Ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong toán tiểu học

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Mở ĐầU Lí chọn đề tài Nh- biết, bậc Tiểu học bậc học tảng hệ thống giáo dục quốc dân Đây bậc học có tính độc lập t-ơng đối Nó không phụ thuộc nghiêm ngặt vào giáo dục tr-ớc sau Hơn nữa, Tiểu học bậc học tạo nét nhân cách ng-ời Việt Nam đại Những ng-ời tiếp thu đ-ợc bậc Tiểu học hành trang cho học sinh suốt đời Đặc biệt bậc học thể rõ tính s- phạm bậc hình thành cách học cho học sinh Dạy học toán tiểu học dạy học sinh hoạt động toán học Trong hình thức hoạt động toán học chủ yếu học sinh giải tập Thông qua việc giải tập toán, học sinh củng cố, vận dụng hiểu sâu sắc kiến thức Qua biểu t-ợng, khái niệm, qui tắc tính chất toán học Tiểu học đ-ợc tiếp thu qua đ-ờng giải toán lí luận Học sinh có điều kiện rèn luyện, phát triển lực t- duy, rèn luyện ph-ơng pháp suy luận phẩm chất cần thiết ng-ời lao động Qua thực tế tr-ờng Tiểu học thấy có nhiều toán mức độ nâng cao, sâu ch-ơng trình sách giáo khoa cần phải có ph-ơng pháp riêng dựa sở toán học khác Toán bậc Tiểu học toán cụ thể lấy từ kiến thức toán học có dạng khái quát bậc học cao Những toán dựa qui tắc, mệnh đề, qua mà học sinh có hiểu biết sơ giản vận dụng vào hoạt động toán học giáo viên có nhiệm vụ hình thành cho học sinh ph-ơng pháp giải toán hiệu Ph-ơng pháp có sở lấy từ lí thuyết, qui tắc, công thức toán học bậc học cao mà hình thành nên công thức toán học chứng minh Nh- số dạng toán không hình thành kiến thức toán học mà phải có ph-ơng pháp giải toán cho học sinh Tiểu học dựa sở toán học Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Vấn đề ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán tiểu học vấn đề quan tâm từ lâu thấy vấn đề ch-a có công trình nghiên cứu Chính chọn đề tài nghiên cứu để góp phần nhỏ bé để việc dạy học toán Tiểu học Tôi mong đ-ợc đóng góp bạn đọc để đề tài đ-ợc hoàn thiện Mục đích nghiên cứu - phát cách giải toán có hiệu - Củng cố vững kiến thức, rèn luyện t- logic - Rèn luyện trí thông minh óc sáng tạo, nâng cao khả lập luận giải toán cho học sinh Nhiệm vụ nghiên cứu - nghiên cứu lí thuyết tổ hợp - Tìm hiểu, phân tích toán ứng dụng lí thuyết tổ hợp Đối t-ợng nghiên cứu - Các toán tiểu học - Kiến thức lí thuyết tổ hợp Ph-ơng pháp nghiên cứu - Ph-ơng pháp nghiên cứu tài liệu - Ph-ơng pháp tổng hợp, so sánh, phân tích - Ph-ơng pháp quan sát s- phạm Cấu trúc đề tài Ch-ơng Những vấn đề liên quan đến đề tài Đặc điểm học sinh tiểu học Suy luận toán học Bài toán lời giải toán Ph-ơng pháp giải toán Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Ch-ơng Lí thuyết tổ hợp Xây dựng lí thuyết tổ hợp Các toán tiểu học Ch-ơng ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán tiểu học ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán cấu tạo số ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán hình học ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán khác Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth nội dung Ch-ơng Những vấn đề lí luận liên quan đến đề tài Đặc điểm t- học sinh tiểu học T- học sinh tiểu học trình nhận thức giúp em phản ánh đ-ợc chất đối t-ợng nghĩa giúp em tiếp thu đ-ợc khái niệm môn học - Phân tích dùng trí óc phân tích đối t-ợng nhận thức thành phận, thuộc tính riêng biệt đối t-ợng Từ nhận thức đối t-ợng sâu sắc - Tổng hợp dùng trí óc kết hợp thành phần tách qua phân tích khôi phục lại toàn thể dựa liên hệ thuộc chất đ-ợc khám phá nhờ phân tích - Hai thao tác phân tích tổng hợp trái ng-ợc nh-ng chúng thống trình: phân tích sở tổng hợp, tổng