Một số phương pháp hình thành phân bố thời gian - tần số

Mnc lnc Lài cám ơn Lài cam đoan Má đau M®T SO KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 M®t so khơng gian hàm 1.1.1 Không gian hàm bán 1.1.2 Không gian hàm suy r®ng 1.2 Bien đoi Fourier 1.2.1 Bien đoi Fourier bien đoi fourier ngưoc 1.2.2 Bien đoi Fourier đao hàm 1.2.3 Hàm Gauss Đ%nh lý Plancherel 10 1.2.4 Bien đoi Fourier cna hàm suy r®ng .10 GIÁI TÍCH THèI GIAN -TAN SO 2.1 Can phái có phân bo thòi gian-tan so i 12 12 2.1.1 Bieu dien mien thòi gian .12 2.1.2 Bieu dien mien tan so 15 2.2 Cơng thúc tín hi¾u nhung đ¾c trưng mien xác đ%nh (t, f ) 17 2.2.1 Nhung mơ hình tín hi¾u đưoc dùng m¾t phang thòi gian - tan so (t, f ) 17 2.2.2 Giái tích tín hi¾u 18 2.2.3 Băng thông thòi gian huu hi¾u 23 2.2.4 Thành phan đơn Tín hi¾u đa thành phan 25 2.3 Tan so túc thòi thòi gian tre 26 2.3.1 Tan so túc thòi 26 2.3.2 Tan so túc thòi thòi gian tre 28 2.3.3 Tan so túc thòi trung bình nhóm tre 30 2.3.4 Giám dư thòi gian, dái tan so đ®ng lnc .33 CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DUNG PHÂN BO THèI GIAN-TAN SO 34 3.1 Phương pháp 1: Phân bo Wigner-Ville 34 3.1.1 Dau hi¾u tan so túc thòi sac canh 34 3.1.2 Cơng thúc cna hat nhân tín hi¾u 35 3.1.3 Phân bo Wigner .36 3.1.4 Phân bo Wigner-Ville .37 ii 3.2 Phương pháp 2: Mắt đ nng long bien thiờn theo thũi gian 42 3.2.1 Pho cna q trình ngau nhiên khơng dùng 42 3.2.2 Ưóc lưong Wigner-Ville 43 3.3 Phương pháp 3: Bien đoi Fourier cúa so 45 3.3.1 STFT ánh 45 3.3.2 Đ® dài cúa so toi ưu cna ánh .45 3.3.3 STFT so sánh vói bien đoi Gabor 46 3.4 Phương pháp 4: Hàm loc cna thòi gian 48 3.4.1 Dãy loc sonograph 48 3.4.2 Tương đương vói ánh 48 3.5 Phương pháp 5: Pho lưong túc thòi .49 3.5.1 Phân bo trang 49 3.6 Phng phỏp 6: Mắt đ nng long 51 3.6.1 Mắt đ nng long phỳc cna Rihaczek .51 3.6.2 Mắt đ lưong thnc cna Levin .53 3.6.3 Các phân bo Rihaczek Levin cúa so 53 Tài li¾u tham kháo 55 iii Lài cám ơn Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng, ngưòi thay truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m q báu hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc Thay ln day báo đ®ng viên đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng kính lòng biet ơn chân thành nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giỏm hiắu Trũng hoc S pham H Nđi 2, phòng Sau đai hoc, Khoa Tốn To Giái tích vói q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá trân cám ơn Trưòng Cao Cơng nghi¾p Hóa chat tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành tot luắn H Nđi, thỏng nm 2012 Tỏc giá Lê Th% Phong Lan Lài cam đoan Tôi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng Lu¾n văn khơng he trùng lắp vúi e ti khỏc H Nđi, thỏng nm 2012 Tác giá Lê Th% Phong Lan Má đau Lý chon đe tài Hai bieu dien co đien tín hi¾u bieu dien theo mien thòi gian s (t) bieu dien theo mien tan so S (f ) Trong cá hai bieu dien này, bien t f đưoc coi loai trù nhau: đe có đưoc bieu dien bieu dien phái bien lay tích phân Do moi bieu dien co đien tín hi¾u khơng đ%a phương hóa đưoc đoi vói bien kia, túc bieu dien tan so trung bình hau khap nơi cna bieu dien thòi gian bieu dien thòi gian trung bình hau khap nơi cna bieu dien tan so (phép bien đoi Fourier bien đoi Fourier ngưoc) Đieu đòi hói ngành phân tích tín hi¾u phái tien ky thu¾t xú lý tín hi¾u cho bieu dien đong thòi bien thòi gian bien tan so, túc vùa phái xú lý đ%a phương hóa đong thòi thơng tin ve tín hi¾u cá theo thòi gian tan so Sn phát trien cna lý thuyet hàm giái tớch hm l mđt cụng cu thắt tot cho viắc nghiên cúu trien khai van đe nêu Gabor, E.P Wigner nhung nhà toán hoc tiên phong vi¾c tìm giái pháp bieu dien thòi gian – tan so m®t cách đong thòi đ%a phương hóa đưoc Đen nay, giái tích thòi gian – tan so ó trú thnh mđt ngnh toỏn hoc đc lắp, m®t nhánh cna giái tích đieu hòa, đưoc phát trien manh me, có ánh hưóng đen nhieu lĩnh vnc tốn hoc khác Đoi vói giái tích thòi gian – tan so, thơng thưòng can có m®t so giá thiet đe phù hop vói úng dung thnc tien Chính the, có nhieu dang bieu dien thòi gian – tan so đưoc thiet l¾p: bieu dien Wigner, bieu dien Gabor, bieu dien Rihaczek, Moi dang bieu dien đeu xuat phát tù m®t yêu cau cu the úng dung Vói mong muon hieu biet sâu ve lý hình thành phân bo thòi gian-tan so kieu mơ tá đưoc sn đong ý hưóng dan cna tien sĩ Bùi Kiên Cưòng tơi lna chon đe tài “M®t so phương pháp hình thành phân bo thòi gian-tan so” đe thnc hi¾n lu¾n văn Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu giái tích thòi gian-tan so Tìm hieu m®t so phương pháp hình thành phân bo thòi gian-tan so Nhi¾m nghiên cNu Trình bày ve giái tích thòi gian-tan so Trình bày ve m®t so phương pháp hình thành phân bo thòi giantan so Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: M®t so phương pháp hình thành phân bo thòi gian-tan so Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u liên quan đen phương pháp hình thành phân bo thòi gian-tan so Phương pháp nghiên cNu Sú dung kien thúc phương pháp cna giái tích hàm đe tiep c¾n van đe NhĐng đóng góp cúa lu¾n văn Lu¾n văn m®t cơng trình nghiên cúu tong quan ve phương pháp xây dnng giái tích thòi gian - tan so Chương M®T SO KIEN THÚC CHUAN B± Trong lu¾n văn này, se sú dung ký hi¾u j đơn v% áo trưòng so phúc, túc j2 = −1 1.1 M®t so khơng gian hàm 1.1.1 Không gian hàm bán Đ%nh nghĩa 1.1 Không gian D (Ω) không gian gom hàm∞ ϕ ∈ ∞ hàm C (Ω) (Ω) vúi khỏi niắm hđi tu sau: dóy {j } C j=1 đưoc goi h®i tu đen hàm C0 () neu (i) Cú mđt compact K ⊂ Ω mà supp ϕj ⊂ K,j = 0, 1, 2, (ii) lim sup |Dαϕj (x) − Dαϕ (x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ j→∞ x∈Ω Khi ta viet ϕ = D_ lim ϕj j→∞ M¾nh đe 1.1 Khơng gian D (Ω) đú 1.1.2 Khơng gian hàm suy r®ng Đ%nh nghĩa 1.2 Moi phiem hàm tuyen tính liên tuc f D (Ω) đưoc goi m®t hàm suy r®ng Ω Tắp tat cỏ cỏc hm suy rđng trờn oc kớ hiắu l Dr () Hm suy rđng f Dr (Ω) tác đ®ng lên moi ϕ ∈ D (Ω) đưoc viet (f, ϕ) Hai hàm suy r®ng f, g đưoc goi bang neu (f, ϕ) = (g, ϕ) , ∀ϕ ∈ D (Ω) Đ%nh nghĩa 1.3 (Đao hàm cúa hàm suy r®ng) Cho f ∈ Dr(Ω), α = (α1, α2, , αn) ∈ Z+n Đao hàm cap α cna hàm suy r®ng f Ω, kí hi¾u Dαf , ánh xa tù D(Ω) vào C đưoc xác đ%nh bói Dαf : ϕ ›→ (−1) |α| (f, Dαϕ) , ϕ ∈ D(Ω) Đ%nh nghĩa 1.4 Không gian hàm vi vô han giám nhanh S(Rn) t¾p hop S(Rn) = ϕ ∈ C∞(Rn)| sup xαDβ ϕ(x) < +∞, α, β ∈ Zn + x∈Rn vói khỏi niắm hđi tu nh sau: Dóy {k} k= ⊂ S(Rn) đưoc goi h®i tu tói ϕ ∈ S(Rn) S(Rn) neu lim sup xαDβ ϕ (x) − xαDβ ϕ(x) = 0, α, β ∈ Zn k + k→∞ x∈Rn Kí hi¾u S_ lim ϕ = ϕ k k→∞ Không gian hàm vi vơ han giám nhanh trù m¾t Lp(Rn), ≤ p < ∞ Đ%nh nghĩa 1.5 Cho hàm suy r®ng f ∈ D (Rn) Hàm suy r®ng f r oc goi l hm suy rđng tng chắm neu ton tai m ∈ N so dương C Mđt tớn hiắu n thnh phan cú biờn đ® hang so, khống thòi gian cúa so toi ưu liên quan tói tói ngh%ch đáo cna toc đ® bien đoi cna tan so túc thòi Chính xác neu cúa so hình chu nh¾t có khống thòi gian tồn phan ∆ √ ∆df=i(t) (3.62) dt toi ưu theo nghĩa cnc tieu hóa chieu r®ng núa chieu cao cna ket m¾t phang (t, f ) Toi ưu ∆ tý l¾ vói thòi gian giám dư Tr Vúi mđt tớn hiắu FM tuyen tớnh , khoỏng thũi gian cúa so toi ưu , T khống thòi gian tín hi¾u B dái tan so ∆ = B tín hi¾u Ngay cá vói đ® dài cúa so toi ưu, ánh khụng l mđt hm delta ắc trng quy luắt tan so túc thòi Dùng cúa so toi ưu bat ti¾n đòi hói kien thúc cna IF kien thúc chí thu đưoc bói vài loai giái tích thòi gian-tan so Hơn the neu quy lt IF khơng tuyen tính, khống thòi gian toi ưu bien thiên vói thòi gian 3.3.3 STFT so sánh vái bien đoi Gabor Mắt phang (t, f ) oc chia thnh mđt dóy hình chu nh¾t Moi hình chu nh¾t đưoc goi m®t logon kích thưóc cna đưoc goi thòi gian phân rã đieu chieu r®ng Các kích thưóc phái thóa mãn ngun lý Heisenberg ∆t∆f ≥ 4π (3.63) ∆t ∆f khống thòi gian huu hi¾u dái tan so cna logon Trong bieu dien Gabor, moi logon đưoc gán vói m®t so phúc cn,k, n chí so thòi gian và k chí so tan so Tín hi¾u s(t) đưoc khai trien s(t) = n,k cn,kψn,k(t) (3.64) tong lay theo moi so nguyên n k ψn,k(t) m®t hàm t¾p trung quanh thòi điem n∆t tan so k∆f Đe tìm h¾ so cn,k, ta lay hn,k(t) v n,k(t) quan hắ vúi búi m = n l = k  (t)ψn,k (t)dt = lai h m,l  ∗  −∞ (3.65) Nói cách khác, lay hm,l(t) trnc giao vói moi ψn,k(t) ngoai trù ψm,l(t), ho¾c tương đương lay ψm,l(t) trnc giao vói moi hn,k(t) ngoai trù hm,l(t); nhung hàm liên quan v¾y đưoc goi hàm đoi ngau Nhân (3.64) vói h ∗ m,l(t) lay tích phân đoi vói bien t, thu đưoc bieu thúc ¸∞ s(τ )h∗ n, (τ )dτ cn,k = −∞ Neu chon (3.66) k hn,k(τ ) = ω(τ − n∆t)ej2πk∆fτ (3.67) ú kớ hiắu l mđt hm Gaussian thnc, (3.66) tró thành ¸∞ cn,k = −∞ = s(τ )ω(τ − n∆t)e−j2πk∆fτ dτ F τ →k∆f {s(τ )ω(τ − n∆t)} (3.68) (3.69) Bieu thúc (3.69) đưoc biet bien đoi Gabor Khi ψn,k(t) chon hàm đoi ngau cna hn,k(t), cơng thúc (3.64) cho bien đoi Gabor ngưoc Cơng thúc (3.69) có dang (3.58) trù t f có the tách ròi nhau, lý mơ tá bien đoi Gabor m®t loai STFT 3.4 3.4.1 Phương pháp 4: Hàm loc cúa thài gian Dãy loc sonograph Trong ánh đưoc hình thành m®t hàm cna tan so vói sn phu thu®c vào thòi gian cna m®t cúa so, sonograph đưoc hình thành m®t hàm thòi gian vói sn phu thu®c vào đieu cna b® loc Xét tín hiắu s(t) vúi S() v mđt bđ loc tan thap vói xung đáp trá thnc h(t) hàm truyen H(ν) Đe trích băng “thành phan” cna s(t) tai tan so ν = f trưot hàm loc tín hi¾u theo tan so cho có tâm tai ν = f , nhân tín hi¾u vói hàm loc đưoc trưot lay bien đoi Fourier ngưoc theo ν, thu đưoc s BF (t, f ) = H −1 {S(ν)H(ν − f )} (3.70) t→ν “B” viet tat cna “Băng” (bandpass) Bình phương mơ đun cna BH (t, f ) đưoc kí hi¾u SH (t, f ) đưoc s s goi sonograph ho¾c sonogram (t, f ) = B (t, f s s ) SH H =.F t→ν ¸ ∞ = −1 {S(ν)H(ν − f )} −∞ 3.4.2 (3.71) Tương đương vái ánh S(ν)H(ν − f ) ej2πνtdν (3.72) (3.73) Đ%nh lý 3.1 Ánh sonograph bang neu hàm cúa so cúa ánh thnc chan bang xung đáp trá cúa b® loc sonograph vói f = ChNng minh Dùng tính chat tích ch¾p ngh%ch đáo vào (3.70), thu đưoc B s (t, f ) = s(t)∗t H j2πf t (3.74) h(t)e ¸∞ = s(τ )h(t − τ )ej2πf (t−τ )dτ (3.75) −∞ = ej2πft F {s(τ )h(t − τ )} (3.76) f)= .t→f (3.77) t→f Đieu dan tói S (H) s (t, F {s(τ )h(t − τ )} Tù (3.60) (3.77), thay ánh sonograph neu h(t) = w(−t) (3.78) trưòng hop w(t) chan bang h(t) Đieu ki¾n w(t) thnc thùa chúng minh, giá thiet có đ%nh nghĩa ánh 3.5 3.5.1 Phương pháp 5: Pho lưang tNc thài Phân bo trang Lay m®t tín hi¾u s(t), đ%nh nghĩa bien đoi chay S−(t, f ) bien đoi Fourier cna tín hi¾u s theo thòi gian t Đe làm đưoc, đ%nh nghĩa “tín hi¾u bo tro” st(θ) sau  s(θ) st(θ) =  θ ≤ t  θ > t Khi bien đoi chay đơn gián (3.79) t ¸ j2πfθ S−(t, f ) = F {st(θ)} = s(θ)e − dθ (3.80) −∞ t→f Khi lưong chuan bình phương cna biên đ® cna FT, the lưong chay tói thòi gian t, kớ hiắu l es(t, f ) l biờn đ bình phương cna bien đoi chay es(t, f ) = |S−(t, f = S (t, f )S∗ (t, f ) − − )| (3.81) Vi phân moi bieu thúc phương trình theo thòi gian ký hi¾u đao hàm theo thòi gian cna es(t, f ) bói Ps(t, f ) thu đưoc Ps(t, f ) = ∂ (3.82) |S−(t, f )| ∂t ∂ ∂ = S−(t, f ) [S∗ (t, f )] + S∗ (t, f ) [S−(t, f )] − ∂t − ∂t (3.83) Ps(t, f ) đao hàm theo thòi gian cna nng long phu thuđc thũi gian, vỡ vắy có the hieu bien đoi chay m®t loai cna lưong phu thu®c thòi gian Bang phép the bieu thúc ve phái cna (3.80) vào (3.82), thu đưoc  Ps(t, f ) = ∂ j2πf θ ¸t   ∂t s(θ)e − 2  dθ . (3.84) −∞ đ%nh nghĩa thông dung cna phân phoi trang Dùng công thúc (3.80) đe đánh giá đao hàm riêng công thúc (3.83), thu đưoc bieu thúc Ps(t, f ) = Re s∗(t)S−(t, j2πft (3.85) f )e ho¾c, the tù công thúc (3.80) viet τ = t − θ  ¸∞  Ps(t, f ) = Re  0 s∗(t)s(t − τ )ej2πftdτ   (3.86) Neu s(t) thnc, (3.86) tró thành ¸∞ Ps(t, f ) = s(t)s(t − τ )cos(2πf τ )dτ (3.87) Phân bo có the đưa giá tr% âm, mà mâu thuan vói khái ni¾m cna phân bo lưong, hồn tồn phù hop vói khái ni¾m cna gradient đưoc xác đ%nh (3.84) 3.6 Phương phỏp 6: Mắt đ nng lang 3.6.1 Mắt đ nng lưang phNc cúa Rihaczek Trong m®t phân bo thòi gian tan so túc thòi đ%a phương hóa cá thòi gian tan so, Rihaczek xét lưong cna tín hi¾u phúc tat đ %nh nhung mien huu han cna t f , cho phép nhung mien l vụ cựng bộ, thu oc mắt đ nng long phúc é đưa m®t khói nguon đơn gián nhung mà Rihaczek đưa cơng vi¾c cna ơng ve van đe Năng lưong cna mđt tớn hiắu phỳc z(t), vúi bien oi Fourier Z(f ), ¸∞ ¸∞ |z(t)| dt = E = z(t)z∗(t)dt ¸∞ ¸∞ z(t) Z∗ (f )e−j2πft df dt = −∞ ¸∞ −∞ −∞ −∞ ¸∞ = Rz (t, f ) dtdf −∞ −∞ (3.88) Rz (t, f ) l hm so mắt đ nng long oc xác đ%nh bói Rz (t, f ) = z(t)Z∗(f )e−j2πft (3.89) Rz (t, f ) phân bo Rihaczek (RD) Neu bieu dien Z(f ) Z∗(f ) qua z(λ) dùng phép the τ = t − λ, thu đưoc ¸∞ Rz (t, f ) = z(t)z∗(t − τ )e−j2πfτ dτ −∞ (3.90) Tù (3.89) thú lai de dàng rang ¸∞ Rz (t, f )df = |z(t)| (3.91) (3.92) −∞ ¸∞ Rz (t, f )dt = |Z(f )| −∞ Do phân bo Rihaczek thóa mãn đieu ki¾n biên Lay tích phân (3.91) theo t (3.92) theo f , lan lưot thu đưoc ¸t2 ¸∞ Rz (t, f )df dt = f ∞ f1 −∞ |z(t)| dt (3.93) t1 t1 −∞ ¸2 ¸ ¸t2 Rz (t, f ) dtdf = f ¸2 |Z(f )| df (3.94) f1 Ve phái cna (3.93) lưong khống thòi gian giua t1 t2, ve phái cna (3.94) lưong cna dái tan so giua f1 f2 Cá hai thúc chí rang Rz (t, f ) nh mắt đ nng long qua khoỏng thòi gian dái tan so bat kì Trong (3.89), phõn bo Rihaczek cú tớn hiắu z(t) nh mđt nhõn tú Do phân bo Rihaczek bang khơng tai nhung thòi gian z(t) bang khơng; tích chat đưoc goi giá thòi gian manh Tương tn, chúng tơi thay rang phân bo Rihaczek bang không tai nhung tan so mà Z(f ) bang khơng; tính chat đưoc goi giá cna tan so manh 3.6.2 Mắt đ nng lang thNc cỳa Levin Phõn bo Levin đơn gián phan thnc cna phân bo Rihaczek Phân bo Levin giong phân bo Rihaczek , có giá thòi gian manh giá tan so manh Lay phan thnc cna nhung cơng thúc (3.91) tói (3.92) ket lu¾n rang phân bo Levin thóa mãn nhung đieu ki¾n biên nhung h¾ cna chúng Ký hi¾u phân bo Levin cna tín hi¾u phúc z(t) Lz (t, f ) Lay phan thnc cna (3.89), có đ%nh nghĩa Lz (t, f ) = Re z(t)Z∗(f )e−j2πft Lay phan thnc cna (3.90) thu đưoc   ∞ ¸ ∗ −j2πfτ dτ  Lz (t, f ) = Re z(t)z (t − τ )e   (3.95) (3.96) −∞ 3.6.3 Các phân bo Rihaczek Levin cNa so Bang cách so sánh vói phân bo Rihaczek, ánh hay bình phương mơ đun cna bien đoi Fourier thòi gian ngan đáng ý xú lý giá mao Vì v¾y giúi thiắu bien oi Fourier thũi gian ngan nh mđt nhân tú thay the Z(f ) (3.89) Ket phân bo đưoc goi phân bo Rihaczek cúa so, ρz (t, f ) = z(t) ∗ −j2πft F {z(τ )ω(τ − t)} e (3.97) t→f ω hàm cúa so cna STFT Khi phan thnc cna phân bo Rihaczek phân bo Levin, phan thnc cna phân bo Rihaczek cúa so đưoc goi phân bo Levin cúa so Tù dang cna (3.97) thay rang phân bo Rihaczek phân bo Levin có giá thòi gian manh Ket lu¾n Chương Chương trình bày phương pháp hình thành nên giái tích thòi gian - tan so tù yêu cau khác cna thnc tien lĩnh vnc N®i dung chương trích dan chn yeu tù tài li¾u [1], [4] [6] KET LU¾N Lu¾n l mđt ti liắu tong quan ve mđt so phương pháp hình thành phân bo thòi gian-tan so Do thòi gian lnc cna bán thân han che nên lu¾n văn chac chan khơng tránh khói nhung thieu sút, nhat l nđi dung cna luắn chỳa đnng nhieu kien thúc liên quan đen ý nghĩa v¾t lý Tác giá mong đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tài li¾u tham kháo [1] Boualem Boashash (2003), Time Frequency Signal Analysis and Processing, Elsevier, Australia [2] B Boashash (1991), “Time-frequency signal analysis”, in Avances in Spectrum Analysis and Array Processing (S Haykin, ed.), vol 1, ch 9, pp 418-517, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall [3] B Boashash and H.J Whitehouse (1987),“ Highresolution WignerVille analys”, in Eleventh GRETSI Symp on Signal processing and its Application, pp 205-208, Nice, France [4] L.Cohen (1989), “Time-frequency distributions-A review”, Proc IEEE, vol.77, pp.941-981, Invited paper [5] J Imberger and B Boashash (1986), “Application of the WignerVille distribution to tem-perature gradient microstructure: A new technique to study small-scale variations”, J of Physical Oceanography, vol 16, pp 1997-2012 [6] Karlheinz Groăchenig (2001), Foundation of Time-Frequency Analy- sis, Birkhouser, Boston, USA [7] A W Rihaczek (1968),“Signal energy distribution in time and frequecy”, IEEE Trans Information Theory, vol 14, pp 369-374 ... thòi gian- tan so Tìm hieu m®t so phương pháp hình thành phân bo thòi gian- tan so Nhi¾m nghiên cNu Trình bày ve giái tích thòi gian- tan so Trình bày ve m®t so phương pháp hình thành phân bo thòi giantan... so phương pháp hình thành phân bo thòi gian- tan so Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u liên quan đen phương pháp hình thành phân bo thòi gian- tan so 5 Phương pháp nghiên cNu Sú dung kien thúc phương. .. biet sâu ve lý hình thành phân bo thòi gian- tan so kieu mơ tá đưoc sn đong ý hưóng dan cna tien sĩ Bùi Kiên Cưòng tơi lna chon đe tài “M®t so phương pháp hình thành phân bo thòi gian- tan so” đe