Bài 1: Tìm tổng của tất cả các số có 3 chữ số khác nhau viết bởi 1, 2, 5, 8, 9
Hd:
Ta tìm số các số có 3 chữ số khác nhau viết bởi 1, 2, 5, 8, 9 Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm
Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì phải khác chữ số hàng trăm và hàng chục).
Số các số có 3 chữ số thoả mãn đầu bài là: 5 4 3 = 60 (số)
Vì số lần lặp lại của các số ở mỗi hàng là nh- nhau và các số cũng lặp lại số lần bằng nhau. Nên số lần lặp lại của mỗi số ở mỗi hàng là:
60 : 5 = 12 (lần). Tổng của các số lập đ-ợc là: (1 + 2 + 5 + 8 + 9) 12 100 + (1 + 2 + 5 + 8 + 9) 12 10 + ( 1 + 2 + 5 + 8 + 9) 12 = 15 (1200 + 120 + 12) = 25 1332 = 33300. Đáp số: 33300. Bài 2:
Trong một phòng họp có 15 ng-ời, cứ 2 ng-ời lại có 1 cái bắt tay. Tất cả mọi ng-ời trong phòng đều đ-ợc bắt tay 1 lần. Hỏi có tất cả có bao nhiêu cái bắt tay?
Hd:
Ta thấy cứ hai ng-ời lại bắt tay nhau 1 lần.
Số cái bắt tay chính là số cách lấy ra 2 ng-ời bất kỳ trong số 15 ng-ời đó. Chọn ng-ời thứ nhất có 15 cách chọn
Chọn ng-ời thứ hai có 14 cách chọn
Vậy để chọn 2 ng-ời có : 14 15 = 210 (cách). Nh-ng trong số đó 2 ng-ời lại đ-ợc tính 2 lần bắt tay.
Vậy số cách lấy ra 2 ng-ời thực ra là: 210 : 2 =105 (cách).
Số cái bắt tay trong phòng họp là 105 cái bắt tay.
Bài 3:
Các thành phố A, B, C, D đ-ợc nối với nhau bởi các con đ-ờng nh- hình d-ới.
Hỏi: Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và qua C chỉ một lần?
A B C D
Hd:
Có 4 cách chọn đi từ A đến B. Có 2 cách chọn đi từ B đến C. Có 3 cách chọn đi từ C đến D.
Vậy có số cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần là: 4 2 3 = 24 (cách)
Đáp số: 24 cách.
Bài 3:
Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, chữ nhật) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
Hd:
Có 3 cách chọn kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, chữ nhật). Có 4 cách chọn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa)
Có 3 cách chọn kiểu mặt đồng hồ và ứng với mỗi cách đó có 4 cách chọn kiểu dây.
Vậy số cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây là: 3 4 =12 (cách).
Bài 4:
Có bao nhiêu số có có năm chữ số, trong đó có từ hai chữ số giống nhau trở lên
Nhận xét: các số thỏa mãn đầu bài nh-:
11234, 11324, 11342,.... Nh- vậy nếu ta liệt kê chỉ riêng với các số đ-ợc lập từ các số 1, 2, 3, 4 và chữ số 1 đ-ợc lặp lại hai lần. Khi ta liệt kê ra với các tr-ờng hợp khác với một chữ số lặp lại là 3, 4 hoặc 5 lần thì rất khó có thể liệt kê đ-ợc hết và đủ.
Bài tập này thì ph-ơng pháp thông th-ờng thì không phải là ph-ơng pháp tối -u. Ta áp dụng lí thuyết tổ hợp để làm:
Hd: * Tr-ớc hết ta tính số các số có năm chữ số: - Có 9 cách chọn chữ số hàng chục nghìn (là một trong 9 chữ số khác 0). - Có 10 cách chọn chữ số hàng nghìn (là một trong 10 chữ số). - Có 10 cách chọn chữ số hàng trăm (là một trong 10 chữ số). T-ơng tự có 10 cách chọn chữ số hàng chục, và 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Vậy các chữ có năm chữ số là: 9 10 10 10 10 = 90 000 (số). * Ta tính số các số có năm chữ số khác nhau: - Có 9 cách chọn chữ số hàng chục nghìn (là một trong chín chữ số khác 0). - Có 9 cách chọn chữ số hàng chục nghìn (là một trong 9 chữ số còn lại). - Có 8 cách chọn chữ số hàng trăm (là một trong 8 chữ số còn lại).