hợp đ-ợc tiến hành sở phân tích - So sánh dùng trí óc để xác định giống, khác vật, t-ợng Muốn so sánh vật, t-ợng, học sinh phải phân tích dấu hiệu, thuộc tính, dấu hiệu Sau tổng hợp mà đ-a kết luận - Trừu t-ợng hóa thao tác trí óc mà chủ thể bỏ qua dấu hiệu không chất vật, t-ợng tách dấu hiệu chất để trở thành đối t-ợng t- T- học sinh tiểu học đ-ợc chia làm hai giai đoạn: - Giai đoạn đầu tiểu học (lớp 1, 2, 3) T- học sinh tiểu học giai đoạn chủ yếu t- cụ thể (t- trực quan hành động t- trực quan hình ảnh) Học sinh tiếp thu tri thức môn học cách tiến hành thao tác t- với đối t-ợng cụ thể hình ảnh trực quan Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Ví dụ: Khi học sinh học phép tính chủ yếu sử dụng que tính để tính toán + Phân tích tổng hợp phát triển không đồng em học môn học Ví dụ: Khi học sinh làm tập toán, em bị lôi vào từ thêm vào, bớt đi, tách khỏi điều kiện chung tập từ dẫn đến kết sai lầm + Các thao tác t- liên kết với thành tổng thể tính thuận nghịch, giúp học sinh có kĩ nhận thức bất biến (cái không thay đổi) biến đổi xuôi ng-ợc khái niệm bảo toàn (số l-ợng không thay đổi thay đổi cách xếp) Từ đó, t- học sinh có b-ớc tiến quan trọng, phân biệt định tính định l-ợng Đó điều kiện ban đầu để hình thành khái niệm số học sinh tiểu học học sinh nhận thức đ-ợc tính qui luật: a > b b < a a > b b > c a > c + Khái quát hóa mang tính trực tiếp dựa vào tri giác thuộc tính bề mặt đối t-ợng + Suy luận em mang tính chủ quan gắn liền với kinh nghiệm thực tế, em khó chấp nhận giả thiết không thực Ví dụ: Một lợn có hai chân ba lợn có chân? - Giai đoạn cuối tiểu học (lớp 4, 5) giai đoạn t- trừu t-ợng đ-ợc tăng c-ờng Học sinh tiếp thu tri thức môn học cách tiến hành thao tác t- với kí hiệu Học sinh nắm đ-ợc mối quan hệ khái niệm Học sinh không lĩnh hội thao tác thuận mà biết loại trừ Theo Piaget từ tuổi trở trẻ có khái niệm bảo toàn vật chất thao tác chuyển đảo Đây dấu hiệu thay đổi t- trẻ em giai đoạn phát triển thứ hai bắt đầu Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Các thao tác t- liên kết với nhau: thao tác thuận thao tác ng-ợc Tính kết hợp nhiều thao tác, thao tác đồng giai đoạn thao tác th- đ-ợc hình thành phát triển mạnh - Thao tác thuận: a + b = c - Thao tác nghịch: c - b = a c - a = b - Thao tác đồng nhất: a + = a - Tính kết hợp thao tác: (a + b) + c = a + (b + c) Sự kết hợp thao tác t- sở việc hình thành khái niệm Vũ Thị Nho - Tâm lí học phát triển - Nxb ĐHQGHN Đến cuối giai đoạn thứ hai, phần lớn học sinh biết khái quát dựa sở, biểu t-ợng tích lũy đ-ợc tr-ớc thông qua phân tích, tổng hợp trí tuệ Đến vai trò t- trực quan hình ảnh nh-ờng chỗ cho kiểu tư ngôn ngữ Khái quát hóa giai đoạn mang tính khái quát, biết dựa vào dấu hiệu chất + Các thao tác không gian thời gian vận động đ-ợc hình thành phát triển mạnh + Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết tốt từ kết đến nguyên nhân Bởi suy luận từ nguyên nhân đến kết quả, mối quan hệ trực tiếp đ-ợc xác lập ng-ợc lại; suy luận từ kết đến nguyên nhân, mối quan hệ đ-ợc xác lập cách không trực tiếp kết có nhiều nguyên nhân Suy luận toán học 2.1 Suy luận gì? Suy luận trình suy nghĩ từ hay nhiều mệnh đề cho tr-ớc rút mệnh đề Mỗi mệnh đề cho tr-ớc gọi tiền đề suy luận Mệnh đề đ-ợc rút gọi kết luận hay hệ Ký hiệu: X1, X2, , Xn Nếu X1, X2, , Xn Y Y ta gọi kết luận Y kết luận logic hay hệ logic Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Ký hiệu suy luận logic: X , X , , X n Y 2.2 Suy diễn Suy diễn suy luận hợp logic từ chung đến kết luận cho riêng, từ tổng quát đến tổng quát Đặc tr-ng suy diễn việc rút mệnh