Phương pháp hình học tổng hợp và phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình toán ở TH

Khoa Toán Luận văn tốt nghiệp đại học LỜI CẢM ƠN Để thực hiện hoàn thành khóa luận “Phương pháp hình học tổng hợp và phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình Toán ở tr

Trang 1

Khoa Toán Luận văn tốt nghiệp đại học

LỜI CẢM ƠN

Để thực hiện hoàn thành khóa luận “Phương pháp hình học tổng hợp và

phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình Toán ở trung học

phổ thông ” em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy, cô và bạn bè

trong lớp

Truớc hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn:

Thạc sĩ Phan Hồng Trường, người đã giúp em xác định đề tài nghiên cứu, tận

tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này!

Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn đến các thầy, cô đã giảng dạy em trong

suốt bốn năm hoc Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Hình học đã đóng

góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận của em!

Cuối cùng, em xin gửi đến gia đình, bạn bè, những người thân đã dành

cho em những tình cảm tốt đẹp, đã giúp đỡ, động viên em trong suốt khóa học

lòng biết ơn chân thành nhất!

Mặc dù đã cố gắng hoàn thành luận văn với tất cả những nỗ lực của bản

thân, nhưng luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế, những

thiếu sót Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô giáo,

các bạn sinh viên và những ai quan tâm đến nội dung đề cập trong luận văn này

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20/05/2007

Người thực hiện

Phạm Văn Gia

Trang 2

Phạm Văn Gia Trang 7

Mục lục

Phần mở đầu

1 Lời cảm ơn 01

2 Mục lục 02

3 Lời nói đầu 04

Phần nội dung Chương 1: một số kiến thức chuẩn bị 1 Phương pháp đại số 06

1.1.Đường Elip 06

1.2.Đường Hypebol 07

1.3.Đường Parabol 09

2 Phương pháp hình học tổng hợp 10

2.1.Đường Elip 10

2.2.Đường Hypebol 12

2.3.Đường Parabol 13

Chương 2 phương pháp đại số và phương pháp hình học tổng hợp với một số bài toán về các đường conic 1.Phương pháp đại số 15

1.1 Tiếp tuyến của 3 đường conic 15

1.2 Các bài toán thiết lập các đường conic 20

1.3 Một số bài toán giải tích khác 23

2.Phương pháp hình học tổng hợp 25

2.1 Tiếp tuyến của 3 đường conic 26

2.2 Đường thẳng tiếp xúc với 1 conic cố định 33

PHụ LụC : tổ chức ngoại khóa cho học sinh

Trang 3

về xây dựng định nghĩa các đường cônic

1 Mục đích 40

2 Nội dung 40

3 Chuẩn bị 40

4 Các bước tiến hành 41

5 Tổng kết 43

Phần kết luận 1.Kết luận 44

2.Tài liệu tham khảo 46

Trang 4

Lời nói đầu

Hình học là một phần rất quan trọng của toán học Trong hình

học, phương pháp đại số được nghiên cứu và sử dụng rộng rãi,nó tỏ ra

đặc biệt có hiệu quả khi đã đại số hóa hình học, đem các yếu tố của

hình học chuyển sang đại số Đây cũng là một xu thế phát triển giáo

dục trên toàn thế giới

Trong chương trình toán trung học phổ thông, việc đưa một số yếu

tố hình học giải tích vào trong chương trình THPT là một trong những

điều phù hợp với quan điểm sử dụng rộng rãi phương pháp đại số để

nghiên cứu hình học Nó đã tạo cơ hội tốt để học sinh có thêm công cụ

mới để diễn đạt, suy luận, để làm toán, thoát ly được những ảnh hưởng

không có lợi cho trực giác

ở trung học phổ thông, các đường conic đã được nghiên cứu bởi

phương pháp tọa độ quen thuộc Tuy nhiên, nếu ta chỉ nghiên cứu các

đường conic dưới góc độ hình học giải tích thì học sinh sẽ gặp nhiều

khiếm khuyết về hình ảnh trực quan của các đường conic vốn là mô

hình thường gặp trong hình học tổng hợp

Do vậy, để bổ khuyết cho những nhược điểm ở học sinh THPT, thì

mặt ngôn ngữ trừu tượng của phương pháp đại số và hình ảnh trực

quan thường gặp trong hình học tổng hợp cần được đặt ra một cách

đầy đủ hơn Giải quyết được vấn đề này sẽ có nhiều ý nghĩa trong lí

luận và thực tiễn dạy họcở các trường THPT hiện nay Với những lí do

ấy, em quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: ” Phương pháp hình học

Trang 5

tổng hợp và phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình

Toán ở trung học phổ thông”

Khóa luận này trình bày về việc sử dụng 2 phương pháp :đại số và

hình học tổng hợp để nghiên cứu về định nghĩa và các tính chất của ba

đường conic Nội dung của khóa luận bao gồm 2 chương và 1 phụ lục:

