Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.... Với lí do nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng biết phân biệt, áp dụng các công thức, tính chất vào làm các bà

TRUONG DAI HQC SU PHAM HA NOI 2

KHOA TOAN

TRAN THI MAI YEN

XAY DUNG HE THONG BAI TAP TRONG CHU DE HOAN VI, CHINH

HOP, TO HOP

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp giảng dạy

Người hướng dẫn khoa học

ThS DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2013

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới cô giáo — Th.S Dương Thị Hà người đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Phương pháp dạy học của khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy, cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa và Ban

giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập và nghiên

cứu tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Tác giả khóa luận

Trần Thị Mai Yên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả khóa luận là kết quả nghiên cứu của riêng tôi đưới sự hướng dẫn của cô giáo - Th.S Dương Thị Hà

Khóa luận với đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập trong chú đề hoán

vị, chính hợp, tổ hợp” chưa từng được công bố trong bắt kì công trình nghiên cứu nào Nếu có gì sai phạm người viết sẽ chịu mọi hình thức kỉ luật theo đúng quy định của việc nghiên cứu khoa học

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả khóa luận

Trần Thị Mai Yên

MỤC LỤC

PHẢN 1: MỞ ĐÀU Q2 22 2222221222212 2111111111 He 1

2 Mục đích nghiên cứu ch nh nh he 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu . - cà nh kh ky 2

4 Phương pháp nghiên cứu - + c2 se 2

5 Cấu trúc khóa luận : + + 22c 1222011111211 11 151111501111 581 11188111 3 PHẢN 2: NỘI DUNG 2Q Snnn SE E x2 n2 ng 3 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 222 222222221111 122521cssex 3 1.1 Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 3

1.2 Các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 5 1.3 Một số khó khăn, sai lầm thường gặp khi giải toán về chủ để hoán vị, chỉnh hợp, tố hợp + 21111 E1111111111111122 55 555555511511 111k rn 11

CHUONG 2: XAY DUNG HE THONG BAI TAP TRONG CHU DE HOAN

thức, bất đẳng thức; giải phương trình, bất phương trình và hệ có chứa các đại

lượng về số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Với lí do nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng biết phân biệt, áp dụng các công thức, tính chất vào làm các bài tập có liên quan đến phần hoán vị, chính hợp, tô hợp tôi đã lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Xây dựng

hệ thống bài tập trong chú đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập về chủ đề hoán vị, chính hợp,

tổ hợp

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

5 Cấu trúc khóa luận

Phan 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

Bao gồm 2 chương là:

Chương |: Cơ sở lí luận

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp,

tổ hợp

Phần 3: Kết luận

PHAN 2: NOI DUNG

Cho tập hợp A có ø (» > 1) phần tử Khi sắp xếp ø phần tử này theo

một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị

của A)

b) Số các hoán vị

- Kí hiệu P„là số các hoán vị của một tập hợp có phần tử

- Định lí: Số các hoán vị của một tap hop co n phan tử là:

4ÿ =n(n—1)(n—2) (n—k + l).

là một tổ hợp chập & của A)

Như vậy lập một tô hợp chập # của A chính là lấy ra & phần tử của A

(không quan tâm đến thứ tự)

s Ta quy ước Cj = 1 (coi Ø là tổ hợp chập 0 của tập hợp có ø phần tử)

Với quy ước này công thức (4) cũng đúng với k = 0 Vậy công thức (4) đúng với mọi số nguyên & thỏa mãn 0 < & < ñ

(5) được gọi là hằng số Pa-xcan

s* Để phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp ta cần lưu ý đến nhận xét sau:

- Chỉnh hợp là cách chọn & phần tử trong ø phần tử mà “quan tâm” đến thứ tự sắp xếp

- Tổ hợp là cách chọn # phần tử trong ø phần tử mà “không quan tâm” đến thứ tự sắp xếp

- Việc phân biệt đúng lúc nào đùng công thức tổ hợp lúc nào dùng công thức chính hợp là rất quan trọng Nếu chọn nhằm cách sử dụng, kết quả phép tính sẽ sai hoàn toản

1.2 Các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chính hợp, tổ hợp

s* Trong chương trình sách giáo khoa ta đã được làm quen với một số dạng bải tập cơ bản sau:

1 Thực hiện bài toán đếm

Vi du: (SGK — DS&GTNC11, trang 63)

Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người

nào có điểm bằng nhau

a) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể?

b) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể?

Giải a) Chọn 4 người điểm cao nhất thì số kết quả có thể la: C;, =1365 b) Chọn 3 người sắp thứ tự nhất, nhì, ba là một chỉnh hợp Do đó số kết quả có thé la: 4), =2730

2 Chứng minh đẳng thức

Vi du: (SBT — DS&GTCB11, trang 63)

Chứng minh rằng với các số nguyên #, ø không âm, l< k< n Ta có:

s* Trong chương trình môn Toán nói chung ngoài những dạng trên ta

có thể thấy một số dạng bài tập sau:

1 Rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Rút gọn biêu thức:

am Fa (n-3)!47 (n +2)!

Giải

Ta có:

n! _ mỊ —nl(n—=2)!-

n—1 phan tt

2<n Suy ra:

kI>2*`, với keZ,k >3

Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với ø = k+ 1, tức là chứng minh

(k+1)!> 2”, với keZ,k>3.

Thật vậy:

k>3

(k+1)!=(k+1)k!>(k+1).2 > 2.2! = 2" (Dpem)

3 Giải phương trình, bất phương trình và hệ

Vi du 1: Giai phuong trinh 2P, + 6.4? - PA? = 12

e1, ©=||n=-l€©||n=-]

n -n-2=0

n=2 ()© 2n!l+6 -12=0

Đối chiếu với điều kiện (*), thì ø = —1 bị loại

Vậy tập nghiệm của (1) là S = {2, 3}

Kết hợp với điều kiện thì ø < — 7 bị loại

Vậy nghiệm của (1) là ø > 6,ø eN

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

Điều kiện: x,yeN, 2< x< y

Biến đối phương trình về dạng:

©i(_-x)lx!

x=5 vio -

©4(y-5)!5I

x=5

Xét bat phuong trinh: (nh)! n‡3 ()

Điều kiện dé (1) có nghĩa là:

n>k

n>k n+3>0

©k>-2

k+2>0

nkeN nkeN

Do ø, &> 0, nên điều kiện là ø > &, n, & là các số tự nhiên (*)

° Néu n> 4 thi (n + 4)(n + 5) > 72 Từ đó (3) không đúng, vậy với mọi

n > 4 đều không thỏa mãn (3)

* Nếu „=0 Do0 <k<m=k=0

Khi ø = k= 0, thì VT(3) = 20 < 60, vậy n =k =0 thỏa mãn (3)

Thử lại ø = I, k= 0 hoặc ø = k= 1 đều thỏa mãn (3)

s Nếu ø= 2 Ta có:

() © 6.7.(3—k) < 60 ©œ 3—k < ve k> = Kết hợp với k<2= k=2

s Nếu ø = 3 Ta có:

15 41 G®)©7.8%(4—k) <60©4—k<— ©k>— 14 14

s Sai lầm của bài giải là chưa thỏa mãn tính chất có chữ số 1 trong sé

tạo thành (Sai lầm này ít gặp)

= Theo quy tắc cộng ta có số các số tạo thành là: 24 + 54 = 78 số

Ví dụ 3: Tính số cách chọn 3 cặp nhảy từ 10 bạn nam và 6 bạn nữ (mỗi cặp

s Sai lầm của bài giải:

Đây là cách chọn bình đẳng, không kể thứ tự nhưng học sinh lại tính theo cách chọn có thứ tự

Vi du 4: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ giỏi khiêu vũ Người ta chọn có thứ

tự 3 nam và 3 nữ đề ghép thành 3 cặp Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Vậy số cách chọn 3 cặp là:

4.4) = 720.120 = 86400 cách

Ví dụ 5: Một nhóm có 18 học sinh trong đó có 7 học sinh lớp 12, 6 học sinh

lớp II, 5 học sinh lớp 10 Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 8 em đi thi mà một

khối có ít nhất một em?