đề từ mệnh đề có đ-ợc thực theo qui tắc logic X - Quy tắc kết luận: - Quy tắc kết luận ng-ợc: - Quy tắc bắc cầu: Y, X Y X Y ,Y X X Y ,Y Z X Z - Quy tắc đảo đề: X Y Y X - Quy tắc hoán vị tiền đề: X Y Y X - Quy tắc ghép tiền đề: X X X Y Y Y X Z Z Z Z Z X Y Y X Z Z 2.3 Suy luận qui nạp Suy luận qui nạp phép suy luận từ riêng tới kết luận chung, từ tổng quát đến tổng quát Đặc tr-ng suy luận qui nạp qui tắc chung cho trình suy luận, mà sở nhận xét kiểm tra để rút kết luận Do kết luận rút trình suy luận qui nạp sai, có tính -ớc đoán Vd: 4=2+2 6=3+3 10 = + Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn tổng số nguyên tố Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth a) Qui nạp không hoàn toàn Là phép suy luận qui nạp mà kết luận chung dựa vào số tr-ờng hợp cụ thể đ-ợc xét đến Kết luận phép suy luận không hoàn toàn có tính chất -ớc đoán, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Sơ đồ: A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An B A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An số phần tử A Kết luận: Mọi phần tử A B Vd: + = + 4+1=1+4 Kết luận: Phép cộng hai số tự nhiên có tính chất giao hoán b) Phép t-ơng tự Là phép suy luận từ số thuộc tính giống hai đối t-ợng để rút kết luận thuộc tính giống khác hai đối t-ơng Kết luận phép t-ơng tự có tính chất -ớc đoán, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d B có thuộc tính a, b, c Kết luận : B có thuộc tính d Ví dụ : Từ chữ số 1, 2, lập đ-ợc số tự nhiên có ba chữ số khác từ số trên? Hd: Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục (đó hai chữ số lại, khác chữ số hàng trăm) Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì khác chữ số hàng trăm chữ số hàng chục) Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Vậy số số lập đ-ợc là: (số) Đáp số: số Ví dụ 2: Từ số 0, 3, 5, 6, lập đ-ợc số tự nhiên có năm chữ số? Hd: T-ơng tự nh- ta có cách làm nh- sau: Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn (vì khác chữ số 0) Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy số số lập đ-ợc là: 5 5 2500 (số) Đáp số: 2500 số c) Phép khái quát hóa Là phép suy luận từ đối t-ợng sang nhóm đối t-ợng có chứa đối t-ợng Kết luận phép khái quát hóa có tính chất -ớc đoán, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Vd: Phép cộng hai phân số (Lớp 4) * ? 8 Ta có : 3 8 8 Suy quy tắc chung cộng hai phân số mẫu số * 1 ? Ta có: 1 3 2 3 2 Khóa luận tốt nghiệp Cộng hai phân số : Nguyễn Thị Loan K32B gdth 1 3 6 Suy quy tắc chung cộng hai phân số khác mẫu số Vd: Chia tổng cho số ( Lớp 4) -Tính so sánh hai biểu thức : (35 + 21) : 35 : + 21 : -Ta có: (35 + 21) : = 56 : = 35 : + 21 : = + = -Vậy suy ra: ( 35 + 21) : = 35 : + 21 : - Suy quy tắc chung chia tổng cho số d) Phép đặc biệt hóa: Là phép suy luận từ tập hợp đối t-ợng sang tập hợp đối t-ợng nhỏ chứa tập hợp ban đầu Kết luận phép đặc biệt hóa nói chung đúng, trừ tr-ờng hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến kết luận đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Trong toán học phép đặc biệt hóa xảy tr-ờng hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm coi đ-ờng tròn có bán kính 0; Tam giác coi tứ giác cạnh có độ dài 0; Tiếp tuyến coi giới hạn cát tuyến đ-ờng cong giao điểm cố định giao điểm chuyển động đến Bài toán lời giải giải toán 3.1 Bài toán Theo G.POLYA: Bài toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức ph-ơng tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trông thấy rõ ràng, nh-ng đạt đ-ợc Trên sở định nghĩa khái quát G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán đòi