Lý thuyết khung Gabor trong biểu diễn thời gian - tần số (LV00341)

Cửa sổ thời gian-tần số của Biến đổi Fourier thời gian ngắn.. Với mong muốn nghiên cứu lý thuyết khung Gabortrong biểu diễn thời gian - tần số, một mặt trình bày lý thuyết khungtheo hệ t

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tậntình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn, luôn độngviên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua nhữngkhó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòngkính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùngvới các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúctốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Lưu Thị Thu Hương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường

Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quảkhoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Lưu Thị Thu Hương

Mục lục

1.1 Một số không gian hàm 3

1.2 Chuỗi Fourier 6

1.3 Biến đổi Fourier 7

1.4 Công thức tổng Poisson 9

1.5 Giải tích thời gian - tần số 11

1.5.1 Hàm cửa sổ 12

1.5.2 Biến đổi Gabor 13

1.5.3 Cửa sổ thời gian-tần số của Biến đổi Fourier thời gian ngắn 14

1.5.4 Cửa sổ thời gian-tần số của biến đổi sóng nhỏ liên tục 15

2 Khung Gabor 17 2.1 Lý thuyết khung trong không gian Hilbert 17

3

2.2 Khung Gabor 26

2.3 Sự hội tụ không điều kiện 29

2.4 Không gian Wiener 32

2.5 Tính bị chặn của toán tử khung Gabor 34

2.6 Biểu diễn Walnut của toán tử khung Gabor 37

2.7 Mở rộng không trực giao Painless 41

2.8 Tính trù mật của khung Gabor 43

3 Giải tích Gabor trong không gian biến điệu 44 3.1 Các lớp cửa sổ của giải tích Gabor 44

3.2 Tính bị chặn của toán tử khung Gabor trên không gian biến điệu 55

3.3 Cơ sở Wilson trong không gian biến điệu 64

3.4 Nén dữ liệu 75

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích sóng nhỏ tồn tại từ thập niên đầu của thế kỷ XX và đãđược nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu mà đi đầu

là Morlet, Meyer Y.V, Daubechies I., Kỹ thuật sóng nhỏ giúp chúng

ta phân chia một hàm số phức tạp thành chuỗi các hàm sơ cấp nhờ phépgiãn và phép dịch chuyển, cung cấp một công cụ rất hiệu quả và hấpdẫn trong phân tích và tổng hợp tín hiệu

Các nhà toán học đã có nhiều nỗ lực phát triển lý thuyết mới,thuật toán cho các biểu diễn và tổng hợp các hàm Biểu diễn sóng nhỏcùng biểu diễn Gabor là các công cụ toán học hữu hiệu nhất để thựchiện nhiệm vụ này Cụ thể là đã tìm thấy nhiều ứng dụng trong phântích tín hiệu và xử lý hình ảnh

Trong lý thuyết Gabor các nhà toán học rất quan tâm tới một đốitượng quan trọng đó là khung Gabor Thuật toán khung được ca ngợi

là một phương pháp tái tạo hiệu quả Vì vậy việc nghiên cứu lý thuyếtkhung là một vấn đề rất lý thú

Đến nay, lý thuyết khung Gabor được trình bày trong nhiều tài liệu

đi cùng với sóng nhỏ Với mong muốn nghiên cứu lý thuyết khung Gabortrong biểu diễn thời gian - tần số, một mặt trình bày lý thuyết khungtheo hệ thống, mặt khác mong muốn tìm những ứng dụng cụ thể của

lý thuyết này, dưới sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Bùi KiênCường tôi chọn nghiên cứu đề tài:

"Lý thuyết khung Gabor trong biểu diễn thời gian-tần số"

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu tổng quan về lý thuyết khung Gabor

- Nghiên cứu về giải tích Gabor trong không gian biến điệu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày các kết quả, tính chất của toán tử khung Gabor

