ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Tuy nhiên, có bốn loại bài toánthường gặp hơn cả: bài toán đếm, bài toán liệt kê, bài toán tối ưu tổ hợp, bàitoán tồn tại.Trong các bài toán kể trên, bài toán đếm thuộc loại bài toán qua

TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2014

TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

Đà Nẵng - 2014

PGS TS Nguyễn Gia Định

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các kết quả, số liệu nêu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Học viên

Trần Thị Nhật Nguyên

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Bố cục luận văn 3

CHƯƠNG 1 CÁC NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN 5

1.1 NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN 5 1.1.1 Nguyên lý cộng .5

1.1.2 Nguyên lý nhân 6

1.2 TỔ HỢP 6 1.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ TỔ HỢP 9

1.4 SONG ÁNH .25

1.5 PHÉP ĐỆ QUY .28

1.6 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 34

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM DÙNG NGUYÊN LÝ BAO HÀM – LOẠI TRỪ, NGUYÊN LÝ FUBINI VÀ HÀM SINH 41

2.1 NGUYÊN LÝ BAO HÀM – LOẠI TRỪ 41

2.2 PHÉP TÍNH THEO HAI CÁCH: NGUYÊN LÝ FUBINI 47

2.3 HÀM SINH .51

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Tư duy về tổ hợp ra đời rất sớm Ở Trung Quốc, vào thời nhà Chungười ta đã biết đến những hình vuông thần bí Nhà triết học cổ Hy LạpKxenokrat, sống ở thế kỷ thứ 4 trước công nguyên đã biết cách tính số các từkhác nhau lập từ một bảng chữ cái cho trước Nhà toán học Pithagore và cáchọc trò của ông đã phát hiện ra nhiều tính chất kỳ lạ của các số Một kết quảnổi tiếng của trường phái này là kết quả mà ngày nay chúng ta gọi là định lýPithagore

Tuy nhiên, một thời gian dài sau đó, tổ hợp chỉ phát triển một cáchriêng lẻ, chưa hình thành được hệ thống lý luận cơ sở khoa học, phương phápnghiên cứu đặc thù Và tổ hợp chỉ thực sự trở thành một ngành của toán họcrời rạc vào đầu thế kỷ 17 bằng một loạt các công trình nghiên cứu nghiêm túccủa nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler, Mặc dầuvậy, tổ hợp vẫn là lĩnh vực mờ nhạt và ít được chú ý tới trong quãng thời gianhơn hai thế kỷ

Từ khi máy tính phát triển và thịnh hành, tổ hợp đã trở thành một lĩnhvực toán ứng dụng với sự phát triển mạnh mẽ Nó là chiếc cầu nối giữa cácbài toán cần được giải quyết và công cụ tính toán là máy tính Cụ thể là việcgiải quyết các bài toán thực tế hay các bài toán trong các lĩnh vực khoa họcthường được quy về việc giải quyết các bài toán tổ hợp nào đó

Vì tổ hợp có liên quan tới nhiều vấn đề trong nhiều lĩnh vực của đờisống và các khoa học khác nhau nên khó có thể định nghĩa nó một cách hìnhthức chặt chẽ Nói chung, lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu cáccấu hình tổ hợp và các cấu trúc tổ hợp Các vấn đề của lý thuyết tổ hợp liên

quan tới các cấu hình tổ hợp cũng rất đa dạng Tuy nhiên, có bốn loại bài toánthường gặp hơn cả: bài toán đếm, bài toán liệt kê, bài toán tối ưu tổ hợp, bàitoán tồn tại.