Chương 1 :Phần một số kiến thức chuẩn bị về conic được

trình bày bằng phương pháp đại số và được bổ sung cho các định

nghĩa, tính chất bằng phương pháp hình học tổng hợp

Chương 2: Trình bày 1 số bài toán bằng 2 phương pháp đại

số và hình học tổng hợp đối với các đường conic

Phụ lục :Trình bày d ự kiến tổ chức buổi học ngoại khóa về các đường cônic cho học sinh lớp 10

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy Phan

Hồng Trường, người đã giúp em xác định đề tài nghiên cứu, tận tình

hướng dẫn, giúp đỡ , động viên em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

này! Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ

Hình học đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận của em!

Hà Nội, tháng 5 năm 2007

Sinh viên thực hiện

Phạm Văn Gia

Trang 6

Chương 1Một số kiến thức chuẩn bị

1.Phương pháp đại số

1.1.Đường ELIP

1.1.1.Định nghĩa

Cho hai điểm cố định F1 và F2,với F1F2=2c (c>0)

Đường elip là tập hợp các điểm M sao cho MF1+ MF2=2a trong đó a là

1số cho trước lớn hơn c

Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip

Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip

AA’=2a là trục lớn, BB’=2b là trục nhỏ.Khi đó a2=b2+c2

1.1.2.Phương trình chính tắc của elip

Cho elip(E) như trong định nghĩa trên.Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là

trung điểm của F1F2 Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F1,F2 nằm

trên trục Ox

Xét điểm M(x;y) trên elip(E) Khi đó phương trình chính tắc của (E) là:

1

2 2 2

y

M(x;y)

Trang 7

1.1.3.Trục đối xứng ,tâm đối xứng của elip

Elip (E) nhận các đường AA’ và BB’ làm trục đối xứng

Elip (E) nhận O làm tâm đối xứng

1.1.4.Tiếp tuyến của elip

+ Xét điểm M(x 0;y0) thuộc (E) Khi đó phương trình tiếp tuyến của (E)

tại điểm M là :

.2  .2  1

b

y y a

Cho hai điểm cố định F1 và F2,với F1F2=2c(c>0) Đường hypebol là

tập hợp các điểm M sao cho MF1MF2 =2a ,trong đó a là 1số dương cho

trước nhỏ hơn c

Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip

Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip

Hypebol bao gồm 2 nhánh và 2 nhánh này không có điểm chung

Trang 8

Ox là trục thực ;Oy là trục ảo

1.2.2.Phương trình chính tắc của Hypebol

Cho Hypebol(H) như trong định nghĩa trên Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có

gốc là trung điểm của F1F2 Trục Oy là đường trung trực của F1F2và F1,F2

1.2.3.Trục đối xứng và tâm đối xứng của Hypebol

Các đường thẳng chứa trục thực và trục ảo là các trục đối xứng của (H)

O là tâm đối xứng của (H)

1.2.4.Tiếp tuyến của Hypebol

+ Xét điểm M(x 0;y0) thuộc (H) Khi đó phương trinh tiếp tuyến của (H)

M 1

Trang 9

e được gọi là các đường chuẩn

của elip tương ứng với các tiêu điểm F1 và F2

1.2.6 Tiệm cận của Hypebol

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua F

Tập hợp tất cả các điểm M cách đều F và  được gọi là đường Parabol (hay

Parabol)

Điểm F gọi là tiêu điểm của Parabol

Đường thẳng  gọi là đường chuẩn của parabol

Khoảng cách từ F đến  được gọi là tham số tiêu của parabol

Trang 10

1.3.2.Phương trình chính tắc của parabol

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho parabol (P) có tiêu điểm F(

2

p

;0) và đường chuẩn  có phương trình: x=-

2

p Khi đó phương trình chính tắc của (P) là: 2

y =2px (p>0)

1.3.3.Tâm sai và đường chuẩn của parabol

-Tâm sai của parabol là: e=1

-Đường chuẩn của parabol

:x=-2

p

1.3.4.Tiếp tuyến của parabol(P)

+ Xét điểm M(x 0;y0) thuộc (P) Khi đó phương trinh tiếp tuyến của (P)

tại điểm M là : y0 y=p(x0+x)

+Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với ( P) là:

2

pB  AC

2.Phương pháp Hình học tổng hợp

Từ những định nghĩa được nêu ra theo phương pháp giải tích, ta có thể bổ

sung định nghĩa và tính chất của các đường conic theo phương pháp hình học

Trang 11

2.1.Đường Elip

2.1.1.Định nghĩa:

-Elip là tập hợp những tâm M của những đường tròn (M) tiếp xúc với 1

đường tròn cố định tâm F1 bán kính 2a, đồng thời (M) đi qua 1 điểm cố định

Cho elip (E) có 2 tiêu điểm F1 và F2, M là 1 điểm nằm trên (E) Khi đó

tiếp tuyến (d) tại M là đường phân giác ngoài của góc

Chứng minh

Xét điểm M(x 0;y0) thuộc (E) Khi đó phương trinh tiếp tuyến (d) của

(E) tại điểm M là :

.2  2.  1

b

y y a

Trang 12

+Nếu x 0=0 thì (d) Ox  F1MF2 cân tại M

Khi đó kết luận của bài toán trong trường hợp này hiển nhiên đúng

Hypebol là tập hợp tất cả những tâm M của những đường tròn (M) tiếp

xúc với 1 đường tròn cố định (F1)(có tâm F1 bán kính 2a), đồng thời (M) đi

qua 1 điểm cố định F2 nằm ở ngoài (F1)

Trang 13

Cho Hypebol (H) có 2 tiêu điểm F1 và F2 Khi đó tiếp tuyến (d) của (H) tại

1 điểm M nằm trên nó là đường phân giác trong của góc

Cho đường tròn (F) tiếp xúc với đường thẳng (d) Khi đó Parabol là tập hợp

tất cả các tâm đường tròn tiếp xúc với đường tròn (F) và đường thẳng (d) tại hai

điểm phân biệt

Trang 14

Hai định nghĩa theo 2 phương pháp trên tương đương nhau

Thật vậy:

Gọi O là tiếp điểm của d và (F), Q là tiếp điểm của (M) và (F)

K là tiếp điểm của (M) và d, d’là ảnh của d qua phép vị tự tâm F tỉ số 2

Cho parabol(H) có tiêu điểm F và đường chuẩn  Với mỗi điểm M nằm trên

(E), dựng H là hình chiếu của M trên , khi đó tiếp tuyến (d) tại M là đường

phân giác trong của góc HMF

O

Trang 15

Giả sử elip(E) có phương trình chính tắc: 2

y =2px (p>0) Khi đó với M(x0;y0) ,phương trình tiếp tuyến (d): y0.y=p(x0+x)

Gọi E= d Ox Suy ra E(-x0;0),

+ x0 (Công thức bán kính qua tiêu của elip)

Do đó MF= EF  MEF cân tại F  MEF =EMF

Lại có MHOx nên MEF = EMH

Trang 16

Chương 2 phương pháp đại số và phương pháp hình học tổng hợp với một số bài toán

về các đường conic

1 Phương pháp đại số với một số bài toán về các đường conic

Những lời giải bằng phương pháp đại số thuần túy thể hiện sức mạnh nội

tại của môn Hình học giải tích và phương pháp tư duy kiểu hình học giải tích

Trong phần này, ta sẽ xét các dạng bài toán mà sử dụng nhiều đến các tính

chất giải tích của 3 đường conic Cụ thể là sử dụng đến các phương trình chính

tắc, cũng như các dạng giải tích của các tiếp tuyến của chúng, nó mang nặng

“màu sắc” hình học giải tích theo đúng nghĩa của nó Sau đây là 1 số dạng toán:

1.1.Tiếp tuyến của các đường conic

Nhận xét: Những bài toán được giải bằng phương pháp đại số thể

hiện lối tư duy theo phương pháp hình học giải tích Nếu chúng được

giải theo phương pháp hình học tổng hợp thì sẽ rất rắc rối trong việc

quan sát hình vẽ và bài toán đưa ra cũng không có nhiều dữ kiện để

phục vụ cho phương pháp hình hình học tổng hợp Cho nên trong phần

này các bài toán được đưa ra giải bằng phương pháp đại số là một điều

hợp lí

Bài giải

2 2

x

, trục lớn A A'=2a ,hai tiêu điểm là F và F'

Vẽ 2 tiếp tuyến At và A't’ với (E). là 1 tiếp tuyến di động của (E), (  At và

 A’t’)

Giả sử  cắt At và A’t’ tương ứng tại M và M’

1/CMR:Khi  di động thì AM.A’M’=const

2/CMR:Tích các khoảng cách tử F và F’ tới  cũng là hằng số

Trang 17

1/ Giả sử tiếp tuyến  có phương trình Ax+By+C=0

Do  At và  A’t’ nên B0.Ta có 2 2 2 2 2

y

M M’

Trang 18

 đpcm

Nhận xét 1:Trong bài này ta đã sử dụng kiến thức về hình học giải

tích: điều kiện tiếp xúc của 1 đường thẳng với elip và khoảng cách từ 1

điểm tới 1 đường thẳng…Lời giải bằng phương pháp này rất gọn và dễ

hiểu và ta nên sử dụng phương pháp này để giải bài toán trên

Nhận xét 2: Có những bài toán mà nếu ta sử dụng phương pháp

hình học tổng hợp thì việc quan sát và thu nhận kiến thức từ hình vẽ rất

khó khăn.Tuy nhiên để khắc phục những khiếm khuyết ấy thì trong

những trường hợp này, phương pháp đại số lại phát huy rất tốt vai trò

của mình Sau đây là 2 ví dụ minh họa:

Bài giải

1/Điều kiện đủ:

Giả sử (E) và (H) có cùng 2 tiêu điểm F và F’ Vì F và F’ ở trong miền

giới hạn bởi 2 nhánh của (H) và cũng ở trong (E) nên hai đường cong này cắt

nhau tại 4 điểm.Giả sử M là 1 trong số 4 điểm đó (với các giao điểm khác ta

cũng lập luận tương tự)

Gọi  là tiếp tuyến với(E) ,thì  là phân giác ngoài của FMF' Gọi ’ là

tiếp tuyến với(H) ,thì ’ là phân giác trong của FMF' Do vậy    ' Theo

định nghĩa,(E) và (H) trực giao với nhau

Điều kiện đủ được chứng minh

2/Điều kiện cần

2 2

trực giao với nhau là chúng có cùng 2 tiêu điểm

Trang 19

Giả sử (E) và (H) trực giao với nhau, Gọi A( ;x y0 0) =(E)(H)

Khi đó x0và y0là nghiệm của hệ sau:

Bài 3 Cho hypebol (H) có 2 tiêu điểm F và F’ ,tâm là O.Giả sử N là 1 điểm di

động trên nhánh MF’-MF>0 của (H).Gọi  là tiếp tuyến với (H) tại N Từ F

kẻ FM  (MON)

Tìm quỹ tích của M

Trang 20

Trang 21

Tìm quỹ tích trực tâm tam giác ABC khi M,N,P di động trên parabol

ĐA:Quỹ tích của trực tâm H là đường chuẩn của của parabol đã cho

Bài 2: Cho parabol x2=2py với tiêu điểm F, d là đường thẳng bất kì qua F và

cắt parabol tại M và N CMR: tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau

Bài 3:

Trên mặt phẳng tọa độ cho A(1;0) và B(-1;0).At và Bt’ là 2 tia vuông góc

với AB và ở cùng 1 phía đối với AB I là điểm cố định trên đoạn OA M và N

di động trên At và Bt’ sao cho  90o

MIN CMR: MN luôn tiếp xúc với 1 elip cố định

1.2.các bài toán thiết lập các đường conic

Nhận xét: Trong mục này,ta sẽ xét 1 số bài toán tìm quỹ tích các điểm

được sử dụng phương pháp đại số (quỹ tích của nó là các đường conic)

Ta biểu diễn tọa độ của những điểm di động dựa vào một số dữ kiện của

bài toán Sau đó dựa vào mối liên quan của những điểm này với các yếu

tố cố định để ta suy ra quỹ tích của chúng

Sau đây là một số ví dụ minh họa:

x

y

F F’

x ,(a>b) nhận F và F’ làm 2 tiêu điểm,AA’ là trục lớn M là 1 điểm di động trên (E) Gọi I là tâm đường

tròn nội tiếp MFF'

Tìm quỹ tích của I

Trang 22

Bài giải

Giả sử M(x y0; 0) nằm trên (E) Gọi I(x1;y1) là tâm đường tròn nội tiếp MFF'

Ta có x1=OH, ở đây H là hình chiếu của I lên Ox

Mà OH=OF-HF=OF-HF (1) (vìHF>0 do F luôn nằm ở bên phải H)

2 c y

0

a c nên từ (5) suy ra quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp MFF'

chính là elip nhận tiêu cự FF’ làm trục lớn ,và có phương trình chính tắc

(5)

Bài giải

2 2

Trang 23

Giả sử M(x y0; 0) nằm trên (E) Gọi H(x H;y H ) là trực tâm MAA'

a y b

-Nếu y0 0  y H=

2 0 2

Trang 24

Nói tóm lại, quỹ tích H là toàn bộ elip cho bởi phương trình (7) trên

Nhận xét: Những bài toán trên không nên sử dụng phương pháp hình

học tổng hợp để giải bởi vì việc xác định hình dạng của quỹ tích trên là

việc không dễ dàng, ta khó có thể phán đoán ra quỹ tích của chúng

Một số bài tập đề nghị:

Bài 1:Cho O là 1 điểm cố định trên 1 đường thẳng d cố định ,P,Q theo thứ tự là

các điểm di động trên đường tròn (O;a) và (O;b) (a>b),sao cho d là phân giác

trong của POQ .Xét điểm M sao cho OMOP OQ 

Tìm quỹ tích điểm M

Bài 2 (Bài toán Salơ)

2 2

Định dạng
Số trang	49
Dung lượng	775,83 KB