Ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong toán tiểu học

Nh- vậy đối với một số các dạng toán thì không chỉ hình thành kiến thức toán học mà phải có cả ph-ơng pháp giải toán cho học sinh ở Tiểu học dựa trên những cơ sở toán học... Bài toán Th

Mở ĐầU

1 Lí do chọn đề tài

Nh- chúng ta đã biết, bậc Tiểu học là bậc học nền tảng của hệ thống giáo dục quốc dân Đây là bậc học có tính độc lập t-ơng đối Nó không phụ thuộc nghiêm ngặt vào giáo dục tr-ớc và sau đó Hơn nữa, Tiểu học là bậc học tạo ra những nét cơ bản của nhân cách con ng-ời Việt Nam hiện đại Những gì con ng-ời tiếp thu đ-ợc ở bậc Tiểu học sẽ là hành trang cho học sinh đi suốt cuộc

đời Đặc biệt bậc học này thể hiện rõ tính s- phạm vì nó là bậc hình thành cách học cho học sinh

Dạy học toán ở tiểu học chính là dạy học sinh các hoạt động toán học Trong đó hình thức hoạt động toán học chủ yếu của học sinh là giải bài tập Thông qua việc giải các bài tập toán, học sinh có thể củng cố, vận dụng và hiểu sâu sắc các kiến thức Qua đó các biểu t-ợng, khái niệm, qui tắc tính chất toán học ở Tiểu học đ-ợc tiếp thu qua con đ-ờng giải toán chứ không phải là lí luận Học sinh có điều kiện rèn luyện, phát triển năng lực t- duy, rèn luyện ph-ơng pháp suy luận và những phẩm chất cần thiết của ng-ời lao động mới

Qua thực tế ở tr-ờng Tiểu học tôi thấy có nhiều bài toán ở mức độ nâng cao, đi sâu của ch-ơng trình sách giáo khoa cần phải có ph-ơng pháp riêng dựa trên những cơ sở toán học khác nhau Toán ở bậc Tiểu học là những bài toán cụ thể lấy từ các kiến thức toán học có dạng khái quát ở bậc học cao hơn Những bài toán đó dựa trên những qui tắc, mệnh đề, qua đó mà học sinh có những hiểu biết sơ giản nhất và vận dụng vào các hoạt động toán học và giáo viên có nhiệm vụ hình thành cho học sinh các ph-ơng pháp giải toán hiệu quả nhất Ph-ơng pháp

đó có cơ sở có thể lấy từ lí thuyết, qui tắc, công thức toán học ở chính các bậc học cao hơn mà nó đã hình thành nên các công thức toán học và đã chứng minh Nh- vậy đối với một số các dạng toán thì không chỉ hình thành kiến thức toán học mà phải có cả ph-ơng pháp giải toán cho học sinh ở Tiểu học dựa trên những cơ sở toán học

Vấn đề “ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong toán tiểu học” là một vấn đề tôi

đã quan tâm từ lâu và tôi thấy rằng vấn đề này cũng ch-a có công trình nào nghiên cứu Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài nghiên cứu này để góp phần nhỏ bé của mình để việc dạy và học toán ở Tiểu học Tôi rất mong đ-ợc sự đóng góp của bạn đọc để đề tài này của tôi đ-ợc hoàn thiện hơn

2 Mục đích nghiên cứu

- phát hiện cách giải toán có hiệu quả nhất

- Củng cố vững chắc kiến thức, rèn luyện t- duy logic

- Rèn luyện trí thông minh và óc sáng tạo, nâng cao khả năng lập luận khi giải toán cho học sinh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- nghiên cứu lí thuyết tổ hợp