Trong các bài toán kể trên, bài toán đếm thuộc loại bài toán quan trọng.Đây là bài toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộcdạng đã cho?” Phương pháp đếm thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lýđếm và một số kết quả đếm cho các cấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc xácđịnh chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn hay chưa giải quyết được trọnvẹn, người ta thường đặt ra bài toán đánh giá số các cấu hình tổ hợp đó bằngcách xác định cận trên và cận dưới của nó Bài toán đếm được áp dụng cóhiệu quả vào những công việc mang tính chất đánh giá như tính xác suất củamột sự kiện, tính độ phức tạp của một thuật toán, Bài toán đếm sẽ được giảiquyết tốt nếu chúng ta nắm vững các phương pháp đếm cơ bản, phương phápđếm dùng hàm sinh, phương pháp đếm bằng nguyên lý bao hàm và loại trừ,phương pháp đếm dùng nguyên lý Fubini

Ngoài ra, trong chương trình toán THPT có đưa vào một số khái niệm

và kết quả về tổ hợp liên quan đến các phương pháp đếm Trong các kỳ thichọn học sinh giỏi, kỳ thi olympic trong nước và quốc tế về toán đều có ítnhất một bài toán liên quan đến lý thuyết tổ hợp và thường là dạng bài toánkhó

Xuất phát từ nhu cầu phát triển và tính thời sự của việc nghiên cứu lý

thuyết tổ hợp, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong chương trình toán THPT để tiến hành nghiên cứu Chúng

tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người muốn tìmhiểu về các bài toán tổ hợp nằm trong bối cảnh bài toán đếm ứng dụng chochương trình toán THPT

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài:

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp học sinh THPT hiểu được bản chấtcác khái niệm và ý tưởng về lý thuyết tổ hợp, một lĩnh vực quan trọng củatoán học Mục tiêu này được thực hiện bằng cách tập làm quen cho học sinhvới các ví dụ điển hình minh họa những sự kiện toán học trung tâm và bằngcách trau dồi học sinh với một số bài toán chọn lọc cẩn thận Điều cốt yếu làgiúp học sinh tạo được cầu nối giữa các bài tập về tổ hợp ở trường THPT vàcác khái niệm - bài toán trừu tượng, phức tạp và tinh vi hơn

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết tổ hợp Phạm vi nghiêncứu của đề tài là các phép đếm thông dụng và ứng dụng vào chương trình toánTHPT

4 Phương pháp nghiên cứu:

1 Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến các phương pháp đếm, vấn đề quan trọng trong lý thuyết tổ

hợp

2 Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kếtquả đang nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia vềcác ứng dụng của lý thuyết xác suất và thống kê

2 Giới thiệu nội dung nghiên cứu của luận văn.

III Phần nội dung

Chương 1: Các phương pháp đếm cơ bản

1.1 Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân

2.1 Nguyên lý bao hàm - loại trừ

2.2 Phép tính theo hai cách: nguyên lý Fubini

2.3 Hàm sinh

2.4 Các bài toán ứng dụng

IV Phần kết luận : Tổng kết các kết quả đã đạt được, nêu một số vấn đề chưagiải quyết được và hướng phát triển tiếp theo của đề tài

CHƯƠNG 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM CƠ BẢN

1.1 NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN

Tính là một trong những kỹ năng cơ bản nhất Chúng ta bắt đầu đếm trêncác ngón tay của mình khi đang học trong trường mẫu giáo hoặc thậm chísớm hơn, nhưng làm thế nào để tính một cách nhanh chóng, chính xác, và có

hệ thống là một khóa học suốt đời

1.1.1 Nguyên lý cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động T 1 , T 2 , , T k Các hành động này có thể làm tương ứng bằng n 1 , n 2 , , n k cách và giả sử không có hành động nào có thể làm đồng thời, khi đó công việc đó có n 1 + n 2 + + n k cách thực hiện.

Nguyên lý cộng còn được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như

sau: Nếu A 1 , A 2 , , A k là các tập hữu hạn đôi một rời nhau, tức là A i ∩ A j = Ø

thì

,

ở đây |A i | là số các phần tử của tập A i

Ví dụ 1.1.1 Giả sử cần chọn hoặc một học sinh nam hoặc một học sinh

nữ tham gia cuộc họp Hỏi có bao nhiêu cách để chọn nếu có 37 học sinhnam và 63 học sinh nữ?

