Dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất trong chương trình toán phổ thông

LỜI CẢM ƠN Bằng lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn Th.S Đào Thị Hoa tận tình bảo, giúp đỡ em suốt trình thực hồn thiện khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Tốn, đặc biệt thầy tổ phương pháp, bạn sinh viên khoa tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2012 Sinh viên thực Nguyễn Thị Thuỷ LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài “Dạy học số yếu tố tổ hợp xác suất chương trình tốn phổ thơng” thân em nghiên cứu hướng dẫn Th.S Đào Thị Hoa, giảng viên khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội Đề tài khơng chép từ luận văn có sẵn khác Kết nghiên cứu không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2012 Sinh viên thực Nguyễn Thị Thuỷ DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ĐN: định nghĩa đgl: gọi GV: giáo viên HS: học sinh HĐ: hoạt động MĐ: mục đích SGK: sách giáo khoa VD: ví dụ MỤC LỤC Mở đầu Nội dung Chương 1: Nội dung dạy học số yếu tố tổ hợp xác suất 1.1 Ý nghĩa 1.2 Mục đích- yêu cầu việc dạy số yếu tố tổ hợp xác suất 1.3 Nội dung triển khai chủ đề tổ hợp xác suất phổ thông Chương 2: Dạy học chủ đề tổ hợp xác suât phổ thông 2.1 Tổ hợp 2.1.1 Hai quy tắc đếm 2.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp 14 2.1.3 Nhị thức Niu-tơn 18 2.2 Xác suất 21 2.2.1 Phép thử biến cố 21 2.2.2 Các định nghĩa xác suất 23 2.2.3 Các quy tắc tính xác suất 26 2.2.4 Biến ngẫu nhiên rời rạc 30 Kết luận 33 Phụ lục 34 47 Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài: Toán học đa dạng, phong phú kiến thức toán học sử dụng rộng rãi khoa học sống Trong phải kể đến mạch toán ứng dụng Nội dung mạch tốn đưa vào dạy chương trình tốn phổ thơng để học sinh giải số toán thực tiễn Phần kiến thức trọng tâm mạch toán “Tổ hợp xác suất” trình bày chi tiết chương trình tốn Đại số Giải tích lớp 11 nhằm giúp học sinh giải toán xác định số phần tử tập hợp hay toán xét khả xảy biến cố ngẫu nhiên Nội dung “Tổ hợp xác suất” trình bày SGK gắn liền thực tiễn, nhiên phần kiến thức cịn học sinh Do vậy, để học sinh tiếp thu cách tốt nhất, đảm bảo cho việc dạy học nội dung có hiệu nhất, sinh viên trước trường cần chuẩn bị cho hành trang tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cần thiết phương pháp dạy học nội dung Với lí em nghiên cứu đề tài “Dạy học số yếu tố tổ hợp xác suất chương trình tốn phổ thơng” II Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu việc dạy học tổ hợp xác suất chương trình tốn phổ thơng nhằm nâng cao chất lượng hiệu việc dạy học nội dung sau trường III.Nhiệm vụ: - Tìm hiểu ý nghĩa, vai trò việc dạy học số yếu tố tổ hợp xác suất phổ thơng - Phân tích nội dung chương trình SGK dạy học kiến thức “Tổ hợp xác suất” - Đề xuất lưu ý phương pháp dạy học “Tổ hợp xác suất” IV.Phương pháp nghiên cứu: Đề tài có sử dụng phương pháp: - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp điều tra quan sát - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm V.Cấu trúc dề tài: Ngoài phần: Mở đầu, tài liệu tham khảo, kết luận phụ lục nội dung đề tài gồm hai chương: Chương Nội dung dạy học số yếu tố tổ hợp xác suất 1.1 Ý nghĩa 1.2 Mục đích - yêu cầu dạy học tổ hợp xác suất 1.3 Nội