Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN --- TRẦN THỊ MAI YÊN XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương phá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN -

TRẦN THỊ MAI YÊN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ, CHỈNH

HỢP, TỔ HỢP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp giảng dạy

Người hướng dẫn khoa học ThS DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2013

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới cô giáo – Th.S Dương Thị Hà người đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Phương pháp dạy học của khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy, cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa và Ban giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập và nghiên cứu tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả khóa luận Trần Thị Mai Yên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả khóa luận là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của cô giáo - Th.S Dương Thị Hà

Khóa luận với đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán

vị, chỉnh hợp, tổ hợp” chưa từng được công bố trong bất kì công trình nghiên

cứu nào Nếu có gì sai phạm người viết sẽ chịu mọi hình thức kỉ luật theo đúng quy định của việc nghiên cứu khoa học

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả khóa luận Trần Thị Mai Yên

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU……… 1

1 Lí do chọn đề tài………1

2 Mục đích nghiên cứu……….1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu………2

4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

5 Cấu trúc khóa luận……….3

PHẦN 2: NỘI DUNG……… 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN………3

1.1 Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……3

1.2 Các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……….5

1.3 Một số khó khăn, sai lầm thường gặp khi giải toán về chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……… 11

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP……… 17

2.1 Dạng 1: Thực hiện bài toán đếm………17

2.2 Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức……… 29

2.3 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức……… 37

2.4 Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, hệ bất phương trình……… 45

PHẦN 3: KẾT LUẬN……… 58

Với lí do nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng biết phân biệt, áp dụng các công thức, tính chất vào làm các bài tập có liên quan đến phần hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp tôi đã lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Xây dựng

hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập về chủ đề hoán vị, chỉnh hợp,

tổ hợp

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

5 Cấu trúc khóa luận

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

Bao gồm 2 chương là:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp,

tổ hợp

Phần 3: Kết luận

Cho tập hợp A có n (n  1) phần tử Khi sắp xếp n phần tử này theo

một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A)

Như vậy lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A

(không quan tâm đến thứ tự)

n C

k n k



 (4)

 Ta quy ước C  n0 1(coi  là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử)

Với quy ước này công thức (4) cũng đúng với k = 0 Vậy công thức (4) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0  k  n

(5) được gọi là hằng số Pa-xcan

 Để phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp ta cần lưu ý đến nhận xét sau:

- Chỉnh hợp là cách chọn k phần tử trong n phần tử mà “quan tâm” đến

1.2 Các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

 Trong chương trình sách giáo khoa ta đã được làm quen với một số dạng bài tập cơ bản sau:

1 Thực hiện bài toán đếm

Giải a) Chọn 4 người điểm cao nhất thì số kết quả có thể là: C 154 1365.

b) Chọn 3 người sắp thứ tự nhất, nhì, ba là một chỉnh hợp Do đó số kết quả có thể là: A 153 2730

 Trong chương trình môn Toán nói chung ngoài những dạng trên ta

có thể thấy một số dạng bài tập sau:

1 Rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

1 2

!

n n

P n



Ta có nhận xét:

2 2

2 3

Điều kiện để (1) có nghĩa là n  2, n   ()

Đối chiếu với điều kiện (), thì n = 1 bị loại

Vậy tập nghiệm của (1) là S = {2, 3}

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

3 1 4

1.14

n n n

Xét bất phương trình

3 1 4

1.14

n n n

Kết hợp với điều kiện thì n <  7 bị loại

Vậy nghiệm của (1) là n > 6, n  N

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

1

1

126.720

x

y y x y x x

A C P P

Biến đổi phương trình về dạng:

Xét bất phương trình: 5 60 32.

( )!

k n

n

k k

 Nếu n  4 thì (n + 4)(n + 5)  72 Từ đó (3) không đúng, vậy với mọi

n  4 đều không thỏa mãn (3)

Thử lại n = 1, k = 0 hoặc n = k = 1 đều thỏa mãn (3)

Ví dụ 1: Một cửa hàng có 4 cửa ra vào Hỏi có bao nhiêu cách vào một cửa và

3.3.A 54.

 Theo quy tắc cộng ta có số các số tạo thành là: 24 + 54 = 78 số

Ví dụ 3: Tính số cách chọn 3 cặp nhảy từ 10 bạn nam và 6 bạn nữ (mỗi cặp

 Sai lầm của bài giải:

Đây là cách chọn bình đẳng, không kể thứ tự nhưng học sinh lại tính theo cách chọn có thứ tự

Ví dụ 4: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ giỏi khiêu vũ Người ta chọn có thứ

tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

10! 10!

8.9.10 720(10 3)! 7!

- Tương tự số cách chọn 3 trong 6 nữ là:

3 6

6!

4.5.6 1203!

A    (cách)

Vậy số cách chọn 3 cặp là:

3 3

10 6 720.120 86400 cách

Ví dụ 5: Một nhóm có 18 học sinh trong đó có 7 học sinh lớp 12, 6 học sinh

lớp 11, 5 học sinh lớp 10 Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 8 em đi thi mà một khối có ít nhất một em?

2 5 25 05

.52

x x

Điều kiện của phương trình là x3, xN

Biến đổi phương trình về dạng:

Vậy nghiêm của phương trình đã cho là x 5

 Kết luân: Chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán, là cơ sở để có thể học tốt phần xác suất thống kê và còn được sử dụng rất nhiều trong đời sống hàng ngày Trong quá trình giải các bài toán thuộc chủ đề này học sinh còn hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp, khi giải phương trình còn chưa chú ý đến tập xác định của phương trình

Với mục đích giúp học sinh có được cái nhìn tổng quan, hiểu được bản chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, từ đó đưa ra phương pháp giải phù hợp

với yêu cầu của bài toán nên tôi đã sắp xếp hệ thống các kiến thức, các dạng bài tập trong sách giáo khoa và trong chương trình môn Toán của chủ đề hoán

vị, chỉnh hợp, tổ hợp; đồng thời tôi cũng nêu lên một số khó khăn và việc khắc phục những sai lầm của học sinh khi học phần này

Ở chương 2, tôi sẽ phân loại các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Ở mỗi dạng trước hết có các ví dụ minh họa bao gồm: một

số bài tập trong sách giáo khoa, trong các đề thi tốt nghiêp của các năm, các bài toán chọn lọc nâng cao, các bài toán giải bằng nhiều cách khác nhau Sau

đó đưa ra một số bài tâp luyện tâp

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ

HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

2.1 Dạng 1: Thực hiện bài toán đếm

2.1.1 Kiến thức thường sử dụng

1 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử

chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:

- Tất cả n phần tử đều có mặt

- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần

- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử

2 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n

phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:

- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

3 Để nhận biết một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần

tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:

- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

2.1.2 Ví dụ

Ví dụ 1: (SGK- ĐS & GTNC11, trang 62)

Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội bóng trong một giải bóng đá có 5 đội bóng (giả sử không có hai đội nào đó điểm trùng nhau)?

Giải

Số khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng là: 5! = 120 (khả năng)

Ví dụ 2: Cho tập A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 9 chữ số khác nhau? b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 9 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

c) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm có 9 chữ số khác nhau?

Giải Một số có 9 chữ số phân biệt được kí hiệu:

1 2 9

aa a a với aiA i; 1,9; aiaj a) Ta có ngay a1, a2,…,a9 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ A, do

đó nó là một hoán vị của 9 phần tử Vậy từ A có thể lập được:

P9 = 9! = 362880 số thỏa mãn điều kiện đầu bài

a) Với bàn hình chữ U, có thể phân biệt vị trí chỗ ngồi bằng cách đánh

số thứ tự Khi đó mỗi cách sắp xếp ứng với một và chỉ một bộ 4 phần tử của tập E

Giải Đây là số hoán vị 8 vật trong đó có 3 vật giống nhau (ba chữ số 1) Do

đó số các số thỏa mãn là: 8!

3!

Trong đó kể cả những số có chữ số 0 tận cùng bên trái Số các số này

có thể xem là số hoán vị 7 vật có 3 vật được lặp lại là: 7 !

3!

Do đó, số các số gồm 8 chữ số được viết từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần là:

Ví dụ 6: Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ

số khác nhau từ 5 số trên sao cho:

a) Số tạo thành có một số chẵn

b) Số tạo thành không có chữ số 7

c) Số tạo thành nhỏ hơn 278

Giải a) Do có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có:

2

42.4.32.A 24 số chẵn

b) Các chữ số chỉ được chọn trong 4 số Vậy có:

2

44.3.2 A 24 số không có chữ số 7

c) Trong trường hợp này: Chữ số hàng trăm là 1 hoặc 2

- Nếu chữ số hàng trăm là 1 thì có 2

44.3 A 12

- Nếu chữ số hàng trăm là 2 thì có đúng 8 số (275, 271, 258, 257, 251,

218, 217, 215)

Vậy có 20 số nhỏ hơn 278

Ví dụ 7: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Từ tập A có thể lập được bao

nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mỗi số chứa chữ số 5? Trong các số đó có bao nhiêu số không chia hết cho 5?

Giải Một số gồm 6 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng:

Ví dụ 8: Cho tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ tập A có thể lập được bao nhiêu

số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5?

Giải Một số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng:

- Khả năng 2: Nếu 5  {a2, a3, a4, a5} thì có 4 cách chọn

Tiếp theo:

 a1 được chọn từ tập A\{0,5} – có 5 phần tử nên có 5 cách chọn

 Mỗi bộ số dành cho 3 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 3 của các phần tử của tập A\{5, a1} – có 5 phần tử

Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé

xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người xổ số có 4 giải: một giải nhất, một giải nhì, một giải ba, một giải tư Hỏi:

a) Có bao nhiêu kết quả có thể?

b) Có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất?

c) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải?

Giải a) Việc chọn ra 4 người xếp các giải nhất, nhì, ba, tư là số chỉnh hợp

c) Số kết quả có thể nếu biết người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải là:

3 99

4.A 3764376 (kết quả có thể)

Ví dụ 10: (SGK – ĐS&GTNC11, trang 64)

Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ Người ta cần chọn ra 5

em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục Trong 5 em được chọn không có quá một em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

b) Có bao nhiêu cách lấy ra đúng 2 quả cầu đỏ?

c) Có bao nhiêu cách lấy nhiều nhất 2 quả cầu đỏ?

d) Có bao nhiêu cách lấy ít nhất 2 quả cầu đỏ?

Giải a) Mỗi cách lấy ra 4 quả cầu trong số 10 quả ứng với một tổ hợp chập 4

của 10 phần tử Do đó, số cách lấy bằng: 4

10

10!

2104!6!

Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm Hỏi:

a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà 2 đầu mút thuộc P?

b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P?

2.1.3 Bài tập luyện tập

Bài 1: Cho tập E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E?

b) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E, trong

đó các chữ số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau?

c) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E bắt đầu bằng 123?

Giải a) Mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E ứng với chỉ một hoán vị của 7 phần tử của tập E và ngược lại

Vậy số các số phải tìm bằng: P7 = 7! = 5040 số

b) Xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: Các số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự đó

Giả sử a = (3, 4, 5) là bộ ba chữ số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự đó Mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E, trong đó các chữ số

3, 4, 5 đứng cạnh nhau (theo thứ tự đó) ứng với chỉ một hoán vị của 5 phần tử của tập {1, 2, a, 6, 7} và ngược lại

Vậy số các số phải tìm bằng P5 = 5! = 120 số

- Trường hợp 2: Các số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự bất kì

Ta biết rằng có 3! cách chọn bộ 3 chữ số (3, 4, 5) đứng cạnh nhau và theo thứ tự bất kì

Giải

Trước hết ta có số hoán vị của n phần tử là: Pn = n!

Trong đó kể cả số hoán vị mà hai phần tử a và b đứng cạnh nhau

Ta đi xem có bao nhiêu cách chọn cặp (a, b) đứng cạnh nhau và dễ thấy rằng:

- Với b đứng bên phải a, khi đó ta có thể chọn cho a tất cả (n  1) vị trí,

a) Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ tập A?

b) Trong các số đó có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 7?

c) Trong các số đó có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1?

Giải a) Một số gồm 4 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng:

b) Để số tìm được phải có mặt chữ số 7, ta thấy:

51.3.A 60 số

Bài 4: (Đề thi tuyển Đại học, Cao đẳng khối B – 2005)

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam, 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam, 1 nữ?

Giải Đầu tiên ta chọn 4 nam, 1 nữ cho tỉnh thứ nhất Theo quy tắc nhân ta có

Dĩ nhiên 4 nam, 1 nữ còn lại sẽ phân công cho tỉnh thứ 3

Lại theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là:

n = n1.n2 = 1485.140 = 207900

Tóm lại có 207900 cách phân công

Bài 5: Cho 7 điểm trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng

a) Có bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên?

b) Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên?

Giải a) Mỗi điểm không kể thứ tự, trong 7 điểm đã cho xác định 1 đường thẳng và ngược lại

Vậy số đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên bằng:

2 7

7!

212! 7 2 !

7!

353! 7 3 !

b) A 73 210 cách chọn

Bài 7: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh

gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên

Giải Gọi A là tập hợp số cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh

Ta có ngay số cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh là:

 A C124 495 (1) Gọi B là tập hợp số cách chọn 4 học sinh sao cho đủ mặt học sinh 3 lớp Muốn vậy ta phải chọn một lớp có 2 học sinh, mỗi lớp còn lại chọn 1 học sinh Theo quy tắc cộng và quy tắc nhân ta có số các chọn 4 học sinh sao cho

 Để thực hiện việc rút gọn hoặc tính giá trị biểu thức có chứa các toán

tử hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chúng ta thường sử dụng công thức khai triển và trong nhiều trường hợp việc sử dụng các hệ thức giữa các số k