Phép biến đổi tuyến tính
Trang 1BÀI GIẢNG TUẦN 9 : PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
PHẠM XUÂN ĐỒNG
ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong giải tích, ta đã làm quen mối quan hệ đối số và hàm số (đầu vào − đầu ra) Trong ĐSTT liệu có sự tương tự nào như vậy không?
v = (v1,…,v n)∈Rn T w = (w1,…,w m)∈Rm w = T(v) : 2 véc tơ (bộ số) Phép biến đổi (ánh xạ)
Trường hợp đơn giản nhất
x∈R nhân với số a y = ax ∈R a (x + t) = ax + at , a(cx) = cax với ∀ x,t ∈R , c∈R
v = (v1,…,v n)∈Rn nhân với ma trận A m×n w = Av ∈Rm A (v+u) = Av + Au , A(cv) = cAv với ∀ v,u ∈R n , c∈R
9.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
I ĐỊNH NGHĨA:
tuyến tính nếu với mọi v, u ∈∈∈ V , mọi c ∈∈ R thỏa mãn các tính chất sau:
(a) T(v + u) = T(v) + T(u) (b) T(cv)= cT(v)
v : đầu vào thuộc không gian nguồn V , T(v) : đầu ra thuộc không gian đích W
Chú ý 1: Nếu T là phép biến đổi tuyến tính, thì:
(1) T(0) = 0 (vì T(0) = T(0.v) = 0.T(v) = 0)
(2) T(−v) = −T(v) , ∀∀ v∈∈∈V
(3) T(cv + du) = cT(v) + dT(u) với ∀∀ v, u ∈∈ V và ∀∀ c, d ∈∈R (Kết hợp 2 tính chất (a) và (b) làm 1)
II CÁC VÍ DỤ VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI T : Rn →→ Rm
theo chiều ngược kim đường hồ trong mặt phẳng tọa độ Hỏi T có phải
là phép biến đổi tuyến tính không?
biến v=(x,y)⇒T(v)=(−y,x)
) ),
( ( ) ,
(
)
(cv du T cx dx1 cy dy1 cy dy1 cx dx1
) ( ) ( ) , (
)
,
(−cy cx + −dy1 dx1 =cT v +dT u
=
y
x x
y y x T v
=
−
=
=
0 1
1 0 ) , ( ) , ( )
Giải: Gọi v =(x,y,z), u =(x1,y1,z1) , c,d∈R Ta có:
)) (
2 ) (
), (
) ((
) ,
, (
)
(cv du T cx dx1 cy dy1 cz dz1 cz dz1 cy dy1 cx dx1 cz dz1
) ( ) ( ) 2 ,
( ) 2 ,
(z y x z d z1 y1 x1 z1 cT v dT u
=
Ví dụ 4: Hỏi phép biến đổi sau có phải là phép biến đổi tuyến tính không?
(a) T(v) = ||v|| (b) T(x,y)=(y,x2) (c) T(x,y)=(−x,1)
(b) T(cv)=T(cx,cy)=(cy,(c x)2)=c(y,cx2)≠cT(v) ∀c≠1 nên T không phải là phép biến đổi tuyến tính
(c) T(0)=(0,1)≠(0,0) nên T không phải là phép biến đổi tuyến tính
Trang 2Ví dụ 5: Cho T là phép biến đổi tuyến tính
=
−
=
3 1
2 ) ( , 0 1
1 )
=
=
1
0 , 0
1
2
Tính T(v) với bất kỳ v = (x1, x2)∈R2
) ( )
(
)
(v x1T v1 x2T v2
x
x x
−
=
+
−
=
2
1 2
1
3 0
1 1
2 1
3 1 2
0 1 1
−
=
⇒
3 0
1 1
2 1
A
Chú ý 2:
(4) Dấu hiệu nhận biết một phép biến đổi không phải là tuyến tính nếu đầu ra của nó chứa lũy thừa (mũ ≠ 1), hoặc tích, hoặc độ dài, hoặc hằng số ≠ 0
(5) Nếu biết T(v1),T(v2), ,T(v n) với T là phép biến đổi tuyến tính và v1, ,v n là một cơ sở, thì có thể xác định
)
(v
T với v là véc tơ bất kỳ (Vì v=x1v1+ +x n v n ⇒T(v)=x1T(v1)+ +x n T(v n)=Av)
Đó là lý do phép nhân ma trận (là tổ hợp tuyến tính các cột) có tính tuyến tính giống T
III CÁC VÍ DỤ VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI T: V →→ W
Ví dụ 6: Gọi
∈
=
d c
b a A
+
−
=
c b
d a A
T( )
Hỏi T có phải là phép biến đổi tuyến tính không?