Giải:

Gọi cách chọn thứ nhất là chọn một học sinh nam từ tập 37 học sinh nam,

ta có 37 cách

Gọi cách chọn thứ hai là chọn một học sinh nữ từ tập 63 học sinh nữ, ta có

Quy tắc nhân còn được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như sau:

Nếu A 1 , A 2 , , A k là các tập hữu hạn bất kỳ và nếu là tích Descartees của cáctập đó thì

Ví dụ 1.1.2 Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 7?

Giải:

Một xâu nhị phân có độ dài 7 gồm 7 bit, mỗi bit có hai cách chọn (hoặcgiá trị 0 hoặc giá trị 1) Theo quy tắc nhân ta có: 2.2.2.2.2.2.2 = 128 xâu bit nhịphân có độ dài 7

1.2 TỔ HỢP

Chúng ta thường gặp một số bài toán yêu cầu phải đếm số tổ hợp, tức làđếm số tập hợp các đối tượng không được sắp xếp thứ tự

Định lý 1.2.1 Cho n và k là những số nguyên, với n ≥ k Số tổ hợp của

việc mỗi một lần lấy k phần tử từ n phần tử là

Ký hiệu: n C k hoặc C(n; k) hay

Chứng minh:

Có cách chọn k đối tượng có thứ tự

Có k! cách để sắp xếp k phần tử được chọn, có nghĩa là, có k! cách để chọn tổ hợp của k phần tử giống nhau Vì vậy mỗi tổ hợp được tính k! lần

trong n P k

Trong một số tình huống, thứ tự của các phần tử bằng cách nào đó đượcxác định trước, thì thứ tự của các đối tượng được chọn không còn quan trọng

Ví dụ 1.2.1 Lớp học toán của thầy An có 5 học sinh nam và 9 học sinh

nữ Vào cuối năm, thầy An muốn chụp ảnh cả lớp Thầy muốn tất cả học sinhđứng trong một hàng, học sinh nam đứng theo thứ tự giảm dần theo chiều caocủa họ (giả định rằng họ có chiều cao khác nhau) từ trái sang phải và học sinh

nữ cũng đứng theo thứ tự tăng dần theo chiều cao của họ (giả định rằng họ

có chiều cao khác nhau) từ trái sang phải Có bao nhiêu cách để có thể thựchiện công việc này? (Học sinh nam không cần phải đứng cùng nhau, và cáchọc sinh nữ cũng không cần phải đứng cùng nhau.)

□

Hệ quả 1.2.2 Cho là những số nguyên, với Số tổ hợp của việc một

lần lấy phần tử từ n phần tử, theo thứ tự là

với k m + 1 = n – (k 1 + k 2 + + k m )

Chứng minh:

Từ định lý 1.2.1 có cách để lấy k 1 phần tử, có n – k 1 cách để lấy cácphần tử còn lại

Ví dụ 1.2.2 Khoa toán tổ chức một cuộc họp Sau khi 23 thành viên

đàm thoại, họ quyết định chia ra thành 8 nhóm, trong đó 5 nhóm có 3 thànhviên và 2 nhóm 4 thành viên để tiếp tục thảo luận Hỏi có bao nhiêu cách đểchia được?

Cho n là số nguyên dương Nếu chúng ta sử dụng hai biến số đa thức (x+y) n như

Định lý này giải thích tại sao số được gọi là hệ số tổ hợp

Hệ số tổ hợp cũng là những số hạng trong tam giác Pascal Chính xác

hơn cho n ≥ 0

là hàng thứ n của tam giác.

Ví dụ 1.3.1 Bảng số xe gồm 8 chữ số, nó được gọi là chẵn nếu số các

số 0 trong nó là chẵn Có bao nhiêu bảng số xe như vậy?

Vậy có bảng số thỏa điều kiện □

Định lý 1.3.2 Cho n và k là số nguyên dương với n ≥ k, ta có các tính

Tính chất (1) và (2) có thể dễ dàng có được bằng cách sử dụng hệthức Chúng ta dùng lý luận tổ hợp để chứng minh nó.

