Bài 1:
Cho 5 điểm A, B, C, D, E hỏi khi nối chúng lại với nhau ta đ-ợc bao nhiêu đoạn thẳng?
Hd:
Cách 1: (ph-ơng pháp liệt kê) Ta nhận xét:
- Có 4 đoạn thẳng chung đầu mút A là AB, AC, AD và AE - Có 3 đoạn thẳng chung đầu mút B là BC, BD và BE - Có 2 đoạn thẳng chung đầu mút C là CD và CE - Có 1 đoạn thẳng chung đầu mút D là DE
(các đoạn thẳng đếm rồi ta không đếm lại nữa)
Vậy số đoạn thẳng có đ-ợc khi nối 5 điểm với nhau là: 4 + 3 + 2 + 1 =10 (đoạn thẳng)
Cách 2: (ph-ơng pháp quy nạp) Ta nhận xét:
- Nếu 2 điểm thì khi nối chúng ta đ-ợc một đoạn thẳng ta có: 1 = 0 + 1 = 2 1 : 2
- Nếu 3 điểm thì khi nối chúng ta lại đ-ợc 3 đoạn thẳng ta có: 3 = 0 + 1 + 2 = 3 2 : 2
Vậy ta rút ra quy luật là: Nếu có n điểm thì khi nối chúng lại ta đ-ợc số đoạn thẳng là:
0 + 1 + 2 +...+ (n-1) = n (n-1) : 2 (đoạn thẳng)
Vậy có 5 điểm thì ta nối chúng lại ta đ-ợc số đoạn thẳng là: 5 (5 - 1) : 2 = 10 (đoạn thẳng)
Cách 3:
Nối điểm A với mỗi điểm còn lại, ta sẽ đ-ợc 4 đoạn thẳng. Nh- vậy khi nối 5 điểm đó với nhau ta sẽ đ-ợc 4 5 = 20 (đoạn thẳng). Lúc này mỗi đoạn thẳng đ-ợc kể đến 2 lần. Vì vậy số đoạn thẳng đếm đ-ợc khi nối 5 điểm đã cho với nhau là: 20 : 2= 10 (đoạn thẳng) Cách 4: Ta có sơ đồ: A B C D E B C . D . E E A Số đoạn thẳng đếm đ-ợc là: 4 + 3 + 2 + 1 + 0 =10 (đoạn thẳng). Cách 5: (ứng dụng lý thuyết tổ hợp) Đoạn thẳng có 2 đầu mút. Có 5 cách chọn đầu mút thứ 1. Có 4 cách chọn đầu mút thứ 2 (vì khác đầu mút thứ 1). Nh- vậy có 5 4 = 20 (đoạn thẳng).
Song nếu nh- vậy thì mỗi đoạn thẳng đ-ợc tính 2 lần vì ví dụ AB, BA cũng chỉ là một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng là:
20 : 2 = 10 (đoạn thẳng)
Nhận xét: Ta thấy với cách ứng dụng lí thuyết tổ hợp ta nhanh chóng tìm đ-ợc số đoạn thẳng. Vì chỉ cần vận dụng cách làm nh- trong phần cấu tạo số và tính số lần lặp lại của một đoạn thẳng, từ đó mà đ-a ra kết quả cho bài toán.
Bài 2:
Cho tam giác ABC trên cạnh BC lấy 4 điểm D, E, M, N. Nối đỉnh A với 4 điểm vừa lấy. Hỏi đếm đ-ợc bao nhiêu tam giác trên hình vẽ?
A
B D E M N C
Hd:
Vì các điểm B, D, E, M, N, C là các điểm thẳng hàng nên không thể lập đ-ợc tam giác nào từ các điểm đó. Nh- vậy tam giác phải có một đỉnh là đỉnh A.
Điểm A nối với hai đầu mút của đoạn thẳng bất kỳ của hình vẽ (hai đầu mút khác điểm A) thì tạo thành một hình tam giác
Ta tìm số các đoạn thẳng đ-ợc tạo từ các điểm B, D, E, M, N, C Có 6 cách chọn cho điểm mút đầu tiên.
Có 5 cách chọn cho điểm mút còn lại. Có số các đoạn thẳng là:
6 5 = 30 (đoạn thẳng).
Song trong số các đoạn thẳng bị lặp lại 2 lần Ví dụ: BD và DB vẫn là một đoạn thẳng Số các đoạn thẳng là:
30 : 2 = 15 (đoạn thẳng)
Vậy số tam giác có trong hình là: 15 tam giác Đáp số: 15 tam giác (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 3:
Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 3 điểm nào cùng nằm trên một đoạn thẳng. Khi nối 5 điểm đó với nhau, ta đ-ợc bao nhiêu tam giác?
Hd:
Tìm số tam giác đ-ợc tạo từ 5 điểm đã cho. Mà tam giác đ-ợc tạo từ 3 điểm. Ta đi chọn 3 điểm bất kỳ trong 5 điểm đã cho.
Chọn đỉnh thứ nhất có 5 cách chọn Chọn đỉnh thứ hai có 4 cách chọn Chọn đỉnh thứ ba có 3 cách chọn Số tam giác là:
5 4 3 = 60 (tam giác)
Song nếu nh- vậy thì mỗi tam giác sẽ đ-ợc tính 6 lần.
Ví dụ: 6 hình ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA cũng chỉ là một tam giác
Vậy số tam giác đ-ợc tạo ra từ 5 điểm đó là: 60 : 6 = 10 (tam giác)
Đáp số: 10 tam giác
Bài 4: Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối chúng lại ta đ-ợc 6 đoạn thẳng?
Hd:
Gọi số điểm để khi ta nối lại với nhau đ-ợc 6 đoạn thẳng là n, trong n điểm đó ta đi lập đ-ợc các đoạn thẳng bằng cách nh- sau:
Hai đầu mút tạo thành một đoạn thẳng
Có n cách chọn điểm mút đầu tiên của đoạn thẳng. Có n - 1 cách chọn điểm mút còn lại của đoạn thẳng. Có số đoạn thẳng là: n (n-1)
Song trong số đó có mỗi đoạn thẳng lặp lại 2 lần Vậy số đoạn thẳng thực ra là: n (n-1) : 2 Mà theo đầu bài phải lập đ-ợ 6 đoạn thẳng ta có:
n (n-1): 2 = 6 n (n-1) = 6 2 n (n-1) = 12
Ta thấy n và n-1 là hai số tự nhiên liên tiếp lại có 4 3 = 12. Vậy n = 4, tức để nối lại đ-ợc 6 đoạn thẳng ta cần ít nhất 4 điểm.
Bài 5:
Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối chúng lại ta đ-ợc 4 hình tam giác?
Hd:
Cứ ba điểm tạo thành một tam giác Ta tìm số tam giác tạo thành từ n điểm Có n cách chọn đỉnh thứ nhất của tam giác Có n-1 cách chọn đỉnh thứ hai của tam giác Có n-2 cách chọn đỉnh thứ ba của tam giác
Nh- vậy có: n (n-1) (n-2) tam giác. Nh-ng trong số đó có tam giác đ-ợc lặp lại 6 lần vì 3 điểm khi ta kể tên và lặp lại thì vẫn chỉ là 1 tam giác.
Thực ra ta lập đ-ợc số tam giác là:
n (n-1) (n-2) : 6 (tam giác) Để tạo thành 4 tam giác ta có:
n (n-1) (n-2) : 6 = 4
n (n-1) (n-2) = 4 6 (cùng nhân với 6) n (n-1) (n-2) = 24
Ta thấy 4 3 2 = 24.Vậy n = 4
Tức là cần ít nhất 4 điểm không thẳng hàng để lập đ-ợc 4 tam giác.