+ + +
+
− +
=
+ +
+ +
= +
) ( ) (
) ( ) ( )
(
1 1
1 1
1 1
1 1
1
c c b b
d d a a d
d c c
b b a a T A
A
+
−
=
c b
d a
+
− +
1 1
1 1
c b
d a
) ( ) (A T A1
T +
= )
(
)
T = = Kết luận: T là phép biến đổi tuyến tính
=
4 3
2 1
B và phép biến đổi T:M →M với T(X)=BX Hỏi T có phải là phép biến đổi tuyến tính không?
Ví dụ 8: Gọi F là không gian vectơ gồm tất cả những hàm có đạo hàm trên [a, b]
Gọi D là phép lấy đạo hàm hàm số D(f ) = f ‘ ( đạo hàm của f ) Hỏi D có phải là phép biến đổi tuyến tính không?
Giải: D là một phép biến đổi tuyến tính vì: D(cf + dg) = (cf + dg)’ = cf ‘ + dg’ = cD(f) + dD(g)
IV ĐỊNH NGHĨA ẢNH VÀ NHÂN
Ảnh của T là tập {T(v) | v∈∈∈V} (tập các đầu ra ứng với mọi v )
Chú ý 3:
(5) Với phép biến đổi tuyến tính T : R n →→ Rm với T(v) = Av thì:
Ảnh của T là C(A) = {Av | v∈∈Rn } = {T(v) | v∈∈Rn} (cũng là không gian con của Rm)
Nhân của T là N(A) = {v∈∈Rn | Av = 0} ={v∈∈Rn | T(v) = 0} (cũng là không gian con của R n)
→ R2 xác định bởi
= 0 ) (v x1 x2
=
2
1
x
x
v Tìm nhân và ảnh của T
−
=
−
=
⇒
−
=
⇔
= +
⇒
=
1
1 0
0 )
1
1 1
2 2
x
x v x x x
x v
− 1
1
c (đường thẳng)
+
=
=
0
1 ) (
0
)
(v x1 x2 x1 x2
0
1
1
c (đường thẳng)
Trang 3Ví dụ 10: Cho T : R3
−
+
=
3 1
2 1
2 )
(
x x
x x v
=
3 2 1
x x
x
v Tìm nhân và ảnh của T
Giải: Cho
−
=
−
=
⇒
=
−
=
⇔
=
−
= +
⇒
=
1 2
2 2
2 2
0 2
0 0
)
3 3 3
3 1
1 2 3
1
2 1
x x x
x v x x
x x x
x
x x v
− 1 1
2
c
− +
+
=
−
+
=
1
0 ) 2 ( 0
1 ) ( 2 )
3 1
2 1
x x x
x x x
x x
v
9.2 MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
I TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉC TƠ
Cho không gian véc tơ n chiều V có cơ sở v1,…,v n và véc tơ bất kỳ v = (x1,…,x n) ∈∈∈V Khi đó có một cách
Ta có nói tọa độ của
=
n
x
x
v M
1
trong cơ sở tự nhiên và tọa độ
=
n
c
c
v M
1
trong cơ sở (v1, ,v n)
= 8
5
v trong cơ sở
=
=
=
2
1 , 5
3
2
v S
2
1 5
3 8
5
2 1 2
1 2
2 1
+
=
⇔ +
S
−
= 1 2
II XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA MỘT PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH BẤT KỲ
Cho biến đổi tuyến tính T: V→ W, từ không gian n chiều V có cơ sở v1,…,vn vào không gian m chiều W có cơ sở
w1,…,w m Bây giờ ta chỉ ra tồn tại ma trận A cỡ m×n sao cho T(v)=Av
Gọi các cột của A=[c1 c n]
Để tìm cột 1 của A ta tìm ảnh của T(v1)=a11w1+ +a1m w m∈W hay T(v1)=(a11, ,a1m) (1)
Mặt khác: v1=1.v1+0.v2 + +0.v n=(1,0, ,0) nên T(v1)=Av=[c1 c2 c n].(1,0, ,0)=c1 (2)
Từ (1), (2) : c =1 (a11, ,a1m) Tương tự nếu ảnh của véc tơ v j là T(v j)=a1j w1+ +a mj w m =(a1j, ,a mj)=c j
Chú ý 5:
+
−
−
=
3 2 1
3 1