hỏi phải đạt tới mục đích Nh- toán đồng với số quan niệm khác toán: đề toán, tập 10 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì phải khác chữ số hàng trăm hàng chục) Số số có chữ số thoả mãn đầu là: = 60 (số) Vì số lần lặp lại số hàng nh- số lặp lại số lần Nên số lần lặp lại số hàng là: 60 : = 12 (lần) Tổng số lập đ-ợc là: (1 + + + + 9) 12 100 + (1 + + + + 9) 12 10 + ( + + + + 9) 12 = 15 (1200 + 120 + 12) = 25 1332 = 33300 Đáp số: 33300 Bài 2: Trong phòng họp có 15 ng-ời, ng-ời lại có bắt tay Tất ng-ời phòng đ-ợc bắt tay lần Hỏi có tất có bắt tay? Hd: Ta thấy hai ng-ời lại bắt tay lần Số bắt tay số cách lấy ng-ời số 15 ng-ời Chọn ng-ời thứ có 15 cách chọn Chọn ng-ời thứ hai có 14 cách chọn Vậy để chọn ng-ời có : 14 15 = 210 (cách) Nh-ng số ng-ời lại đ-ợc tính lần bắt tay Vậy số cách lấy ng-ời thực là: 210 : =105 (cách) Số bắt tay phòng họp 105 bắt tay Đáp số: 105 bắt tay 52 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Bài 3: Các thành phố A, B, C, D đ-ợc nối với đ-ờng nh- hình d-ới Hỏi: Có cách từ A đến D mà qua B qua C lần? A B C D Hd: Có cách chọn từ A đến B Có cách chọn từ B đến C Có cách chọn từ C đến D Vậy có số cách từ A đến D mà qua B C lần là: = 24 (cách) Đáp số: 24 cách Bài 3: Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, chữ nhật) bốn kiểu dây (kim loại, da, vải nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây? Hd: Có cách chọn kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, chữ nhật) Có cách chọn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa) Có cách chọn kiểu mặt đồng hồ ứng với cách có cách chọn kiểu dây Vậy số cách chọn đồng hồ gồm mặt dây là: =12 (cách) Đáp số: 12 cách 53 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Bài 4: Có số có có năm chữ số, có từ hai chữ số giống trở lên Nhận xét: số thỏa mãn đầu nh-: 11234, 11324, 11342, Nh- ta liệt kê riêng với số đ-ợc lập từ số 1, 2, 3, chữ số đ-ợc lặp lại hai lần Khi ta liệt kê với tr-ờng hợp khác với chữ số lặp lại 3, lần khó liệt kê đ-ợc hết đủ Bài tập ph-ơng pháp thông th-ờng ph-ơng pháp tối -u Ta áp dụng lí thuyết tổ hợp để làm: Hd: * Tr-ớc hết ta tính số số có năm chữ số: - Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn (là chữ số khác 0) - Có 10 cách chọn chữ số hàng nghìn (là 10 chữ số) - Có 10 cách chọn chữ số hàng trăm (là 10 chữ số) T-ơng tự có 10 cách chọn chữ số hàng chục, 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy chữ có năm chữ số là: 10 10 10 10 = 90 000 (số) * Ta tính số số có năm chữ số khác nhau: - Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn (là chín chữ số khác 0) - Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn (là chữ số lại) - Có cách chọn chữ số hàng trăm (là chữ số lại) T-ơng tự ta có cách chọn chữ số hàng chục, có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy số số có chữ số khác là: 9 = 27 216 (số) * Bây ta tính số số có năm chữ số có từ hai chữ chữ số trở lên 54 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Từ việc tìm số số có chữ số số số có chữ số khác ta có số số có chữ số, có từ hai chữ số giống trở lên là: 90 000 - 27 216 = 62 784 (số) Đáp số: 62 784 số Bài 5: Có cách lấy cầu cầu xanh, đỏ, tím, vàng, da cam cho ba bạn Nam, Dũng, Hùng? Hd: Lấy cầu cho Nam, có cách Lấy cầu cho Dũng, có cách (chọn cầu lại) Lấy cầu cho Hùng, có cách (chọn cầu lại) Vậy số cách để lấy cầu cầu cho bạn là: = 60 (cách) Đáp số: 60 cách Bài 6: Cho năm chữ số 0, 1, 3, 6, a) Từ chữ số lập đ-ợc số, số gồm bốn chữ số khác nhau? b) Trong có số lẻ? c) Trong có số chia hết cho 3? Hd: a) Có cách chọn chữ số hàng nghìn (là 1, 