dung triển khai tổ hợp xác suất phổ thông Chương Dạy học tổ hợp xác suất phổ thông 2.1 Tổ hợp 2.2 Xác suất NỘI DUNG Chương Nội dung dạy học số yếu tố tổ hợp xác suất 1.1 Ý nghĩa: Trong khoa học sống, thường gặp toán xác định số lượng đối tượng có tính chất đó, ta gọi tốn đếm Tổ hợp ngành toán học nghiên cứu toán mang cấu trúc rời rạc, có tốn đếm Nhờ nghiên cứu lí thuyết tổ hợp mà xác định số lượng phần tử tập hợp cách nhanh chóng, xác mà khơng cần liệt kê tất phần tử nhiều trường hợp điều khơng khả quan Từ mà ta thấy việc dạy học yếu tố tổ hợp cần thiết cho nhiều ứng dụng thực tiễn, chúng cịn phục vụ cho giải tốn xác suất Bản thân người thường tiếp xúc, va chạm với biến cố ngẫu nhiên, tình có yếu tố may rủi, kiện khơng thể dự đốn trước chắn xảy hay khơng xảy Lí thuyết xác suất ngành tốn học nghiên cứu tìm quy luật chi phối tượng ngẫu nhiên, đưa phương pháp dự báo, ước lượng tính toán xác suất biến cố ngẫu nhiên Bởi vậy, lí thuyết xác suất sử dụng tất ngành, lĩnh vực đời sống xã hội Hơn nữa, lí thuyết xác suất cịn sử dụng để nghiên cứu quy luật thống kê Lí thuyết tổ hợp sử dụng để giải tốn xác suất cịn lí thuyết xác suất sử dụng để nghiên cứu mơ hình quy luật thống kê Do vậy, việc nghiên cứu tổ hợp xác suất khơng có ứng dụng thực tiễn mà cịn có ứng dụng lý thuyết toán học trở thành ngành toán học đa diện chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng Như vậy, việc nghiên cứu tổ hợp xác suất cần thiết Cần dạy cho học sinh nghiên cứu ứng dụng nội dung phần lí thuyết để giải tốn thực tiễn 1.2 Mục đích - u cầu việc dạy học số yếu tố tổ hợp xác suất: Phần kiến thức tổ hợp xác suất đưa vào chương trình tốn phổ thông nhằm cung cấp cho HS hiểu biết ban đầu, nội dung Và mục đích việc dạy học nội dung sau học xong HS đạt được: a) Về kiến thức: Nắm hai quy tắc đếm quy tắc cộng quy tắc nhân, phân biệt hai quy tắc Hiểu khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Đặc biệt thấy rõ mối liên hệ khác tổ hợp chỉnh hợp Nhớ cơng thức tính số hốn vị, số chỉnh hợp số tổ hợp Nắm công thức nhị thức Niu-tơn, cách thiết lập tam giác Pa-xcan Nắm khái niệm: phép thử, không gian mẫu, kết thuận lợi cho biến cố Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Nắm quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất Đối với ban tự nhiên làm quen thêm với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc đặc trưng quan trọng kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn Nhớ cơng thức tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn b) Về kĩ năng: HS biết cách vận dụng hai quy tắc đếm bản, cơng thức tính số hốn vị, số tổ hợp, số chỉnh hợp để giải số toán tổ hợp đơn giản Biết vận dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn vào tốn có liên quan Biết vận dụng kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển xác suất Biết vận dụng quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất để giải số toán xác suất đơn giản Đối với ban tự nhiên biết lập bảng phân bố xác suất, biết tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc 1.3 Nội dung triển khai chủ đề “Tổ hợp xác suất” phổ thơng: Chủ đề đưa vào chương trình tốn Đại số giải tích 11 gồm nội dung sau: A Tổ hợp Hai quy tắc đếm bản: Nội dung trình bày SGK bao gồm hai quy tắc: quy