- Tính bị chặn của toán tử khung Gabor trong biểu diễn thời gian tần

số và trong không gian biến điệu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu toán tử khung Gabor trong biểu diễn thời gian tần số

và trong không gian biến điệu

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết : Thu thập tài liệu, đọc và, phân tích, tổnghợp để nghiên cứu về khung Gabor, toán tử khung Gabor

6 Dự kiến đóng góp mới

Tìm một số ứng dụng cụ thể của khung Gabor



Z

Nếu p = q thì ta viết Mmp thay cho Mmp,q và nếu m (z) ≡ 1 trên R2d thì

ta viết Mp,q và Mp thay cho Mmp,q và Mmp,p

Định nghĩa 1.1.2 (Không gian Lp,qm R2d
) Giả sử m là một hàm trọng

Lp,qm R2d
bao gồm trả các hàm đo được (Lebesgue) trên R2d sao cho

3



Z

Từ ω → F (., ω) m (., ω) có giá trị trong Lp, không gian chuẩn hỗn hợp

Lp,qm có thể thấy như một không gian giá trị vectơ Lq

Nếu p = q thì Lp,qm = Lpm là không gian Lp trọng thông thường Hơn nữa

L∞m R2d
bao gồm tất cả các hàm (đo được) f sao cho

ess sup |f (z)| m (z) ≤ Chay

|f (z)| ≤ Cm(z)−1, z ∈ R2d

Theo định nghĩa thì kf kL∞

m là infimum của tất cả các hằng số C

f ∈ C∞ Rd
sao cho : sup

x∈R d

DαXβf (x) < ∞ ∀α, β ∈ Zd+ với

Xαf (x) = xαf (x)

m Z2d
baogồm tất cả các dãy a = (akn)k,n∈Zd ( các hàm từ Z2d tới C) với chuẩn

kaklp,q

m =



X

đặc biệt được định nghĩa

ở đây F ∈ L∞ R2d
và suppF là compact

Định nghĩa 1.1.7 Cho một hàm cửa sổ cố định g 6= 0 Khi đó STFTcủa hàm f đối với g được xác định

địa phương trên R2d

Cho các hàm trọng m, v trên R2d, m được gọi là v−ôn hòa nếu tồn tạihằng số c sao cho

m (z1 + z2) ≤ cv (z1) m (z2) , ∀z1, z2 ∈ R2d

Sau này chúng ta sử dụng m để biểu thị một hàm v−trọng ôn hòa.

Cho x, ω ∈ Rd chúng ta định nghĩa các toán tử:

Txf (t) = f (t − x)

Mωf (t) = e2πiωtf (t) Với mỗi n ∈ N\ {0} , tập Zn+ = {α = (α1, α2, , αn) , αj ∈ Z+, j = 1, 2, , n}

Rn = {x = (x1, x2, , xn) , xj ∈, j = 1, 2, , n} Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, ký hiệu:

Lp(Ω) =



u : Ω → C

ess sup

x∈Ω

|u (x) |< ∞

trong đó :ess sup

Ở đây ck = |ck| ejθ k là đại lượng phức.

Công thức biểu diễn ak và bk :

ak = 2

T

Z T 0

p (t) cos kω0

bk = 2T

Z T 0

p (t) sin kω0tdt

Từ mở rộng chuỗi Fourier đến biến đổi Fourier, chúng ta cùng xét(1.1) và (1.2) Hàm thời gian p (t) trong (1.1) có thể sử dụng biểu thị ở

Phương trình (1.8) và (1.9) được biết như cặp biến đổi Fourier.

