Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số dạng toán tiểu học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== ĐÀO THỊ TỐ UYÊN ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TỐN TIỂU HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Toán phƣơng pháp dạy học Toán HÀ NỘI, 2019 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== ĐÀO THỊ TỐ UYÊN ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TỐN TIỂU HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI, 2019 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới giảng viên khoa Giáo dục Tiểu học - trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo môi trường học tập tốt để em rèn luyện đạt kết đến thời gian Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình bảo, hướng dẫn em để hồn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy học số dạng toán Tiểu học” Trong q trình hồn thành khóa luận, em nhận nhiều ý kiến đóng góp số bạn sinh viên để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Đào Thị Tố Uyên LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Các tài liệu tham khảo trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc trung thực Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Đào Thị Tố Uyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp 1.2 Quy tắc cộng 1.3 Quy tắc nhân 1.4 Hoán vị 1.5 Chỉnh hợp 1.6 Tổ hợp 10 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC 13 2.1 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy học số toán số học 13 2.2 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy học số tốn hình học 22 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, cấp độ học sinh tiểu học khởi đầu cho phát triển trí tuệ cho trẻ Ở cấp học này, em học sinh làm quen với khái niệm, cơng thức tốn học thơng qua toán dạng đơn giản, dễ hiểu Tuy nhiên, sinh viên đào tạo ngành Giáo dục Tiểu học thường suy nghĩ kiến thức toán học cao cấp khơng có nhiều ứng dụng việc dạy học tốn Tiểu học Thực chất, cơng thức, khái niệm lấy, áp dụng từ lý thuyết, quy tắc bậc học cao Để minh chứng cho việc suy nghĩ không chuẩn xác đó, định hướng người hướng dẫn, em muốn giới thiệu lý thuyết tổ hợp ứng dụng lý thuyết việc dạy số dạng tốn Tiểu học, để hồn thành khóa luận chuyên ngành toán Tiểu học em chọn đề tài: “Ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy học số dạng tốn Tiểu học” với hai mục đích: (i ) Sử dụng lý thuyết việc định hướng tìm lời giải số dạng tốn Tiểu học (ii ) Từ sở định hướng phần trên, em đưa số phương pháp hướng dẫn giải phù hợp với nhận thức học sinh cấp độ Mục đích nghiên cứu Đưa cách giải toán hữu hiệu ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy số tốn tiểu học Bên cạnh nhằm rèn luyện tư duy, sáng tạo, khả suy nghĩ, phát giải vấn đề học sinh tiểu học giải toán thuộc dạng Đối tƣợng nghiên cứu Lý thuyết tổ hợp số dạng toán bậc Tiểu học ứng dụng lý thuyết tổ hợp Giả thuyết khoa học Đề tài giúp giáo viên phát hiện, đưa cách giải toán hiệu học sinh ứng dụng lý thuyết tổ hợp, để nâng cao hiệu dạy học Nghiên cứu việc ứng dụng lý thuyết tổ hợp việc giải số toán tiểu học Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng lý thuyết tổ hợp việc dạy số dạng toán tiểu học Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu Phương pháp phân tích, tổng hợp Phương pháp quan sát sư phạm Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy học số dạng toán Tiểu học CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Lịch sử nghiên cứu Lý thuyết tập hợp xem ngành toán học khởi đầu cho việc nghiên cứu tốn học đại Bất kì đối tượng ta đưa vào tập hợp, song lý thuyết tập hợp dùng nhiều cho đối tượng liên quan đến toán học Lý thuyết tập hợp sáng lập Georg Cantor (nhà toán học người Đức) năm 1874 đến năm 1897 Công trình ơng cơng bố năm 1874 đánh dấu đời lý thuyết tập hợp giống khởi đầu đặt móng vững cho toán học đại 1.1.2 Một số khái niệm ký hiệu Tập hợp hiểu lớp như: số vật thể; đối tượng toán học đó; với tính chất chung để xác định đối tượng hay vật thể Thơng thường, tập hợp biểu diễn tương ứng mặt phẳng giới hạn đường cong khép kín (như hình) A Người ta kí hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, X,Y , Các vật thể hay đối tượng tập hợp ký hiệu chữ thường a,b, x, y, gọi “phần tử” tập hợp Tập hợp X gồm phần tử x, y, z, viết X {x; y; z; } Ví dụ Tập hợp A học sinh lớp học, tập hợp B học sinh trai tập hợp C học sinh gái lớp học Tập hợp số tự nhiên viết sau N {0;1;2;3; } 1.2 Quy tắc cộng 1.2.1 Quy tắc Giả sử cơng việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n m cách Quy tắc cộng phát biểu dạng sau Nếu A B hai tập hợp hữu hạn khơng giao số phần tử A B số phần tử A cộng với số phần tử B , tức A B A B 1.2.2 Một số ví dụ Một hộp nhựa đựng viên bi màu đỏ viên bi màu xanh Hỏi có cách chọn số viên bi hộp nhựa đó? Mỗi lần lấy viên bi cách chọn Có bốn cách chọn viên bi màu đỏ, năm cách chọn viên bi màu xanh Như vậy, số cách chọn số viên bi (cách chọn) Đáp số: cách chọn 1.3 Quy tắc nhân 1.3.1 Quy tắc Giả sử cơng việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A làm theo n cách Với cách thực cơng đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo m n cách Quy tắc nhân thực với cơng việc có nhiều cơng đoạn 1.3.2 Một số ví dụ Tổ lớp 2A có ba học sinh nữ bốn học sinh nam Cô giáo muốn chọn cặp học sinh (gồm học sinh nữ học sinh nam) để tham gia văn nghệ Hỏi giáo có cách chọn? Ta đánh số thứ tự ba học sinh nữ a,b, c bốn học sinh nam 1,2, 3, Công việc Chọn học sinh nữ, có ba cách chọn (chọn a,b c ) Công việc Chọn học sinh nam, có bốn học sinh nam Ứng với cách chọn học sinh nữ có bốn cách chọn học sinh nam (chọn 1,2, ) Do có cặp học sinh sau: a1, a 2, a 3, a 4,b1,b2,b 3,b 4, c1, c2, c 3, c4 Như vậy, số cách chọn cặp học sinh nam nữ 12 (cách chọn) Đáp số: 12 cách chọn 1.4 Hoán vị 1.4.1 Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử (n 1) Khi xếp n phần tử theo thứ tự định, ta phần tử tập hợp gọi hoán vị tập hợp A Ví dụ Có ba vận động viên tham gia thi bơi lội Nếu khơng có trường hợp có hai người đích lúc có kết xảy với vị trí thứ nhất, thứ nhì thứ ba? Giả sử ba vận động viên có tên A, B,C Khi kết xếp theo thứ tự nhất, nhì ba xảy sau ABC , ACB , BAC , BCA , CAB , CBA Như vậy, kết việc thứ tự ba vận động viên theo vị trí thứ nhất, thứ nhì thứ ba gọi hoán vị ba vị trí nhất, nhì ba Ví dụ Trong trận chung kết bóng đá Việt Nam với Hàn Quốc, sau hai hiệp phụ hai đội có tỉ số nên phải đá luân lưu Đội Việt Nam cần Khi đó, cách chọn chữ số sau + Chữ số hàng nghìn: Có bốn cách chọn + Chữ số hàng trăm: Có bốn cách chọn + Chữ số hàng chục: Có bốn cách chọn + Chữ số hàng đơn vị: Có bốn cách chọn Số số thỏa mãn 4 4 256 (số) Vậy số phân số cần tìm 16 64 256 340 (số) 2.2 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy học số tốn hình học Bài toán (Đề thi Violympic Toán cấp Quốc Gia năm 2013) Cơ giáo vẽ lên bảng hình tứ giác ABCD Sau lấy thêm điểm E nằm tứ giác ABCD Biết nối năm điểm A; B;C ; D; E lại với nhau, ta ba hình tứ giác nhận bốn năm điểm A; B;C ; D; E làm đỉnh Hỏi hình vẽ có tất hình tam giác nhận ba năm điểm A; B;C ; D; E làm đỉnh? Hƣớng dẫn Cách Ta có hình vẽ sau B A E C D 22 Số tam giác nhận ba năm điểm A; B;C ; D; E làm đỉnh ABE, ABC , AED, ACD, AEC , BAD, BDC , BCE, BDE,CDE Vậy có tất 10 tam giác nhận ba năm điểm A; B;C ; D; E làm đỉnh Cách Vì tam giác tạo ba điểm nên cách chọn ba điểm sau + Điểm thứ nhất: Có năm cách chọn + Điểm thứ hai: Có bốn cách chọn (khác với điểm thứ nhất) + Điểm thứ ba: Có ba cách chọn (khác với điểm thứ điểm thứ hai) Số tam giác tạo nên 60 (tam giác) Do số tam giác lặp lại lần Ví dụ: ACD , ADC , CAD , CDA , DAC , DCA tam giác Vậy số tam giác tạo nên từ ba năm điểm là: 60 : 10 (tam giác) Nhận xét Đối với cách sử dụng phương pháp liệt kê để đếm số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề Nhưng phương pháp phù hợp với toán đơn giản, cịn tốn phức tạp hơn, cần liệt kê nhiều tam giác học sinh hay mắc phải lỗi liệt kê thiếu liệt kê trùng tam giác, gây khó khăn trình giải tốn Đối với cách ứng dụng lý thuyết tổ hợp Đối với cách này, việc giải tốn trở nên dễ dàng hơn, tính nhẩm kết Học sinh khơng cần phải liệt kê tam giác mà tính số tam giác thỏa mãn đề bài, không sợ bị thiếu thừa, tránh gây nhầm lẫn kết Bài toán Trong mặt phẳng cho 2018 điểm phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Hỏi qua điểm kẻ đường thẳng qua điểm cho? 23 Cách hiểu từ lĩnh vực toán cao cấp Qua hai điểm phân biệt ta kẻ đường thẳng Như vậy, số đường thẳng tạo 2018 điểm tổ hợp chập 2018 , tức C 2018 Hướng dẫn giải cho học sinh Đánh số điểm cho theo thứ tự từ đến 2018 Điểm nối với 2017 điểm lại 2017 đường thẳng Điểm nối với 2016 điểm lại 2016 đường thẳng Cứ lập luận điểm thứ 2017 nối với điểm 2018 cuối để tạo đường thẳng Như số đường thẳng tạo 2017 2016 2017 2018 2 035153 Bài toán Trong hình vẽ có tam giác? A E G B H C F Cách hiểu từ lĩnh vực tốn cao cấp, ta phân tích toán sau Đường thẳng qua GH BC cắt hai đường thẳng chùm đường thẳng tâm A tạo thành tam giác Như vậy, số tam giác tạo hai đường thẳng qua GH BC cắt chùm đường thẳng qua điểm A 24 Do đó, ta cần đếm số tam giác tạo đường thẳng qua BC nhân với lần Từ chùm đường thẳng tâm A hai đường thẳng chùm với đường thẳng qua BC tạo tam giác Như số tam giác tạo tổ hợp chập đường thẳng chùm, tức C 32 Kết ta nhận số tam giác hình C 32 Hướng dẫn giải cho học sinh Đường thẳng qua GH BC cắt hai đường thẳng xuất phát từ A tạo thành tam giác Như vậy, số tam giác tạo hai đường thẳng qua GH BC Do đó, ta cần đếm số tam giác tạo đường thẳng qua BC nhân với lần Ghép điểm B với điểm F điểm C ta hai tam giác Điểm B ghép xong, ta chuyển sang điểm ghép F với C tam giác Như đường thằng qua BC tạo ba tam giác số tam giác hình vẽ tam giác Vậy hình có tất tam giác Bài tốn Cho điểm M, N , P,Q, R, S Có tất đoạn thẳng tạo nên từ điểm trên? Hƣớng dẫn Cách + Các đoạn thẳng tạo với đầu mút M , gồm đoạn thẳng sau MN , MP , MQ , MR , MS + Các đoạn thẳng tạo với đầu mút N , gồm đoạn thẳng sau NP , NQ , NR , NS + Các đoạn thẳng tạo với đầu mút P , gồm đoạn thẳng sau PQ , PR , PS + Các đoạn thẳng tạo với đầu mút Q , gồm đoạn thẳng sau 25 QR , QS + Các đoạn thẳng tạo với đầu mút R , gồm đoạn thẳng sau RS Như vậy, số đoạn thẳng tạo nên từ điểm cho 15 (đoạn thẳng) Cách Ta có sơ đồ sau M M N N P P Q Q R R S S Dựa vào sơ đồ ta đếm số đoạn thẳng 15 (đoạn thẳng) Cách Vì đoạn thẳng tạo nên điểm điểm cho + Có sáu cách chọn điểm thứ + Có năm cách chọn điểm thứ hai (khác với điểm thứ nhất) Khi số đoạn thẳng 30 (đoạn thẳng) Do số đoạn thẳng lặp lại lần 26 Ví dụ: MN , NM đoạn thẳng Vậy số đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu đề là: 30 : 15 (đoạn thẳng) Bài toán Để tạo nên 15 đoạn thẳng cần điểm? Hƣớng dẫn Gọi a số điểm để tạo nên 15 đoạn thẳng Vì đoạn thẳng tạo nên từ điểm a điểm, nên cách chọn điểm sau: + Điểm thứ nhất: Có a cách chọn + Điểm thứ hai: Có a cách chọn (khác với điểm thứ nhất) Khi đó, số đoạn thẳng tạo nên là: a (a 1) Mà đoạn thẳng tính lần Vì vậy, thực chất số đoạn thẳng là: a (a 1) : Đề yêu cầu tạo nên 15 đoạn thẳng, ta có: a (a 1) : a (a 1) a (a Ta thấy 30 nên a 15 15 1) 30 Vậy cần điểm để tạo nên 15 đoạn thẳng Một số toán tƣơng tự Bài toán (Đề thi Olympic Toán Tuổi thơ toàn quốc năm 2011) Trên đường thẳng a cho điểm A, B,C , D, E đường thẳng b cho điểm M , N , P (như hình vẽ) 27 a A b M B C N D E P Nối điểm với đoạn thẳng Có tam giác nhận điểm điểm làm đỉnh? Hƣớng dẫn Cách + Nếu ta coi đường thẳng b có đoạn thẳng tương ứng với đáy hình tam giác có tất đáy Khi đó, nối điểm đường thẳng a với cạnh đáy ta có số tam giác 15 (tam giác) + Nếu ta coi đường thẳng b có đoạn thẳng tương ứng với đáy hình tam giác có tất 10 đáy Khi đó, nối điểm đường thẳng a với cạnh đáy ta có số tam giác là: 10 30 (tam giác) Vậy số tam giác thỏa mãn đề là: 15 30 45 (tam giác) Cách Vì tam giác tạo điểm nên cách chọn điểm sau + Điểm thứ nhất: Có tám cách chọn + Điểm thứ hai: Có bảy cách chọn + Điểm thứ ba: Có sáu cách chọn 28 Số tam giác tạo nên là: 336 (tam giác) Mà tam giác lặp lại lần Khi đó, số tam giác là: 336 : 56 (tam giác) Nhưng ta phải trừ 11 trường hợp nhận điểm thẳng hàng (vì tam giác tạo nên từ điểm khơng thẳng hàng) Đó trường hợp MNP , ABC , ABD , ABE , ACD , ACE , ADE , BCD , BCE , BED , CDE Thực chất, số tam giác cần tìm 56 11 45 (tam giác) Vậy có 45 tam giác thỏa mãn yêu cầu đề Bài toán Để tạo nên 20 tam giác cần điểm ? Hƣớng dẫn Gọi a số điểm để tạo nên 20 tam giác Vì tam giác tạo nên từ điểm (khơng thẳng hàng) a điểm, nên cách chọn điểm sau: + Điểm thứ nhất: Có a cách chọn + Điểm thứ hai: Có a cách chọn (khác với điểm thứ nhất) + Điểm thứ ba: Có a cách chọn (khác với điểm thứ nhất, điểm thứ hai) Khi đó, số tam giác tạo nên là: a (a 1) (a 2) Mà tam giác tính lần Vì vậy, thực chất số tam giác là: a (a 1) (a 2) : Đề yêu cầu tạo nên 20 tam giác, ta có: a (a 1) (a 29 2) : 20 Ta thấy