tắc cộng quy tắc nhân Nhưng sách sách nâng cao có khác cách phát biểu định nghĩa: Ở sách bản, quy tắc cộng phát biểu cho “một cơng việc hồn thành hai hành động” Ở sách nâng cao phát biểu quy tắc cộng cho “một công việc thực phương án ” thêm phát biểu “một công việc thực phương án ” Trong sách cịn có đọc thêm quy tắc cộng mở rộng Tương tự vậy, quy tắc nhân phát biểu hai sách có khác SGK nâng cao nói chung trình bày hai quy tắc chi tiết, đầy đủ SGK Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp: Trong phần này, SGK đưa khái niệm: hoán vị hợp chập phần tử, tổ hợp chập phần tử, chỉnh phần tử ; công thức tính số hốn vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp số tính chất Nhị thức Niu-tơn: SGK trình bày cơng thức nhị thức Niu-tơn cách xây dựng hệ số công thức nhị thức Niu-tơn tam giác Pa-xcan SGK đưa ý chi tiết so với SGK nâng cao cơng thức nhị thức Niu-tơn cịn SGK nâng cao lại có ưu điểm SGK chỗ đưa quy luật thiết lập tam giác Pa-xcan Trong dạy nên kết hợp hai loại sách để HS nắm cách tốt B Xác suất Ở phần có trình bày khác nội dung hai loại sách: + SGK gồm bài:  Phép thử biến cố  Xác suất biến cố 10 KẾT LUẬN Trong trình nghiên cứu dạy học chủ đề Tổ hợp xác suất, sâu em thấy việc dạy chủ đề cho học sinh hiểu, nắm vận dụng không đơn giản Trong đề tài em đạt kết sau: + Phân tích nội dung chương trình phần tổ hợp xác suất + Đề xuất lưu ý trình dạy học nội dung chủ đề tổ hợp xác suất Và em thấy nghiên cứu thực hữu ích cho việc dạy học nội dung sau trường Tuy em đưa số ý kiến đề tài “Dạy học số yếu tố tổ hợp xác suất chương trình tốn phổ thơng” ý kiến mang tính chủ quan, kinh nghiệm nghiên cứu chưa có nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong q thầy bạn sinh viên góp ý để khóa luận em hồn thiện Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Thủy 37 PHỤ LỤC Dưới hai tiết soạn “Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp” SGK Đại số Giải tích 11 nâng cao Bài soạn 1: Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Tiết I Mục tiêu: Sau học xong HS cần đạt được: Kiến thức: Nắm định nghĩa hốn vị, cơng thức tính số hốn vị tập n phần tử Kĩ năng: Biết cách xác định tập dạng hốn vị biết tính số hoán vị tập n phần tử Thái độ: HS tự giác, tích cực, chủ động học tập II Chuẩn bị GV HS: Chuẩn bị GV: - Chuẩn bị phương tiện đồ dùng dạy học - Chuẩn bị câu hỏi gợi mở 38 Chuẩn bị HS: - Đọc trước nhà III Tiến trình dạy học: Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số, ghi số đầu Kiểm tra cũ: Kiểm tra quy tắc cộng, quy tắc nhân Bài mới: Chúng ta gặp toán thứ tự phần tử tập hợp tính số cách xếp cách liệt kê đầy đủ, hôm xét cụ thể vấn đề này: 39 Thời gian Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung Hoán vị (2 – 3’) - Yêu cầu HS - HS nghiên cứu a) Hốn vị gì? nghiên cứu VD1: VD1 - Mỗi cách xếp thứ tự An, Bình, Châu theo thứ tự giải nhất, nhì, ba đgl hốn vị tập {An, Bình, Châu} GV đưa Là cách định nghĩa phần tử theo thứ tự hỏi HS hiểu hốn vị tập gồm n phần tử nào? (2 – 3’) - GV yêu cầu HS - HS đọc -Định nghĩa: đọc Cho tập định nghĩa hốn vị SGK có ( ) phần tử Khi xếp phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập 40 (4 – 5’) - GV hỏi HS nhận - Hai hoán vị khác xét hai hoán vị khác vị trí nào? phần tử (GV hướng dẫn hoán