Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian - tần số

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả iii Mục lục Bảng kí hiệu và viết tắt v Mở đầu viii Nội dung 1 1 Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị 1 1.1 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Các toán tử cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Biến đổi Fourier và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Hàm Gauss và định lý Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Giải tích thời gian – tần số và nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . 11 1.2.1 Giải tích thời gian–tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Ảnh phổ và phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.2 Phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.3 Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5 Biểu diễn thời gian - tần số kiểu τ-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.2 Các định lý và tính chất của biểu diễn τ -Wigner . . . . . . . . . 37 1.5.3 Biểu diễn bằng hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian – tần số 49 2.1 Biểu diễn W ig U và tính chất của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 iv 2.1.1 Hạn chế của hàm suy rộng Wigner cổ điển . . . . . . . . . . . . 49 2.1.2 Biểu diễn W ig U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2 Giải thích nhiễu bằng đồ thị và ứng dụng trong mã hóa tín hiệu . . . . 60 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 v Bảng kí hiệu và viết tắt Z n + : Tập hợp các số nguyên dương. R : Tập hợp các số thực. R n : Không gian Ơclit n chiều. C : Tập hợp các số phức. Rez : Phần thực của số phức z. Imz : Phần ảo của số phức z. z : Số phức liên hợp của số phức z. |z| : Mô đun của số phức z. C ∞ : Không gian các hàm khả vi vô hạn. f L p : Chuẩn trong không gian L p (Ω), f L p =    Ω |f(x)| p dx   1 p , Ω ⊂ R n . L p : Không gian các hàm đo được Lebesgue, có chuẩn L p hữu hạn. |α| : Bậc của α, |α| = n  i=1 α i , α = (α 1 , , α n ) ∈ Z n + . D α f : Đạo hàm cấp α của f. suppf : Giá của hàm f ∈ L p (Ω). C k (Ω) : Là tập hợp các hàm liên tục khả vi k lần trong Ω. vi C k 0 (Ω) : Tập các hàm trong C k (Ω) có giá compact. C ∞ 0 (Ω) : = ∞ ∩ k=0 C k o (Ω). X [a,b] : Hàm đặc trưng trên [a, b]. D (Ω) : Không gian các hàm cơ bản. D  (Ω) : Không gian hàm suy rộng. S (R n ) : Không gian các hàm giảm nhanh. S  (R n ) : Không gian các hàm suy rộng tăng chậm.  f, F (f) : Biến đổi Fourier của hàm f với  f (ω) =  R n f (x) e −2πixω dx. F −1 (f) : Biến đổi Fourier ngược của hàm f. F 2 : Biến đổi Fourier riêng theo biến thứ hai của hàm f trên R 2n với F 2 =  R n f (x, t) e −2πitω dt. T x f : Phép tịnh tiến theo x của hàm f và T x f (t) = f (t − x). M ω f : Sự điều biến theo ω của hàm f và M ω f (t) = e 2πiωt f (t). ϕ a (x) : Là hàm Gauss với ϕ a (x) = e − πx 2 a . T a : Phép biến đổi tọa độ không đối xứng với T a f (x, t) = f (t, t − x). T s : Phép biến đổi tọa độ đối xứng với T s f (x, t) = f  x + t 2 , x − t 2  . vii V g f : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với hàm cửa sổ g, V g f (x, ω) =  R n f (t) g (t − x)e −2πitω dt. f ⊗ g : Tích ten sơ của hàm f và g, (f ⊗g) (x, t) = f (x) g (t). f ∗ g : Tích chập của hàm f và g. W ig (f) : Phân bố Wigner của hàm f. W ig (f, g) : Phân bố Wigner chéo của hàm f và g. Q σ f : Lớp phân bố Cohen. W ig τ (f) : Phân bố τ-Wigner của hàm f. W ig τ (f, g) : Phân bố τ-Wigner chéo của hàm f và g. R (f, g) : Biểu diễn Rihaczek của hai hàm f, g. R ∗ (f, g) : Biểu diễn Rihaczek liên hợp của hai hàm f, g. SP EC g f, Sp g f : Ảnh phổ của hàm f đối với hàm cửa sổ g. Sp φ,ψ (f, g) : Ảnh phổ tổng quát của hàm f, g đối với hàm cửa sổ φ, ψ. viii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Biến đổi Fourier chứa tất cả các thông tin về một tín hiệu, nhưng một vài thông tin, ví dụ thời gian mà tần số xuất hiện trong tín hiệu, được ẩn đi trong những pha phức tạp. Một trong những mục đích chính của giải tích thời gian-tần số trong 50 năm cuối