Một số phương pháp hình thành phân bố thời gian - tần số

Mục lục Lời cám ơn 1 Lời cam đoan 2 Mở đầu 3 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Không gian các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Không gian các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 7 1.2. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Biến đổi Fourier và biến đổi fourier ngược . . . . 8 1.2.2. Biến đổi Fourier và đạo hàm . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. Hàm Gauss và Định lý Plancherel . . . . . . . . . 10 1.2.4. Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng . . . . . . 10 2 GIẢI TÍCH THỜI GIAN -TẦN SỐ 12 2.1. Cần phải có phân bố thời gian-tần số . . . . . . . . . . . 12 i 2.1.1. Biểu diễn miền thời gian . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2. Biểu diễn miền tần số . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Công thức tín hiệu và những đặc trưng trong miền xác định (t, f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1. Những mô hình tín hiệu được dùng trong mặt phẳng thời gian - tần số (t, f) . . . . . . . . . . . 17 2.2.2. Giải tích tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3. Băng thông và thời gian hữu hiệu . . . . . . . . 23 2.2.4. Thành phần đơn và Tín hiệu đa thành phần . . . 25 2.3. Tần số tức thời và thời gian trễ . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1. Tần số tức thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2. Tần số tức thời và thời gian trễ . . . . . . . . . . 28 2.3.3. Tần số tức thời trung bình và nhóm trễ . . . . . . 30 2.3.4. Giảm dư thời gian, dải tần số động lực . . . . . . 33 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỜI GIAN-TẦN SỐ 34 3.1. Phương pháp 1: Phân bố Wigner-Ville . . . . . . . . . . 34 3.1.1. Dấu hiệu tần số tức thời sắc cạnh . . . . . . . . . 34 3.1.2. Công thức của hạt nhân tín hiệu . . . . . . . . . 35 3.1.3. Phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.4. Phân bố Wigner-Ville . . . . . . . . . . . . . . . 37 ii 3.2. Phương pháp 2: Mật độ phổ năng lượng biến thiên theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1. Phổ của quá trình ngẫu nhiên không dừng . . . . 42 3.2.2. Ước lượng phổ Wigner-Ville . . . . . . . . . . . . 43 3.3. Phương pháp 3: Biến đổi Fourier cửa sổ . . . . . . . . . 45 3.3.1. STFT và ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.2. Độ dài cửa sổ tối ưu của ảnh phổ . . . . . . . . . 45 3.3.3. STFT so sánh với biến đổi Gabor . . . . . . . . . 46 3.4. Phương pháp 4: Hàm lọc của thời gian . . . . . . . . . . 48 3.4.1. Dãy lọc và sonograph . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4.2. Tương đương với ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . 48 3.5. Phương pháp 5: Phổ năng lượng tức thời . . . . . . . . . 49 3.5.1. Phân bố trang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.6. Phương pháp 6: Mật độ năng lượng . . . . . . . . . . . . 51 3.6.1. Mật độ năng lượng phức của Rihaczek . . . . . . 51 3.6.2. Mật độ năng lượng thực của Levin . . . . . . . . 53 3.6.3. Các phân bố Rihaczek và Levin cửa sổ . . . . . . 53 Tài liệu tham khảo 55 iii Lời cám ơn Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn dạy bảo và động viên để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn chân thành nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng với quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Công nghiệp Hóa chất đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả Lê Thị Phong Lan 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Luận văn không hề trùng lặp với đề tài khác. Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả Lê Thị Phong Lan 2 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Hai biểu diễn cổ điển các tín hiệu là biểu diễn theo miền thời gian s (t) và biểu diễn theo miền tần số S (f). Trong cả hai biểu diễn này, các biến t và f đang được coi là loại trừ nhau: để có được biểu diễn này thì biểu diễn kia phải là biến lấy tích phân. Do đó mỗi biểu diễn cổ điển tín hiệu là không địa phương hóa được đối với biến kia, tức là biểu diễn tần số là trung bình hầu khắp nơi của biểu diễn thời gian và biểu diễn thời gian là trung bình hầu khắp nơi của biểu diễn tần số (phép biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược). Điều này đòi