- Tìm hiểu, phân tích các bài toán ứng dụng lí thuyết tổ hợp

4 Đối t-ợng nghiên cứu

- Các bài toán ở tiểu học

Ch-ơng 1 Những vấn đề liên quan đến đề tài

1 Đặc điểm của học sinh tiểu học

2 Suy luận toán học

3 Bài toán và lời giải bài toán

4 Ph-ơng pháp giải một bài toán

Ch-¬ng 2 LÝ thuyÕt tæ hîp

1 X©y dùng lÝ thuyÕt tæ hîp

2 C¸c bµi to¸n ë tiÓu häc

Ch-¬ng 3 øng dông lÝ thuyÕt tæ hîp trong c¸c bµi to¸n ë tiÓu häc

1 øng dông lÝ thuyÕt tæ hîp trong c¸c bµi to¸n cÊu t¹o sè

2 øng dông lÝ thuyÕt tæ hîp trong c¸c bµi to¸n h×nh häc

3 øng dông lÝ thuyÕt tæ hîp trong c¸c bµi to¸n kh¸c

nội dungCh-ơng 1 Những vấn đề lí luận liên quan đến đề tài

1 Đặc điểm t- duy của học sinh tiểu học

T- duy của học sinh tiểu học là quá trình nhận thức giúp các em phản ánh

đ-ợc bản chất của đối t-ợng nghĩa là giúp các em tiếp thu đ-ợc khái niệm các môn học

- Phân tích là dùng trí óc phân tích đối t-ợng nhận thức thành bộ phận, những thuộc tính riêng biệt trong đối t-ợng Từ đó nhận thức đối t-ợng sâu sắc hơn

- Tổng hợp là dùng trí óc kết hợp thành phần đã tách ra qua phân tích và khôi phục lại cái toàn thể dựa trên những liên hệ thuộc về bản chất đã đ-ợc khám phá nhờ phân tích

- Hai thao tác phân tích và tổng hợp trái ng-ợc nhau nh-ng chúng thống nhất trong một quá trình: phân tích là cơ sở của tổng hợp, tổng hợp đ-ợc tiến hành trên cơ sở phân tích

- So sánh là dùng trí óc để xác định sự giống, sự khác nhau giữa các sự vật, hiện t-ợng Muốn so sánh các sự vật, hiện t-ợng, học sinh phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính, từng dấu hiệu một Sau đó tổng hợp mà đ-a ra kết luận

- Trừu t-ợng hóa là thao tác trí óc mà chủ thể bỏ qua những dấu hiệu không bản chất của sự vật, hiện t-ợng tách ra những dấu hiệu bản chất để trở thành đối t-ợng của t- duy

T- duy của học sinh tiểu học đ-ợc chia làm hai giai đoạn:

- Giai đoạn đầu tiểu học (lớp 1, 2, 3)

T- duy của học sinh tiểu học ở giai đoạn này chủ yếu vẫn là t- duy cụ thể (t- duy trực quan hành động và t- duy trực quan hình ảnh) Học sinh tiếp thu tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác t- duy với các đối t-ợng cụ thể hoặc là các hình ảnh trực quan

Ví dụ: Khi học sinh học phép tính chủ yếu là sử dụng que tính để tính toán

+ Phân tích và tổng hợp phát triển không đồng đều khi các em học các môn học

Ví dụ: Khi học sinh làm bài tập toán, các em bị lôi cuốn vào các từ “thêm vào”, “bớt đi”, “hơn” hoặc “kém” tách khỏi điều kiện chung của bài tập từ đó dẫn

a > b thì b < a

a > b và b > c thì a > c + Khái quát hóa còn mang tính trực tiếp dựa vào sự tri giác những thuộc tính bề mặt của đối t-ợng

+ Suy luận của các em còn mang tính chủ quan và gắn liền với kinh nghiệm thực tế, các em khó chấp nhận một giả thiết không thực

Ví dụ: Một con lợn có hai chân thì ba con lợn có mấy chân?