T-ơng tự ta có 7 cách chọn chữ số hàng chục, có 6 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Vậy số các số có 5 chữ số khác nhau là: 9 9 8 7 6 = 27 216 (số).
* Bây giờ ta tính số các số có năm chữ số trong đó có từ hai chữ chữ số trở lên.
Từ việc tìm số các số có 5 chữ số và số các số có 5 chữ số khác nhau ta có số các số có 5 chữ số, trong đó có từ hai chữ số giống nhau trở lên là:
90 000 - 27 216 = 62 784 (số)
Đáp số: 62 784 số.
Bài 5:
Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu trong 5 quả cầu xanh, đỏ, tím, vàng, da cam cho ba bạn Nam, Dũng, Hùng?
Hd:
Lấy ra 1 quả cầu cho Nam, có 5 cách
Lấy ra 1 quả cầu cho Dũng, có 4 cách (chọn trong 4 quả cầu còn lại). Lấy ra 1 quả cầu cho Hùng, có 3 cách (chọn trong 3 quả cầu còn lại). Vậy số cách để lấy ra 3 quả cầu trong 5 quả cầu cho 3 bạn là:
5 4 3 = 60 (cách)
Đáp số: 60 cách.
Bài 6:
Cho năm chữ số 0, 1, 3, 6, 9
a) Từ các chữ số trên có thể lập đ-ợc bao nhiêu số, mỗi số gồm bốn chữ số khác nhau?
b) Trong đó có bao nhiêu số lẻ?
c) Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 3?
Hd:
a) Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn (là 1, hoặc 3, hoặc 6, hoặc 9). Có 4 cách chọn chữ số hàng trăm (là một trong 4 chữ số còn lại). Có 3 cách chọn chữ số hàng chục (là một trong 3 chữ số còn lại). Có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị (là một trong 2 chữ số còn lại). Vậy số các số có bốn chữ số là:
4 4 3 2 = 96 (số).
b) Để đ-ợc số lẻ ta phải chọn chữ số hàng đơn vị là 1, hoặc 3, hoặc 9 Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Với mỗi cách chọn chữ số hàng đơn vị thì có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn (là một trong 3 chữ số khác 0 còn lại).
Với mỗi cách chọn chữ số hàng nghìn thì có 3 cách chữ số hàng trăm (là một trong 3 chữ số còn lại).
Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm thì có 2 cách chữ số hàng chục (là một trong 2 chữ số còn lại).
Số các số lẻ là:
3 3 3 2 = 54 (số).
c) Các chữ số 0, 3, 6, 9 đều chia hết cho 3. Vậy để có số chia hết cho 3 thì số đang xét không đ-ợc có chữ số 1.
Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn (một trong các chữ số 3, 6, 9). Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (một trong 3 chữ số còn lại). Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (một trong 2 chữ số còn lại).
Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (chính là chữ số còn lại cuối cùng) Vậy số các số chia hết cho 3 là:
3 3 2 1 = 18 (số).
Đáp số: a) 96 số b) 54 số c) 18 số.
Bài 7:
Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong mỗi số chỉ có đúng một chữ số 5?
Hd: Ta xét từng tr-ờng hợp: a) Nếu chữ số hàng trăm là 5 thì: - Có 9 cách chọn chữ số hàng chục (là một trong 9 chữ số khác 5). - Có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị (là một trong 9 chữ số khác 5). Vậy có: 9 9 = 81 (số). b) Nếu chữ số hàng chục là 5 thì: - Có 8 cách chọn chữ số hàng trăm (là một trong 8 chữ số khác 0 và khác 5). - Có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị (là một trong 9 chữ số khác 5).
Vậy có:
8 9 = 72 (số).
c) T-ơng tự: Nếu chữ số hàng đơn vị là 5 thì cũng có 72 số . Vậy số các số phải tìm là:
81 + 72 +72 = 225 (số). Đáp số: 225 số.
Bài 8:
Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 ng-ời ngồi vào một hàng nếu: a) Sắp xếp tùy ý.
b) Trong 8 ng-ời đó có hai ng-ời X và Y luôn ngồi cạnh nhau.
Hd:
a) Chọn một ng-ời vào chỗ thứ nhất có 8 cách chọn.