hỏi ngành phân tích tín hiệu phải cải tiến kỹ thuật xử lý tín hiệu sao cho biểu diễn đồng thời biến thời gian và biến tần số, tức là vừa phải xử lý địa phương hóa đồng thời thông tin về tín hiệu cả theo thời gian và tần số. Sự phát triển của lý thuyết hàm và giải tích hàm là một công cụ thật tốt cho việc nghiên cứu và triển khai vấn đề nêu trên. Gabor, E.P. Wigner là những nhà toán học tiên phong trong việc tìm ra các giải pháp biểu diễn thời gian – tần số một cách đồng thời và địa phương hóa được. Đến nay, giải tích thời gian – tần số đã trở thành một ngành toán học độc lập, là một nhánh của giải tích điều hòa, đã được phát triển mạnh mẽ, có ảnh hưởng đến nhiều lĩnh vực toán học khác. Đối với giải tích thời gian – tần số, thông thường cần có một số giả thiết để phù hợp với các ứng dụng thực tiễn. Chính vì thế, đã có nhiều dạng biểu diễn thời gian – tần số được thiết 3 lập: biểu diễn Wigner, biểu diễn Gabor, biểu diễn Rihaczek, Mỗi dạng biểu diễn này đều xuất phát từ một yêu cầu cụ thể nào đó trong ứng dụng. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về lý do hình thành các phân bố thời gian-tần số kiểu như mô tả trên và được sự đồng ý hướng dẫn của tiến sĩ Bùi Kiên Cường tôi lựa chọn đề tài “Một số phương pháp hình thành phân bố thời gian-tần số” để thực hiện luận văn. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu giải tích thời gian-tần số. Tìm hiểu một số phương pháp hình thành phân bố thời gian-tần số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày về giải tích thời gian-tần số. Trình bày về một số phương pháp hình thành phân bố thời gian- tần số. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp hình thành phân bố thời gian-tần số. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phương pháp hình thành phân bố thời gian-tần số. 4 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. 6. Những đóng góp của luận văn Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về các phương pháp xây dựng giải tích thời gian - tần số. 5 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu j là đơn vị ảo trên trường số phức, tức là j 2 = −1. 1.1. Một số không gian hàm 1.1.1. Không gian các hàm cơ bản Định nghĩa 1.1. Không gian D (Ω) là không gian gồm các hàm ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕ j } ∞ j=1 các hàm trong C ∞ 0 (Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ 0 ∈ C ∞ 0 (Ω) nếu (i) Có một tập compact K ⊂ Ω mà supp ϕ j ⊂ K,j = 0, 1, 2, (ii) lim j→∞ sup x∈Ω |D α ϕ j (x) − D α ϕ (x)| = 0, ∀α ∈ Z n + . Khi đó ta viết là ϕ = D_ lim j→∞ ϕ j . Mệnh đề 1.1. Không gian D (Ω) là đủ. 1.1.2. Không gian các hàm suy rộng Định nghĩa 1.2. Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên D (Ω) được gọi là một hàm suy rộng trên Ω. Tập tất cả các hàm suy rộng trên Ω được kí hiệu là D  (Ω). Hàm suy rộng f ∈ D  (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D (Ω) được viết là f, ϕ. Hai hàm suy rộng f, g được gọi là bằng nhau nếu f, ϕ = g, ϕ, ∀ϕ ∈ D (Ω) . Định nghĩa 1.3. (Đạo hàm của hàm suy rộng) Cho f ∈ D  (Ω), α = (α 1 , α 2 , , α n ) ∈ Z n + . Đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong Ω, kí hiệu là D α f, là ánh xạ từ D(Ω) vào C được xác định bởi D α f : ϕ → (−1) |α| f, D α ϕ, ϕ ∈ D(Ω). Định nghĩa 1.4. Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh S(R n ) là tập hợp S(R n ) =  ϕ ∈ C ∞ (R n )| sup x∈R n   x α D β ϕ(x)   < +∞, α, β ∈ Z n +  cùng với khái niệm hội tụ như sau: Dãy {ϕ k } ∞ k=1 ⊂ S(R n ) được gọi là hội tụ tới ϕ ∈ S(R n ) trong S(R n ) nếu lim k→∞ sup x∈R n   x α D β ϕ k (x) − x α D β ϕ(x)   = 0, α, β ∈ Z n + . Kí hiệu S_ lim k→∞ ϕ k = ϕ. Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh trù mật trong L p (R n ), 1 ≤ p < ∞. Định nghĩa 1.5. Cho hàm suy rộng f ∈ D  (R n ). Hàm suy rộng f được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại m ∈ N và số dương C sao 7 [...]