Biến số phụ và mô tả đơn cực từ trong phép biến đổi hurwitz mở rộng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THÀNH SƠN BIẾN SỐ PHỤ VÀ MÔ TẢ ĐƠN CỰC TỪ TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI HURWITZ MỞ RỘNG Chuyên Ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Người hướng dẫn Khoa học TSKH. LÊ VĂN HOÀNG TP.HỒ CHÍ MINH, NĂM 2009 LỜI CẢM ƠN Trong khoảng thời gian ba năm học tập tại trường, tôi đã học tập được nhiều kiến thức bổ ích về chuyên ngành của mình dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình của thầy, cô trong bộ môn vật lý lý thuyết và vật lý toán. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô đã dạy tôi trong suốt khóa học qua. Cho tôi bày tỏ lòng biết ơn của mình với thầy Lê Văn Hoàng. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thầy đã hết sức tận tình chỉ bảo, động viên và cả nhắc nhở để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Cảm ơn các bạn trong khóa 16, các anh chị, các bạn trong nhóm nghiên cứu của thầy Lê Văn Hoàng, các đồng nghiệp - những người luôn bên tôi, hỗ trợ tôi rất nhiều trong suốt khóa học và trong quá trình làm luận văn! Nguyễn Thành Sơn MỤC LỤC MỤC LỤC 3 MỞ ĐẦU 4 Chương 1: BIẾN SỐ PHỤ TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI BÌNH PHƯƠNG 9 1.1. Biến số phụ trong phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel 9 1.2. Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz 12 1.3. Đơn cực từ 15 1.4. Phụ lục chương 1: 17 Phụ lục A1.1: Tính k ξ theo các giá trị λ x và i φ 17 Phụ lục A1.2: Tính các đạo hàm riêng của i φ theo * , ss ξξ 19 Phụ lục A1.3: Biểu diễn Hamintonian trong không gian (,) i x λ φ 20 Chương 2: PHÉP BIẾN ĐỔI HURWITZ MỞ RỘNG VÀ VAI TRÒ CỦA BIẾN SỐ PHỤ 29 2.1. Giới thiệu phép biến đổi 29 2.2. Dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử hydro 9 chiều 33 2.3. Nghiệm vật lý mới của phép biến đổi 34 2.4. Đại số hệ toán tử 37 2.5. Phụ lục chương 2 44 Phụ lục A2.1: Biến đổi ngược 44 Phụ lục A2.2: Tính đạo hàm các góc theo u, v 48 Phụ lục A2.3: Hệ toán t ử A, B, C, D 50 Phụ lục A2.4: Chương trình lập bảng giao hoán tử 60 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 Mở đầu Trang 4 MỞ ĐẦU Dao động tử điều hòa và nguyên tử hydro là hai bài toán cơ bản nhất, có lời giải chính xác không những trong cổ điển mà cả trong cơ học lượng tử [34]. Đây cũng là hai trong số rất ít bài toán giải được chính xác trong cơ học lượng tử. Từ rất lâu rồi, người ta đã phát hiện ra giữa hai bài toán kinh điển này có một mối liên hệ rất đặc biệt [2-4]. Cụ thể, qua phép biến đổ i Kustaanheimo-Stiefel [5] phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa bốn chiều có thể chuyển về phương trình Schrodinger cho nguyên tử đồng dạng hydro trong không gian ba chiều. Trong nhiều năm mối quan hệ giữa hai bài toán đã thu hút được sự quan tâm rất lớn của các nhóm nghiên cứu theo hướng ứng dụng cho các tính toán cụ thể [6-8]. Như ta biết được, với bài toán dao động tử điều hòa ngoài phương pháp giải tích với các biến động lực, nó có thể giải bằng phương pháp đại số thông qua biểu diễn bằng các toán tử sinh và hủy lượng tử. Chính vì vậy, mối quan hệ có thể giúp xây dựng phương pháp đại số tiện lợi trong ứng dụng cho bài toán nguyên tử hydro [9-10] trong điện từ trường. Ngoài yếu tố quan trọng trong ứng dụng, mối quan hệ trực tiếp giữa bài toán hydro ba chiều và dao động tử điều hòa bốn chiều tự thân nó rất thú vị. Xuất hiện câu hỏi tự nhiên là liệu bài toán hydro trong không gian nhiều chiều khác có liên quan đến dao động tử điều hòa hay không? Nếu tồn tại mối quan hệ thì tương quan giữa số chiều của nguyên tử hydro và dao động tử điều hòa sẽ như thế nào?