

( )

( )

x y d

Ví dụ 1 Tính tích phân bội hai 2

R

xydA

∫∫ theo hai

cách khác nhau, ở đó R là miền bị chặn bởi parabola

2

x= y và đường thẳng y=x

Giải : Miền lấy tích phân như trong Hình.20.10 Rõ

ràng rằng R là thẳng đứng đơn giản với a =0,

1

2( )

y x = x , do đó từ (7)

1/ 2

1

0

x

xydA= xydydx

0

x x

= ∫ 

1

0

=∫ − =1 13 4 12− = 1

Hình 20.10

Miền R cũng là nằm ngang đơn giản với c =0, d =1, 2

1( )

x y = y , x y2( )= y, do đó

từ (8)

2

1

0

y

1 2 0

y y

= ∫ 

1

0

=∫ − =1 14 6 12− = 1

Ví dụ 2 Tính (1 2 )

R

x dA

+

Hình 20.11

Giải: + Miền này như trong Hình.20.11

+ Tìm giao điểm của hai đường ta nhận được M1(1, 1),− M2(4, 2)

Cách 1: + Lấy tích phân ban đầu theo y sau đó theo x, muốn vậy ta có thể chia miền

lấy tích phân R thành những miền thẳng đứng đơn giản không giao nhau:

+ Áp dụng Định lý trên cùng với tính chất chia cận tích phân ta nhận được:

1

0

x

−

4

1 2

x

x

x dydx

−

Cách 2: + Bây giờ lấy tích phân trước hết theo x rồi sau đó lấy theo y, lúc này R xem

là miền nằm ngang đơn giản R ={y2≤x≤ y+2, 1− ≤ y≤2}, ta có:

2

2 2

1

y

+

−

2

2 2 1

y y

−

=∫ + 

2

6 5

10

Nhận xét: Trong Ví dụ 2 cách thứ 2 sẽ đơn giản hơn Tuy nhiên có những trường hợp

ta chỉ có một lựa chọn

Ví dụ 3 Tính

2

1 2

0 2

4 x y

e dxdy

Giải :+ Nếu tính tích phân theo thứ tự này ta có miền lấy tích phân là miền nằm ngang đơn giản: R ={2y≤x≤2, 0≤ y≤1} Nhưng khi đó x2

e dx

∫ không phải là hàm sơ cấp, ta không thể tìm được nguyên hàm này

+ Ta tính theo thứ tự còn lại: vẽ miền 0 2, 0 1

2

đứng đơn giản, áp dụng Định lý ta có

1

2 2

0 0

x

R

2 0 0

2

0 0

Hình 20.12

Bài tập về nhà : Tr 119, 129, 121, 127

Đọc trước : Một phần đầu Mục 20.9, Mục 20.4 chuNn bị cho Bài số 8