Phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ———————o0o——————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH TRONG MẶT PHẲNG Chuyên ngành: HÌNH HỌC Giảng viên hướng dẫn: Th.S Đinh Thị Kim Thúy . Sinh viên: Phạm Thị Ngọc Yến Lớp: K36CN Toán HÀ NỘI, 5/2014 LỜI CẢM ƠN Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ Hình học và các thầy cô trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập để thuận lợi cho việc nghiên cứu. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy người đã dành cho em sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và thực hiện khóa luận. Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khó tránh khỏi những sai sót. Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của quí thầy cô để cho bài khóa luận được tốt hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Ngọc Yến LỜI CAM ĐOAN Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn nhiệt tình chỉ bảo của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy em đã hoàn thành bài khóa luận của mình. Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy không hề trùng với bất cứ đề tài nào. Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Ngọc Yến Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu v 1 Đại cương về phép biến đổi hình học 1 1.1 Định nghĩa về phép biến đổi hình học . . . . . . . . . 1 1.1.1 Thế nào là hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Phép biến đổi hình học . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Sự xác định phép biến đổi hình học . . . . . . 3 1.1.4 Phép biến đổi đồng nhất . . . . . . . . . . . . 4 1.1.5 Điểm bất động của một phép biến đổi . . . . . 4 1.2 Phép biến đổi 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Phép biến đổi ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Tích của hai (hay nhiều) phép biến đổi . . . . . . . . 6 1.5 Ảnh của một hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Phép biến đổi tuyến tính 8 2.1 Phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . . 16 2.2.1 Bài toán chứng minh . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Bài toán tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.4 Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 iii Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Phạm Thị Ngọc Yến iv K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học là một bộ phận cấu thành Toán học. Hình học luôn là môn học khó đối với học sinh bởi đây là môn học có tính chặt chẽ tính logic và tính trừu tượng cao hơn các ngành khác của toán học.Trong việc giải bài toán hình học, việc lựa chon một công cụ thích hợp là một việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian công sức và đạt được hiệu quả cao. Em thấy rằng các phép biến đổi tuyến tính chính là một công cụ đắc lực giúp học sinh giải các bài toán hình học phẳng một cách rõ ràng ngắn gọn. Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này em chọn đề tài "Phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Đại học cho mình. 2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng Phạm vi: Những kiến thức liên quan đến phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng. 4. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu để cung cấp kiến thức cơ bản cho việc vận dụng phép biến đổi tuyến tính vào việc giải toán hình học. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu có liên quan. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nội dung chính của khóa luận gồm chương: Chương 1: Đại cương về phép biến hình trong mặt phẳng. Chương này nhằm trang bị những kiến thức cơ bản về phép biến hình. Chương 2: Phép biến đổi tuyến tính. 2.1. Phép biến đổi tuyến tính: (Định nghĩa, tính chất) 2.2. Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính: Đề xuất các dạng toán và phương pháp giải. Ví dụ. 2.3.Bài tập đề nghị: Đề xuất các bài toán và có hướng dẫn. Phạm Thị Ngọc Yến vi K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2 Chương 1 Đại cương về phép biến đổi hình học 1.1 Định nghĩa về phép biến đổi hình học 1.1.1 Thế nào là hình Trước khi nghiên cứu về phép biến đổi hình học chúng ta cần đưa ra khái niệm "hình" hiểu theo định nghĩa toán học. Các môn toán học thường được xây dựng dựa trên lý thuyết tập hợp; vì vậy khái niệm hình cũng được hiểu với nghĩa là một "tập hợp điểm". Như vậy toàn thể không gian hay toàn thể mặt phẳng cũng là một hình. Ngoài ra tập hợp chỉ có một phần tử là một điểm và tập hợp không có phần tử nào (gọi là tập hợp rỗng) cũng là một hình. Các kiểu "hình" theo nghĩa trên đây cũng chứa đựng nội dung của "hình" theo nghĩa thông thường như hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn v.v . Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác có liên quan đến lý thuyết tập hợp như giao của hai hình hay nhiều hình, hợp của các hình, một điểm A thuộc một hình H, tập hợp A là một tập con của tập hợp B hay là một bộ phận của tập B. Do dó trong lập luận chúng ta có thể dùng các kí hiệu của lý thuyết tập hợp ví dụ: • Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu A ∈ d. • Điểm M là giao điểm của hai đường thẳng a và b: M = a ∩ b v.v. . . . 1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Việc hiểu "hình" là một tập hợp điểm đã giúp chúng ta trừu tượng hóa, khái quát hóa được khái niệm này và đã mang lại nhiều thuận tiện trong việc nghiên cứu hình học bằng phép biến hình vì chúng ta có điều kiện sử dụng các công cụ của lý thuyết tập hợp để lập luận và chứng minh. 1.1.2 Phép biến đổi hình học Định nghĩa Trong mặt phẳng cho một quy tắc f. Với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng ta xác định được duy nhất một điểm M  thuộc mặt phẳng theo quy tắc đã cho, khi đó ta nói M  là ảnh của M trong phép biến đổi f, M được gọi là tạo ảnh của M  hoặc là nghịch ảnh của M  và được kí hiệu f : M → M  (đọc là f biến M thành M  ). Từ định nghĩa trên ta suy ra rằng: • Nếu f : M 1 → M  1 , f : M 2 → M  2 và M  1 = M  2 thì M 1 = M 2 . • Nếu quy tắc f được xác định cho mọi điểm trong mặt phẳng, thì f được gọi là một phép biến đổi hình học trong mặt phẳng đó. Nói một cách ngắn gọn hơn f là một phép biến đổi trong mặt phẳng. Ví dụ 1. Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M  đối xứng với M qua ∆ được gọi là phép đối xứng trục. Đường thẳng ∆ được gọi là trục đối xứng. Phép đối xứng trục với trục ∆ thường được kí hiệu là Z ∆ . Ta có:Z ∆ : M → M  Phạm Thị Ngọc Yến 2 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Ví dụ 2. Trong mặt phẳng cho véctơ −→ v cố định. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M  sao cho −−−→ MM  = −→ v được gọi là phép tịnh tiến theo véctơ −→ v . Véctơ −→ v là véctơ tịnh tiến. Phép tịnh tiến véctơ −→ v thường được kí hiệu là T −→ v . Ta có T −→ v : M → M  . 1.1.3 Sự xác định phép biến đổi hình học Muốn xác định một phép biến đổi hình học trong mặt phẳng ta cần nêu rõ quy tắc f bằng các cách sau đây: • Quy tắc f được xác định bằng phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho v.v. . . • Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ (x, y) của điểm M với tọa độ (x  , y  ) của điểm M  đối với hệ tọa độ Oxy cho trước nào đó. Ví dụ phép biến đổi f cho bởi hệ thức:  x  = −x y  = −y Phép biến hình này gọi là phép đối xứng qua tâm O của hệ tọa độ Oxy nói trên. Phạm Thị Ngọc Yến 3 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2 [...]... biến đổi ngược Trong mặt phẳng cho phép biến đổi f : M → M Khi đó phép biến đổi biến điểm M thành điểm M được gọi là phép biến đổi ngược của phép biến đổi f và f là phép biến đổi có ngược Ta kí hiệu phép biến đổi ngược của f là f −1 và ta có f −1 : M → M Rõ ràng mỗi phép biến đổi f có duy nhất một phép biến đổi ngược f −1 và ta có f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = e (phép đồng nhất) Ví dụ 6 − − Phép tịnh tiến... hai phép biến đổi đã cho Tích của hai phép biến đổi được kí hiệu g ◦ f : M → M ” hoặc g(f ) : M → M ” Theo định nghĩa, thứ tự thực hiện các phép biến đổi phải được tôn trọng Nếu thay đổi thứ tự của chúng, thì ta nhận được một phép biến đổi khác Tóm lại, tích của hai phép biến đổi trong mặt phẳng là một phép biến đổi nhận được từ việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định của hai phép biến đổi. .. Thúy Phép biến đổi đồng nhất Trong mặt phẳng P , phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc P thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất Phép đồng nhất thường được kí hiệu là e Ta có: e:P →P M → M 1.1.5 Điểm bất động của một phép biến đổi Điểm M trong mặt phẳng được gọi là điểm bất động của một phép biến đổi f ,nếu f : M → M Như vậy điểm M là điểm bất động đối với phép biến đổi f nếu điểm M đó biến thành... vuông cân),theo tính chất 2.1.5 tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính F biến tam giác ABC thành tam giác A B C Tính chất 2.1.6 Tích của hai hoặc nhiều phép biến đổi tuyến tính là một phép biến đổi tuyến tính Chứng minh → → − − Cho hai phép biến đổi tuyến tính F1 và F2 Với mọi vectơ U , V và mỗi cặp số thực x, y ta có: → − → − − → → − → − − → → − → − F1 (x U + y V ) = xU1 + y V1 , trong đó F1... của phép biến đổi tuyến tính Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính trong việc giải một số lớp bài toán hình học là quá trình sử dụng phép biến đổi tuyến tính vào việc giải các bài toán hình học ở các dạng cụ thể (bài toán chứng minh, bài toán tính toán, bài toán cực trị, bài toán quỹ tích), nhằm giúp cho người đọc thấy được sự tiện lợi và tính ưu việt của phép biến hình nói chung và phép biến đổi tuyến. .. 2 Chương 2 Phép biến đổi tuyến tính 2.1 Phép biến đổi tuyến tính Giả sử F là phép biến đổi 1-1 trong mặt phẳng biến các điểm A thành A , B thành B Ta sẽ viết F (A) = A , F (B) = B thay cho −→ − − → cách viết F : A → A , B → B ; F (AB) = A B thay cho cách viết −→ − → − → − − → → − → − F : AB → A B Nếu F : U → U thì ta viết F ( U ) = U 2.1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng cho một phép biến đổi F thỏa... đối v − − với phép T→ và khi đó ta có T→ là phép đồng nhất v v 4 Đối với phép đồng nhất e : P → P , mọi điểm trong mặt phẳng đều là điểm bất động 1.2 Phép biến đổi 1-1 Từ định nghĩa về phép biến đổi hình học ta thấy mỗi ảnh của điểm M trong phép biến đổi f có thể có nhiều tạo ảnh Nếu mỗi ảnh của một điểm M bất kì trong mặt phẳng ứng với một tạo ảnh duy nhất là M , thì ta nói f là phép biến đổi 1-1 Phạm... véctơ → có phép biến đổi ngược là phép v v −1 −1 − tịnh tiến T→ và ta có T→ = T−→ − − v v v Ví dụ 7 Phép đối xứng trục Z∆ có phép biến đổi ngược là chính nó Z∆ Phạm Thị Ngọc Yến 5 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1.4 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Tích của hai (hay nhiều) phép biến đổi Trong mặt phẳng cho hai phép biến đổi f và g Với mỗi điểm M , f : M → M , g : M → M ” Phép biến đổi biến M... là phép biến đổi tuyến tính • F là phép biến đổi tuyến tính duy nhất Giả sử F là một phép biến đổi khác F Với mỗi điểm M bất kì −− −→ −→ − −→ − ta xác định M theo công thức: A M = xA B + y A C Khi đó F và F có ảnh trùng nhau với mọi điểm M Vì vậy F = F Phạm Thị Ngọc Yến 11 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Hệ quả Tồn tại duy nhất phép biến đổi tuyến tính F biến. .. = mF ( U ) Tính chất 2.1.8 Cho tam giác ABC và tam giác vuông cân A B C (hoặc tam giác đều A B C ), tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính biến tam giác ABC thành tam giác A B C , ở đó F là tích của hai phép co (dãn) và phép biến đổi tuyến tính F biến tam giác ABC thành tam giác A B C Nghĩa là F = F ◦ Γ2 ◦ Γ1 : A → A , B → B , C → C Trong đó: Γ2 ◦ Γ1 là tích của hai phép co (dãn) biến tam giác . M 2 . 1.3 Phép biến đổi ngược Trong mặt phẳng cho phép biến đổi f : M → M  . Khi đó phép biến đổi biến điểm M  thành điểm M được gọi là phép biến đổi ngược của phép biến đổi f và f là phép biến đổi. gọi là một phép biến đổi hình học trong mặt phẳng đó. Nói một cách ngắn gọn hơn f là một phép biến đổi trong mặt phẳng. Ví dụ 1. Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆. Phép biến hình biến mỗi điểm. cương về phép biến hình trong mặt phẳng. Chương này nhằm trang bị những kiến thức cơ bản về phép biến hình. Chương 2: Phép biến đổi tuyến tính. 2.1. Phép biến đổi tuyến tính: (Định nghĩa, tính chất) 2.2.