vị có khác HS khơng trả lời được) - HĐ1: + HS tiến hành làm + MĐ: Nhằm rèn HĐ1: (1 – 2’) cho HS cách tìm (a, b, c, d),(a, b, d, e), số hoán vị (a, c, b, d),(a, c, d, b), tập cho thấy (a, d, b, c),(a, d, c, b), khác (b, a, c, d),(b, a, d, c) hoán vị + Sau liệt kê + HS trả lời: cịn hốn vị (bằng cách (7 – 9’) GV hỏi HS cịn số hốn vị hốn vị tập khác) cho hay không? + GV: Làm để biết liệt kê đủ số hoán vị b) Số hoán vị: hay chưa? Ta nghiên - HS nghiên cứu định - Định lí 1: cứu định lí lí Số hốn vị tập - Hướng dẫn HS có cách chứng minh 41 phần tử là: định lí - Ý nghĩa định lí: Dùng để kiểm tra việc liệt kê hoán vị tập hợp đầy đủ hay chưa? Hay dùng để tìm số hốn vị tập hợp (5 – 7’) trường hợp không liệt kê hết tất hốn vị số hốn vị lớn - Xét VD2 - HS nghiên cứu VD2 - VD2: + Hai cách tham + Khác cách quan địa điểm chọn thứ tự điểm có khác nhau? tham quan + Áp dụng kiến + Là hoán vị thức vừa học tập gồm địa điểm cho biết cách tham quan tham quan địa (5 – 7’) điểm gì? + Vậy số cách chọn + Số cách chọn là: thứ tự địa điểm 7! = 5040 tham quan 42 chọn nào? - HĐ2: - HS theo dõi HĐ2 + MĐ: Giúp HS củng cố tập dạng hốn vị tính số hốn vị + Hướng dẫn: Số tự nhiên có Có dạng chữ số có dạng nào? Hai số tự nhiên có Khác chỗ vị chữ số tạo trí chữ số khác chữ số cho khác nào? Vậy số lập Là hoán vị số (7 – 9’) thành số số số cho? lập thành là: 5! = 120 + Nếu toán cho + HS1: chữ số {0, 1, 2, 5! = 120 số 3, 4} có bao + HS2: khơng giống nhiêu số có chữ tốn số tạo thành? phải loại số có Có giống tốn chữ số a số khơng? 43 Hướng dẫn: Chữ số a có Chữ số a có cách cách chọn? chọn(trừ số 0) Chữ số b có Chữ số b có cách cách chọn sau chữ chọn sau chữ số a số a? Chữ số c có Chữ số c có cách cách chọn sau chữ chọn sau chữ số b số b? Chữ số d có Chữ số d có cách cách chọn sau chữ chọn sau chữ số c số c? Chữ số e có Chữ số e có cách cách chọn sau chữ chọn sau chữ số d số d? Vậy số số chữ Số số lập số lập được là: bao nhiêu? 4 = 96 (số) IV Củng cố học: Hoán vị tập gồm n (n  1) phần tử cách thứ tự n phần tử theo thứ tự Số hốn vị tập n phần tử là: Pn = n! = n (n-1) V Dặn dò chuẩn bị: 44 Về nhà làm 5, SGK Đọc trước phần sau Bài soạn 2: Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Tiết I Mục tiêu: Sau học xong HS cần đạt được: Kiến thức: HS nắm định nghĩa chỉnh hợp, cơng thức tính số chỉnh hợp chập k n phần tử Kĩ năng: HS biết cách xác định tập dạng chỉnh hợp, biết tính số chỉnh hợp chập k n phần tử Thái độ: HS tự giác, tích cực, chủ động học tập II Chuẩn bị GV HS: Chuẩn bị GV: Chuẩn bị phương tiện dạy học Chuẩn bị câu hỏi gợi mở Chuẩn bị HS: Nghiên cứu học trước nhà 45 III Tiến trình dạy học: Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số, ghi sổ đầu Kiểm tra cũ: Kiểm tra quy tắc nhân, hoán vị, cách tính số hốn vị tập n phần tử Bài mới: Cho tập gồm n phần tử, có cách lấy k phần tử có thứ tự từ n phần tử cho ? Chúng ta nghiên cứu học hôm nay: Thời gian (5 – 6’) Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung - Yêu cầu HS theo - HS theo dõi VD3: Chỉnh hợp dõi VD3 SGK: a) Chỉnh hợp gì? + Việc chọn cầu + Khơng, thủ 11 cầu có chọn phải hay khơng? + Xếp thứ tự cầu thủ chọn số 11cầu thủ để đá luân lưu cách xếp đgl chỉnh hợp chập 11 cầu thủ GV định Chỉnh hợp chập k 46 nghĩa hỏi n phần tử HS hiểu