- Giai đoạn cuối tiểu học (lớp 4, 5)

ở giai đoạn này t- duy trừu t-ợng đ-ợc tăng c-ờng hơn Học sinh tiếp thu tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác t- duy với các kí hiệu Học sinh đã nắm đ-ợc các mối quan hệ của các khái niệm Học sinh không chỉ lĩnh hội các thao tác thuận mà còn biết loại trừ Theo Piaget từ 8 tuổi trở đi trẻ có khái niệm bảo toàn vật chất và thao tác chuyển đảo Đây là những dấu hiệu thay đổi t- duy của trẻ em và giai đoạn phát triển thứ hai bắt đầu

Các thao tác t- duy đã liên kết với nhau: thao tác thuận và thao tác ng-ợc Tính kết hợp nhiều thao tác, thao tác đồng nhất trong giai đoạn này và những thao tác th- duy đ-ợc hình thành và phát triển mạnh

+ Các thao tác không gian và thời gian vận động đ-ợc hình thành và phát triển mạnh

+ Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả tốt hơn từ kết quả đến nguyên nhân Bởi vì suy luận từ nguyên nhân đến kết quả, mối quan hệ trực tiếp đ-ợc xác lập và ng-ợc lại; khi suy luận từ kết quả đến nguyên nhân, mối quan hệ đó đ-ợc xác lập một cách không trực tiếp do một kết quả có thể có nhiều nguyên nhân

2 Suy luận toán học

2.1 Suy luận là gì?

Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho tr-ớc rút

ra mệnh đề mới Mỗi mệnh đề đã cho tr-ớc gọi là tiền đề của suy luận Mệnh đề mới đ-ợc rút ra gọi là kết luận hay hệ quả

Ký hiệu: X1, X2, , Xn Y

Nếu X1, X2, , Xn Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay

hệ quả logic

Ký hiệu suy luận logic:

2.3 Suy luận qui nạp

Suy luận qui nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung,

từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn Đặc tr-ng của suy luận qui nạp là không

có qui tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểm tra để rút ra kết luận Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận qui nạp có thể

đúng có thể sai, có tính -ớc đoán

Vd: 4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

10 = 7 + 3

Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số nguyên tố

a) Qui nạp không hoàn toàn

Là phép suy luận qui nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số tr-ờng hợp cụ thể đã đ-ợc xét đến Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có tính chất -ớc đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

Sơ đồ:

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An là B

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An là 1 số phần tử của A Kết luận: Mọi phần tử của A là B

Vd: 2 + 3 = 3 + 2

4 + 1 = 1 + 4

Kết luận: Phép cộng của hai số tự nhiên có tính chất giao hoán

b) Phép t-ơng tự

Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối t-ợng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối t-ơng đó Kết luận của phép t-ơng tự có tính chất -ớc đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và

nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d

B có thuộc tính a, b, c Kết luận : B có thuộc tính d

Ví dụ 1 : Từ các chữ số 1, 2, 3 lập đ-ợc bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác

Vậy số các số lập đ-ợc là:

612

555

Đáp số: 2500 số

c) Phép khái quát hóa

Là phép suy luận đi từ một đối t-ợng sang một nhóm đối t-ợng nào đó có chứa đối t-ợng này Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất -ớc đoán, tức là

nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

35 : 7 + 21 : 7 = 5 + 3 = 8 -Vậy suy ra: ( 35 + 21) : 7 = 35 : 7 + 21 : 7

- Suy ra quy tắc chung chia một tổng cho một số

d) Phép đặc biệt hóa:

Là phép suy luận đi từ tập hợp đối t-ợng sang tập hợp đối t-ợng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các tr-ờng hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng,

có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các tr-ờng hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đ-ờng tròn có bán kính là 0; Tam giác

có thể coi là tứ giác khi một cạnh có độ dài bằng 0; Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của đ-ờng cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đến nó

3 Bài toán và lời giải của giải bài toán

3.1 Bài toán

Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có

ý thức các ph-ơng tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy

rõ ràng, nh-ng không thể đạt đ-ợc ngay

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán

là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó Nh- vậy bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán: đề toán, bài tập

3.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán

Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành của một bài toán đó là :

+ Mục đích của bài toán

+ Sự đòi hỏi thực hiện mục đích của bài toán

Ví dụ: ''Chứng minh rằng một số tự nhiên chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4”

Trong bài toán này 2 yếu tố cơ bản hợp thành đó là:

+ Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng"

+ Mục đích của bài toán thể hiện qua: ''một số tự nhiên chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4”