Bài tập t-ơng tự: Bài tập 1: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho 7 điểm A, B, C, D, E, G, H nằm trên một đ-ờng tròn
a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nhận 2 trong 7 điểm nói trên làm hai đầu mút?
b) Hỏi có bao nhiêu hình tam giác nhận 3 trong 7 điểm nói trên làm 3 đỉnh?
Hd:
a. Có 7 cách chọn đầu mút thứ nhất.
Có 6 cách chọn đầu mút thứ hai (vì khác điểm đã chọn)
Số các đoạn thẳng là:`7 6 = 42 (đoạn thẳng). Trong số đó mỗi đoạn thẳng đ-ợc tính hai lần. Do vậy số các đoạn thẳng là:
42 : 2 = 21 (đoạn thẳng).
b) Có 7 cách chọn đỉnh thứ nhất của tam giác. Có 6 cách chọn đỉnh thứ hai của tam giác. Có 5 cách chọn đỉnh thứ ba của tam giác.
Song nếu nh- vậy thì mỗi tam giác sẽ đ-ợc tính 6 lần.
Ví dụ: 6 hình ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA cũng chỉ là một tam giác
Vậy số tam giác đ-ợc tạo ra từ 7 điểm đó là: 7 6 5 : 6 = 35 (tam giác)
Đáp số: a) 21 tam giác. b) 35 tam giác.
Bài tập 2:
a,Trong hình 10 có bao nhiêu góc
Hình 10
Hd:
Trong hình trên có 5 đ-ờng thẳng nên số góc tạo thành là: Có 5 cách chọn đ-ờng thẳng để tạo thành góc
Có 4 cách chọn đ-ờng thẳng để tạo thành góc. Có số góc là: 5 4 = 20 (góc)
Song mỗi góc đều đ-ợc tính hai lần, ví dụ góc BAC, CAB là 1. Do vậy số góc tạo thành là:
20 : 2 = 10 (góc)
Đáp số: 10 góc.
Bài tập 3:
Cho hình thang ABCD, trên đáy AD ta lấy 5 điểm rồi nối đỉnh C với mỗi điểm vừa chọn.Trên đáy nhỏ BC lấy 4 điểm rồi nối đỉnh A với mỗi điểm vừa chọn, nối AC.
Hỏi có bao nhiêu tam giác đ-ợc tạo thành trên hình vẽ.
Hd:
B C
A D
+ Ta thấy điểm C cứ nối với hai điểm trên đoạn AD thì tạo thành một tam giác nên số đoạn thẳng cũng là số tam giác C nối với các các điểm trên AD.
Số điểm trên AD sau khi lấy 5 điểm là: 5 + 2 = 7 (điểm). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta tìm số đoạn thẳng trên AD
Có 7 cách chọn điểm đầu tiên của đoạn thẳng. Có 6 cách chọn điểm thứ hai của đoạn thẳng. Số đoạn thẳng có là:
Song trong đó mỗi đoạn thẳng đ-ợc tính hai lần. Do vậy số đoạn thẳng thực ra là:
42 : 2 = 21 (đoạn thẳng).
Vậy số tam giác khi nối C với các điểm trên AD là 21 tam giác. + Ta đi tìm số tam giác khi nối A với các điểm trên BC.
Thấy cứ A nối với hai điểm trên BC thì tạo thành một tam giác nên số đoạn thẳng trên BC cũng chính là số tam giác tạo thành khi nối A với các điểm trên BC.
Số điểm trên BC khi ta lấy 4 điểm trên BC là: 4 + 2 = 6 (điểm).
Ta tìm số đoạn thẳng trên BC
Có 6 cách chọn cho điểm đầu tiên của đoạn thẳng Có 5 cách chọn cho điểm thứ hai của đoạn thẳng Số các đoạn thẳng là:
6 5 =30 (đoạn thẳng) Song mỗi đoạn thẳng đ-ợc tính hai lần. Do vậy số đoạn thẳng thực ra là:
30 : 2 = 15 (đoạn thẳng)
Số tam giác khi nối A với các điểm trên BC là 15 tam giác. Tất cả số tam giác tạo thành là:
21 + 15 = 36 (tam giác).
Đáp số: 36 tam giác.
Bài tập 4:
Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối lại ta đ-ợc 10 đoạn thẳng?
Hd:
Gọi số điểm để khi ta nối lại với nhau đ-ợc 10 đoạn thẳng là n, trong n điểm đó ta đi lập đ-ợc số đoạn thẳng.
Có n cách chọn điểm mút đầu tiên của đoạn thẳng Có n-1 cách chọn điểm mút còn lại của đoạn thẳng Có số đoạn thẳng là: n (n-1)
Song trong số đó có mỗi đoạn thẳng lặp lại 2 lần Vậy số đoạn thẳng thực ra là: n (n-1): 2
Mà theo đầu bài phải lập đ-ợc 6 đoạn thẳng ta có: n (n-1): 2 = 10
n (n-1) = 10 2 n (n-1) = 20
Ta thấy n và n - 1 là hai số tự nhiên liên tiếp lai co 4 5 = 20. Vậy n = 5, tức để nối lại đ-ợc 10 đoạn thẳng ta cần ít nhất 5 điểm.
Bài tập 5:
Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối lại ta đ-ợc 10 hình tam giác?
Hd:
Ta tìm số tam giác tạo thành từ n điểm Có n cách chọn đỉnh thứ nhất của tam giác Có n - 1 cách chọn đỉnh thứ hai của tam giác Có n - 2 cách chọn đỉnh thứ ba của tam giác
Nh- vậy có: n (n - 1) (n - 2) (tam giác). Nh-ng trong số đó có tam giác đ-ợc lặp lại 6 lần vì 3 điểm nối với nhau khi ta kể tên do sự lặp lại nên vẫn chỉ là 1 tam giác.
Thực ra ta lập đ-ợc số tam giác là: n (n - 1) (n - 2) : 6 Để tạo thành 4 tam giác ta có:
n (n - 1) (n - 2) : 6 = 10 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n (n - 1) (n - 2) = 60 (cùng nhân với 6) Ta thấy 5 4 3 = 60. Vậy n = 5.
Tức là cần ít nhất 5 điểm không thẳng hàng để lập đ-ợc 10 tam giác.
Bài tập 6:
Có 10 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tứ giác đ-ợc tạo thành?
Hd:
Ta thấy cứ 4 điểm mà không có ba điểm nào thẳng hàng thì tạo thành một tứ giác. Do vậy ta có cách tìm số tứ giác nh- sau:
Có 10 cách chọn đỉnh thứ nhất của tứ giác. Có 9 cách chọn đỉnh thứ hai của tứ giác. Có 8 cách chọn đỉnh thứ ba của tứ giác. Có 7 cách chọn đỉnh thứ t- của tứ giác. Số tứ giác là:
10 9 8 7 =5040 (tứ giác).
Nh-ng ta phải xem xét đến số lần lặp lại của một tứ giác.
Một tứ giác khi thay đổi cách gọi thứ tự của các đỉnh thì vẫn là một tứ giác. Ta tìm số cách sắp xếp 4 điểm vào các vị trí khác nhau:
Có 4 cách chọn cho vị trí thứ nhất. Có 3 cách chọn cho vị trí thứ hai. Có 2 cách chọn cho vị trí thứ ba. Có 1 cách chọn cho vị trí thứ t-.
Vậy số cách sắp xếp 4 điểm vào 4 vị trí khác nhau là: 4 3 2 1 = 24 (cách).
Tức là mỗi tứ giác nói đến ở trên lặp lại 24 lần. Nên số tứ giác thực ra là: 5040 : 24 = 210 (tứ giác).
Đáp số: 210 tứ giác.