[11]. Mối liên hệ tương tự được phát hiện cho Mở đầu Trang 5 nguyên tử hydro hai chiều và dao động tử điều hòa hai chiều [12] qua phép biến đổi Levi-Civita [13]. Cũng như vậy, qua phép biến đổi Hurwitz [14] mối liên hệ được xây dựng cho nguyên tử hydro năm chiều với dao động tử điều hòa tám chiều [15-17]. Trong công trình [11], lý thuyết tổng quát về mối liên hệ nêu trên được chứng minh và cách xây dựng phép biến đổi kết nối hai bài toán cũng được đưa ra. Cụ thể, nếu gọi N là số chi ều của nguyên tử hydro, K là số chiều của dao động tử điều hòa thì mối liên hệ giữa hai bài toán chỉ tồn tại nếu : 1 2 1 2 0,1,2, nn NKn + =+→= = . Công trình [11] thêm một phép biến đổi cụ thể được xây dựng tường minh cho nguyên tử hydro 9 chiều và dao động tử điều hòa 16 chiều, gọi là phép biến đổi Hurwitz mở rộng. Các trường hợp cụ thể tồn tại được thể hiện trong bảng sau: Tên phép biến đổi Số chiều nguyên tử hyđrô Số chiều dao động tử điều hòa Levi-Civita 2 2 Kustaanheimo-Stiefel 3 4 Hurwitz 5 8 Hurwitz mở rộng 9 16 Rất đặc biệt, một vấn đề cơ bản khác lại liên quan đến mối liên hệ này – đó chính là đơn cực từ Dirac (1931) [18], đơn cực SU(2) của Yang (1978) [19]. Thật vậy, nếu như phép biến đổi Levi-Civita: 22 x =u -v y=2uv ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Mở đầu Trang 6 chuyển tọa độ từ không gian hai chiều sang không gian hai chiều 22→ thì phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel: 11324 21423 2222 31 234 2( ) 2( ) xuuuu xuuuu x uuuu = + =− = +−− lại kết nối không gian 3 chiều với không gian 4 chiều 34→ . Số dư 1 chiều được lấp đầy bằng việc đưa ra 1 biến số phụ thêm vào không gian 3 chiều [3]: 21 arctan ( )uu φ = Chính biến số φ lại liên quan đến đơn cực từ Dirac. Thực vậy, phép biến đổi ngược 123 1234 ,,, ,,, x xx uuuu φ → mang tên Cayley-Klein [3] được xây dựng và đã chứng minh được rằng phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa 4 chiều có thể đưa về phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro với sự có mặt của đơn cực từ Dirac [6]. Ta có bức tranh tương tự cho trường hợp 58→ . Phép biến đổi Hurwitz: 118273645 2 17283546 316253847 415263748 22222222 51 2345678 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) xuuuuuuuu xuuuuuuuu xuuuuuuuu xuuuuuuuu x uuuuuuuu = −+− =− − + + =−−+ =+++ = +++−−−− kết nối không gian 5 chiều và 8 chiều. Trong công trình [17] lần đầu tiên đưa ra định nghĩa 3 biến số phụ 123 ,, φ φφ là các góc Euler [33] và xây dựng phép biến đổi ngược của Hurwitz. Công trình [20] (1996) sử dụng ba biến số phụ, lần đầu tiên xây dựng mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa 8 chiều với nguyên tử hydro 5 chiều với sự có mặt của đơn cực SU(2). Đây chính là Mở đầu Trang 7 đơn cực isospin được Yang tổng quát hóa từ đơn cực từ Dirac [19]. Từ năm 1996 đến nay, một loạt bài báo được công bố về hướng nghiên cứu và phát triển bài toán trên [21-26]. Như vậy, ta thấy mối liên hệ giữa nguyên tử hydro với dao động tử điều hòa không những có ý nghĩa thực tiễn trong ứng dụng tính