đã được xác định thích hợp những sự điều chỉnh “hai biến” của biến đổi Fourier mà thông tin về cả thời gian và tần số chứa trong tín hiệu được tạo ra chi tiết. Chúng là những hàm hoặc hàm suy rộng Q (f) (x, w) phụ thuộc vào thời gian x ∈ R n và tần số ω ∈ R n , phụ thuộc theo bậc hai trên tín hiệu f và có giải thích theo vật lý như phân bố năng lượng hoặc tín hiệu trông không gian thời gian-tần số R n x ×R n ω . Một vấn đề chính trong phân tích tín hiệu là trong sự biểu diễn của chúng thường xuyên có vài loại hiện tượng giả (cũng được biết như “nhiễu” hoặc “tần số ma”) xuất hiện trong những vùng của mặt phẳng thời gian-tần số, ở đó tín hiệu chứa trong năng lượng không thực. Ta mong muốn loại trừ hoặc ít nhất rút gọn mặt hạn chế này, cần thiết đưa ra đa dạng các phương pháp và định nghĩa trong nhiều cách biểu diễn khác nhau. Trong thực tế, một trong những trở ngại chính của giải tích thời gian-tần số được liên kết với nguyên lý bất định cổ điển, sự phân bố năng lượng của những tần số một tín hiệu không thể được tập trung trong những tập quá nhỏ trên mặt phẳng thời gian-tần số. Vì nguyên ix lý bất định, trong sự thành lập các công thức khác nhau của nó, sẽ là không khả thi để xây dựng sự biểu diễn tốt nhất, điều đó có thể được hình thức hóa trong rất nhiều cách. Một công thức dễ dàng là, đưa ra một tín hiệu f (t), một sự biểu diễn thời gian-tần số bậc hai Q (f) (x, ω) đã xác định, không thể thỏa mãn cùng lúc tính dương, tính chất giá và điều kiện phân phối biên. Bên cạnh hàm suy rộng Wigner cổ điển, xem xét những biểu diễn khác của kiểu Wigner, ví dụ dạng τ−Wigner. Những biểu diễn τ −Wigner đã được nghiên cứu trong sự kết nối với những toán tử giả vi phân Weyl, kiểu Wigner cổ điển là một trường hợp đặc biệt với τ = 1 2 . Tất cả những sự biểu diễn kiểu Wigner này thỏa mãn tính chất giá và điều kiện phân phối biên nhưng không dương. Định lý Hudson trong trường hợp đặc biệt mà kiểu Wigner cổ điển là dương chỉ trên những tín hiệu kiểu Gausian. Xác định một sự biểu diễn kiểu Wigner mới mà thỏa mãn tính chất giá với một bậc đã biết của xấp xỉ nhưng có đặc điểm là những tần số ma có thể di chuyển được trong những vùng khác của mặt phẳng thời gian-tần số là một vấn đề hấp dẫn, vì thế tôi lựa chọn đề tài: "Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian-tần số" 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về các biểu diễn Wigner khi liên kết với những biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian-tần số và tính chất của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa ra được một sự biểu diễn kiểu Wigner mới mà thỏa mãn tính chất giá với một bậc đã biết của xấp xỉ nhưng có đặc điểm là những x tần số ma có thể di chuyển được trong những vùng khác của mặt phẳng thời gian-tần số. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian-tần số. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu đặc trưng của giải tích hàm. Phương pháp phân tích, tổng hợp. 6. Dự kiến đóng góp mới Định nghĩa một sự biến đổi của kiểu Wigner phụ thuộc vào một biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian-tần số và đưa ra các tính chất tương ứng. Giải thích sự xuất hiện của tần số ma trong tín hiệu bằng hình học tự nhiên bởi sự biểu diễn Wigner bậc hai. [...]... thuyết của giải tích thời gian – tần số hầu hết dựa trên biến đổi Fourier thời gian ngắn vì đa số các biểu diễn thời gian – tần số khác đều có thể được diễn đạt theo quan điểm của biến đổi Fourier thời gian ngắn 20 Định nghĩa 1.3.1 Ta gọi hàm ϕ ∈ L2 (Rn ) triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn là hàm cửa sổ Định nghĩa 1.3.2 Cố định một hàm cửa sổ g = 0, khi đó biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm... thức (1.26) là đồng nhất thức cơ bản của giải tích thời gian – tần số Nó kết hợp cả f và f trong một biểu diễn thời gian – tần số đồng thời Trong biểu diễn này, biến đổi Fourier tương đương với một phép quay mặt phẳng thời gian – tần số bởi góc π 2 Định nghĩa 1.3.3 Cho φ ∈ L2 (Rn ), hàm φ được