Từ đây chúng ta sử dụng f (t) để biểu diễn một hàm của miền thờigian, còn p (t) biểu diễn hàm thời gian tuần hoàn Chúng ta viết lại(1.8) với ký hiệu mới Biến đổi Fourier của một hàm năng lượng hạn chế

f (t) ∈ L2(R) của một biến thực t được định nghĩa bởi tích phân :

Sự thể hiện của (1.11) là rất quan trọng Phương trình này trình bàybiểu diễn bộ phận cấu thành của f (t) tại ω Nếu chúng ta có thể xácđịnh tất cả các thành phần của f (t) trên trục ω, sự chồng chất của cácthành phần này sẽ xây dựng lại hàm gốc f (t):

f (ω) Nếu biến t biểu diễn thời gian, được gọi là phổ của f (t) Nếu tbiểu diễn không gian, bf (ω) được gọi là phổ không gian

Công thức tổng Poisson có ích trong mối liên hệ thông tin miền thời

hoàn hóa của f(t), gọi là fp(t), được biểu diễn bởi :

Ở đây T = 2π là chu kỳ của fp(t)

Từ đó ω0 = 2πT = 1 và chuỗi Fourier biểu diễn fp(t) như sau:

Z 2π(n+1) 2πn

Ở đây sử dụng phép đổi biến ξ = t + 2πn Từ đó

ck = 12π

.Công thức tổng Poisson cho f (at) là :



ejkt/a (1.20)

1.5 Giải tích thời gian - tần số

Mặc dù phương pháp giải tích Fourier có nhiều tác dụng trong nhữnglĩnh vực khác nhau, nhưng nó trở nên không thỏa đáng khi liên quanđến khái niệm tần số địa phương của một tín hiệu bởi quang phổ Fourierkhông cung cấp nhiều thông tin miền thời gian về tín hiệu Để sửa khiếmkhuyết này, sự phân tích địa phương là cần thiết và là sự kết hợp cả giảitích miền thời gian và miền tần số để đạt được giải tích thời gian- tần

số, bằng phương pháp mà chúng ta có thể rút ra các nội dung tần số địaphương của một tín hiệu Đây là điều rất quan trong, từ đó mà trongthực hành chúng ta chỉ cần quan tâm đến một vài phần đặc biệt củaquang phổ và do đó chúng ta có thể tương tự những điều đã biết về mộtphần của tín hiệu miền thời gian là nguồn gốc, nguyên nhân mang đếnnét đặc trưng của quang phổ

Phương hướng chung điều khiển để biết các nội dung tần số địa phươngcủa một tín hiệu là chúng ta nên bỏ đi một phần không mong muốn từtín hiệu đã cho và sau đó lấy biến đổi Fourier của phần mà ta mongmuốn

1.5.1 Hàm cửa sổ

Giả sử φ (t) ∈ L2(R) là một hàm cửa sổ giá trị thực Khi đó tích

f (t) φ (t − b) =: fb(t) sẽ chứa đựng các thông tin của f (t) gần t = b Đặc biệt nếu φ (t) = χ[−τ,τ )(t) thì:

Hai tham số quan trọng nhất của một hàm cửa sổ là tâm và chiều rộngcủa nó Cuối cùng là hai lần bán kính Xóa bỏ tâm và bề rộng chuẩncủa hàm cửa sổ lần lượt tại 0 và 2t Với một hàm cửa sổ tổng quát φ (t),chúng ta định nghĩa tâm t∗ của nó như sau:

φ (ω)b

... class="page_container" data-page="19">

1.5.3 Cửa sổ thời gian- tần số Biến đổi Fourier thời gian< /p>

ngắn

Chúng ta định nghĩa Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT)của hàm f (t) hàm cửa sổ φ (t) biểu thị... giảitích miền thời gian miền tần số để đạt giải tích thời gian- tần

số, phương pháp mà rút nội dung tần số địaphương tín hiệu Đây điều quan trong, từ mà trongthực hành cần quan tâm đến...

f (ω) Nếu biến t biểu diễn thời gian, gọi phổ f (t) Nếu tbiểu diễn không gian, bf (ω) gọi phổ khơng gian

Cơng thức tổng Poisson có ích mối liên hệ thơng tin miền thời

hồn hóa