Phương pháp hình học tổng hợp và phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình toán ở TH

Khoa Toán Luận văn tốt nghiệp đại học LỜI CẢM ƠN Để thực hồn thành khóa luận “Phương pháp hình học tổng hợp phương pháp đại số với đường conic chương trình Tốn trung học phổ thông ” em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy, bạn bè lớp Truớc hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phan Hồng Trường, người giúp em xác định đề tài nghiên cứu, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt q trình thực khóa luận này! Em xin bày tỏ lòng cảm ơn đến thầy, giảng dạy em suốt bốn năm hoc Em xin cảm ơn thầy giáo tổ Hình học đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận em! Cuối cùng, em xin gửi đến gia đình, bạn bè, người thân dành cho em tình cảm tốt đẹp, giúp đỡ, động viên em suốt khóa học lòng biết ơn chân thành nhất! Mặc dù cố gắng hoàn thành luận văn với tất nỗ lực thân, luận văn chắn tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp q Thầy, Cơ giáo, bạn sinh viên quan tâm đến nội dung đề cập luận văn Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20/05/2007 Người thực Phạm Văn Gia Trang Khoa Toán Luận văn tốt nghiệp đại học Phạm Văn Gia Phạm Văn Gia Trang Mục lục Phần mở đầu Lời cảm ơn 01 Mục lục 02 Lời nói đầu 04 Phần nội dung Chương 1: số kiến thức chuẩn bị Phương pháp đại số 06 1.1.Đường Elip .06 1.2.Đường Hypebol 07 1.3.Đường Parabol 09 Phương pháp hình học tổng hợp 10 2.1.Đường Elip .10 2.2.Đường Hypebol 12 2.3.Đường Parabol 13 Chương phương pháp đại số phương pháp hình học tổng hợp với số tốn đường conic 1.Phương pháp đại số 15 1.1 Tiếp tuyến đường conic 15 1.2 Các toán thiết lập đường conic 20 1.3 Một số tốn giải tích khác 23 2.Phương pháp hình học tổng hợp 25 2.1 Tiếp tuyến đường conic 26 2.2 Đường thẳng tiếp xúc với conic cố định .33 PHụ LụC : tổ chức ngoại khóa cho học sinh xây dựng định nghĩa đường cônic Mục đích 40 Nội dung 40 Chuẩn bị 40 Các bước tiến hành 41 Tổng kết 43 Phần kết luận 1.Kết luận .44 2.Tài liệu tham khảo 46 Lời nói đầu Hình học phần quan trọng toán học Trong hình học, phương pháp đại số nghiên cứu sử dụng rộng rãi,nó tỏ đặc biệt có hiệu đại số hóa hình học, đem yếu tố hình học chuyển sang đại số Đây xu phát triển giáo dục tồn giới Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, việc đưa số yếu tố hình học giải tích vào chương trình THPT điều phù hợp với quan điểm sử dụng rộng rãi phương pháp đại số để nghiên cứu hình học Nó tạo hội tốt để học sinh có thêm công cụ để diễn đạt, suy luận, để làm tốn, ly ảnh hưởng khơng có lợi cho trực giác trung học phổ thông, đường conic nghiên cứu phương pháp tọa độ quen thuộc Tuy nhiên, ta nghiên cứu đường conic góc độ hình học giải tích học sinh gặp nhiều khiếm khuyết hình ảnh trực quan đường conic vốn mô hình thường gặp hình học tổng hợp Do vậy, để bổ khuyết cho nhược điểm học sinh THPT, mặt ngơn ngữ trừu tượng phương pháp đại số hình ảnh trực quan thường gặp hình học tổng hợp cần đặt cách đầy đủ Giải vấn đề có nhiều ý nghĩa lí luận thực tiễn dạy họcở trường THPT Với lí ấy, em định chọn đề tài nghiên cứu là: ” Phương pháp hình học tổng hợp phương pháp đại số với đường conic chương trình Tốn trung học phổ thơng” Khóa luận trình bày việc sử dụng phương pháp :đại số hình học tổng hợp để nghiên cứu định nghĩa tính chất ba đường conic Nội dung khóa luận bao gồm chương phụ lục: Chương :Phần số kiến thức chuẩn bị conic trình bày phương pháp đại số bổ sung cho định nghĩa, tính chất phương pháp hình học tổng hợp Chương 2: Trình bày số tốn phương pháp đại số hình học tổng hợp đường conic Phụ lục :Trình bày dự kiến tổ chức buổi học ngoại khóa đường cơnic cho học sinh lớp 10 Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, người giúp em xác định đề tài nghiên cứu, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ , động viên em suốt q trình thực khóa luận này! Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Hình học đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận em! Hà Nội, tháng năm 2007 Sinh viên thực Phạm Văn Gia Chương 1.Phương pháp đại số Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.Đường ELIP 1.1.1.Định nghĩa Cho hai điểm cố định F F ,với F F =2c (c>0) Đường elip tập hợp điểm M cho MF + MF =2a a 1số cho trước lớn c Hai điểm F F gọi tiêu điểm elip Khoảng cách 2c gọi tiêu cự elip y A’ F1 B O M(x;y) F2 A x B’ AA’=2a trục lớn, BB’=2b trục nhỏ.Khi a =b +c 1.1.2.Phương trình tắc elip Cho elip(E) định nghĩa trên.Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc trung điểm F F Trục Oy đường trung trực F F F ,F nằm trục Ox Xét điểm M(x;y) elip(E) Khi phương trình tắc (E) là: x y 1 a b2 a =b +c 1.1.3.Trục đối xứng ,tâm đối xứng elip Elip (E) nhận đường AA’ BB’ làm trục đối xứng Elip (E) nhận O làm tâm đối xứng 1.1.4.Tiếp tuyến elip + Xét điểm M( x ;y ) thuộc (E) Khi phương trình tiếp tuyến (E) điểm M : xo x a  yo y b2 1 +Điều kiện cần đủ để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với ( E) là: A a B b C 2 2 1.1.5.Tâm sai đường chuẩn elip -Số e= c 0) Đường hypebol tập hợp điểm M cho MF1  =2a ,trong a 1số dương cho MF2 trước nhỏ c Hai điểm F F gọi tiêu điểm elip Khoảng cách 2c gọi tiêu cự elip Hypebol bao gồm nhánh nhánh khơng có điểm chung y b A B M -a F1 a O D F2 x C -b Ox trục thực ;Oy trục ảo 1.2.2.Phương trình tắc Hypebol Cho Hypebol(H) định nghĩa Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc trung điểm F F Trục Oy đường trung trực F F F ,F nằm trục Ox Xét điểm M(x;y) Hypebol(H) Khi phương trình tắc (H) là: x2 y2 1 a2 AB=2a, BC=2b b2 2 a b c 1.2.3.Trục đối xứng tâm đối xứng Hypebol Các đường thẳng chứa trục thực trục ảo trục đối xứng (H) O tâm đối xứng (H) 1.2.4.Tiếp tuyến Hypebol + Xét điểm M( x ;y ) thuộc (H) Khi phương trinh tiếp tuyến (H) điểm M : xo x a2 y y  o 1 b2 +Điều kiện cần đủ để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với ( E) là: A a B b C 2 2 1.2.5 Tâm sai đường chuẩn Hypebol -Số e= c >1 gọi tâm sai Hypebol a -Các đương thẳng (d): x= a e (d’): x=- a gọi đường chuẩn e elip tương ứng với tiêu điểm F F 1.2.6 Tiệm cận Hypebol Các đường thẳng y= b a b x y=- x đường tiệm cận Hypebol a x2 y21 a2 b2 1.3.Đường PARABOL 1.3.1.Định nghĩa Cho điểm F cố định đường thẳng cố định không qua F Tập hợp tất điểm M cách F được gọi đường Parabol (hay Parabol) Điểm F gọi tiêu điểm Parabol Đường thẳng gọi đường chuẩn parabol Khoảng cách từ F đến được gọi tham số tiêu parabol Do là phân giác FMF ' là tiếp tuyến (H) Vậy luôn tiếp xúc với hypebol cố định Đpcm Bài 3:Cho hệ tọa độ vng góc tKz, F điểm cố định đường phân giác góc CMR :PQ ln tiếp xúc với parabol cố định Bài giải Bài giải Gọi E điểm đối xứng với F qua tâm C đường tròn (C ) Do EKF =90 nên E phân giác (d) tKz Qua E kẻ đường thẳng song song với KF cắt PQ M E z y M Q C P O x F K t Ta có ECQ =2 EKQ ECQ =90 Ta đường kính PQ EF vng góc với E F đối xứng với qua PQ ME= MF Vì MF (d) nên M cách (d) F suy M parabol nhận F làm tiêu điểm nhận (d) làm đường chuẩn.Đỉnh O trung điểm KF Lại E, F đối xứng với qua PQ MP phân giác EMF Do MP tiếp tuyến parabol nói trên.Hay PQ ln tiếp xúc với parabol cố định Đpcm Một số tập đề nghị: Bài 1:Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol y =2px với p>0 ,M điểm di động parabol không trùng với O.Gọi P Q hình chiếu M Ox Oy tương ứng CMR :Đường thẳng nối P,Q tiếp xúc với parabol cố định Bài 2:Cho elip(E) với tiêu điểm F , F’.M điểm di động elip (E).Gọi (d) (d’) tiếp tuyến pháp tuyến (E) M Đường thẳng Oy chứa trục nhỏ (E) tương ứng cắt (d) (d’) H K Đường thẳng Ox chứa trục lớn (E) tương ứng cắt (d) , (d’) H’ K’ a/Chứng minh M di động , đường tròn ngoại tiếp tam giác MHK ln qua điểm cố định b/Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MHK MH’K’ trực giao với Bài 3:Cho hypebol (H) với tiêu điểm F F’ , P điểm trục ảo (H) ,PM PM’ tiếp tuyến kẻ từ P ( M M’ tiếp điểm) Q điểm trục thực (H) cho từ Q kẻ QN QN’ tiếp tuyến ( N N’ tiếp điểm) a/Chứng minh P di động , đường tròn ngoại tiếp tam giác PMM’ ln qua điểm cố định b/Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PMM’ QNN’ trực giao với Bài 4:Cho F F’ cố định Đường thẳng (d) chuyển động cho F F’ ln phía d cho tích khoảng cách từ F F’ đến d k không đổi CMR: d tiếp xúc với elip cố định Bài 5:Cho F F’ cố định Đường thẳng (d) chuyển động cho F F’ ln phía d cho tích khoảng cách từ F F’ đến d k không đổi.CMR: d tiếp xúc với hypebol cố định Nhận xét: Hai phương pháp có ưu điểm, mạnh riêng Phương pháp đại số thể logic mặt hình thức, xác lập mối quan hệ chặt chẽ hình học đại số, giúp tốn học khỏi kiểu tư cụ thể không gian vật lí để đạt tới đỉnh cao trừu tượng khái quát Ngược lại phương pháp hình học tổng hợp lại thể chất hình học.Do cần phải tăng cường phối hợp phương pháp trên sở đảm bảo tính biện chứng mặt đối lập Đó biểu tượng hình học ( thể chất) chặt chẽ logic biểu thức đại số (mang tính hình thức) Ví dụ: Cho elip (E) có phương trình tắc x2 y2 1 , nhận F F’ làm a2 b2 tiêu điểm Tìm quỹ tích điểm M nhìn elip góc vng.(Từ M kẻ tiếp tuyến tiếp tuyến vng góc với nhau) Lời giải phương pháp hình học tổng hợp M y T’ F1 T F’ O F x Giả sử qua M kẻ tiếp tuyến MT ,MT’ vng góc với (T T’ tiếp điểm Gọi F1 đối xứng với F qua MT Ta chứng minh F’,T, F1 thẳng hàng F’ F1 =2a (1) Theo tốn Pơngsơlê (Bài 4-tr.31) ta có FMT = F' (2) MT ' Do tính đối xứng nên FMT = TMF1 Từ (2) (3) suy F' MT ' = TMF1 (3) F' MF1 = T' MT =90 (4) Sử dụng (1) áp dụng định lí Pitago tam giác vng F’MF ,ta có: 4a =F’F =MF +MF’ = MF’ +MF (5) áp dụng hệ thức lượng tam giác FMF’,ta có: F'F MF’ +MF =2MO + 2 2 = MO +2c Từ (5) ( 6) ta có : MO =2a -c =a +b MO= (6) a  b (7) Từ (7) suy quỹ tích M đường tròn tâm O bán kính R= a2  b2 Lời giải phương pháp đại số Giả sử MT MT’ hai tiếp tuyến kẻ từ M chúng vuông góc với 2 A a + B b2 = Giả sử MT có phương trình Ax+By+C=0  C Vì MT’ MT nên MT’ có dạng BxAy+D=0  B a +A b =D Gọi M( x0 ; y0 ) ,khi ta có Ax0 +By0 +C=0  Bx0 -Ay0 +D=0 2 2 (2) C=-Ax0 -By0   D=-Bx0 +Ay0 C + D = x2 ( A2 + B2 )+ y ( A2 + B2 )=( A2 + B2 )( x2 + y ) (1) 0 (3) Thay (1), (2) vào (3) ta có: ( A2 + B2 )( a2 + b )=( A2 + B2 )( x2 + y ) Vì A2 + B2 0 suy x2 + y = a + b 0  a2 b2 MO= Vậy quỹ tích M đường tròn tâm O bán kính R= a2 b2 Nhận xét: Cả hai phương pháp đêu giải tốt yêu cầu tốn Ta khơng nói phương pháp tốt phương pháp Mỗi phương pháp có mạnh riêng Điều quan trọng ta phải biết trường hợp nên sử dụng phương pháp đại số, trường hợp nên sử dụng phương pháp hình học tổng hợp Như phát huy tích cực tồn diện lực tốn học Phụ lục tổ chức ngoại khóa cho học sinh xây dựng định nghĩa đường cơnic 1.Mục đích - Giúp học sinh làm quen với việc xây dựng định nghĩa đường conic - Giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học đường conic - Tạo hứng thú việc học toán nói chung việc học đường conic nói riêng 2.Nội dung Thiết kế đồ dùng học tập để học giảng đường conic 3.Chuẩn bị Bước 1: Chia học sinh tham gia ngoại khóa thành nhóm Bước 2: Mỗi nhóm có chuẩn bị riêng: -Nhóm 1:(Vẽ elip) +1 bảng foocmica +2 đinh vít +1 vòng dây kín khơng đàn hồi +1 bút màu + Khoan vít -Nhóm :(Vẽ đường hypebol) +1 bảng foocmica +2 đinh vít +1 thước thẳng +1 sợi dây không đàn hồi +1 bút màu + Khoan vít -Nhóm 3: (Vẽ đường Parabol) +1 bảng foocmica +1 đinh vít +1 thước eke vng +1 sợi dây không đàn hồi +1 bút màu + Khoan vít Các bước tiến hành -Bước 1: (5 phút):Cho nhóm mang đồ dùng chuẩn bị trước để chuẩn bị cho công việc vẽ đường conic -Bước ( 20 phút): Cho nhóm tiến hành vẽ đường conic hướng dẫn giáo viên: *Nhóm 1:(Vẽ đường elip) (hình1) +Vít lên mặt bảng foocmica hai đinh vít hai điểm F F +Lấy vòng dây kín khơng đàn hồi ,có độ dài lớn F F Quàng sợi dây vào hai đinh, đặt đầu bút chì vào vòng dây căng để vòng dây tạo thành tam giác +Hãy di chuyển đầu bút chì cho sợi dây ln căng áp sát với mặt gỗ.Khi đầu bút chì vạch đường elip Dây M F1 F2 Hình1 *Nhóm 2:(Vẽ đường hypebol) (hình2) -Lấy thước thẳng có mép AB sợi dây khơng đàn hồi có chiều dài l nhỏ chiều dài AB thước l> AB-F1 F -Vít hai đinh vít lên mặt bảng foocmica F F Đặt thước cho đầu B trùng với F lấy đầu bút chì tì sát sợi dây vào thước cho sợi dây căng cho thước quay quanh F ,mép thước ln sát mặt gỗ -Khi đầu bút chì C vạch đường cong hypebol Dây A C B  F1 F2 Hình2 *Nhóm 3:(Vẽ đường parabol) (hình3) -Lấy eke vng A sợi dây khơng đàn hồi có độ dài AB -Đính đầu dây vào 1điểm F ,còn đầu vào đỉnh B eke Đặt eke cho cạnh AC ln áp sát vào thước ,lấy đầu bút chì ép sát sợi dây vào cạnh AB giữ căng sợi dây cho cạnh AC trượt  -Khi đầu bút chì vạch phần đường Parabol B Dây M C A F  Hình3 -Bước (15 phút) -Mỗi nhóm cử học sinh lên trình bày sản phẩm nhóm -Phải giải thích hình vẽ nhóm lại đường conic Tổng kết (5 phút) -Kết đạt nhóm gì? Hình vẽ có với yêu cầu đường conic không? -Những điều cần phải rút kinh nghiệm gi? Kết luận Phương pháp hình học tổng hợp đường conic mảng tương đối khó so với mặt chung học sinh THPT Nhưng học sinh u tốn lại có ý nghĩa to lớn Do vậy, cần phải đưa để giáo dục toàn diện, bồi dưỡng phát học sinh có lực , nhằm đào tạo nhân tài mặt toán học cho đất nước Chính vậy, sau nghiên cứu hồn thiện luận văn này, em xin đưa vài suy nghĩ việc dạy học đường conic trường THPT sau: Cần tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận với nhiều tài liệu tham khảo phương pháp hình học tổng hợp đường conic Các tập từ mức độ dễ đến mức độ khó 2.Về chương trình học SGK phổ thông: Cần phải khai thác tiềm sách giáo khoa, đồng thời bổ sung hình thức dạy học nội dung kiến thức có tính vừa sức, tạo hứng thú học tập,giúp học sinh khẳng định rõ vai trò tốn học tự nhiên đời sống đồng thời bồi dưỡng phẩm chất độc lập sáng tạo cho học sinh Đối với trường chuyên, tiến hành giảng dạy cách tăng cường số tiết toán (so với số tiết quy định chương trình); tổ chức giảng dạy theo kiểu ngoại khóa, báo cáo chuyên đề… đồng thời nâng cao tầm hiểu biết cho học sinh Với mục tiêu cách thức ,để hồn thiện việc dạy học hình học giải tích nay, cần phải xác lập mối quan hệ tương hỗ hình ảnh trực quan vốn mơ hình vật lí ngơn ngữ hình học tổng hợp với ngơn ngữ trừu tượng Hình học giải tích, thông qua việc bổ sung khảo sát đường conic phương pháp hình học tổng hợp( mà chúng khảo sát chủ yếu phương pháp đại số sách giáo khoa ) Để góp phần hồn thiện phương pháp đại số đường conic trong chương trình tốn trung học phổ thơng, em đưa định nghĩa tính chất đường conic góc độ hình học tổng hợp Ngồi ra, em đưa số lớp tập conic giải phương pháp đại số phương pháp hình học tổng hợp Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học ,chắc chắn khóa luận nhiều thiếu sót Em mong thầy cô giáo, bạn sinh viên… đóng góp ý kiến để khóa luận em đượcc hoàn chỉnh Hà Nội, tháng năm 2007 Sinh viên thực Phạm Văn Gia tài liệu tham khảo Văn Như Cương, Đoàn Quỳnh, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị (2006), “Hình học nâng cao 10”,Nxb Giáo dục 2006 Văn Như Cương, Tạ Mân (2000), “Hình học 12”–Nxb Giáo dục 2000 Phan Huy Khải (1999), “Tốn nâng cao hình học giải tích”–Nxb Hà Nội 1999 Đinh Tấn Phước (2001), “Góp phần hồn thiện nội dung phương pháp dạy học yếu tố hình học giải tích cho lớp chun tốn bậc THPT Việt Nam”–Bản tóm tắt luận án tiến sĩ giáo dục–Đại học Vinh 2001 ... phương pháp đại số phương pháp hình học tổng hợp với số toán đường conic Phương pháp đại số với số toán đường conic Những lời giải phương pháp đại số túy th sức mạnh nội mơn Hình học giải tích phương. .. 2.3 .Đường Parabol 13 Chương phương pháp đại số phương pháp hình học tổng hợp với số toán đường conic 1 .Phương pháp đại số 15 1.1 Tiếp tuyến đường conic 15 1.2 Các toán thiết... conic trình bày phương pháp đại số bổ sung cho định nghĩa, tính chất phương pháp hình học tổng hợp Chương 2: Trình bày số tốn phương pháp đại số hình học tổng hợp đường conic Phụ lục :Trình bày