... hiệu thời gian – tần số là xử lý một tín hiệu nào đó nhờ biểu diễn thời gian – tần số Trong giải tích thời gian – tần số, những tính chất sau đây thường được yêu cầu đối với biểu diễn thời gian – tần số: - Biểu diễn thời gian – tần số là thực (bởi năng lượng là thực); - Tích phân của biểu diễn thời gian trên toàn mặt phẳng thời gian – tần số là năng lượng toàn phần của tín hiệu; - Tích phân trên một hình. .. tham số Vì s4 (t) và s5 (t) chứa những số hạng (hoặc “những thành phần") là hằng số của biên độ, tần số và pha, chúng được mô tả rõ ràng và đầy đủ nhờ biến đổi Fourier Tuy nhiên, một tín hiệu FM hình sin hoặc tín hiệu nhỏ lại đòi hỏi một phân bố thời gian tần số Một tín hiệu audio âm nhạc cũng được gọi là một dạng của phân bố thời gian - tần số và phân bố thời gian - tần số lý giải rõ ràng những thành. .. Fourier của tín hiệu 2.3.2 Tần số tức thời và thời gian trễ Tần số tức thời của một tín hiệu chỉ ra tần số trội của tín hiệu tại một thời gian đã cho Chúng ta tìm một đối ngẫu hoặc “nghịch đảo” của tần số tức thời, chỉ ra thời gian trội khi một tần số cho trước xuất hiện Nếu z(t) là tín hiệu giải tích với biến đổi Fourier Z(f ) = Aδ(f − fi ) (2.58) trong đó A là phần phức, tần số trội là fi Lấy biến đổi... tần số tức thời theo mỗi thành phần Đặc biệt tần số tức thời của tổng hai tín hiệu không là tổng của hai tần số tức thời Tần số tức thời là sự mô tả chi tiết của tần số đặc trưng một tín hiệu Từ quan niệm tần số trung bình” có định nghĩa sau 27 Định nghĩa 2.8 Tần số trung bình của một tín hiệu là ∞ f0 = f |S(f )|2 df 0 ∞ (2.57) 2 |S(f )| df 0 trong đó S(f ) là biến đổi Fourier của tín hiệu 2.3.2 Tần. .. vì thế chúng ta có thể nói rằng thời gian trễ là đối ngẫu của tần số tức thời Thấy rằng tần số tức thời fi (t) là hàm chỉ định tần số cho một thời gian nhất định, còn thời gian trễ τd (f ) là hàm chỉ định thời gian với tần số đã cho, nên chúng ta kiểm tra xem mỗi hàm là nghịch đảo của mỗi hàm kia Rõ ràng chúng không luôn luôn là nghịch đảo của nhu bởi vì hàm tần số tức thời không khả nghịch Vì thế chúng... trong đó t là thời gian, fi (t) là biến điệu tần số, fε là tần số truyền tải chính (hoặc “trung tâm”), fd là độ lệch tần số tột đỉnh và tính đến φ là pha của tín hiệu biến điệu Biên độ của máy phát là hằng số 2 Tín hiệu FM tuyến tính: Xét một tín hiệu hình sin trong khoảng thời gian toàn phần T , với biên độ hằng số mà tần số tăng từ f0 tới f0 +B tại một tỉ số hằng số α = BT Nếu gốc của thời gian được... 2.1.1 Biểu diễn miền thời gian Biểu diễn một tín hiệu như một hàm của cả thời gian và tần số là rất hữu ích và được minh họa bởi 3 tín hiệu thực tiễn quan trọng: 1 Tín hiệu FM hình sin: Một kênh âm thanh tivi mono xem như một kênh FM radio mono được truyền qua một máy phát biến điệu tần số Nếu tín hiệu audio mono là một giai điệu tinh khiết của tần số (tần số biến điệu) thì tần số của máy phát có dạng... nghĩa 2.12 Giảm dư thời gian của một tín hiệu là dfi (t) Tr (t) = dt −1 2 (2.86) trong đó fi (t) là tần số tức thời Đối ngẫu của giảm dư thời gian, là dải tần số động lực là dải mà pha phổ được giả thiết là một hàm bậc hai của tần số Định nghĩa 2.13 Dải tần số động lực của tín hiệu là dτd (f ) Bd (f ) = df 1 −2 (2.87) trong đó τd (f ) là thời gian trễ Giảm dư thời gian là độ đo của thời gian cần thiết... những tín hiệu đơn thành phần sao cho tần số tức thời của nó là một hàm đơn điệu của thời gian Một ví dụ của một tín hiệu khả nghịch là tín hiệu Gaussian tổng quát, nghĩa là tín hiệu FM tuyến tính với một bao hình Gaussian Lấy 29 tín hiệu đỉnh tại thời gian t0 , với biên độ đỉnh A, tần số trung tâm fc , tốc độ quét α và β là hằng số trễ và giả sử tần số tức thời là dương trong khi bao hình là có nghĩa... Do đó fm là tần số về biên độ phổ là đối xứng, fm được gọi là tần số tức thời trung bình Lấy vi phân phương trình (2.70) theo t dẫn tới định nghĩa sau Định nghĩa 2.11 Với tín hiệu z(t) = |z(t)| ejφ(t) (2.84) tần số tức thời trung bình là fm (t) = 1 φ (t) 2π 32 (2.85) Do đó tần số tức thời trung bình giống tần số được xác định sớm nhất phương trình (2.46) 2.3.4 Giảm dư thời gian, dải tần số động lực . tài Một số phương pháp hình thành phân bố thời gian- tần số để thực hiện luận văn. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu giải tích thời gian- tần số. Tìm hiểu một số phương pháp hình thành phân bố thời. tượng nghiên cứu: Một số phương pháp hình thành phân bố thời gian- tần số. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phương pháp hình thành phân bố thời gian- tần số. 4 5. Phương pháp nghiên cứu Sử. lại đòi hỏi một phân bố thời gian - tần số. Một tín hiệu audio âm nhạc cũng được gọi là một dạng của phân bố thời gian - tần số và phân bố thời gian - tần số lý giải rõ ràng những thành phần bội.