3, 6, 9) Có cách chọn chữ số hàng trăm (là chữ số lại) Có cách chọn chữ số hàng chục (là chữ số lại) Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (là chữ số lại) Vậy số số có bốn chữ số là: 4 = 96 (số) b) Để đ-ợc số lẻ ta phải chọn chữ số hàng đơn vị 1, 3, Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Với cách chọn chữ số hàng đơn vị có cách chọn chữ số hàng nghìn (là chữ số khác lại) 55 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Với cách chọn chữ số hàng nghìn có cách chữ số hàng trăm (là chữ số lại) Với cách chọn chữ số hàng trăm có cách chữ số hàng chục (là chữ số lại) Số số lẻ là: 3 = 54 (số) c) Các chữ số 0, 3, 6, chia hết cho Vậy để có số chia hết cho số xét không đ-ợc có chữ số Có cách chọn chữ số hàng nghìn (một chữ số 3, 6, 9) Có cách chọn chữ số hàng trăm (một chữ số lại) Có cách chọn chữ số hàng chục (một chữ số lại) Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (chính chữ số lại cuối cùng) Vậy số số chia hết cho là: 3 = 18 (số) Đáp số: a) 96 số b) 54 số c) 18 số Bài 7: Có số có chữ số mà số có chữ số 5? Hd: Ta xét tr-ờng hợp: a) Nếu chữ số hàng trăm thì: - Có cách chọn chữ số hàng chục (là chữ số khác 5) - Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (là chữ số khác 5) Vậy có: 9 = 81 (số) b) Nếu chữ số hàng chục thì: - Có cách chọn chữ số hàng trăm (là chữ số khác khác 5) - Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (là chữ số khác 5) 56 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Vậy có: = 72 (số) c) T-ơng tự: Nếu chữ số hàng đơn vị có 72 số Vậy số số phải tìm là: 81 + 72 +72 = 225 (số) Đáp số: 225 số Bài 8: Có cách xếp ng-ời ngồi vào hàng nếu: a) Sắp xếp tùy ý b) Trong ng-ời có hai ng-ời X Y ngồi cạnh Hd: a) Chọn ng-ời vào chỗ thứ có cách chọn Chọn ng-ời vào chỗ thứ hai có cách chọn (chọn ng-ời lại) Chọn ng-ời vào chỗ thứ ba có cách chọn (chọn ng-ời lại) Chọn ng-ời vào chỗ thứ t- có cách chọn (chọn ng-ời lại) T-ơng tự với vị trí lần l-ợt có số cách chọn 4; 3; cho vị trí thứ năm, thứ sáu, thứ bẩy Chọn ng-ời vào chỗ cuối có cách chọn Vậy số cách xếp ng-ời vào hàng là: = 40 320 (cách) b) Ta coi X Y ng-ời Ta xét đến số cách xếp ng-ời vào chỗ ngồi: Chọn vị trí thứ có cách chọn Chọn vị trí thứ hai có cách chọn T-ơng tự nh- vị trí cuối có cách chọn Vậy số cách xếp ng-ời vào chỗ ngồi là: 57 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth = 040 (cách) Nh-ng ch-a tính đến việc đổi chỗ hai ng-ời Do số cách xếp để X, Y ngồi cạnh là: 5040 =10 080 (cách) Đáp số: a) 40 320 cách b) 10 080 cách Bài 9: Hỏi có cách xếp ng-ời A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai ng-ời A, B không đứng cạnh nhau? Hd: Số cách xếp ng-ời A, B, C, D, E thành hàng ngang là: (cách) Hai ng-ời A, B đứng cạnh ta coi ng-ời hàng ng-ời có tr-ờng hợp xảy Mà số cách xếp ng-ời thành hàng ngang là: (cách) Do số cách xếp ng-ời A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai ng-ời A, B đứng cạnh là: (1 4) Vậy số cách xếp ng-ời A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai ng-ời A, B không đứng cạnh là: (1 5) - (1 4) =72 (cách) Đáp số: 72 cách Bài 10: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Từ chữ số ta lập đ-ợc số có ba chữ số khác mà số chia hết cho 3? Tính tổng tất số có ba chữ số Hd: Các số chia hết cho phải có tổng chữ số chia hết cho 3? Vì tổng ba chữ số cho từ 15 nên tổng ba chữ số số xét , 9, 12 15 Ta có: a) = + + Từ ba chữ số 1, 2, ta lập đ-ợc = (số) có ba chữ số khác 58 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth b) = + + = + + = + + - Từ ba chữ số 2, 3, ta lập đ-ợc = số có ba chữ số khác - Từ ba chữ số chữ số 1, 2, ta lập đ-ợc số có ba chữ số khác - Từ ba chữ số 1, 3, ta lập đ-ợc số có ba chữ số khác c) 12 = + + = + + = + + - Từ ba chữ số 3, 4, ta lập đ-ợc số có ba chữ số khác - Từ ba chữ số 1, 5, ta lập đ-ợc số có ba chữ số khác - Từ ba chữ số 2, 4, ta lập đ-ợc số có ba chữ số khác d) 15 = + + Từ ba chữ số 4, 5, ta lập đ-ợc số có chữ số khác Từ ba (a), (b), (c), (d) ta thấy có tất cả: = 48 (số) * Tổng chữ số số ở: - Mục (a) là: 6 - Mục (b) là: = 27 - Mục (c) là: 12 = 36 - Mục (d) là: 15 Vậy tổng chữ số phải tìm là: 6 + 27 + 36 + 15 = (6 + 27 + 36 + 15) = 504 Đáp số: 48 số 504 Bài 11: Có hình vuông hình bên: 1cm x1 cm Hd: Ta thấy có hình vuông cạnh cm cm Số hình vuông cạnh cm là: 10 hình Số hình vuông cạnh cm là: hình Số hình vuông hình là: 59 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth 10 + = 14 (hình vuông) Đáp số: 14 hình vuông Bài 12: Một đa giác lồi 20 cạnh có đ-ờng chéo? Hd: Đa giác lồi 20 cạnh đa giác có 20 đỉnh Cứ đỉnh ta lại đ-ợc đ-ờng chéo Chọn điểm đầu mút đ-ờng chéo có 20 cách chọn Chọn điểm đầu mút lại có 19 cách chọn Vậy số đoạn thẳng là: 20 19 =380 cách chọn Nh-ng có đoạn thẳng đ-ợc lặp lại lần Số đ-ờng chéo đa giác lồi là: 380 : = 190 (đ-ờng) Đáp số: 190 đ-ờng chéo Nh- gặp toán phải tính số tr-ờng hợp xảy kiện cách giải trực tiếp liệt kê tất tr-ờng hợp đếm ta có cách đếm gián tiếp cách tính toán dựa đặc tính riêng biệt loại kiện Hoặc từ mà làm tiền đề để giải yêu cầu khác toán Đó vận dụng linh hoạt lí thuyết tổ hợp toán Tiểu học 60 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth KếT LUậN Với t- cách môn học nhà tr-ờng, môn Toán có khả trang bị cho học sinh hệ thống tri thức và ph-ơng pháp để nhận thức giới khách quan làm công cụ để học tốt môn học khác, đồng thời để hoạt động có hiệu thực tiễn Chính vậy, nội dung ph-ơng pháp dạy toán phải không ngừng đ-ợc cải thiện mục tiêu môn học, bậc học đề Đề tài không nằm mục đích Qua trình nghiên cứu rút đ-ợc kết luận sau: - Toán Tiểu học mang chiều rộng chiều sâu - Sử dụng kiến thức toán học tổng hợp khái quát hóa giúp ta có định h-ớng để giải vấn đề cách tốt - Sử dụng ph-ơng pháp tối -u giúp học sinh có cách giải nhanh, xác, t- nhạy bén - Có thể vận dụng ph-ơng pháp để làm nhiều loại toán khác - Vận dụng lí thuyết tổ hợp chất dựa công thức toán học bậc phổ thông Thông qua đề tài giúp cho giáo viên nhhọc sinh có cách làm phù hợp với trình độ học sinh Tiểu học lấy lí thuyết tổ hợp làm sở đ-a cách giải tối -u Chủ đề lí thuyết tổ hợp đ-ợc vận dụng vào Tiểu học cách khoa học, sáng tạo, dễ hiểu học sinh nhanh chóng tiếp thu vận dụng Tuy nhiên ng-ời giáo viên phải có lựa chọn kiến thức cho phù hợp với lực đối t-ợng Thực nghiên cứu đề tài ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán Tiểu học giúp đ-ợc củng cố sâu toán Tiểu học Qua mà có kiến thức, ph-ơng pháp giải toán hữu hiệu lực s- phạm cần thiết tr-ớc b-ớc vào nghề Tuy nhiên, b-ớc đầu tìm hiểu, cần có công trình nghiên cứu sâu, rộng đem lại hiệu cho giáo dục 61 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Tài liệu tham khảo Đỗ Đình Hoan (2008), SGK Toán 2, 3, 4, 5, Nxb GD Đỗ Trung Hiệu (2002), Các toán phân số số thập phân lớp 4, 5, Nxb GD Đỗ Trung Hiệu (2003), Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán bậc Tiểu học môn Toán, Nxb GD Đỗ Trung Hiệu (2002), Vở tập toán nâng cao lớp tập - Nxb GD Lê Văn Hậu (2005), 30 Bộ đề thi toán 5, Nxb GD Nguyễn (2009), Toán bỗi d-ỡng học sinh lớp , Nxb GDVN Nguyễn (2007), Bài tập phát triển toán 5, Nxb GD Nguyễn Ngọc Đức (2000), 500 Bài toán lớp 4, Nxb HCM Phạm Đình Thực (2000), Tuyển