chỉnh cách thứ tự hợp chập k n k phần tử lấy từ n phần tử gì? phần tử cho (2 – 3’) - Yêu cầu HS đọc (4 – 5’) định nghĩa SGK HS đọc định - Định nghĩa: nghĩa Cho tập tử gồm với Lấy tử phần phần chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập - HĐ3: - HS thực + MĐ: giúp HS rèn HĐ3 luyện cách xác định chỉnh hợp chập k n phần tử cách liệt kê + Hai chỉnh hợp + Khi hai chỉnh hợp (2 – 3’) khác nào? có phần tử khác chúng có phần tử giống vị trí phần tử có 47 khác - Yêu cầu học sinh - HS đọc - Nhận xét:(SGK) đọc nhận xét SGK - Khi liệt kê chỉnh hợp chập k n phần tử nhiều không đầy đủ (7 – 8’) liệt kê tất số lượng chỉnh hợp lớn Để giải vấn đề ta xét phần b) Số chỉnh hợp: - Xét VD4 (7 – 9’) - HS theo dõi VD4 - VD4 Hướng dẫn HS giải - Bài tốn đặt là: Cho tập có n phần tử (2 – 3’) số nguyên k (1  k  n) Hỏi có chỉnh hợp chập k tập n phần tử đó? Ta xét - HS theo dõi định - Định lí 2:(SGK) định lí 2: lí Số chỉnh hợp chập 48 Hướng dẫn HS tập có chứng minh định lí phần tử là: (6 – 7’) - Nhận xét: - Nhận xét: (SGK) + Ý nghĩa: Giúp HS hiểu rõ mối liên hệ hoán vị n phần tử với chỉnh hợp chập k n phần tử + Yêu cầu HS đọc HS đọc nhận xét nhận xét - Xét VD5: (4 – 5’) + Một vectơ + Tạo từ hai điểm, tạo từ điểm? có có xét thứ tự xét thứ tự điểm điểm: không? điểm đầu, điểm cuối + Vậy muốn có + Có điểm từ vectơ ta phải có điểm cho gì? thứ tự cho chúng + Hãy tính số vectơ + Số vectơ có thể lập thành? lập (vectơ) 49 - Chú ý: - Chú ý: + Với < k < n ta Ý nghĩa: nhằm biểu diễn ngắn gọn cơng có thức dạng thức: thể viết công thức trường hợp k công (1) dạng: nhỏ mà n lớn (2) + Ta quy ước: 0!=1; Khi công thức (2) cho k=0 k=n IV Hoạt động củng cố: - Chỉnh hợp chập k n phần tử cách thứ tự k phần tử lấy từ n phần tử cho - Số chỉnh hợp chập k n phần tử (1  k  n) là: V Dặn dò, chuẩn bị: - Làm tập a), b) - Đọc trước phần sau nhà 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Vũ Tuấn (chủ biên) - Đại số Giải tích 11, NXB Giáo Dục [2] Trần Văn Hạo (chủ biên) – Tài liệu bồi dưỡng giáo viên Toán 11, NXB Giáo Dục [3] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Vũ Tuấn (chủ biên) - Sách giáo viên Đại số Giải tích 11, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Bá Kim – PPDH mơn tốn (phần 2), NXB ĐHSP [5] Bùi Văn Nghị - Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn tốn, NXB Giáo dục [6] Đồn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) - Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo Dục [7] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) - Sách giáo viên - Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo Dục 51 ... hai chương: Chương Nội dung dạy học số yếu tố tổ hợp xác suất 1.1 Ý nghĩa 1.2 Mục đích - yêu cầu dạy học tổ hợp xác suất 1.3 Nội dung triển khai tổ hợp xác suất phổ thông Chương Dạy học tổ hợp xác. .. pháp dạy học nội dung Với lí em nghiên cứu đề tài ? ?Dạy học số yếu tố tổ hợp xác suất chương trình tốn phổ thơng” II Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu việc dạy học tổ hợp xác suất chương trình tốn phổ. .. yếu tố tổ hợp xác suất 1.3 Nội dung triển khai chủ đề tổ hợp xác suất phổ thông Chương 2: Dạy học chủ đề tổ hợp xác suât phổ thông 2.1 Tổ hợp 2.1.1 Hai quy tắc đếm 2.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp