ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Gia Định Đà Nẵng - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết quả, số liệu nêu luận văn hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Học viên Trần Thị Nhật Nguyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn CHƯƠNG CÁC NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN 1.1 NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN 1.1.1 Nguyên lý cộng 1.1.2 Nguyên lý nhân 1.2 TỔ HỢP 1.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ TỔ HỢP 1.4 SONG ÁNH 25 1.5 PHÉP ĐỆ QUY .28 1.6 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 34 CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM DÙNG NGUYÊN LÝ BAO HÀM – LOẠI TRỪ, NGUYÊN LÝ FUBINI VÀ HÀM SINH .41 2.1 NGUYÊN LÝ BAO HÀM – LOẠI TRỪ .41 2.2 PHÉP TÍNH THEO HAI CÁCH: NGUYÊN LÝ FUBINI .47 2.3 HÀM SINH .51 2.4 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 58 KẾT LUẬN 64 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Tư tổ hợp đời sớm Ở Trung Quốc, vào thời nhà Chu người ta biết đến hình vng thần bí Nhà triết học cổ Hy Lạp Kxenokrat, sống kỷ thứ trước cơng ngun biết cách tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trước Nhà tốn học Pithagore học trò ơng phát nhiều tính chất kỳ lạ số Một kết tiếng trường phái kết mà ngày gọi định lý Pithagore Tuy nhiên, thời gian dài sau đó, tổ hợp phát triển cách riêng lẻ, chưa hình thành hệ thống lý luận sở khoa học, phương pháp nghiên cứu đặc thù Và tổ hợp thực trở thành ngành toán học rời rạc vào đầu kỷ 17 loạt cơng trình nghiên cứu nghiêm túc nhà toán học xuất sắc Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler, Mặc dầu vậy, tổ hợp lĩnh vực mờ nhạt ý tới quãng thời gian hai kỷ Từ máy tính phát triển thịnh hành, tổ hợp trở thành lĩnh vực toán ứng dụng với phát triển mạnh mẽ Nó cầu nối tốn cần giải cơng cụ tính tốn máy tính Cụ thể việc giải toán thực tế hay toán lĩnh vực khoa học thường quy việc giải tốn tổ hợp Vì tổ hợp có liên quan tới nhiều vấn đề nhiều lĩnh vực đời sống khoa học khác nên khó định nghĩa cách hình thức chặt chẽ Nói chung, lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu cấu hình tổ hợp cấu trúc tổ hợp Các vấn đề lý thuyết tổ hợp liên quan tới cấu hình tổ hợp đa dạng Tuy nhiên, có bốn loại tốn thường gặp cả: toán đếm, toán liệt kê, toán tối ưu tổ hợp, toán tồn Trong toán kể trên, toán đếm thuộc loại toán quan trọng Đây toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có cấu hình tổ hợp thuộc dạng cho?” Phương pháp đếm thường dựa vào số quy tắc, nguyên lý đếm số kết đếm cho cấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc xác định xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn hay chưa giải trọn vẹn, người ta thường đặt toán đánh giá số cấu hình tổ hợp cách xác định cận cận Bài tốn đếm áp dụng có hiệu vào cơng việc mang tính chất đánh tính xác suất kiện, tính độ phức tạp thuật tốn, Bài toán đếm giải tốt nắm vững phương pháp đếm bản, phương pháp đếm dùng hàm sinh, phương pháp đếm nguyên lý bao hàm loại trừ, phương pháp đếm dùng ngun lý Fubini Ngồi ra, chương trình tốn THPT có đưa vào số khái niệm kết tổ hợp liên quan đến phương pháp đếm Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi, kỳ thi olympic nước quốc tế toán có tốn liên quan đến lý thuyết tổ hợp thường dạng tốn khó Xuất phát từ nhu cầu phát triển tính thời việc nghiên cứu lý thuyết tổ hợp, định chọn đề tài với tên gọi: Ứng dụng lý thuyết tổ hợp chương trình tốn THPT để tiến hành nghiên cứu Chúng hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người muốn tìm hiểu tốn tổ hợp nằm bối cảnh toán đếm ứng dụng cho chương trình tốn THPT Mục tiêu nghiên cứu đề tài: Mục tiêu đề tài nhằm giúp học sinh THPT hiểu chất khái niệm ý tưởng lý thuyết tổ hợp, lĩnh vực quan trọng toán học Mục tiêu thực cách tập làm quen cho học sinh với ví dụ điển hình minh họa kiện toán học trung tâm cách trau dồi học sinh với số toán chọn lọc cẩn thận Điều cốt yếu giúp học sinh tạo cầu nối tập tổ hợp trường THPT khái niệm - toán trừu tượng, phức tạp tinh vi Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài lý thuyết tổ hợp Phạm vi nghiên cứu đề tài phép đếm thông dụng ứng dụng vào chương trình tốn THPT Phương pháp nghiên cứu: Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phương pháp đếm, vấn đề quan trọng lý thuyết tổ hợp Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia ứng dụng lý thuyết xác suất thống kê Bố cục luận văn: I Phần mục lục II Phần mở đầu Giới thiệu lịch sử, tính thời vấn đề liên quan đến lĩnh vực khác Giới thiệu nội dung nghiên cứu luận văn III Phần nội dung Chương 1: Các phương pháp đếm 1.1 Nguyên lý cộng nguyên lý nhân 1.2 Tổ hợp 1.3 Các tính chất hệ số tổ hợp 1.4 Song ánh 1.5 Phép đệ quy 1.6 Các toán ứng dụng Chương 2: Các phương pháp đếm dùng nguyên lý bao hàm – loại trừ, nguyên lý Fubini hàm sinh 2.1 Nguyên lý bao hàm - loại trừ 2.2 Phép tính theo hai cách: nguyên lý Fubini 2.3 Hàm sinh 2.4 Các toán ứng dụng IV Phần kết luận : Tổng kết kết đạt được, nêu số vấn đề chưa giải hướng phát triển đề tài 37 (b) Đồng thức sau với Euler Cho m, n nguyên dương với Khi n < m n = m Vế trái đồng thức dạng tương tự Nguyên lý Bao hàm – Loại trừ Thực đồng thức trường hợp đặc biệt dạng sau Ví dụ 2.1.3 Cho A B hai tập hữu hạn với |A| = n, |B| = m Xác định sn,m hàm toàn ánh f: A → B Giải: Cho B = {1, 2, , n}, BA tập tất hàm f: A → B Với i, , gọi Bi tập hàm f: A → B cho Tập hàm toàn ánh f: A → B Chú ý |BA| = mn, |Bi| = (m – 1)n, |Bi∩Bj| - (m – 2)n Áp dụng Nguyên lý bao hàm loại trừ, ta có Nếu n = m, hàm toàn ánh f: A → B song ánh, số hàm n! Nếu m < n, có hàm tồn ánh f: A → B Do đó, ta có đồng thức Euler □ n số nguyên, cho a1, a2, , aØ(n) số tập A = {1, 2, , n} với n nguyên tố Khi với p1, p2, , pk số chia nguyên tố n Giải: Cho f(x) = x2, f(Ø) = Cho ≤ i ≤ k, cho Ai tập phần tử A, tức chia hết cho pi Khi Ta có: với ≤ i ≤ k, với ≤ i ≤ k, Từ định lý 2.1.3, ta có: Chú ý rằng: 47 Theo Mà Nên Ví dụ 2.4.2 (Olympic Hong Kong lần năm 1994) Một trường □ học có b giáo viên c sinh viên thỏa mãn điều kiên sau: - Mỗi giáo viên dạy k học sinh - Cho sinh viên, có h giáo viên dạy Chứng minh: Giải: Nếu giáo viên Tr, dạy hai sinh viên Si, Sj (i ≠ j) Tr,Si, Sj ba {Tr,Si, Sj } giả thiết số ba {Tr,Si, Sj }là M Mặt khác, chọn giáo viên, giáo viên dạy k sinh viên Do có ba {Tr,Si, Sj } chứa Tr có b cách để chọn Tr (1) Và cho sinh viên Si, Sj (i ≠ j) có h giáo viên dạy Do có h ba {Tr,Si, Sj } chứa Si, Sj (i ≠ j) có cách để chọn Si, Sj (i ≠ j) (2) Từ (1) (2) ta có Do (đpcm) Ví dụ 2.4.3 Chứng minh rằng: Giải: 48 Cách 1: Ta có hệ số xn Mặt khác, (*) Khi n – k lẻ, biểu thức khơng có nhóm chứa xn biểu thức Nhóm chứa xn Khi n – k chẵn, biểu thức khơng có nhóm chứa xn biểu thức nhóm chứa xn Do đó, hệ số xn vế phải (*) Vì ta có Cách 2: Ta xét phương thức tổ hợp Có 2n sinh viên, n sinh viên nam n sinh viên nữ lớp thầy T Giả sử g1, g2, …, gn sinh viên nữ, 49 b1, b2, …, bn sinh viên nam Cho ≤ i ≤ n, (gi, bi) cặp Lớp có n vé xem bóng đá Chúng ta xét số cách tìm n người xem Rõ ràng câu trả lời Mặt khác, ta có số cách tính sau: Cho k nguyên bất kỳ, ta tìm k cặp từ n cặp sinh viên cặp vé Có cách để tìm k cặp chọn sinh viên từ cặp để xem Ta có n – k vé trái n – k cặp sinh viên trái Chúng ta chọn cặp cho cặp vé Như có cách để làm điều Bây ta gán vé Nếu n – k lẻ, S = n – ta gán vé cuối cho giáo viên T Nếu n – k lẻ, S = n ta giao tồn vé có cho sinh viên Khơng khó để lấy k từ giá trị từ đến n Như ta tìm cách để gán n vé Do đó, có cách để tìm n người xem đá bóng Vậy KẾT LUẬN 50 Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu lý thuyết tổ hợp, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: - Trình bày cách đầy đủ chi tiết nguyên lý đếm bản: nguyên lý cộng nguyên lý nhân, tổ hợp, tính chất hệ số tổ hợp, song ánh, phép đệ quy toán đặc sắc nhằm minh họa vấn đề - Khảo sát nguyên lý phương pháp đếm dùng bao hàm – loại trừ, nguyên lý Fubini hàm sinh Đồng thời loạt ví dụ minh họa chọn lọc nhằm làm sáng tỏ vấn đề khảo sát Với tìm hiểu nghiên cứu được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu hi vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu lý thuyết tổ hợp, ứng dụng kết để giải tốn chương trình tốn trung học phổ thơng Trong q trình làm luận văn, có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Gia Định (2003), Giáo trình Toán rời rạc, Trường Đại học Khoa học - Đại học Huế, Huế [2] Đặng Thị Thục Đoan (2011), Các phương pháp đếm lý thuyết tổ hợp, Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, Đại học Đà nẵng [3] K.H Rosen (1997), Toán học rời rạc ứng dụng tin học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Ngô Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội TIẾNG ANH [5] M Hall (1998), Combinatorial theory, John Wiley & Sons, Chichester [6] R Merris (1996), Combinatorics, PWS Publishing, Boston MA [7] Titu Andreescu, Zuming Feng (2004), A path to combinatorics for undergraduates, Birkhauser Boston ... quan đến lý thuyết tổ hợp thường dạng tốn khó Xuất phát từ nhu cầu phát triển tính thời việc nghiên cứu lý thuyết tổ hợp, định chọn đề tài với tên gọi: Ứng dụng lý thuyết tổ hợp chương trình tốn... chung, lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu cấu hình tổ hợp cấu trúc tổ hợp Các vấn đề lý thuyết tổ hợp liên quan tới cấu hình tổ hợp đa dạng Tuy nhiên, có bốn loại tốn thường gặp cả: toán. .. TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người