3.3 Lời giải của bài toán

Lời giải của bài toán đ-ợc hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện

để đạt tới mục đích đã đặt ra

Nh- vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán Một bài toán có thể có :

- Một lời giải

- Không có lời giải

- Nhiều lời giải

Giải đ-ợc một bài toán đ-ợc hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong tr-ờng hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải đ-ợc bài toán là không giải đ-ợc trong tr-ờng hợp nó không có lời giải

4 Ph-ơng pháp giải một bài toán

4.1 Phân loại bài toán

Ng-ời ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đ-ợc mục đích nhất định, th-ờng là để sử dụng nó một cách thuận lợi

a Phân loại theo hình thức bài toán

Ng-ời ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho hay ch-a để phân chia bài toán ra thành 2 loại:

- Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã đ-ợc đ-a ra một cách rõ ràng trong đề bài toán

b Phân loại theo ph-ơng pháp giải bài toán

Ng-ời ta căn cứ vào ph-ơng pháp giải bài toán: Bài toán này có angôrit giải hay ch-a để chia các bài toán thành hai loại

- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà ph-ơng pháp giải của nó theo một thuật toán chung nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó

Ví dụ:

“Dạng toán tìm 2 số biết tổng số và tỷ số của hai số đó”

“Dạng toán tìm 2 số biết hiệu số và tỷ số của hai số đó”

“Dạng toán tìm 2 số biết tổng và hiệu số của hai số đó”

“Dạng toán tìm số trung bình cộng của các số”

- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà ph-ơng pháp giải của nó không theo một thuật toán chung nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào

Ví dụ:

“Cho hình vuông ABCD có cạnh 20 cm Gọi M, N lần l-ợt là điểm chính giữa của cạnh AB, BC Nối CM và DN cắt nhau tại I Hãy tính diện tích của hình

tứ giác AMID”

c Phân loại theo nội dung bài toán:

Ng-ời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đ-ợc phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau nh- sau:

- Bài toán số học

+ Bài toán chuyển động đều

+ Bài toán về tuổi

+ Bài toán trồng cây

+ Bài toán về cấu tạo số

- Bài toán đại số

- Bài toán hình học

d Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Ng-ời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào đó, hay

là bài toán nhằm phát triển t- duy Ta có hai loại bài toán nh- sau:

Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng nh- kĩ năng nào đó

Bài toán phát triển t- duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng nh- kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng t- duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

4.2 Ph-ơng pháp tìm lời giải của bài toán

Dựa theo 4 b-ớc của G.POLIA

B-ớc1: Tìm hiểu đề

Tr-ớc khi giải 1 bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm hiểu

thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:

Những cái gì đã biết? Cái gì ch-a biết của bài toán?

Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi, biến thiên của bài toán

Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán

Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái ch-a biết hay không?

B-ớc 2: Xây dựng ch-ơng trình giải

Để tìm đ-ợc lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì b-ớc xây dựng ch-ơng trình giải là b-ớc quyết định, đồng thời cũng là b-ớc khó khăn nhất B-ớc này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết để nhận xét, so sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán

Đối với những bài toán không có angôrit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành xây dựng ch-ơng trình giải theo ph-ơng pháp sau:

a Ph-ơng pháp đi xuôi:

Xuất phát từ các giả thiết của bài toán đ-ợc lấy làm tiền đề Bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các tiền đề đó Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm tiền đề mới Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic mới gần gũi hơn với kết luận Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra đ-ợc hệ quả lôgic trùng với kết luận của bài toán Khi ấy ta tìm đ-ợc lời giải của bài toán

Ph-ơng pháp này đ-ợc mô tả theo sơ đồ sau:

Ph-ơng pháp này đ-ợc mô tả theo sơ đồ sau:

X C A

D B (trong đó A, B là giả thiết còn X là kết luận)

Chú ý: Thông th-ờng trong nhiều tr-ờng hợp để tìm đ-ợc lời giải của bài toán ta th-ờng kết hợp cả 2 ph-ơng pháp đi xuôi và đi ng-ợc

Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:

“Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước sau 12 giờ đầy bể Biết rằng l-ợng n-ớc mỗi giờ vòi 1 chảy vào bể bằng 1,5 lần l-ợng n-ớc vòi 2 chảy vào bể Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?”

Hd:

+ Tóm tắt đề toán:

Bài toán cho biết gì? ( v1 = 1, 5 v2 và v1 + v2 = 1

12 ) Bài toán yêu cầu tìm gì?

+ Nếu hai vòi n-ớc chảy trong 12 giờ sẽ đầy bể thì nó chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?

+ Để tính mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể thực chất ở đây

ta phải đi tính cái gì?

+ Để tính vận tốc của từng vòi ta đã biết một mối quan hệ của hai vận tốc, còn có thể tìm một mối quan hệ khác của hai vận tốc đó?

+ Đến đây ta đ-a bài toán về dạng toán quen thuộc nào?

+ Hãy trình bày lời giải bài toán

c Ph-ơng pháp sử dụng các phép suy luận qui nạp

Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều ph-ơng pháp

Tuy nhiên không phải ph-ơng pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài toán

Có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều ph-ơng pháp: Ph-ơng pháp đi xuôi, ph-ơng pháp đi ng-ợc, thậm chí kết hợp cả hai ph-ơng pháp đó mà vẫn ch-a tìm đ-ợc lời giải của bài toán đó Lúc này ta cần chuyển h-ớng suy nghĩ theo một h-ớng khác, tạm gọi là ph-ơng pháp sử dụng các phép suy luận qui nạp, nghĩa là: Suy nghĩ đến bài toán liên quan, có tính chất gần giống với bài toán ta cần giải Có thể là bài toán con, bài toán t-ơng tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài

toán khái quát

Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của các bài toán có liên quan với bài toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã cho

Theo G.POLIA chúng ta th-ờng phải đặt ra các câu hỏi sau: " Anh có biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?"; " Đây là một bài toán gần giống với bài toán của anh đã giải đ-ợc rồi Anh có thể dùng đ-ợc nó làm gì không?"; " Nếu anh không giải đ-ợc bài toán đã cho, thì tr-ớc hết hãy giải bài toán gần giống với nó”

B-ớc 3: Thực hiện ch-ơng trình giải

Đây là quá trình tổng hợp lại của b-ớc xây dựng ch-ơng trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán

Trong b-ớc thực hiện ch-ơng trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt

sự khác nhau giữa những điều đã thấy đ-ợc và những điều suy ra đ-ợc - chính là

điều chứng minh đ-ợc

B-ớc 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm đ-ợc của bài toán

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán

Nghiên cứu các bài toán có liên quan

Ch-ơng 2: lí thuyết tổ hợp

1 Xây dựng lí thuyết tổ hợp

Sự chuyển h-ớng xây dựng toán học hiện đại dựa trên cơ sở của lí thuyết tổ hợp đ-ợc mở ra vào cuối thế kỉ XIX đã tác động mạnh mẽ đến sự phát triển của toán học của thế kỉ XX Một trong những ảnh h-ởng mạnh mẽ nhất của lý thuyết tập hợp là lí thuyết tính toán với các tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán hình học các bài toán tính số hạng của khai triển đa thức, một số bài toán sắp xếp hoặc tô màu trong lí thuyết đồ thị

Những bài toán kể ở trên đ-ợc gọi chung là các bài toán tổ hợp Một

định nghĩa thật chính xác nh- thế nào là các bài tổ hợp còn ch-a đ-ợc biết

đến, mặc dù đây là một bộ phận quan trọng của toán học có nội dung rất phong phú với nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng nh- trong đời sống hàng ngày của chúng ta

Số l-ợng phần tử của tập hợp

Lí thuyết tổ hợp đ-ợc nhà toán học ng-ời Đức tên là Can-tơr (1845 – 1918) xây dựng Theo ông, một tập hợp đ-ợc hiểu là một tổng thể các phần tử cùng tính chất chung nào đó

Thông th-ờng ng-ời ta hay biểu diễn một tập hợp M nh- một phần mặt phẳng đ-ợc giới hạn bởi một đ-ờng cong khép kín ( hình bên)

Phần mặt phẳng này đ-ợc tô màu hoặc đánh dấu để nhận

biết đ-ợc Trong cuộc sống ta có rất nhiều ví dụ về tập

hợp các em học sinh của một lớp học, tập hợp các số tự nhiên

M .x

Hình 1

Bài giải:

Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều đ-ợc đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy

ra một quả cầu bất kỳ là một lần chọn Nếu chọn quả cầu trắng thì có 6 cách chọn Nếu chọn quả cầu đen thì có 3 cách chọn

Do đó, số cách chọn một trong các quả cầu là:

6 + 3 = 9 (cách)

1.1.2 Quy tắc

Một công việc hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì :

b3 b2 b1 a3 a2 a1

b

a

a1 a2 a3 b1 b2 b3

Hình 2

Để chọn một bộ quần áo, ta phải thực hiện liên tiếp hành động:

Hành động 1- Chọn áo Có hai cách chọn (chọn a hoặc chọn b)

Hành động 2 - Chọn quần ứng với mỗi cách chọn áo có ba cách chọn quần (chọn 1, hoặc 2, hoặc 3)

Kết quả ta có các bộ nh- sau: a1, a2, a3, b1, b2, b3 (Hình 2)

Vậy có số cách chọn một bộ quần áo là:

62

Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp

Bài giải:

Để xác định, ta giả thiết tên của năm cầu thủ đ-ợc chọn là A, B, C, D, E

Để tổ chức đá luân l-u, huấn luyện viên cần phân công ng-ời đá thứ nhất, thứ hai, và kết quả phân công là một danh sách có thứ tự gồm tên của năm cầu thủ Chẳng hạn, nếu viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất, E đá quả thứ hai, và B

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB,

BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA,

CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA,

DACB, DABC, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA

Nh- vậy có 24 cách chọn cho ta một hoán vị tên của bốn bạn và ng-ợc lại

b Cách thứ hai: Dùng quy tắc nhân

- Có bốn cách chọn một trong bốn bạn để xếp vào chỗ thứ nhất

- Sau khi đã chọn một bạn, còn ba bạn nữa Có ba cách chọn một bạn xếp vào chỗ thứ hai

- Sau khi đã chọn hai bạn rồi còn hai bạn nữa Có hai cách chọn một bạn ngồi vào chỗ thứ ba

- Có một cách chọn vào chỗ thứ t-

Theo quy tắc nhân, ta có số cách sắp xếp chỗ ngồi là:

24432

Sau khi đã chọn n - 2 phần tử cho n - 2 vị trí đầu tiên

Có hai cách chọn một trong hai phần tử còn lại để xếp vào vị trí thứ n - 1 Phần tử còn lại sau cùng đ-ợc xếp vào vào vị trí thứ n

Nh- vậy, theo qui tắc nhân, có n (n 1) 2 1kết quả sắp xếp thứ tự

n phần tử đã cho

.12

)1

(n n

p n

Vậy:

.12

)1

C

D

B

D

C

E

Mỗi cách phân công nêu trong bảng trên cho ta một chỉnh hợp chập 3 của 5

Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1)

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

- Chọn một bạn để giao việc quét nhà Có 5 cách

- Khi đã chọn một bạn quét nhà rồi, chọn tiếp một bạn từ bốn bạn còn lại

để giao việc lau bảng Có 4 cách

- Khi đã chọn một bạn quét nhà và lau bảng rồi, chọn một bạn từ ba bạn còn lại để giao việc sắp bàn ghế Có 3 cách

)1

Ví dụ:

Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho không có ba

điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà đỉnh thuộc tập bốn điểm đã cho?

!

n C

Chứng minh:

Với k = 0, công thức hiển nhiên đúng

Với k ≥ 1, ta thấy một chỉnh hợp k của n phần tử đ-ợc thành lập nh- sau: Chọn một tập con k phần tử của tập hợp gồm n phần tử Có Ck

ncách chọn Sắp thứ tự k phần tử chọn đ-ợc Có k! cách

Vậy theo quy tắc nhân, ta có số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

Akn = Ck n k!

2 Các bài toán ở Tiểu học

Lớp 2:

1 Ôn tập về phép cộng và phép trừ (tiếp theo - Bài 5 - Trang 84)

Khoanh vào chữ đặt tr-ớc kết quả đúng

2 Luyện tập - Bài 3 - Trang 104

Ghi tên các đ-ờng gấp khúc có trong hình vẽ sau, biết:

a) Đ-ờng gấp khúc đó gồm ba đoạn thẳng

b) Đ-ờng gấp khúc đó gồm hai đoạn thẳng

3 Luyện tập - Bài 3 - Trang 159

4 Ôn tập về hình học- Bài 4 - Trang 177

Trong hình vẽ trên có

a) Mấy hình tam giác?

b) Mấy hình chữ nhật?

5 Luyện tập chung - Bài 5 - Trang 180

Viết hai số mà mỗi số có ba chữ số giống nhau

Lớp 3:

1 Ôn tập về hình học - Bài 3 - Trang 11

Có bao nhiêu hình vuông ?

Có bao nhiêu hình tam giác ?

2 Góc vuông - Góc không vuông - Bài 4 - Trang 42

Khoanh vào chữ đặt tr-ớc câu trả lời đúng

Số góc vuông trong hình bên là:

A 1 C 3

B 2 D 4

3 Luyện tập - Bài 4 - Trang 116

Viết số thích hợp vào mỗi chỗ chấm?

a)

- Có ô vuông đã tô màu trong hình

- Tô màu thêm ô vuông để thành một hình vuông có tất cả 9 ô vuông b)

`

- Có ô vuông đã tô màu trong hình

- Tô màu thêm ô vuông để thành một hình chữ nhật có tất cả 12 ô vuông

4 Diện tích của một hình - Bài 2 - Trang 150

a) Hình P gồm bao nhiêu ô vuông?

Hình Q gồm bao nhiêu ô vuông?

c) So sánh diện tích hình P với diện tích hình Q

2 Dấu hiệu chia hết cho 2 - Bài 2 - Trang 95

a) Viết bốn số có hai chữ số, mỗi số đều chia hết cho 2

b) Viết hai số có ba chữ số, mỗi số đều không chia hết cho hai

3 Dấu hiệu chia hết cho 2 - Bài 3 - Trang 95

a) Với ba số 3, 4, 6 hãy viết các số chẵn có ba chữ số, mỗi số có cả ba chữ

số đó

b) Với ba chữ số 3, 5, 6 hãy viết các số lẻ có ba chữ số, mỗi số có cả ba

chữ số đó

4 Dấu hiệu chia hết cho 5 - Bài 3 - Trang 96

Với ba số 0, 5, 7 hãy viết các số có ba chữ số, mỗi số có cả ba chữ số đó

và đều chia hết cho 5

5 Luyện tập - Bài 2 - Trang 96

a) Viết ba số có ba chữ số và chia hết cho 2

b) Hãy viết ba số có ba chữ số và chia hết cho 5

6 Luyện tập - Bài 4 - Trang 98

7 Ôn tập về số tự nhiên - Bài 4 - Trang 162

Với ba chữ số 0, 5, 2 hãy viết các số có ba chữ số (mỗi số đều có ba chữ

đó) vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 2

Lớp 5:

1 Thể tích một hình - Bài 1- Trang 115

A B Hình hộp chữ nhật A gồm mấy hình lập ph-ơng nhỏ?

- Các bài toán ở sách giáo khoa mới chỉ ở mức độ hết sức đơn giản nh-ng

đó chính là những kiến thức cơ bản của ch-ơng trình toán học phổ thông

- Toán ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong ch-ơng trình chính khóa ở tiểu học

là các bài toán đơn giản, b-ớc đầu mà ứng dụng toán rời rạc Các bài toán đ-a ra

ở mức độ ch-a cao và số l-ợng ch-a nhiều Các bài toán rời rạc chỉ điểm ở các lớp trong các nội dung khác nhau Học sinh giải các bài toán đó chủ yếu là dùng ph-ơng pháp liệt kê, đếm mà ít khi dùng đến lí luận Đó là cách làm thông th-ờng, đơn giản phù hợp với t- duy lứa tuổi

- Chủ đề ứng dụng lí thuyết tổ hợp để giải toán đ-ợc đ-a nhiều vào trong các đề thi học sinh giỏi với l-ợng bài tập khá nhiều Các bài toán đ-a ra với nhiều kiểu dạng khác nhau rèn luyện t- duy cho học sinh Khi học sinh đã nắm đ-ợc dạng toán này thì học sinh nhanh chóng và dễ dàng giải đ-ợc nó với các kiểu dạng bài tập khác nhau

Ch-ơng 3: ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong

các bài toán tiểu học

1 ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong cấu tạo số

Dựa vào sơ đồ cây, ta lập các số:

Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy: từ bốn chữ số đã cho ta viết đ-ợc 6 số có chữ

số hàng nghìn là 3 thỏa mãn đầu bài

Chữ số 0 không thể đứng hàng nghìn Vậy số các chữ số thỏa mãn điều kiện của đề bài là:

- Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thỏa mãn đầu bài (vì 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn)

- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại, khác chữ số hàng nghìn)

- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là 2 chữ số còn lại, khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm)

- Có 1 cách chọn chữ số đơn vị (đó là chữ số còn lại, khác chữ số hàng nghìn, hàng trăm, và hàng chục)

Vậy số các số viết đ-ợc là:

18123

Đáp số: 18 số

Nhận xét:

Cách 1 và cách 2 là cách mà học sinh th-ờng làm Tuy nhiên để liệt kê

đ-ợc đầy đủ thì cần phải thống kê một cách có hệ thống với lần l-ợt các chữ số khác nhau khi đứng vị trí hàng khác nhau Hơn nữa khi gặp bài toán mà đầu bài cho không phải là 4 chữ số mà có thể có nhiều chữ số thì thực hiện ph-ơng pháp

đó là rất khó làm ra đáp số đúng, dễ dẫn đến thiếu hoặc nhầm lẫn

Cách 3 là cách ngắn gọn nhất (ứng dụng lí thuyết tổ hợp) Việc chọn các phần tử để chọn các phần tử để thỏa mãn bài toán theo lần l-ợt các hàng của số phải tìm theo một cách tuần tự và logic không bị nhầm lẫn và học sinh có thể nhẩm ngay ra đ-ợc kết quả cho bài toán Với cách làm này thì với bài toán mà

đầu bài cho có nhiều chữ số thì học sinh có thể làm đ-ợc dễ dàng

Bài 2:

Dùng bốn chữ số 1, 2, 3, 4 Có thể viết đ-ợc bao nhiêu số có bốn chữ số?

Hd:

Lần l-ợt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị:

44

- 4 số có hai chữ số khác nhau với chữ sô hàng chục là 2

T-ơng tự ta viết đ-ợc:

- 4 số có hai chữ số khác nhau với chữ số hàng chục là 3

- 4 số có hai chữ số khác nhau với chữ số hàng chục là 4

- 4 số có hai chữ số khác nhau với chữ số hàng chục là 5

Nh- vậy ta viết đ-ợc 4 5 20số có hai chữ số khác nhau từ 5 số: 1, 2,

Cách 3: Lần l-ợt chọn các chữ số hàng chục và hàng đơn vị nh- sau:

Có 5 cách chọn chữ số hàng chục

Có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì khác chữ số hàng chục đã chọn) Vậy số các số thoả mãn đầu bài là:

205

Đáp số: 20 số

Nhận xét: Ta thấy với cách 3 thì ta đã áp dụng lí thuyết tổ hợp để giải

Giải bằng ph-ơng pháp này ta có ngay kết quả chính xác cho bài toán

Vậy số các số thoả mãn đầu bài là:

164

Đáp số: 16 số