Hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thầy. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng nghề Cơ khí Nông nghiệp và Khoa Khoa học cơ bản đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả học tập và hoàn thành tốt luận văn. Tác giả xin chân thành cảm sự gúp đỡ động viên của gia đình, bạn bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 2010 -2012 để tác giả hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả Nguyễn Tiến Hiền i LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả Nguyễn Tiến Hiền ii Mục lục Mở đầu 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Chuỗi Fourier, không gian các hàm giảm nhanh và hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) . . . . . 5 1.1.3. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S  (R n ) . 6 1.2. Biến đổi Fourier, công thức tổng Poisson, hàm Gauss và định lí Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Biến đổi Fourier và biến đổi cơ bản . . . . . . . . 8 1.2.2. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Hàm Gauss và định lí Plancherel . . . . . . . . . 13 1.3. Giải tích thời gian - tần số và biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1. Giải tích thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . 18 iii 1.4. Hàm nhập nhằng và phân bố Wigner . . . . . . . . . . . 21 1.4.1. Hàm nhập nhằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.2. Phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5. Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6. Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 MỘT SỐ LỚP HÀM TRỌNG 32 2.1. Hàm trọng nhân tính dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Hàm trọng ôn hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Hàm trọng GRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4. Hàm trọng xoắn dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5. Hàm trọng Beurling – Domar . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỌNG 60 3.1. Hàm trọng trong lý thuyết giả vi phân . . . . . . . . . . 60 3.2. Hàm trọng trong lý thuyết khung Gabor . . . . . . . . . 63 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 79 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trọng số được sử dụng để lượng hoá sự tăng trưởng và điều kiện phân rã của các hàm. Chẳng hạn, nếu m(t) = (1 + |t|) s và ||f|| L ∞ m = sup t∈R n |f(t)|m(t) < ∞ thì |f| ≤ C(1 + |t|) −s . Vì thế, nếu s > 0 thì điều kiện này mô tả sự phân rã kiểu đa thức bậc s của hàm f, còn nếu s < 0 thì f tăng trưởng không quá một đa thức bậc s. Kết hợp với không gian L p , ta được không gian L p có trọng được xác định bởi chuẩn ||f|| L ∞ m = ||fm|| p =   R n |f(t)| p m(t) p  1 p . Hàm có trọng trong giải tích thời gian - tần số xuất hiện trong nhiều vấn đề và phạm vi như: Dùng trong định nghĩa không gian biến điệu. Các không gian này xác định theo chuẩn có trọng đối với phép biến đổi Fourier thời gian ngắn V g f . Ở đó trọng số giúp cho việc đo và mô tả sự tập trung thời gian - tần số của một hàm hoặc sự phân bố của một hàm. Dùng trong định nghĩa lớp biểu trưng của toán tử giả vi phân ở đó trọng số mô tả dạng đặc biệt tính trơn trong lớp hàm Sj¨ostrand. Dùng trong lí thuyết khung Garbor và khai triển thời gian - tần số ở đó trọng số đo sự tập trung của thời gian - tần số. Ở bài báo [10] của Karlheinz Gr¨ochenig, tác giả đã trình bày một cách lý thú về hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về lớp hàm có trọng trong giải tích thời gian - 2 tần số, đặc biệt là tìm hiểu về tại sao và ở đâu cần sự xuất hiện của các hàm trọng trong giải tích thời gian – tần số, cùng với sự hướng dẫn của thầy giáo – tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi đã lựa chọn đề tài sau để thực hiện luận văn tốt nghiệp: “ Hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số ”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về các lớp hàm trọng và những ứng dụng của hàm trọng trong giải tích điều hòa và đặc biệt là giải tích thời gian – tần số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ các lớp hàm trọng; Những ứng dụng của một số lớp hàm trọng trong lý thuyết giả vi phân; Những ứng dụng của một số lớp hàm trọng trong giải tích thời gian – tần số. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên 3 quan đến hàm có trọng trong giải tích thời gian - tần số. Do sự hạn chế của tài liệu tham khảo, chúng tôi giới hạn chỉ trình bày kĩ về lớp hàm trọng ôn hòa. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Đóng góp mới Luận văn là một tài liệu tổng quan về lý thuyết hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số và một số ứng dụng trong lý thuyết giả vi phân và lý thuyết khung Garbor. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Chuỗi Fourier, không gian các hàm giảm nhanh và hàm suy rộng 1.1.1. Chuỗi Fourier Các hàm tuần hoàn được phân tích thuận tiện bởi chuỗi Fourier. Giả sử rằng với f một hàm trên R n là Z n - tuần hoàn; có nghĩa là f (x) = f (x + k) , ∀k ∈ Z n . Một hàm Z n - tuần hoàn được xác định duy nhất bởi sự hạn chế của nó tới một hình lập phương [0, 1] n , vì vậy có thể đồng nhất với một hàm trên [0, 1] n . Một hàm tuần hoàn cũng có thể được xem xét như là một hàm trên tập thương R n /Z n , đặt T n = R n /Z n . Mặc dù đây là những đối tượng khác nhau, nhưng chúng ta sẽ đồng nhất những hàm Z n - tuần hoàn trên R n với sự hạn chế của chúng trên [0, 1] n hoặc T n . Xét các hàm số mũ e 2πimx ,m ∈ Z n trên [0, 1] n hoặc T n . Chúng là cơ sở trực chuẩn của L 2 (T n ). Cụ thể là 4 5 Định lí 1.1 (Plancherel). Giả sử f ∈ L 2 (T n ) và giả sử  f (m) =  [0,1] n f (x) e −2πimx dx, m ∈ Z + là hệ số Fourier thứ m. Khi đó f có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier f (x) =  m∈Z n  f (m) e 2πimx (1.1) với sự hội tụ như là một sự khai triển trực chuẩn, và chúng ta có  [0,1] n |f (x)| 2 dx = f 2 L 2 (T n ) =  m∈Z n     f (m)    2 . Chú ý 1.1. 1. Từ quan điểm trừu tượng, những hệ số Fourier chính xác là biến đổi Fourier trên nhóm compact T n . 2. Nếu  m∈Z n     f (m)    < ∞ thì chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối tới hàm f (x) , ∀x ∈ R n và f (x) là hàm liên tục đều. Nếu chúng ta ký hiệu tập hợp các chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối là A (T n ). Trang bị chuẩn f A =  m∈Z n     f (m)    thì A (T n ) là một đại số Banach với phép nhân điểm. 1.1.2. Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) Định nghĩa 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) là tập hợp S (R n ) =  ϕ ∈ C ∞ (R n )| sup x∈R n   x α D β ϕ (x)   < +∞, ∀α, β ∈ Z n +  6 cùng với khái niệm hội tụ như sau: dãy {ϕ k } ∞ k=1 ⊂ S (R n ) được gọi là hội tụ tới ϕ ∈ S (R n ) trong S (R n ) nếu lim k→∞ sup x∈R n   x α D β ϕ k (x) −x α D β ϕ (x)   = 0, ∀α, β ∈ Z n + . Ký hiệu S − lim k→∞ ϕ k = ϕ. Nhận xét 1.1. 1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (R n ) là hàm giảm nhanh khi và chỉ khi a.Với mỗi m ∈ Z + , β ∈ Z n + tồn tại C m,β > 0 sao cho  1 + |x| 2  m   D β ϕ (x)   ≤ C m,β , ∀x ∈ R n , hay b. với mỗi m ∈ Z + tồn tại C m > 0 sao cho  1 + |x| 2  m  |β|≤m   D β ϕ (x)   ≤ C m , ∀x ∈ R n . 2. Với mỗi λ, µ ∈ C; ϕ k , ψ k , ϕ, ψ ∈ S (R n ) , k = 1, 2, Nếu S − lim k→∞ ϕ k = ϕ, S − lim k→∞ ψ k = ψ thì S − lim k→∞ (λϕ k + µψ k ) = λϕ + µψ. 3. Tập C ∞ 0 (R n ) trù mật trong không gian S (R n ). 4. Nếu a (·) ∈ C ∞ (R n ) sao cho với mỗi α ∈ Z + có một số thực m = m (α) và một số dương C = C (α) có |D α a (x)| ≤ C  1 + |x| 2  m , thì ánh xạ biến mỗi ϕ thành aϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S (R n ) vào S (R n ). Định lí 1.2. Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) là đầy đủ. 1.1.3. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S  (R n ) Định nghĩa 1.2. Không gian D (R n ) là không gian vectơ các hàm ϕ ∈ C ∞ 0 (R n ) với sự hội tụ như sau: dãy (ϕ k ) ∞ k=1 ⊂ C ∞ 0 (R n ) được gọi là hội [...]... ký hiệu F −1 f , là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi F −1 f, ϕ = f, F −1 ϕ , ϕ ∈ S (Rn ) 1.3 Giải tích thời gian - tần số và biến đổi Fourier thời gian ngắn 1.3.1 Giải tích thời gian - tần số Trong công nghệ và vật lí, f (x) được coi như là biên độ của sự dao động của dấu hiệu f tại x, còn f (x) được coi như là biên độ của tần số w Cho nên trong giải tích thời gian - tần số, chúng ta tìm những... độ của dải tần số gần w tại thời điểm x Theo ý nghĩa này Vg f (x; w) là một phép đo phổ tần số tức thời tại x mà biến đổi Fourier không thể có được 2 Trong giải tích dấu hiệu, ít nhất với số chiều n = 2, R2 được gọi là mặt phẳng thời gian - tần số, và trong vật lí R2 được gọi là không gian pha 3 Biến đổi Fourier thời gian ngắn là tuyến tính theo f và tuyến tính liên hợp theo g Thông thường, hàm cửa sổ... Chương 2 MỘT SỐ LỚP HÀM TRỌNG 2.1 Hàm trọng nhân tính dưới Định nghĩa 2.1 Hàm trọng là một hàm khả tích địa phương và không âm trên R2n Ví dụ 2.1 Lớp những hàm trọng thông thường trên R2n là những hàm trọng đa thức có dạng  1 2 2n s 2 zj vs (x, w) = (1 + |z|) = 1 + s  = 1 + x2 + w 2 1 2 s (2.1) j=1 với mọi z = (x, w) ∈ R2n ; s ≥ 0 Chúng ta thấy rằng vs (x, w) tương đương với những trọng s 2 (1... đối của ϕ trong chứng minh (1.7) bởi tính hội tụ trong L2 (Rn ) và sự bằng nhau theo từng điểm thay bởi sự bằng nhau hầu khắp nơi, thì chúng ta thu được một kết quả yếu hơn, nhưng hữu ích hơn (1.7) : 2 f (x + k) ∈ L2 (Tn ) và Nếu f (k) < ∞ thì (1.7) xảy ra k∈Zn k∈Zn hầu khắp nơi 1.2.3 Hàm Gauss và định lí Plancherel Các hàm Gauss đóng một vai trò rất đặc biệt trong giải tích thời gian - tần số Trước... [b − τ ; b + τ ) fb (x) = 0 , x ∈ [b − τ ; b + τ ) / Bằng cách thay đổi tham số b ta có thể trượt hàm cửa sổ dọc theo trục Ox để phân tích dáng điệu địa phương của hàm f (x) trong khoảng thời gian khác nhau Hai tham số quan trọng nhất của hàm cửa sổ là tâm và độ rộng của nó, độ rộng thông thường gấp đôi bán kính Với một hàm cửa sổ tổng quát ϕ (x) chúng ta định nghĩa tâm x∗ 18 như sau: +∞ 1 x∗ := ϕ... −∞ Hàm ϕ (x) được mô tả như trên với ∆ϕ hữu hạn được gọi là hàm cửa sổ thời gian Tương tự, chúng ta có được cửa sổ tần số ϕ (w) với tâm w∗ và căn bậc hai của bán kính ∆ϕ được định nghĩa tương tự như trên: +∞ 1 ϕ w∗ := w|ϕ (w)|2 dw; 2 −∞  +∞ ∆ϕ := 1  ϕ 1 2 (w − w∗ )2 |ϕ (w)|2 dw −∞ 1.3.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn Định nghĩa 1.14 Cố định một hàm cửa sổ g = 0 Khi đó, biến đổi Fourier thời gian. .. hội tụ trong S (Rn ) tới hàm f ∈ S (Rn ), nếu 8 1 Có một số tự nhiên m và số dương C sao cho | fk , ϕ | ≤ C sup 1 + |x|2 x→Rn m ∞ |Dα ϕ (x)|, ∀ϕ ∈ C0 (Rn ) , k ∈ N∗ |α|≤m 2 Dãy (fk )∞ hội tụ trong D (Rn ) tới f k=1 Ký hiệu S − lim fk = f k→∞ Định lí 1.3 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là đầy đủ Định nghĩa 1.6 Cho Ω ⊂ Rn Hàm v (x) ∈ L1 (Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u... f và f , được gọi là biểu diễn thời gian - tần số Từ định nghĩa biến đổi Fourier (1.3), không làm mất tính tổng quát ta coi số chiều n = 1, chúng ta thấy rằng phép lấp tích phân không thể thực hiện được trừ khi chúng ta biết f (x) trên toàn bộ trục thực (−∞; +∞) Điều này là do các hàm eixw hay là cos (xw) và sin (xw) là các hàm toàn cục Nghĩa là, một sự nhiễu nhỏ của hàm tại bất kì điểm nào dọc theo... đổi Fourier thời gian ngắn trong trường hợp hàm cửa sổ g cố định Thay vì trường hợp cố định hàm cửa sổ g, biến đổi Fourier thời gian ngắn có thể được xem như là dạng nửa song tuyến tính phức f ⊗ g Giả sử (f ⊗ g) là tích tensor, f ⊗ g (x, t) = f (x) g (t) , τa là phép biến đổi tọa độ không đối xứng τa F (x, t) = F (t, t − a) và giả sử F2 là biến đổi Fourier riêng F (x, t) e−2πitw dt của hàm F trên R2n... Chúng ta có thể định nghĩa ϕc , với tham số phức c ∈ C Ta viết 2 2 c−1 = a0 +ib0 , chúng ta thu được ϕc (x) = e−πib0 x e−πia0 x Trong kĩ thuật ϕc là một phép nhân một hàm Gauss ϕ a1 (x) với một hàm tạo tiếng chít 0 −πib0 x2 e Bổ đề 1.4 (Sự dịch chuyển thời gian - tần số của hàm Gauss) Với mọi a > 0 và mọi (x, u, w, η ∈ Rn ), chúng ta có: Tx Mw ϕa , Tu Mη ϕa a = 2 n 2 2 eπi(u−x)(η+w) ϕ2a (u − x) ϕ a . nghiên cứu: Hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên 3 quan đến hàm có trọng trong giải tích thời gian - tần số. Do sự hạn. trình bày một cách lý thú về hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về lớp hàm có trọng trong giải tích thời gian - 2 tần số, đặc biệt là tìm hiểu về tại. tích thời gian - tần số ”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về các lớp hàm trọng và những ứng dụng của hàm trọng trong giải tích điều hòa và đặc biệt là giải tích thời gian – tần số. 3.