a (a 1) (a 2) 20 a (a 1) (a 2) 120 120 nên a Vậy cần điểm để tạo nên 20 tam giác (các điểm khơng thẳng hàng với nhau) Bài tốn Để tạo nên tứ giác ta cần điểm? Hƣớng dẫn Gọi a số điểm để tạo nên tứ giác Vì tứ giác tạo nên từ điểm (khơng thẳng hàng) a điểm, nên cách chọn điểm sau + Điểm thứ nhất: Có a cách chọn + Điểm thứ hai: Có a cách chọn + Điểm thứ ba: Có a cách chọn + Điểm thứ tư: Có a cách chọn Khi đó, số tứ giác tạo nên là: a (a 1) (a 2) (a Số lần lặp lại tứ giác tính sau + Có bốn cách chọn cho đỉnh thứ tứ giác + Có ba cách chọn cho đỉnh thứ hai tứ giác + Có hai cách chọn cho đỉnh thứ ba tứ giác + Có cách chọn cho đỉnh thứ tư tứ giác Do đó, số lần lặp lại tứ giác 24 (lần) Vì vậy, thực chất số tứ giác a (a 1) (a 2) (a 3) : 24 Đề yêu cầu tạo nên tứ giác, ta có a (a 1) (a 2) (a 30 3) : 24 3) a (a 1) (a a (a 2) (a 1) (a 2) (a 120 nên a Ta thấy 3) 3) 24 120 Vậy cần điểm để tạo nên tứ giác Bài toán Cho điểm đường trịn (như hình vẽ) Nối điểm lại với ta có đoạn thẳng ? M Y N X P S Q R Hƣớng dẫn Cách + Các đoạn thẳng tạo nên với đầu mút M , gồm đoạn thẳng sau MN , MP , MQ , MR , MS , MX , MY + Các đoạn thẳng tạo nên với đầu mút N , gồm đoạn thẳng sau NP , NQ , NR , NS , NX , NY + Các đoạn thẳng tạo nên với đầu mút P , gồm đoạn thẳng sau PQ , PR , PS , PX , PY 31 + Các đoạn thẳng tạo nên với đầu mút Q , gồm đoạn thẳng sau QR , QS , QX , QY + Các đoạn thẳng tạo nên với đầu mút R , gồm đoạn thẳng sau RS , RX , RY + Các đoạn thẳng tạo nên với đầu mút S , gồm đoạn thẳng sau SX , SY + Các đoạn thẳng tạo nên với đầu mút X , gồm đoạn thẳng sau XY Vậy có số đoạn thẳng từ điểm cho 28 (đoạn thẳng) Cách Vì đoạn thẳng tạo nên từ hai điểm nên cách chọn hai điểm sau + Điểm thứ nhất: Có tám cách chọn + Điểm thứ hai: Có bảy cách chọn Khi đó, số đoạn thẳng tạo nên là: 56 (đoạn thẳng) Mà đoạn thẳng lặp lại lần Vậy, thực chất số đoạn thẳng là: 56 : 28 (đoạn thẳng) Vậy có 28 đoạn thẳng tạo nên từ điểm cho hình vẽ 32 KẾT LUẬN Ở Tiểu học, mơn Tốn đóng vị trí then chốt, quan trọng, ln thống Mơn Tốn bước đầu hình thành cho học sinh kiến thức sơ giản, cụ thể, dễ hiểu hình thành thân em phương pháp suy nghĩ, giải vấn đề, góp phần phát triển trí thông minh, tư logic, khả suy luận cách xác, khoa học hợp lí Để từ đó, em có nhận thức cốt lõi, phục vụ cho việc học tập môn học khác nhà trường, có hành trang quý báu để bước vào sống Vì thế, mơn Tốn cần phải khơng ngừng đổi nội dung lẫn phương pháp, hình thức dạy học Đề tài nghiên cứu em củng cố thêm mục đích Qua đề tài nghiên cứu, em rút điều sau - Phương pháp giải toán cách vận dụng lý thuyết bậc cao giúp q trình giải tốn trở nên đơn giản, dễ hiểu - Một phương pháp dạy tốn sử dụng để giải nhiều dạng toán khác - Ứng dụng lý thuyết tổ hợp thực chất ứng dụng lý thuyết toán cao cấp vào giải toán Tiểu học Việc vận dụng linh hoạt ý tưởng toán cao cấp giúp trang bị cho học sinh tảng toán học vững chắc, để em học mơn Tốn cấp học cao cách hiệu Việc ứng dụng lý thuyết toán cao cấp vào việc giải toán Tiểu học việc làm cần thiết người giáo viên Tuy nhiên ứng dụng kiến thức cho học sinh phải thật khéo léo phải đảm bảo tính cân đối, vừa sức với lực học sinh Nghiên cứu đề tài: “ Ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy học số dạng tốn Tiểu học” giúp em có cách tiếp cận xác, hiệu tốn Tiểu học áp dụng lý thuyết Từ đó, học sinh tiếp thu học cách ngắn gọn, nhanh chóng, dễ dàng Qua đề tài nghiên cứu trên, 33 em có thêm phương pháp dạy học, truyền thụ kiến thức hiệu tới học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy học có chuyên môn vững vàng để phục vụ cho việc giảng dạy nhà trường sau 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Ngọc Giang (2018), Phương pháp sáng tạo toán Tiểu học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Diên Hiển (2016), Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tiểu học, Nhà xuất Đại học Sư phạm [3] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), Nguyễn Áng – Đỗ Tiến Đạt – Đỗ Trung Hiệu – Phạm Thanh Tâm ( 2014), Bài tập Toán 4, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [4] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) – Nguyễn Áng – Vũ Quốc Chung – Đỗ Tiến Đạt – Đỗ Trung Hiệu – Trần Diên Hiển – Đào Thái Lai – Phạm Thanh Tâm – Kiều Đức Thành – Lê Tiến Thành – Vũ Dương Thụy (2016), Toán 4, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [5] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), Nguyễn Áng – Đỗ Trung Hiệu – Phạm Thanh Tâm ( 2014 ), Toán 1, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [6] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), Nguyễn Áng – Đỗ Tiến Đạt – Đỗ Trung Hiệu – Đào Thái Lai (2014), Toán 2, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [7] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh – Đặng Hùng Thắng (2015), Đại số giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [8] Nguyễn Đức Tấn – Tạ Hồ Thị Dung – Nguyễn Đức Phát – Trần Thị Thanh Nhàn (2016), Bồi dưỡng Tốn hay khó 4, Nhà xuất Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh [9] Nguyễn Đình Thực (2016), Tốn nâng cao 2, Nhà xuất Đại học Sư phạm [10] Nguyễn Đình Trí – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Toán cao cấp tập 1, Nhà xuất Giáo dục B Tài liệu tiếng Anh [11] Nguyen Van Hao – Đao Thi To Uyen, Applications combinatorial theory in teaching maths at primary schools, posting, Hanoi Metropolitan University [12] Nguyen Van Hao – Đao Thi To Uyen – Nguyen Thi Thanh Ha (2018), Descartes multiplication and application in primary mathematics, Hanoi Metropolitan University [13] Emma Low – Mary Wood (2014), Cambridge Primary Mathematics Stage Learner’s Book, Cambridge University Press [14] Marshall Cavendish Education (2003), Primary Mathematics 4A - WORKBOOK, SingaporeMath ... 2: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC 13 2.1 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy học số toán số học 13 2.2 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy học số toán hình học. .. CHƢƠNG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC 2.1 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp dạy học số tốn số học Bài tốn [2,Ví dụ 1.1 – trang 7] Cho bốn chữ số 0,1,2, Viết số có bốn... toán hiệu học sinh ứng dụng lý thuyết tổ hợp, để nâng cao hiệu dạy học Nghiên cứu việc ứng dụng lý thuyết tổ hợp việc giải số toán tiểu học Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng lý thuyết tổ hợp việc dạy