3 Cách giải sai:

Ta sẽ chọn 3 em học sinh ở cả 3 khối, sau đó sẽ chọn ngẫu nhiên 5 em

còn lại trong số 15 học sinh ta duge C!.C!.C!.C* = 630630 (cach)

* Bai giải sai vì theo nguyên tắc cơ bản của quy tắc nhân các hoạt động được chọn phải độc lập với nhau Ở hành động thứ tư (chọn ra 5 em trong sỐ các học sinh còn lại) không còn độc lập nữa rồi Nó phụ thuộc vào kết quả trước đó đã chọn ra những em nào? Do đó phép đếm bị trùng lặp rất nhiều + Cách giải đúng:

Lời giải đúng phải sử dụng quy tắc cộng tổng quát (gộp vào và loại đi)

Ta sẽ có số cách chọn là:

Ci, -C), — Ch, — Cy, = 41811 (cach)

> Trên là những sai lầm mà học sinh hay mắc phải khi giải các bài toán đếm Ngoài ra khi giải phương trình có chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp,

tổ hợp học sinh cũng có thé mic sai lầm

3* Cách giải đúng:

Điều kiện của phương trình là x>3, xe N

Biến đối phương trình về dạng:

= x= > 5

2

Két hop voi diéu kién thi x = -Š bị loại

Vậy nghiêm của phương trình đã cho là x =Š

l Kết luân: Chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là một trong những nội

dung quan trong trong chương trình môn Toán, là cơ sở dé có thể học tốt phần xác suất thống kê và còn được sử dụng rất nhiều trong đời sống hàng ngày Trong quá trình giải các bài toán thuộc chủ đề này học sinh còn hay nhằm lẫn

giữa chính hợp và tổ hợp, khi giải phương trình còn chưa chú ý đến tập xác

định của phương trình

Với mục đích giúp học sinh có được cái nhìn tổng quan, hiểu được bản chất của hoán vị, chính hợp, tổ hợp, từ đó đưa ra phương pháp giải phù hợp

với yêu cầu của bài toán nên tôi đã sắp xếp hệ thống các kiến thức, các dạng bài tập trong sách giáo khoa và trong chương trình môn Toán của chủ đề hoán

vị, chỉnh hợp, tổ hợp; đồng thời tôi cũng nêu lên một số khó khăn và việc khắc phục những sai lầm của học sinh khi học phần này

Ở chương 2, tôi sẽ phân loại các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Ở mỗi dạng trước hết có các ví dụ minh họa bao gồm: một

số bài tập trong sách giáo khoa, trong các đề thi tốt nghiệp của các năm, các bài toán chọn lọc nâng cao, các bài toán giải bằng nhiều cách khác nhau Sau

đó đưa ra một số bài tâp luyện tâp

1 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vi cua n phan tử

chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:

- Tat cả ø phần tử đều có mặt

- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần

- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử

2 Đề nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập # của ø

phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:

- Phải chọn & phần tử từ z phần tử cho trước

- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

3 Để nhận biết một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập & của ø phần

tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:

- Phải chọn & phần tử từ z phần tử cho trước

- Không phân biệt thứ tự giữa & phần tử được chọn

2.1.2 Ví dụ

Vi du 1: (SGK- DS & GTNC11, trang 62)

Có bao nhiêu khả năng có thê xảy ra đối với thứ tự giữa các đội bóng

trong một giải bóng đá có 5 đội bóng (giả sử không có hai đội nào đó điểm trùng nhau)?

Giải

Số khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng là: 5! = 120 (khả năng)

Vi du 2: Cho tap A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 9 chữ số khác nhau? b) Từ tập A có thé lập được bao nhiêu số gồm có 9 chữ số khác nhau và chia hết cho 52

c) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm có 9 chữ số khác nhau?

Giải

Một số có 9 chữ số phân biệt được kí hiệu:

a =aja, a, VỚI a,€A;¡= 1,9; a,#a,

a) Ta có ngay ai, aa, „,ao là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ A, do

đó nó là một hoán vị của 9 phần tử Vậy từ A có thé lập được:

P.= 9! = 362880 số thỏa mãn điều kiện đầu bài

b) Số a chia hết cho 5, đo đó:

® a,,a,, , 4, là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ A\{as} do đó nó

là một hoán vị cua 8 phần tử , do đó có Ps; cach chon

Theo quy tắc nhân, số các số chẵn gồm 9 chữ số phân biệt hình thành

tir tap A bằng: 4.P; = 161280 số

Ví dụ 3: Xét mọi hoán vi của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Tính tổng S của tất cả

Giải

Từ 6 số đã cho ta có thể lập được:

P,¿ = 6! = 720 số gồm 6 chữ số khác nhau

Nhận xét rằng “Ứng với mỗi số N thuộc tập hợp này luôn tồn tại một

và chỉ một số N” sao cho tổng N + N° = 777777” Do đó có tất ca:

> 360 cap sd (N, N’) ma tong bang 777777

Vay tong S cita tat ca cdc số tạo bởi hoán vị đã cho bằng:

Dat E = ({ai, ao, a3, a4} là tập 4 người

a) Với bàn hình chữ U, có thể phân biệt vị trí chỗ ngồi bằng cách đánh

số thứ tự Khi đó mỗi cách sắp xếp ứng với một và chỉ một bộ 4 phần tử của

Vậy sô cách sắp xếp bang: "

Ví dụ 5: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thê lập được bao nhiêu số gồm 8

chữ số trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lân?

! 7! gi-7! ! BƠI = 8 = Tự =7.4.5.6.7 = 5880

Vi du 7: Cho tap A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Tir tap A cé thể lập được bao

nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mỗi số chứa chữ số 5? Trong các số đó có bao nhiêu số không chia hết cho 5?

Giải

Một số gồm 6 chữ số phân biệt hình thành từ tap A có dạng:

a,a,a,a,a,a,, vGiaje A, i=1,6 5 aj#a,, iF]

Dé sé tìm được phải có mặt chữ số 5, ta thấy:

*® 5 € {aj, a, a3, a4, as, as} nên có 6 cách chọn

° Tiếp theo mỗi bộ số dành cho 5 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 5 của các phần tử của tập A\{5} — có 8 phần tử

= Có 4¿ cách chọn

Như vậy ta được: 64} = 40320 số

Trong các số trên, những số chia hết cho 5 khi a= 5 Tức là ta có 4;

Vậy số các số tìm được không chia hết cho 5 là:

64; — AP =5A’ = 33600 số

Vi du 8: Cho tap A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Tu tap A co thé lập được bao nhiêu

số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phái có mặt chữ số 5?

Giải

Một số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng:

aa,aa,a, vớiaie A,i=l,5 ;ai#ai,Ì#j

Để số tìm được phải có mặt chữ số 5, ta đi xét 2 khả năng

- Kha nang 1: Néu a, =5 thi c6 1 cách chọn

Khi d6, mdi bé (a, a3, a4, as) ing véi mét chinh hop chập 4 của các phần tử của tập A\{5} — có 6 phần tử Do đó có A’ cach chon

Như vậy, trong kha năng này, ta được 1.4" sé

- Khả năng 2: Nếu 5 e {a;, as, a4, as} thì có 4 cách chọn

Tiếp theo:

* a¡ được chọn từ tập A\{0,5} — có 5 phần tử nên có 5 cách chọn

» Mỗi bộ số dành cho 3 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 3 của các phần tử của tập A\{5, a¡} — có 5 phần tử

Suy ra có A? phan tt

Như vậy trong khả năng này ta được 4.5.4) số

Khi đó số các số gồm 5 chữ số phân biệt trong đó có chữ số 5 hình thành từ tập A là:

1.42 +4.54 = 6.5.4.3+ 20.5.4.3 = 1560 số

Ví dụ 9: (SGK- ĐS&ŒTNCI], trang 63)

Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé

xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người xổ số có 4 giải: một giải nhất, một

giải nhì, một giải ba, một giải tư Hỏi:

a) Có bao nhiêu kết quả có thể?

b) Có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất?

c) Có bao nhiêu kết quả có thé, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng

e) Số kết quả có thể nếu biết người giữ vé số 47 trúng một trong bốn

giải là:

4.A) = 3764376 (kết quả có thê)

Vi du 10: (SGK — DS&GTNC11, trang 64)

Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ Người ta cần chọn ra 5

em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục Trong 5 em được chọn không có quá một em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

a) Có thê có bao nhiêu cách?

b) Có bao nhiêu cách lấy ra đúng 2 quả cầu đỏ?

e) Có bao nhiêu cách lẫy nhiều nhất 2 quả cầu đỏ?

d) Có bao nhiêu cách lấy ít nhất 2 quả cầu đỏ?