gọi là nửa song tuyến tính phức nếu với mọi x, y, z ∈ Rn và với mọi c1 , c2 ∈ C thì φ (c1 x + c2 y, z) = c1... Một x ω biểu diễn Ψ được gọi là có tính chất giá nếu Πx suppΨ (f ) ⊆ H (suppf ) và Πω suppΨ (f ) ⊆ H suppf 1.3 Biến đổi Fourier thời gian ngắn Để thu được thông tin về các tính chất địa phương của tín hiệu f , đặc biệt về một số “phổ tần số địa phương”, chúng ta thu hẹp f vào một đoạn và lấy biến đổi Fourier của thu hẹp này, ta được một biểu diễn thời gian – tần số gọi là biến đổi Fourier thời gian ngắn... mặt khác nhau của biến đổi Fourier thời gian ngắn Trong (1.22) và (1.25), biến đổi Fourier thời gian ngắn được viết như một biến đổi Fourier (địa phương) của f và f Trong (1.27) và (1.28), biến đổi Fourier thời gian ngắn được viết như một tích chập Trong (1.23) và (1.24), Vg f được viết như một tích vô hướng của f với một chuyển dịch thời gian – tần số 2 Công thức (1.26) là đồng nhất thức cơ bản của. .. này biến đổi Fourier thời gian ngắn là một đẳng cự từ L2 (Rn ) vào L2 R2n Hệ quả 1.3.2 (Công thức ngược của biến đổi Fourier thời gian ngắn) Giả sử rằng g, γ ∈ L2 (Rn ) và g, γ = 0 Khi đó với mọi f ∈ L2 (Rn ) f= 1 γ, g Vg f (x, ω) Mω Tx γdωdx R2n Chú ý 1.3.5 Công thức ngược trên chứng tỏ rằng f có thể được biểu diễn như một sự chồng chất liên tục của chuyển dịch thời gian – tần số biến đổi Fourier thời. .. nhấn mạnh tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier thời gian ngắn trong trường hợp hàm cửa sổ g cố định Ngoài ra, biến đổi Fourier thời gian ngắn có thể được xem như là dạng nửa song tuyến tính phức (f, g) → Vg f Cho 22 • f ⊗ g là tích tensor (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t) • Ta là phép biến đổi tọa độ không đối xứng Ta f (x, t) = f (t, t − x) • F2 là biến đổi Fourier riêng theo biến thứ hai của hàm... là tính chất hiệp phương sai của biến đổi Fourier thời gian ngắn Bổ đề 1.3.3 Nếu Vg f xác định thì Vg (Tu Mη f ) (x, ω) = e−2πiu.ω Vg f (x − u, ω − η) với x, u, ω, η ∈ Rn Đặc biệt là |Vg (Tu Mη f ) (x, ω)| = |Vg f (x − u, ω − η)| 23 Biến đổi Fourier thời gian ngắn được thừa hưởng một vài tính chất tương tự tính chất ấy theo biến đổi Fourier gốc Định lý sau về tích vô hướng của biến đổi Fourier thời. .. hợp những đặc trưng của f và f vào một hàm đơn giản, được gọi là biểu diễn thời gian tần số Vậy mục tiêu của giải tích thời gian tần số là đưa ra phổ tần số tức thời tại thời điểm x Tuy nhiên, không một mô hình toán học nào có thể làm được vì bị cản trở bởi vô số các bất đẳng thức mà ta gọi là các nguyên lí không chắc chắn Mặc dù vậy vẫn có những phương pháp xấp xỉ tốt nhưng là đối với từng tín hiệu... điều biến theo ω của f được gọi là chuyển dịch tần số 2 Kết hợp công thức (1.4) và (1.5), ta được công thức (1.6), một trong những công thức quan trọng nhất của giải tích thời gian – tần số 5 3 Đánh giá trong (1.7) chỉ ra L1 (Rn ) là một đại số Banach với tích chập Đẳng thức trong (1.7) cùng với bổ đề Riemann – Lebesgue 1.1.1 chỉ ra biến đổi Fourier ánh xạ L1 (Rn ) vào một đại số con (trù mật) của. .. f (ω) dω suy ra định lý Placherel 1.2 Giải tích thời gian – tần số và nguyên lý không chắc chắn 1.2.1 Giải tích thời gian tần số Trong công nghệ và trong vật lý, f (x) được coi như biên độ của sự dao động của dấu hiệu f tại x, còn f (ω) được coi như biên độ của tần 12 số tại ω Từ định nghĩa biến đổi Fourier (1.1), không làm mất tính tổng quát ta xét số chiều n = 1, chúng ta thấy rằng phép lấy tích . biểu diễn Wigner khi liên kết với những biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian- tần số và tính chất của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa ra được một sự biểu diễn kiểu Wigner mới mà thỏa mãn tính. biểu diễn τ -Wigner . . . . . . . . . 37 1.5.3 Biểu diễn bằng hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian. thời gian- tần số là một vấn đề hấp dẫn, vì thế tôi lựa chọn đề tài: " ;Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian- tần số& quot; 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về các biểu