3
2 ) (
x x x
x x v
T với v =(x1,x2,x3)
Tìm ma trận của T trong cơ sở tự nhiên
=
=
1
2 )) 0 , 0 , 1 ((
) (e1 T
−
=
=
1
0 )) 0 , 1 , 0 ((
) (e2 T
−
=
=
3
1 )) 1 , 0 , 0 ((
) (e3 T T
−
=
3
1 1
0 1
2
+
−
−
=
−
=
3 2 1
3 1
3 2 1
3
2 3
1 1
0 1
2
x x x
x x x
x
x Av
+
−
−
=
3 2 1
3 1
3
2 ) (
x x x
x x v
T với v =(x1,x2,x3)
Tìm ma trận của T trong cặp cơ sở
−
= 2 1
1
1
−
= 1 1
0
2
v ,
−
= 0 1
2
3
= 1
2
1
w ,
= 3
5
2
w ∈R2
Trang 4Giải: Ta tính:
=
−
=
8
0 )) 2 , 1 , 1 ((
) (v1 T
−
=
−
=
4
1 )) 1 , 1 , 0 ((
) (v2 T
−
−
=
−
=
3
4 )) 0 , 1 , 2 ((
) (v3 T T
Tìm tọa độ của ảnh trong cơ sở S = {w1, w2 } ∈ R2
Giả sử
=
−
=
⇔
+
=
⇔ +
=
16
40 3
5 1
2 8
0 )
(
2
1 2
1 2
2 1 1 1
c
c c
c w
c w c
v
S
v
−
= 16
40 ) ( 1
Tương tự:
S
v
−
= 9
23 )
S
v
−
= 2
3 )
−
−
−
=
2 9 16
3 23 40
B
Ví dụ 14: Tìm ma trận của T trong ví dụ 7 với tập cơ sở của không gian M là:
=
=
=
=
=
1 0
0 0 ,
0 1
0 0 ,
0 0
1 0 ,
0 0
0 1
4 3
2
M S
0 3
0 1 0 0
0 1 4 3
2 1 )
=
=
= ,T(M2)=(0,1,0,3)S , T(M3)=(2,0,4,0)S T(M4)=(0,2,0,4)S
Vậy ma trận của T là:
=
4 0 3 0
0 4 0 3
2 0 1 0
0 2 0 1
A
bậc không quá 1 trong không gian P1 Cho cơ sở của P2 là 1, x, x2 và cơ sở của P1 là 1, x Tìm ma trận của D
=
2 0 0
0 1 0
A
Kiểm tra lại: với bất kỳ v=a+bx+cx2∈P2 ⇒D(v)=(a+bx+cx2)′=b+2cx∈P1
Nếu viết v , D(v) dưới dạng tọa độ thì:
=
=
c b a c
b c b
a D
2 0 0
0 1 0
Ví dụ 16: Phép lấy tích phân T trên miền [0, x], từ đa thức bậc không quá 1 thành đa thức bậc không quá 2 là phép tính
ngược của phép lấy đạo hàm, cũng là phép biến đổi tuyến tính Cho cơ sở của P1 là 1, x và cơ sở của P2 là 1, x, x2 Tìm
ma trận của T
0 1 1 0 ) 1
T = = + + , T(x)=(1/2)x2 =0.1+0.x+(1/2).x2
nên ma trận của T là
=
2 / 1 0
0 1
0 0
=
=
C B C
B C
B T
2 / 1 0
0 1
0 0
2 /
0
Bw w
T =
Ta thấy AB = I nhưng
=
1 0 0
0 1 0
0 0 0
BA (Tức là: tích phân trước, đạo hàm sau thì không đổi, ngược lại sẽ thay đổi)
Chú ý 6:
A , còn trong c ặp cơ sở khác sẽ có ma trận B thường khác A (Xem lại ví dụ 5, 12, 13)
(8) Với không gian véc tơ nói chung (đa thức, ma trận,… ), khi các véc tơ biểu diễn qua tập cơ sở thì tọa độ của
nó là véc tơ n-chiều Điều này giúp cho mọi phép biến đổi tuyến tính đều đưa được về dạng T(v) = Av tương ứng
với cặp cơ sở của 2 không gian nguồn và đích
(9) Tóm lai: Để tìm các cột ma trận A, thì tìm ảnh của từng véc tơ cơ sở trong không gian nguồn, sau đó xác định
CÁC Ý CHÍNH BÀI GIẢNG TUẦN 9
1 Khái niệm phép biến đổi tuyến tính
2 Ảnh và nhân của một phép biến đổi tuyến tính
3 Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính