Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian - tần số

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc v nghiờn cỳu khoa hoc Thay luụn đng viờn khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn to Giái tích q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc hồn thnh luắn tot nghiắp H Nđi, thỏng nm 2012 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna tien sĩ Bùi Kiên Cưòng Trong q trình nghiên cúu, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá Mnc lnc Báng kí hiắu v viet tat v Mỏ au viii Nđi dung 1 Mđt so khỏi niắm v ket quỏ chuan b% 1.1 Bien đoi Fourier 1.1.1 Đ%nh nghĩa tính chat 1.1.2 Các toán tú bán 1.1.3 Bien đoi Fourier đao hàm 1.1.4 Hàm Gauss đ%nh lý Plancherel 1.2 Giái tích thòi gian – tan so nguyên lý không chac chan 11 1.2.1 Giái tích thòi gian–tan so 11 1.2.2 Nguyên lý không chac chan .13 1.3 Bien đoi Fourier thòi gian ngan 19 1.4 Ánh phân bo Wigner 27 1.4.1 Ánh 27 1.4.2 Phân bo Wigner 28 1.4.3 Lóp phân bo Cohen .34 1.5 Bieu dien thòi gian - tan so kieu τ -Wigner 36 1.5.1 Các đ%nh nghĩa .36 1.5.2 Các đ%nh lý tính chat cna bieu dien τ -Wigner 37 1.5.3 Bieu dien bang hình ve .46 Bieu dien Wigner liên ket vái bien đoi tuyen tính cúa m¾t phang thài gian – tan so 49 2.1 Bieu dien W igU tính chat cna .49 2.1.1 Han che cna hàm suy r®ng Wigner co đien 49 2.1.2 Bieu dien W igU .50 2.1.3 Tính chat .51 2.2 Giái thích nhieu bang đo th% úng dung mã hóa tín hi¾u 60 Ket lu¾n 65 Tài li¾u tham kháo 66 Báng kí hi¾u viet tat Z+ : T¾p hop so nguyên dương n R : T¾p hop so thnc Rn : Không gian Ơclit n chieu C : T¾p hop so phúc Rez : Phan thnc cna so phúc z Imz : Phan áo cna so phúc z z : So phúc liên hop cna so phúc z |z| : Mô đun cna so phúc z C∞ : Không gian hàm vi vô han p "f"Lp : Chuan không gian L (Ω),   p n ¸ |f (x)|p dx , Ω ⊂ R "f" p =  L Ω Lp : Khơng gian hàm đo đưoc Lebesgue, có chuan Lp huu han n |α| : B¾c cna α, |α| = αi, α = (α1, , αn) ∈+ Zn i=1 α D f : Đao hàm cap α cna f suppf : Giá cna hàm f ∈ Lp(Ω) Ck (Ω) : Là t¾p hop hàm liên tuc vi k lan Ω (Ω) : T¾p hàm C k C ∞ (Ω) : C = k (Ω) có giá compact ∞ k ∩ Ck (Ω) =0 o X[a,b] : Hàm đ¾c trưng [a, b] D (Ω) : Khơng gian hàm bán Dt (Ω) : Không gian hàm suy r®ng S (Rn) : Khơng gian hàm giám nhanh St (Rn) : Khơng gian hàm suy r®ng tng chắm f (x) e2ix dx f, F (f ) : Bien đoi Fourier cna hàm f vói fˆ(ω) = Rn F−1 (f ) : Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f F2 : Bien đoi Fourier riêng theo bien thú hai ¸ −2πitω 2n dt cna hàm f R vói F2 = f (x, t) e Rn Txf : Phép t%nh tien theo x cna hàm f Txf (t) = f (t − x) Mωf : Sn đieu bien theo ω cna hàm f Mωf (t) = e2πiωtf (t) ϕa (x) : Là hàm Gauss vói ϕa (x) = πx2 a e− Ta : Phép bien đoi toa đ® khơng đoi xúng vói Taf (x, t) = f (t, t − x) Ts : Phép bien đoi toa đ® đoi xúng vói Tsf (x, t) = x + t , x − t 2 f vii Vgf : Bien đoi Fourier thòi gian ngan cna hàm f đoi vói ¸ hàm cúa so g, Vgf (x, ω) = f (t) g (t − x)e−2πitωdt Rn f ⊗ g : Tích ten sơ cna hàm f g, (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t) f ∗ g : Tích ch¾p cna hàm f g W ig (f ) :Phân bo Wigner cna hàm f W ig (f, g) : Phân bo Wigner chéo cna hàm f g Qσf : Lóp phân bo Cohen W igτ (f ) : Phân bo τ -Wigner cna hàm f W igτ (f, g) : Phân bo τ -Wigner chéo cna hàm f g R (f, g) : Bieu dien Rihaczek cna hai hàm f , g R∗ (f, g) : Bieu dien Rihaczek liên hop cna hai hàm f , g SPEC g f, Sp g f : Ánh cna hàm f đoi vói hàm cúa so g Spφ,ψ (f, g) : Ánh tong quát cna hàm f , g đoi vói hàm cúa so φ, ψ Má đau Lí chon đe tài Bien đoi Fourier chúa tat cá cỏc thụng tin ve mđt tớn hiắu, nhng mđt vi thơng tin, ví du thòi gian mà tan so xuat hi¾n tín hi¾u, đưoc an nhung pha phúc tap M®t nhung muc đích cna giái tích thòi gian-tan so 50 năm cuoi đưoc xác đ %nh thích hop nhung sn đieu “hai bien” cna bien đoi Fourier mà thông tin ve cá thòi gian tan so chúa tín hi¾u đưoc tao chi tiet Chúng nhung hàm ho¾c hàm suy r®ng Q (f ) (x, w) phu thu®c vào thòi gian x ∈ Rn tan so ω ∈ Rn, phu thuđc theo bắc hai trờn tớn hiắu f có giái thích theo v¾t lý phân bo lưong ho¾c tín hi¾u trơng khơng gian thòi gian-tan so Rn ì Rn Mđt van e chớnh phân tích x ω tín hi¾u sn bieu dien cna chúng thưòng xun có vài loai hi¾n tưong giá (cũng đưoc biet “nhieu” ho¾c “tan so ma”) xuat hi¾n nhung vùng cna m¾t phang thòi gian-tan so, ó tín hi¾u chúa lưong khơng thnc Ta mong muon loai trù ho¾c nhat rút gon m¾t han che này, can thiet đưa đa dang phương pháp đ %nh nghĩa nhieu cách bieu dien khác Trong thnc te, m®t nhung tró ngai cna giái tích thòi gian-tan so đưoc liên ket vói nguyên lý bat đ%nh co đien, sn phân bo lưong cna nhung tan so m®t tín hi¾u khơng the đưoc t¾p trung nhung t¾p q nhó m¾t phang thòi gian-tan so Vì ngun lý bat đ%nh, sn thành l¾p cơng thúc khác cna nó, se khơng thi đe xây dnng sn bieu dien tot nhat, đieu có the đưoc hình thúc hóa rat nhieu cách M®t cụng thỳc de dng l, a mđt tớn hiắu f (t), mđt sn bieu dien thũi gian-tan so bắc hai Q (f ) (x, ω) xác đ%nh, không the thóa mãn lúc tính dương, tính chat giá đieu ki¾n phân phoi biên Bên canh hàm suy r®ng Wigner co đien, xem xét nhung bieu dien khác cna kieu Wigner, ví du dang τ−Wigner Nhung bieu dien τ−Wigner đưoc nghiên cúu sn ket noi vói nhung toán tú giá vi phân Weyl, kieu Wigner co ien l mđt trũng hop ắc biắt vúi =2 Tat cá nhung sn bieu dien kieu Wigner thóa mãn tính chat giá đieu ki¾n phân phoi biên không dương Đ %nh lý Hudson trưòng hop đ¾c bi¾t mà kieu Wigner co đien dương chí nhung tín hi¾u kieu Gausian Xác đ%nh m®t sn bieu dien kieu Wigner mói mà thóa mãn tớnh chat giỏ vúi mđt bắc ó biet cna xap xí có đ¾c điem nhung tan so ma có the di chuyen đưoc nhung vùng khác cna mắt phang thũi gian-tan so l mđt van e hap dan, the tơi lna chon đe tài: "Bieu dien Wigner liên ket vái bien đoi tuyen tính cía m¾t phang thài gian-tan so" Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu ve bieu dien Wigner liên ket vói nhung bien đoi tuyen tính cna m¾t phang thòi gian-tan so tính chat cna Nhi¾m nghiên cNu Đưa đưoc m®t sn bieu dien kieu Wigner múi m thúa tớnh chat giỏ vúi mđt bắc biet cna xap xí có đ¾c điem nhung b) Ta xem xét tính chat giá đoi vói bien ω Quan sát thay h¾ thúc (2.10) W igU W igU˜ có sn đáo ngưoc giua hai bien x, ω Do sú dung h¾ thúc (2.10) ta áp dung cách chúng minh phan (a) tính chat giá đoi vói bien đau tiên, ta xem xét ma tr¾n thay cho U˜ U Tù đieu ki¾n trưóc cna phan (a), ta có b “ Thay b = a−1 d vào nhung muc tương úng cna ma tr¾n˜ ta thu đưoc U c−1 = −b b ad − bc − ad − bc d ⇒ d = b − Khi ta đưoc đieu ki¾n bo sung sau cho tính chat giá đoi vói bien ω: d = b − 1, < b ™ Chú ý 2.1.8 Đ¾t b = τ đieu ki¾n (i) cna m¾nh đe 2.1.7, ta thu đưoc d = τ − tham so τ bien thiên khống (0, 1] M¾nh đe xác vói tính chat giá trưòng hop cna W igτ , chí có sn khác ó a c có the bien thiên toàn R Ngoài ra, quan sát rang sú dung (ii) phép the ax + τt = x + τs ( túc τ t= 1−a x + s dt = ds, ta có: W igU (f, g) (x, ω) = e−2πiω 1− aτ x W igτ (f, g) (x, ω) Do ta có the ket lu¾n rang bieu dien W igU mà thóa mãn tính chat giá đoi vói cá x ω, thnc W igτ , không ke đen mđt nhõn tỳ l hm m phỳc Tuy nhiờn, thắm chí trưòng hop mà bien đoi U khơng thóa mãn đieu ki¾n M¾nh đe 2.1.7, ta có the nh¾n xét rang sn dòi hình cna giá khơng phu thu®c vào tín hi¾u f Vì lí này, ngưòi ta có the xác đ%nh m®t sn thay đoi tý l¾ co đ%nh thích hop cna W igU mà se đ%nh v% lai đáng ke giá v% trí goc cna chúng thòi gian tan so Chính xác hn, xem xột mđt tớn hiắu cú giỏ khoỏng thòi gian [k, k + α] vói α > 0, bien đoi tuyen tính U đ%nh nghĩa cna W igU (2.3) di chuyen điem x = k đen mđt iem cna mắt phang (x, t) oc a giao cna hai đưòng thang ax + bt = k cx + dt = k túc m®t điem mà toa đ® truc Ox x = d−b k Khi bieu thúc W ig (f d−b) k, ω ad−bc U ad−bc se đ%nh v% lai giá cna tín hi¾u đoi vói bien thòi gian Sú dung bieu thúc cna W igU fˆ, g., thu đưoc (2.9), ta có the chuyen sang cỏch thỳc tng ng vúi mđt tớn hiắu m bien đoi Fourier cna có giá khống [h, h + β] vói β > Bang vi¾c sú dung ma tr¾n U r , bien đoi tương úng cna bien ω đưoc đưa theo ω = (b − d) h bieu thúc mói W igU (f ) d−b k, (b − d) h ad − bc (2.13) đ%nh v% lai giá cá thòi gian tan so Quan sát rang sn đieu lai cna giá khơng “hồn háo” trưòng hop mà đ® doc cna đưòng ax + bt = k cx + dt = k dương ho¾c âm, trưòng hop (2.13) mó r®ng giá Ta phân tích đieu ki¾n đám báo tính chat hi¾p bien đoi vói W igU M¾nh đe 2.1.9 Neu U ƒ= τ τ−1 W igU khơng hi¾p bien Trong trưòng hop này, W igU khơng thu®c lóp Cohen Chúng minh Ta xem xét trưòng hop cna m®t phép t%nh tien tong qt vói α ∈ R, áp dung cho f g Ta có W igU (Tαf, Tαg) (x, ω) ¸ = e−2πiωtf (ax + bt − α) g (cx + dt − α)dt R ¸ = dt e−2πiωtf a x − α + bt g c x − a R α + dt (2.14) c Mà tính chat hi¾p bien can có W igU (Tαf, Tαg) (x, ω) = W igU (f, g) (x − α, ω) Co đ%nh f, g ∈ S (R) Lay bien đoi Fuorier ngưoc đoi vói ω ta có tù (2.14) thúc sau phái ∀f, g ∈ S (R) ∀x, t, α ∈ R α α f a x − + bt g c x − + dt a c = f (a (x − α) + bt) g (c (x − α) + dt) Xem xét ví du vói f (s) = g (s) = e−πs2 Khi thúc tró thành α 2 a x + = [a (x − α) + bt] +[c (x − α) α + dt + c x − bt.2 a c + dt] − 2 ⇔ α a + c − = 2α (ax + bt) (a − 1) + 2α (cx + dt) (c − 1) Do thúc phái ∀x, t, α ∈ R nên phái vói x = 1, t = 0, α = túc a2 + c2 − = 2a (a − 1) + 2c (c − 1) 2 ⇔ (a − 1) + (c − 1) = ⇔ a = c = V¾y nhat đe thúc thóa mãn a = c = Liên h¾ đen trũng hop cna mđt phộp bien iắu tong quỏt M, ta có ket lu¾n tương tn Thnc W igU (Mαf, Mαg) (x, ω) ¸ e−2πiωte2πiα(ax+bt)f (ax + bt) e−2πiα(cx+dt)g (cx + dt)dt = R = e−2πiα(c−a)xW igU (f, g) (x, ω − (b − d) α) W igU thóa mãn tính chat hi¾p bien đoi vói bien đi¾u chí b − d = Do đó, tính chat hi¾p bien đưoc thóa mãn chí W igU trùng vói W igτ M¾nh đe 2.1.10 Vói f, g ∈ L2 (R), ta có W igU (g, f ) (x, ω) = W igV (f, g) (x, ω) vói V = c −d a −b Chúng minh Ta ¸ có −2πiωt W igV (f, g) (x, ω) e f (cx − dt) g (ax − bt)dt = R Do ¸ W igV (f, g) (x, ω) = R ¸ e−2πiωtf (cx − dt) g (ax − bt)dt e−2πiωtg (ax + bt) f (cx + dt)dt = R = W igU (g, f ) (x, ω) M¾nh đe đưoc chúng minh Chú ý 2.1.11 Tù m¾nh đe cuoi ta có W igU (f ) = W igV (f ) W igU thnc neu U = V Khi đieu ki¾n cho tính thnc a = c b = −d 2.2 Giái thích nhieu bang đo th% Nng dnng mã hóa tín hi¾u Ta xem xột mđt lúp ắc trng cna cỏc tớn hiắu, tín hi¾u xác bao gom tan so thuan túy xuat hi¾n nhung khe thòi gian khác Trong ngun lý, moi thơng tin có the đưoc “mã hóa” bói tín hi¾u cna loai theo vi¾c gán giá tr% m®t tan so thuan túy tói moi bieu tong cna mđt chu cỏi ắc trng Trong sn trỡnh bày bang đo th% cna bien đoi Wigner m¾t phang thòi gian – tan so, hi¾n tưong xáy tng tn viắc sỳ dung mđt hm suy rđng Wigner vói sn khác bi¾t tan so ma đưoc d%ch chuyen vói moi τ , nhung tan so thnc xuat hi¾n vói moi τ tai v% trí đúng, nhò có tính chat giá Do sn dien d%ch vắt lý cna hm suy rđng Wigner, ta can khac phuc van đe tan so ma, nhat lóp xét cna tín hi¾u Ta xem xột mđt hm suy rđng tong quỏt W igU (f, g) (x, ω) e−2πiωtf (x + bt) g (x − bt)dt = (2.15) R ma tr¾n U xác đ%nh bói a = c = b = −d ƒ= Cho f m®t tín hi¾u vói hai tan so xuat hi¾n hai khống đóng ròi [k, k + α] [h, h + β] vói α, β > Ta giá sú rang α “ β giá thiet k + α < h Ta xem xét đưòng thang chay qua bon điem đau mút cna khống m¾t phang (x, t)   x ± bt = k   x ± bt = k + α    x ± bt = h x ± bt = h + β Tám đưòng thang giao tao nên bon hình thoi D1, D2, D3, D4 Hai hình thoi D1 D3 tương úng vói tan so thnc, chúng cat truc x tai hai khống đóng [k, k + α] [h, h + β], ó tín hi¾u ton tai Hai hình thoi D2 D4 tương úng vói tan so ma, chúng khơng giao vói truc x Hình 2.1: Ta muon loai bó hồn tồn nhieu túc loai bó hai hình thoi D2 D4 sn giái thích bang hình ve, xem xét m®t dái nam ngang S = {(x, t) : t ∈ [−M, M ]} b > cho hai hình thoi D2 D4 tương úng vói tan so ma se nam ngồi S đe vi¾c lay giói han tích phân (2.15) vói khống [−M, M ] se loai bó hồn tồn nhieu sn bieu dien cna tín hi¾u, nhiên hai hình thoi D1 D3 phái ó ngun phan dái S đe không mat thông tin ve tan so thnc Đieu đat đưoc neu tB “ M , tA ™ M tA tB lan lưot toa đ® t cna điem A B Vói sn thay đoi bien bt = (2.15), hi¾u úng tương tn thu đưoc t r xem xét đen hàm Wigner co đien m®t dái khác Ta sú dung bien đoi N ¸ N W ig (f, g) (x, ω) := e −N f −2πiωt x t + f đoi vói tín hi¾u f trưóc Tù tA có dt t (2.16) x− = α tB = h − (k + α), ta ∃N cho tA ™ N ™ tB chí 2α ™ h − k Trong trưòng hop tong qt (khơng can thiet α ) ieu kiắn trờn oc mú rđng l h − k “ max {2α, β + α} Cách làm máy móc có the đưoc áp dung cho tớn hiắu vúi mđt so tựy ý cỏc tan so Do đieu ki¾n đe bieu dien tín hi¾u khơng có tan so ma là: Thòi gian dùng giua hai tan so liên tiep bat kì cúa tín hi¾u dài ho¾c bang thòi gian truyen cúa moi tan so Ví dn 2.2.1 Cho f (x) = e4πisχ[3,6] (s) + e6is[9,12] (s) l mđt tớn hiắu vúi hai tan so ω1 = 2, ω2 = Bien đoi Wigner the hiắn mđt tan so giỏ giua hai tan so thnc (hình 2.2) Đieu tương tn xáy trưòng Hình 2.2: W ig (f ) (x, ω) hop cna hàm suy r®ng τ−Wigner (ta co đ%nh τ = 0, 8) Trong hình 2.3, tan so ma đưoc chia tách m¾t phang thòi gian – tan so Hình 2.4 the hi¾n bieu dien cna tín hi¾u khơng có nhieu thu đưoc dưói tích phân m®t khống đóng [−N, N ] Ta có the áp dung phương pháp vói N = Hình 2.3: W ig0,8 (f ) (x, ω) Hình 2.4: W ig N (f ) (x, ω) Ví dn 2.2.2 Cho f (s) = e4πisχ[ 8, e2πisχ[2,4] (s)+e8πisχ[6,8] [−5,− (s) [−1, (s)+ (s) 3] 0] +e8πisχ +e10is (s) l mđt tớn hiắu vúi nm tan so ω1 = 2, − −7] ω2 = 5, ω3 = 4, ω4 = 1, ω5 = xuat hi¾n khống vói đ® dài khác Ta có the thay nhieu hình 2.5 neu ta áp dung vói hàm suy r®ng Wigner Neu ta áp dung phương pháp ta nghiên cúu ta khac phuc đưoc van đe bieu dien đo th% chí the hi¾n nhung tan so (xem hình 2.6) Hình 2.5: W ig (f ) (x, ω) Hình 2.6: W ig N (f ) (x, ω) Ví du cuoi the hi¾n rang nhung tan so ma bien đoi Wigner trờn mđt tớn hiắu cú vi tan so cú the cho m®t bieu dien khơng đoc đưoc rõ ràng, phương pháp ta nghiên cúu loai bó tat cá thành phan không mat thông tin Chú ý rang sú dung (2.16) tính tốn đơn gián bien đoi Wigner thơng thưòng lóp giói han cna tín hi¾u mà (2.16) cho nhung ket q tot ó oc e cắp ú trờn Ket luắn Nđi dung cna lu¾n văn trình bày ket q ve: • Giái tích thòi gian - tan so bieu dien thòi gian - tan so • Bieu dien thòi gian - tan so kieu τ -Wigner mđt so tớnh chat cna bieu dien -Wigner Đưa m®t sn bien đoi cna kieu Wigner phu thuđc vo mđt bien oi tuyen tớnh cna mắt phang thòi gian-tan so Vói lnc han che thòi gian có han, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Kính mong q thay ban hoc góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Phan Đúc Chính (1978), Giái tích hàm, NXB Đai hoc Trung hoc chuyờn nghiắp, H Nđi [2] Hong Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, NXB Đai hoc Quoc gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [3] P Boggiatto, Evanthia Carypis and A Oliaro (2011), "Wigner repressentations asociated with linear transformations of the timefrequency plance", Operator Theory: Advances and Applications 213, pp 275-288 [4] P Boggiatto, G De Donno and A Oliaro (2008), "TimeFrequency representation of Wigner type and pseudo-differential operators", Preprint, Dipartimento di Matematica di Torino, Italy [5] P Boggiatto, G De Donno and A Oliaro (2007), "Uncertainty principle, positivity and Lp-boundedness for generalized spectrograms", Preprint, Dipartimento di Matematica di Torino, Italy [6] Karlheinz Grăochenig (2001), Foundation of Time-Frequency Alal- ysis, Birkhauser Boston, USA ... dien Wigner liên ket vái bien đoi tuyen tính cía m¾t phang thài gian- tan so" Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu ve bieu dien Wigner liên ket vói nhung bien đoi tuyen tính cna m¾t phang thòi gian- tan... lý tính chat cna bieu dien τ -Wigner 37 1.5.3 Bieu dien bang hình ve .46 Bieu dien Wigner liên ket vái bien đoi tuyen tính cúa m¾t phang thài gian – tan so 49 2.1 Bieu dien W igU tính. .. nhung vùng khác cna m¾t phang thòi gian- tan so Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu bieu dien Wigner liên ket vói bien đoi tuyen tính cna m¾t phang thòi gian- tan so Phương pháp nghiên cNu Sú