(1) Chú ý rằng một tổ hợp của k phần tử giữ lại tương đương với tổ hợp

n – k phần tử lấy đi, có nghĩa là Tính chất này có được từ tính đối xứng của việc khai triển (x+y) n tương ứng với x và y.

(2) Tính chất này có được từ định nghĩa tam giác Pascal Một chú ý là

vế bên trái biểu diển số đường mà trong đó chúng ta có thể lấy tổ hợp của

k+1 phần tử từ n phần tử cho trước Cũng có thể tính chúng theo cách sau.

Cho một phần tử riêng biệt một cái tên riêng, gọi là "Fat" Chúng ta phân loại

tất cả (k+1) phần tử của tổ hợp thành 2 nhóm Nhóm (A) chứa những phần tử

có "Fat", nhóm (B) chứa những phần tử không có "Fat" Khi đó không khó để thấy rằng có tổ hợp của (A) và tổ hợp của (B) Do đó, kết quả

phải là như nhau

(6) Chú ý rằng Kết quả này có được bằng cách sử dụng tính chất (2)nhiều lần.

(7) Kết quả này có được từ việc sử dụng (1) trong mỗi thành phần của(6)

(8) Đặt x = y = 1 trong khai triển của (x + y) n cho kết quả cần chứng minh Đây cũng là định lý 1.3.3 Cho , có tập con k phần tử của S={1,2, ,n} Tổng từ k = 0 đến k = n cho ta tổng số tập con của S (bao gồm cả Ø và chính S).

(9) Đặt x = 1 và y = –1 trong khai triển của (x + y) n cho kết quả cần

chứng minh

(10) Từ (4) và (8) ta có:

của Nếu n là số nguyên tố, n là nguyên tố cùng nhau tới k!(n - k)! Do đó chia hết cho n.

Hệ số tổ hợp có một ý nghĩa tổ hợp nếu n và k là các số nguyên với Trong định lý 1.3.1, ta mở rộng định nghĩa tới k = 0 Và quy ước Nếu

0 ≤ n < k hay k <0 ≤ n, ta không thể lấy k phần tử từ n phần tử, vì vậy quy

Trong bài toán này, ta xây dựng được định lý đảo của định lý 1.3.2(2)

Ví dụ 1.3.5: (Vandermonde ) Cho m, n và k là những số nguyên; với .

□Phép xấp xỉ ở trên là một trong những phương pháp hấp dẫn nhất trongtoán tổ hợp: mô hình tổ hợp Đếm mô hình theo hai hướng sẽ tìm được đồng

nhất thức muốn có Tập hợp những giá trị đặc biệt cho m, n, k trong đồng nhất thức Vandermonde cho ta nhiều kết quả Ví dụ: m = n k = k cho

Trong một vài trường hợp, phép tính gần đúng hữu hiệu là xem như

một hàm của k Điều này không chỉ đơn giản hóa rất nhiều tính toán đệ quy

nhưng nó cũng cho phép chúng ta áp dụng lý thuyết của các đa thức và hàm

Định lý E Lucas 1878 và E Kummer 1852 sau thường được dùng

trong lý thuyết số Cho n số nguyên dương và p là số nguyên tố, cho là phép biểu diễn của n qua cơ số p, tức là

trong đó 0≤ n 0 , n 1 , ,n m ≤ p – 1 và n m ≠ 0.

Định lý 1.3.3 (Lucas) Cho p là một nguyên tố, và n nguyên dương với

i là một số nguyên dương, Ngoài ra viết , trong đó thì

(mod p) Quy ước, và nếu n j < i j bởi quy tắc trước đó

Để chứng minh định lý này, chúng ta cần một số thuật ngữ mới Cho p

là một nguyên tố, f(x) và g(x) là hai đa thức với hệ số nguyên Chúng ta nói rằng f(x) là đồng dư với g(x) mod p, và viết f(x) ≡ g(x) (mod p) nếu tất cả các

hệ số của f(x) – g(x) được chia hết cho p (Lưu ý rằng các đồng dư của đa thức là khác nhau từ đồng dư của các giá trị của đa thức Ví dụ, x(x + 1) ≠ 0 (mod 2) mặc dù x(x + 1) chia hết cho 2 với tất cả các số nguyên x Các tính

chất sau đây có thể dễ dàng được xác nhận:

Chứng minh:

Theo định lý 1.3.2 (8), các hệ số tổ hợp , trong đó 1 ≤ k ≤ p–1 chia hết cho p

Do đó, (1 + x) p ≡ 1 + x p (mod p)

Định lý 1.3.4 (Kummer) Cho n và i là các số nguyên dương với i ≤ n

và cho p là một số nguyên tố Khi đó p t chia hết cho khi và chỉ khi t bé hơn hoặc bằng số thực trong phép cộng (n – i) + i trong cơ số p.

Cho một số nguyên dương m và p nguyên tố, ta viết nếu chia hết cho

m và không chia Khi đó t m là số nguyên lớn nhất nên chia hết hết cho m Định

lý 1.3.4 được dựa trên hai bổ đề sau

Bổ đề 1.3.5 Cho n là một số nguyên và p là số nguyên tố, nếu

thì

Chứng minh:

Trước hết chúng ta chú ý rằng tổng này là một tổng hữu hạn, bởi vì m,

n < p m và Cho m là số nguyên bé nhất sao cho n < p m

Đủ để chứng tỏ rằng

Cho i nguyên dương, xác định t i sao cho Vì p là nguyên tố, ta có

Chứng minh:

Từ Bổ đề 1.3.5 đủ để thấy rằng

Vì

Ta có

Cộng vào bên trái của phương trình ở trên cho t Cộng vế phải của các

phương trình trên theo cột, ta được

(1) Bằng hệ thức đồng dư (**), (mod p) khi và chỉ khi i j > n j với 0 ≤ j

≤ m.

Do đó, không chia được bởi p cho i = i 0 + i 1 p + …+ i m p m với và 0 ≤ j

≤ m.

(2) Nếu n = p k với k nguyên dương, thì (với k số 0), cho , viết , trong đó

i m = 0 và 0 ≤ i 0 , i 1 ,…,i m-1 ≤ p – 1 Khi đó i j dương với

Vì vậy,

Từ định lý 1.3.3, (mod p)

Nếu n ≠ p k (k nguyên dương) và n m > 1 thì đặt ta có và (mod p)

Nếu n ≠ p k (k nguyên dương) và n m = 1 thì n j > 0 với Đặt được (mod p)

(3) Nếu n = s.p k – 1 (k nguyên dương) thì (với k số p–1).

Cho 0 ≤ i ≤ n, viết i = i 0 + i 1 p + + i m p m, trong đó và

Vì p nguyên tố, p không chia tử số hoặc của hoặc , tức p không chia

hoặc hoặc

Theo định lý 1.3.3, p không chia cho với 1≤ i ≤ n

Nếu n không thể viết trong dạng s.p k – 1, thì n j < p – 1 với 0 ≤ j ≤ m–1 Đặt (j – 1 số 0), có (mod p) theo định lý 1.3.3

Định lý sau là tổng quát hóa của định lý 1.3.1

Định lý 1.3.7 Cho m và n là nguyên dương Khi đó:

1.4 SONG ÁNH

Phần này ta giới thiệu một kỹ năng cơ bản trong việc giải quyết vấn đềcủa tổ hợp Để đếm các phần tử của một tập nhất định, chúng ta thay thếchúng với những tập hợp khác có cùng số các phần tử và các phần tử đượcđếm dễ dàng hơn.

Định lý 1.4.1 Cho A và B là các tập hữu hạn, và f : A → B Khi đó, |A|

< |B| Hơn nữa, nếu f là song ánh, thì A và B có cùng số phần tử.

Chứng minh:

Cho A = {a 1 , a 2 , , a n } với n nguyên dương

Nếu f đơn ánh, f(a l ), f(a 2 ), , f(a n ) phân biệt

Do đó B có ít nhất n phần tử

Nếu f cũng là toàn ánh, thì mỗi phần tử trong B là ảnh của một phần tử trong A

Do đó B = {f(a l ), f(a 2 ), , f(a n )}, tức A và B có cùng số phần tử □

Ví dụ 1.4.1 (Trung Quốc-1991) Cho n là số nguyên dương với và dãy

S được định nghĩa Một phân dãy của S được gọi là dãy số học nếu nó có ít

nhất hai số hạng và là cấp số cộng Dãy con số học được gọi là cực đại nếu

cấp số này không thể bao hàm các phần tử khác của S Hãy xác định số của

dãy con số học cực đại

Giải:

Trước hết ta xem xét trường hợp khi n là chẵn.

Giả thiết m = 2n với m nguyên dương.

Cho là dãy con số học cực đại với số nguyên k ≥ 2 thì

Mặt khác, và chúng ta có thể thêm vào dãy con kéo dài, bởi vì phủđịnh của dãy con cực đại

Cũng như thế chúng ta thấy rằng a 2 ≥ m+1

Do đó, một dãy con số học cực đại có hai số hạng liên tiếp a i và a i+1 với

Ta có ánh xạ dãy con đến cặp số hạng liên tiếp (a i , a i+1 ).

Như vậy cặp của số hạng liên tiếp xác định hiệu số chung của dãy Dãycực đại có nghĩa là toàn bộ các số hạng khác duy nhất được xác định (dùnghiệu số chung để mở rộng dãy sang trái và sang phải đến khi không thể mở

rộng nữa trong khoảng biến thiên giữa 1 và n).

Do đó, dãy con được xác định bằng đôi này của số hạng liên tiếp, vàánh xạ của chúng ta là ánh xạ một đến một, tức là song ánh

Rõ ràng ta có m giá trị có thể có cho a i và m giá trị cho a i+1 , tức có m 2

cặp số (a i , a i+1 ) và m 2 dãy con số học cực đại

Tương tự chúng ta có thể thấy rằng có m(m + 1) dãy con số học cực đại nếu n = 2m + 1 với m nguyên dương.

Như vậy, chúng ta kết luận rằng có dãy con số học cực đại với n cho

Định lý 1.4.2 Cho m và n nguyên dương

(1) Có m-tập hợp {x 1 , x 2 , , x n } nghiệm nguyên dương thỏa phương trình x 1 + x 2 + + x m = n.

(2) Có m- tập hợp {x 1 , x 2 , , x n } nghiệm nguyên không âm thỏa phương trình x 1 + x 2 + + x m = n.

Thực ra, cũng có song ánh giữa m-tập hợp trong Định lý 1.4.2 (1) và (2) Một m-tập hợp (x 1 , x 2 , , x n ) nguyên dương với x 1 + x 2 + + x m = n có

thể là ánh xạ duy nhất tới một m-tập hợp (y 1 , y 2 , , y m ) không âm với dưới

phép song ánh

Ví dụ 1.4.2 (AIME 2000) Có 8 chiếc nhẫn, tìm số cách đeo 5 chiếc

nhẫn trên 4 ngón tay trên một bàn tay (thứ tự của các nhẫn trên mỗi một ngóntay là có nghĩa, không nhất thiết mỗi ngón tay chỉ có một chiếc nhẫn)

Giải:

Có cách để chọn đeo nhẫn

Có cách để đeo 5 chiếc nhẫn trên 4 ngón tay, điều đó có thể thực hiệnbằng cách cho 3 dụng cụ chia tách vào 1 hàng 5 chiếc nhẫn để tạo nên khoảngtrống giữa 4 ngón tay

Nói cách khác, a, b, c, d là số của nhẫn trên ngón tay, chúng ta cần tìm

bộ gồm 4 số (a, b, c, d ) nguyên không âm sao cho a + b + c + d = 5.

Giả sử chúng ta đưa ra một tập các đối tượng, S n liên quan đến một

tham số n Để tìm số lượng phần tử trong S n, chúng ta có thể xem số này như

là một hàm của n, có nghĩa là, chúng ta viết |S n | = f(n) Chúng ta có thể tìm