tập toán cấp 1, Nxb GD 10 Phạm Đình Thực (2004), Toán chuyên đề số hệ đếm thập phân lớp 4, 5, Nxb ĐHSP 11 Tô Hoàng Phong (2000), Tuyển chọn 400 toán lớp 5, Nxb HCM 12 Trần Diên Hiển (2003), 10 Chuyên đề bồi đ-ỡng học sinh giỏi toán 4, tập 1, 2, Nxb GD 13 Trần văn Hạo (2008), Đại số tổ hợp, Nxb GD 14 Vũ D-ơng Thụy (2007), Các dạng toán Tiểu học lớp 4, Nxb GD 15 Vũ Đình Hoà (2002), Lí thuyết tổ hợp toán ứng dụng, Nxb GD 62 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Lời cảm ơn ứng dụng lí thuyết tổ hợp Tiểu học đề tài hay hấp dẫn Tuy nhiên thời gian có hạn ch-a có tìm hiểu sâu nên khóa luận em ch-a khai thác hết đ-ợc nội dung đề tài đến môn học không tránh khỏi sai sót Em mong đ-ợc đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn Em xin chân thành cảm ơn h-ớng dẫn, giúp đỡ thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học, thầy cô giáo khoa Toán tr-ờng đhsp hn tạo điều kiện thuận lợi cho em trình tìm tòi nghiên cứu đề tài Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Văn Hà trực tiếp h-ớng dẫn, đạo tận tình để em hoàn thành khoá luận tốt ngiệp Kính chúc toàn thể thầy cô giáo bạn sinh viên có sức khỏe dồi công tác tốt Xuân Hoà ngày 12 tháng năm 2010 Sinh viên thực Nguyễn Thị Loan 63 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu riêng có h-ớng dẫn giúp đỡ Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà tham khảo qua tài liệu có liên quan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu không trùng với kết tác giả khác Xuân Hoà ngày 12 tháng năm 2010 Sinh viên thực Nguyễn Thị Loan 64 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan mở đầu 1 Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối t-ợng nghiên cứu Ph-ơng pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài NộI DUNG Ch-ơng 1: Những vấn đề lý luận liên quan đến đề tài Đặc điểm t- học sinh tiểu học Suy luận toán học Bài toán lời giải toán 10 Ph-ơng pháp giải toán 11 Ch-ơng : Lí thuyết tổ hợp 17 Xây dựng lí thuyết tổ hợp 17 Các toán Tiểu học 25 Ch-ơng 3: ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán tiểu học 30 ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán cấu tạo số 30 ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán hình học 42 ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán khác 51 kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 65 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth 66 [...]... của lí thuyết tổ hợp đ-ợc mở ra vào cuối thế kỉ XIX đã tác động mạnh mẽ đến sự phát triển của toán học của thế kỉ XX Một trong những ảnh h-ởng mạnh mẽ nhất của lý thuyết tập hợp là lí thuyết tính toán với các tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán hình học các bài toán tính số hạng của khai triển đa thức, một số bài toán sắp xếp hoặc tô màu trong lí thuyết đồ thị Những bài toán kể... - Toán ở tiểu học gồm 4 mạch kiến thức: số học, đại l-ợng và đo đại l-ợng, hình học, bài toán có lời văn Bài tập toán ở Tiểu học phong phú về thể loại, đa dạng về hình thức - Các bài toán ở sách giáo khoa mới chỉ ở mức độ hết sức đơn giản nh-ng đó chính là những kiến thức cơ bản của ch-ơng trình toán học phổ thông - Toán ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong ch-ơng trình chính khóa ở tiểu học là các bài toán. .. l-ợng bài tập khá nhiều Các bài toán đ-a ra với nhiều kiểu dạng khác nhau rèn luyện t- duy cho học sinh Khi học sinh đã nắm đ-ợc dạng toán này thì học sinh nhanh chóng và dễ dàng giải đ-ợc nó với các kiểu dạng bài tập khác nhau 29 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Ch-ơng 3: ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong các bài toán tiểu học 1 ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong cấu tạo số Bài 1: Cho 4 chữ... bài toán tổ hợp Một định nghĩa thật chính xác nh- thế nào là các bài tổ hợp còn ch-a đ-ợc biết đến, mặc dù đây là một bộ phận quan trọng của toán học có nội dung rất phong phú với nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng nhtrong đời sống hàng ngày của chúng ta Số l-ợng phần tử của tập hợp Lí thuyết tổ hợp đ-ợc nhà toán học ng-ời Đức tên là Can-tơr (1845 1918) xây dựng Theo ông, một tập hợp. .. ứng dụng toán rời rạc Các bài toán đ-a ra ở mức độ ch-a cao và số l-ợng ch-a nhiều Các bài toán rời rạc chỉ điểm ở các lớp trong các nội dung khác nhau Học sinh giải các bài toán đó chủ yếu là dùng ph-ơng pháp liệt kê, đếm mà ít khi dùng đến lí luận Đó là cách làm thông th-ờng, đơn giản phù hợp với t- duy lứa tuổi - Chủ đề ứng dụng lí thuyết tổ hợp để giải toán đ-ợc đ-a nhiều vào trong các đề thi học. .. chứng minh đ-ợc B-ớc 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm đ-ợc của bài toán Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán Nghiên cứu các bài toán có liên quan 16 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Ch-ơng 2: lí thuyết tổ hợp 1 Xây dựng lí thuyết tổ hợp Sự chuyển h-ớng xây dựng toán học hiện đại dựa trên cơ sở của lí. .. chia bài toán thành các loại khác nhau nh- sau: - Bài toán số học + Bài toán chuyển động đều + Bài toán về tuổi + Bài toán trồng cây + Bài toán về cấu tạo số - Bài toán đại số - Bài toán hình học d Phân loại theo ý nghĩa giải toán Ng-ời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào đó, hay là bài toán nhằm... của bài toán Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành của một bài toán đó là : + Mục đích của bài toán + Sự đòi hỏi thực hiện mục đích của bài toán Ví dụ: ''Chứng minh rằng một số tự nhiên chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4 Trong bài toán này 2 yếu tố cơ bản hợp thành đó là: + Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh... giải Giải đ-ợc một bài toán đ-ợc hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong tr-ờng hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải đ-ợc bài toán là không giải đ-ợc trong tr-ờng hợp nó không có lời giải 4 Ph-ơng pháp giải một bài toán 4.1 Phân loại bài toán Ng-ời ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đ-ợc mục đích nhất định, th-ờng là để sử dụng nó một cách thuận... ta đ-a bài toán về dạng toán quen thuộc nào? + Hãy trình bày lời giải bài toán c Ph-ơng pháp sử dụng các phép suy luận qui nạp Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều ph-ơng pháp Tuy nhiên không phải ph-ơng pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài toán Có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều ph-ơng pháp: Ph-ơng pháp đi xuôi, ph-ơng pháp đi ng-ợc, thậm chí kết hợp cả hai ... hợp Các toán tiểu học Ch-ơng ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán tiểu học ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán cấu tạo số ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán hình học ứng dụng lí thuyết tổ hợp toán khác Khóa luận... điểm học sinh tiểu học Suy luận toán học Bài toán lời giải toán Ph-ơng pháp giải toán Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan K32B gdth Ch-ơng Lí thuyết tổ hợp Xây dựng lí thuyết tổ hợp Các toán tiểu. .. trình toán học phổ thông - Toán ứng dụng lí thuyết tổ hợp ch-ơng trình khóa tiểu học toán đơn giản, b-ớc đầu mà ứng dụng toán rời rạc Các toán đ-a mức độ ch-a cao số l-ợng ch-a nhiều Các toán