Chọn một ng-ời vào chỗ thứ hai có 7 cách chọn (chọn trong 7 ng-ời còn lại)
Chọn một ng-ời vào chỗ thứ ba có 6 cách chọn (chọn trong 6 ng-ời còn lại)
Chọn một ng-ời vào chỗ thứ t- có 5 cách chọn (chọn trong 5 ng-ời còn lại)
T-ơng tự với các vị trí tiếp theo lần l-ợt có số cách chọn là 4; 3; 2 cho các vị trí thứ năm, thứ sáu, thứ bẩy
Chọn một ng-ời vào chỗ cuối cùng có 1 cách chọn Vậy số cách sắp xếp 8 ng-ời vào cùng một hàng là:
8 7 6 5 4 3 2 1 = 40 320 (cách).
b) Ta coi X và Y là một ng-ời. Ta xét đến số cách sắp xếp 7 ng-ời vào 7 chỗ ngồi:
Chọn vị trí thứ nhất có 7 cách chọn. Chọn vị trí thứ hai có 6 cách chọn. ...
T-ơng tự nh- vậy cho đến vị trí cuối cùng có 1 cách chọn. Vậy số cách sắp xếp 7 ng-ời vào 7 chỗ ngồi là:
7 6 5 4 3 2 1 = 5 040 (cách).
Nh-ng trong đó ch-a tính đến việc đổi chỗ của hai ng-ời. Do vậy số cách sắp xếp để X, Y ngồi cạnh nhau là:
5040 2 =10 080 (cách).
Đáp số: a) 40 320 cách
b) 10 080 cách.
Bài 9:
Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 ng-ời A, B, C, D, E thành một hàng ngang sao cho hai ng-ời A, B không đứng cạnh nhau?
Hd:
Số cách xếp 5 ng-ời A, B, C, D, E thành một hàng ngang là: 1 2 3 4 5 (cách).
Hai ng-ời A, B đứng cạnh nhau ta coi là một ng-ời và hàng đó chỉ còn 4 ng-ời và có 2 tr-ờng hợp xảy ra.
Mà số cách xếp 4 ng-ời thành một hàng ngang là: 1 2 3 4 (cách). Do đó số cách xếp 5 ng-ời A, B, C, D, E thành một hàng ngang sao cho hai ng-ời A, B đứng cạnh nhau là: (1 2 3 4) 2
Vậy số cách xếp 5 ng-ời A, B, C, D, E thành một hàng ngang sao cho hai ng-ời A, B không đứng cạnh nhau là:
(1 2 3 4 5) - (1 2 3 4) 2 =72 (cách). Đáp số: 72 cách.
Bài 10:
Cho 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ các chữ số đó ta có thể lập đ-ợc bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau mà mỗi số đều chia hết cho 3? Tính tổng của tất cả các số có ba chữ số đó.
Hd:
Các số chia hết cho 3 phải có tổng các chữ số chia hết cho 3? Vì tổng của ba trong 6 chữ số đã cho chỉ có thể từ 6 cho đến 15 nên tổng của ba chữ số trong mỗi số đang xét chỉ có thể là 6 , 9, 12 hoặc 15. Ta có:
a) 6 = 1 + 2 + 3
b) 9 = 2 + 3 + 4 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 - Từ ba chữ số 2, 3, 4 ta lập đ-ợc 3 2 1 = 6 số có ba chữ số khác nhau. - Từ ba chữ số chữ số 1, 2, 6 ta lập đ-ợc 6 số có ba chữ số khác nhau. - Từ ba chữ số 1, 3, 5 ta lập đ-ợc 6 số có ba chữ số khác nhau. c) 12 = 3 + 4 + 5 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 - Từ ba chữ số 3, 4, 5 ta lập đ-ợc 6 số có ba chữ số khác nhau. - Từ ba chữ số 1, 5, 6 ta lập đ-ợc 6 số có ba chữ số khác nhau. - Từ ba chữ số 2, 4, 6 ta lập đ-ợc 6 số có ba chữ số khác nhau. d) 15 = 4 + 5 + 6 Từ ba chữ số 4, 5, 6 ta lập đ-ợc 6 số có chữ số khác nhau. Từ ba (a), (b), (c), (d) ta thấy có tất cả: 6 8 = 48 (số) * Tổng các chữ số trong các số ở: - Mục (a) là: 6 6 - Mục (b) là: 9 3 6 = 27 6 - Mục (c) là: 12 3 6 = 36 6 - Mục (d) là: 15 6 Vậy tổng các chữ số phải tìm là: 6 6 + 27 6 + 36 6 + 15 6 = (6 + 27 + 36 + 15) 6 = 504 Đáp số: 48 số 504. Bài 11:
Có bao nhiêu hình vuông trong hình bên: 1cm x1 cm Hd: Ta thấy chỉ có hình vuông cạnh 1 cm và 2 cm Số hình vuông cạnh 1 cm là: 10 hình Số hình vuông cạnh 2 cm là: 4 hình Số hình vuông trong hình là:
10 + 4 = 14 (hình vuông)
Đáp số: 14 hình vuông.