toán mà thực sự là vấn đề lớn liên quan đến đề tài rất cơ bản của vậ t lý là đơn cực từ. Liệu bức tranh chung, phân tích bên trên có tồn tại cho trường hợp 916→ hay không? Phép biến đổi Hurwitz mở rộng chỉ mới được nêu ra trong công trình [11] mà chưa được nghiên cứu cụ thể. Liệu chúng ta có thể đưa ra 7 biến số phụ để cân xứng số chiều trong phép biến đổi? Liệu một loại đơn cực mới có tồn tại trong không gian 9 chiều không? Sao cho bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều được đưa về bài toán nguyên tử hydro với sự có mặt của đơn c ực này. Giải quyết các vấn đề này chính là nội dung chính của luận văn này. Với hướng phát triển như trên, nội dung của luận văn sẽ được trình bày như sau: Mở đầu: Giới thiệu tổng quan Nội dung phần mở đầu là giới thiệu tổng quan các nghiên cứu theo hướng đề tài. Từ đó, định hướng nội dung nghiên cứu trong luận văn này. Chương I: Biến số phụ trong phép biế n đổi bình phương Trong chương này trình bày về biến số phụ trong phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel cũng như phép biến đổi Hurwitz. Đồng thời sử dụng nó đẩ xây dựng mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa với nguyên tử hydro với sự có mặt của đơn cựa từ Dirac và Yang. Chương này, chủ yếu là viết tổng quan các kết quả của các tác giả khác. Phần đóng góp của tác giả luận văn là cải tiến về hình thức các phép biến đổi, đồng thới sắp xếp, hệ thống hóa kiến thức. Mở đầu Trang 8 Chương II: Phép biến đổi Hurwitz mở rộng và vai trò của biến số phụ Phần này là kết quả mới của tác giả, tổng quát hóa chương I cho trường hợp 916→ bằng cách xây dựng phép biến đổi và phép biến đổi ngược trong trường hợp này. Trong chương này, lần đầu tiên dạng tường minh của 7 biến số phụ được đưa ra và mối liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử hydro 9 chiều với sự có mặt của đơn cực được thiết lập. Biểu thức tường minh cho đơn cực được đưa ra cũng như đại số của mô hình được nghiên cứu. Trong luận văn này một số kiến thức, tính toán phức tạp và các chương trình tính toán bằng Mathematica sẽ được trình bày ở phần phụ lục sau mỗi chương để logic của vấn đề được liền mạch và người đọc có thể tiện việc theo dõi. Kết quả của luận văn đã công bố trong một bài báo khoa học tại J. Phys. A (2009) [27]. Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương Trang 9 Chương 1: BIẾN SỐ PHỤ TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI BÌNH PHƯƠNG Quay lại các phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và Hurwitz, chúng ta thấy đây là các phép biến đổi giữa hai không gian có số chiều khác nhau ( 34→ và 58→ ). Như vậy, có sự bất cân đối về chiều trong các phép biến đổi trên. Khi thiết lập mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và dao động tử điều hòa chúng ta cần xây dựng phép biến đổi ngược cho các phép biến đổi kể trên. Chính vì vậy cần thiết phải đưa ra thêm các biến số phụ vào. Dành cho phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel người ta đã đưa thêm một biến số phụ và có phép biến đổi ngược Cayley-Klein (1983) [3]. Với phép bi ến đổi Hurwitz thì trong công trình (1991) [17] đưa ra 3 biến số phụ dạng góc Euler. Điều đặc biệt là khi sử dụng các biến số phụ này trong hai phép biến đổi trên, có thể đưa vào bài toán thêm tương tác với các đơn cực từ. Trường hợp 34→ ta có đơn cực từ Dirac [3] còn