Bài 12:
Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đ-ờng chéo?
Hd:
Đa giác lồi 20 cạnh vậy đa giác đó có 20 đỉnh. Cứ 2 đỉnh ta lại đ-ợc một đ-ờng chéo.
Chọn 1 điểm đầu mút của đ-ờng chéo có 20 cách chọn. Chọn điểm đầu mút còn lại có 19 cách chọn.
Vậy số đoạn thẳng là:
20 19 =380 cách chọn
Nh-ng trong đó có một đoạn thẳng đ-ợc lặp lại 2 lần Số đ-ờng chéo của đa giác lồi đó là:
380 : 2 = 190 (đ-ờng).
Đáp số: 190 đ-ờng chéo.
Nh- vậy khi gặp các bài toán trong đó phải tính số tr-ờng hợp có thể xảy ra của một sự kiện nào đó thì ngoài cách giải trực tiếp là liệt kê tất cả các tr-ờng hợp ấy ra rồi đếm thì ta còn có cách đếm gián tiếp bằng cách tính toán dựa trên những đặc tính riêng biệt của từng loại sự kiện. Hoặc từ đó mà làm tiền đề để giải quyết các yêu cầu khác của bài toán. Đó chính là sự vận dụng linh hoạt lí thuyết tổ hợp trong toán Tiểu học.
KếT LUậN
Với t- cách là một môn học trong nhà tr-ờng, môn Toán có khả năng trang bị cho học sinh hệ thống tri thức và và ph-ơng pháp để nhận thức thế giới khách quan và làm công cụ để học tốt các môn học khác, đồng thời để hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn. Chính vì vậy, nội dung và ph-ơng pháp dạy toán phải không ngừng đ-ợc cải thiện mục tiêu của môn học, bậc học đề ra. Đề tài của tôi cũng không nằm ngoài mục đích đó.
Qua quá trình nghiên cứu tôi rút ra đ-ợc những kết luận sau: - Toán Tiểu học mang cả chiều rộng và chiều sâu.
- Sử dụng những kiến thức toán học tổng hợp khái quát hóa giúp ta có những định h-ớng để giải quyết vấn đề một cách tốt nhất.
- Sử dụng các ph-ơng pháp tối -u giúp học sinh có cách giải quyết nhanh, chính xác, t- duy nhạy bén.
- Có thể vận dụng một ph-ơng pháp để làm nhiều loại toán khác nhau. - Vận dụng lí thuyết tổ hợp về bản chất là dựa trên những công thức toán học cơ bản ở bậc phổ thông. Thông qua đề tài này sẽ giúp cho giáo viên cũng nh- học sinh có những cách làm phù hợp với trình độ học sinh Tiểu học lấy lí thuyết tổ hợp làm cơ sở và đ-a ra cách giải tối -u nhất.
Chủ đề lí thuyết tổ hợp đ-ợc vận dụng vào Tiểu học một cách khoa học, sáng tạo, dễ hiểu học sinh nhanh chóng tiếp thu và vận dụng. Tuy nhiên ng-ời giáo viên phải có sự lựa chọn kiến thức sao cho phù hợp với năng lực của đối t-ợng.
Thực hiện nghiên cứu đề tài “ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong toán Tiểu học” giúp tôi đ-ợc củng cố và đi sâu về các bài toán ở Tiểu học. Qua đó mà tôi
có những kiến thức, ph-ơng pháp giải toán hữu hiệu và năng lực s- phạm cần thiết tr-ớc khi b-ớc vào nghề.
Tuy nhiên, đây mới chỉ là b-ớc đầu tìm hiểu, do vậy cần có những công trình nghiên cứu sâu, rộng hơn nữa đem lại hiệu quả cho nền giáo dục.
Tài liệu tham khảo
1. Đỗ Đình Hoan (2008), SGK Toán 2, 3, 4, 5, Nxb GD.
2. Đỗ Trung Hiệu (2002), Các bài toán về phân số và số thập phân lớp 4, 5,
Nxb GD.
3. Đỗ Trung Hiệu (2003), Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán bậc Tiểu học môn
Toán, Nxb GD.
4. Đỗ Trung Hiệu (2002), Vở bài tập toán nâng cao lớp 5 tập 1 - Nxb GD. 5. Lê Văn Hậu (2005), 30 Bộ đề thi toán 5, Nxb GD.