trường hợp 58→ ta có đơn cực từ Yang [20]. Trong chương này ta sẽ hệ thống hóa lại và viết tổng quan về các biến số phụ này cũng như vai trò của nó trong việc đưa vào các đơn cực từ. 1.1. Biến số phụ trong phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel: Đối với phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel (3 4)→ , cần thêm 1 biến số phụ 21 arctan ( )uu φ = [3]. Lúc này, phép biến đổi ngược biểu diễn 1234 ,,,uuuu theo 123 ,,, x xx φ . Sử dụng phép biến đổi ngược đưa phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa 4 chiều về bài toán nguyên tử hydro 3 chiều. Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương Trang 10 Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa 4 chiều có dạng như sau: ˆ (,) (,)Huv Zuv ψψ = (1.1) trong đó, (,)uv ψ , Z là hàm riêng và nghiệm riêng của Hamiltonian ˆ H . Trong hệ đơn vị nguyên tử, ˆ H được viết như sau: 2 2 11 ˆ 22 s s ss Huu uu ω ∂ =− + ∂∂ (1.2) Sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và thêm vào biến số phụ φ như đã nêu. Chúng ta có phép biến đổi có sự xuất hiện thêm của φ : 11324 21423 2222 31 234 21 2( ) 2( ) arctan ( ) xuuuu xuuuu x uuuu uu φ =+ =− =+−− = Biểu diễn 1234 ,,,uuuu theo 123 ,,, x xx φ , chúng ta có phép biến đổi ngược gọi là phép biến đổi Cayley-Klein: 3 1 cos 2 rx u φ + = , 3 2 sin 2 rx u φ + = 12 3 3 cos sin 2( ) xx u rx φ φ − = + , 12 4 3 sin cos 2( ) xx u rx φ φ + = + Sử dụng phép biến đổi ngược, ta đưa phương trình (1.1) về dạng như sau: 2 2 22 111 (, ) (, ) 282 Z AA r r xx rr λλ λλ ψ φωψφ φφφ ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ ∂∂∂∂ ∂ −+ + − − =− ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ∂ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ r r (1.3) [...]... ⎩ Trang 28 Chương 2: Phép biến đổi Hurwitz mở rộng và vai trò của biến số phụ Chương 2: PHÉP BIẾN ĐỔI HURWITZ MỞ RỘNG VÀ VAI TRÒ CỦA BIẾN SỐ PHỤ Trong công trình [11] đã đưa ra dạng tường minh của phép biến đổi bình phương từ không gian 16 chiều qua không gian 9 chiều sao cho đẳng thức Euler được thực hiện Phép biến đổi này từ đây về sau ta gọi là phép biến đổi Hurwitz mở rộng Trong chương này, trước... viết lại phép biến đổi Hurwitz mở rộng một cách gọn và hoàn chỉnh hơn, sử dụng các ký hiệu ma trận Dirac Ngoài ra, bảy biến số phụ được đưa vào đầu tiên tạo nên phép biến đổi hoàn chỉnh Phép biến đổi ngược của phép biến đổi Hurwitz mở rộng cũng được xây dựng Từ đây ta xây dựng mối liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều với bài toán hydro 9 chiều khi mà hàm sóng không phụ thuộc vào các biến số phụ Xa... đại số này được xây dựng trong chương này 2.1 Giới thiệu phép biến đổi: Theo gợi ý từ công trình [11], phép biến đổi Hurwitz mở rộng được xây dựng theo dạng sau: Trang 29 Chương 2: Phép biến đổi Hurwitz mở rộng và vai trò của biến số phụ x j = 2(Γ j ) st us vt x9 = us us − vs vs (2.1) ( j = 1, 2, ,8; s, t = 1, 2, ,8) Phép biến đổi này thiết lập mối liên hệ giữa không gian thực 9 chiều x1 , x2 , , x9 và. .. Việc thêm vào các biến số góc, phép biến đổi trở thành phép biến đổi qua lại giữa 2 không gian 16 chiều: ( x1 , x2 , , x9 , φ1 , φ2 , φ3 , α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ↔ (u1 , u2 , , u8 , v1 , v2 , , v8 ) Trang 31 Chương 2: Phép biến đổi Hurwitz mở rộng và vai trò của biến số phụ Theo quy luật biến đổi theo (2.3) và (2.5), tiến hành tính các giá trị (uv) theo ( x, φ , ϕ ) , chúng ta có phép biến đổi ngược:... (5 → 8) ta cũng thêm vào biến số phụ, thiết lập phép biến đổi ngược để từ đó xây dựng mối liên hệ giữa bài toán dao động tử 8 chiều vào bài toán điện tử chuyển động trong trường Coulomb (bài toán nguyên tử hydro) 5 chiều Tuy nhiên, muốn cân bằng số biến không gian của phép biến đổi ta cần thêm đến 3 biến số phụ Công trình [17] đã đặt các biến số phụ đầu tiên cho phép biến đổi này như sau: ( u1 + iu2... tích và điện tích) Từ tích sinh ra thế đơn cự từ Aλ còn điện tích sinh ra thế Coulomb − Z r Với phương trình (1.3), ta có thể tìm hàm riêng của bài toán nguyên tử hydro bằng nghiệm riêng của bài toán dao động tử điều hòa với điều kiện ràng buộc (1.4) 1.2 Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz: Tương tự như phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel, đối với phép biến đổi Hurwitz (5 → 8) ta cũng thêm vào biến. .. dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và thêm vào biến số phụ, khi đưa phương trình Schrodinger của dao động tử 4 chiều về dạng phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro với thế tương tác của đơn cực từ Aλ xuất hiện trong phương trình Phương trình (1.6) có thể xem là bài toán một điện tử chuyển động trong “charge-dyon” (lưỡng tích gồm cả từ Trang 11 Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình... 1.3 Đơn cực từ: Trong điện học cổ điển chúng ta đã biết tới hệ phương trình nổi tiếng của Maxwell mô tả trường điện từ : r ∇E = ρ e εε 0 , r r ∂B , ∇× E = − dt r r ∇B = 0 r r ⎛r 1 ∂E ⎞ ∇ × B = μμ0 ⎜ J e + ⎟ εε 0 ∂t ⎠ ⎝ (1.15) r trong đó, E , B là cường độ điện trường và cảm ứng từ, đây là hai đại lượng đặc trưng cho điện trường và từ trường ε , μ là hằng số điện môi và độ từ r thẩm phụ thuộc vào môi... thế biểu thức trên vào (1.17) ta được: Trang 16 Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương r q r ∇× A = m r r3 (1.18) Một trong những nghiệm của phương trình (1.18) có dạng sau [1]: r A= qm ( − y , x, 0 ) r (r + z ) (1.19) biểu thức (1.19) là một trong những dạng của thế đơn cực từ Dirac Trong trường hợp 5 chiều, thế đơn cực từ được Yang đề xuất trong công trình [20] và được sử dụng ở nhiều... Chương 2: Phép biến đổi Hurwitz mở rộng và vai trò của biến số phụ x7 = 2(u1v7 − u2 v8 − u3 v5 + u4 v6 − u5 v3 + u6 v4 + u7 v1 − u8 v2 ) x8 = 2(u1v8 + u2 v7 + u3 v6 + u4 v5 + u5 v4 + u6 v3 + u7 v2 + u8 v1 ) x9 = u12 + u22 + u32 + u42 + u52 + u62 + u72 + u82 − v12 − v22 − v32 − v42 − v52 − v62 − v72 − v82 Từ cách thiết lập như trên, ta thấy phép biến đổi thỏa điều kiện Euler như các phép biến đổi với số chiều . 1.2. Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz: Tương tự như phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel, đối với phép biến đổi Hurwitz (5 8)→ ta cũng thêm vào biến số phụ, thiết lập phép biến đổi ngược. BÌNH PHƯƠNG 9 1.1. Biến số phụ trong phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel 9 1.2. Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz 12 1.3. Đơn cực từ 15 1.4. Phụ lục chương 1: 17 Phụ lục A1.1: Tính. Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương Trang 9 Chương 1: BIẾN SỐ PHỤ TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI BÌNH PHƯƠNG Quay lại các phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và Hurwitz, chúng