Giải

a) Mỗi cách lấy ra 4 quả cầu trong số 10 quả ứng với một tổ hợp chập 4

! jor 210 cach

416!

của 10 phần tử Do đó, số cách lấy bang: C* =

b) Ta có:

* Voi 3 qua cau đỏ lấy 2 qua, do đó có Cỷ cách

s Với 7 quả cầu trắng lấy 2 quả, đo đó có €} cách

Vậy có tất cả C?.C?=3.21=63 cách

c) Ta có các trường hợp:

s Chọn 2 đỏ và 2 trắng khi đó có C?.C? cách

* Chon | dé va 3 trang khi đó có C).C} cách

* Chon 4 quả trắng khi đó có C‡ cách

Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm Hỏi:

a) Có bao nhiêu đoạn thắng mà 2 đầu mút thuộc P?

b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không mà điểm đầu và điểm cuối

5 n!}

(1-2)! =n(n-1)

2.1.3 Bài tập luyện tập

Bai 1: Cho tap E= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E?

b) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E, trong

- Trường hợp 1: Các số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự đó

Giả sử a = (3, 4, 5) là bộ ba chữ số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự đó Mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E, trong đó các chữ số

3, 4, 5 đứng cạnh nhau (theo thứ tự đó) ứng với chỉ một hoán vị của 5 phần tử cua tap {1, 2, a, 6, 7} và ngược lại

Vậy số các số phải tìm bằng P; = 5! = 120 số

- Trường hợp 2: Các số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự bat kì

Ta biết rằng có 3! cách chọn bộ 3 chữ số (3, 4, 5) đứng cạnh nhau và theo thứ tự bất kì

Vậy số các số phải tim bang: 3!P; = 720 số

c) Mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E bắt đầu bằng 123

ứng với chỉ một hoán vị của 4 chữ số (4, 5, 6, 7)

Vậy số các số phải tìm bằng: P„ = 4! = 24 số

Bài 2: Tìm số hoán vị của ø phần tử trong đó có hai phần tử a và b không đứng cạnh nhau?

Giải

Trước hết ta có số hoán VỊ Của ứ phần tử là: Pạ =nl

Trong đó kê cả số hoán vị ma hai phan tir a và b đứng cạnh nhau

Ta đi xem có bao nhiêu cách chọn cặp (a, b) đứng cạnh nhau và dễ thấy rằng:

- Với b đứng bên phải a, khi đó ta có thé chon cho a tat ca (n — 1) vi tri,

từ vị trí đầu tiên đến vị trí thứ (m — 1)

- Với a đứng bên phải b, cũng có (ø — 1) cách chọn

Do đó có 2(w — 1) cách chọn (a, b) đứng cạnh nhau

Với mỗi trường hợp chọn cặp (a, b) ta có (ø — 2)! cách sắp xếp (ø — 2)

vat con lai vao n — 2 vị trí còn lại

Do đó có tat cả: 2(n — 1)(n — 2)! = 2(w — 1)! hoán vị ø vật mà trong đó

có hai phần tử a và b đứng cạnh nhau

= Số hoán vị của n phần tử trong đó hai phần tử a và b không đứng cạnh nhau là: ø! — 2(n — 1)! = (m — 2)(n — l)!

Bai 3: Cho tap A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

a) Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ tập A?

b) Trong các số đó có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 7?

c) Trong các số đó có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 12

Giải

a) Một sô gồm 4 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng:

a,a,a,a, VỚI ai € A, i=1,4,a;# aj, 14)

Ta thấy ngay, mỗi số gồm 4 chữ số phân biệt hình thành từ tập A ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử

Do do tir tap A có thê lập được số các số gồm 4 chữ số phân biệt là:

b) Đề số tìm được phải có mặt chữ số 7, ta thấy:

® 7€ {ai, a, a3, a4}, do do co 4 cach chọn

° Tiếp theo, mỗi bộ số dành cho 3 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 3 của các phần tử của tập A\{7} — có 6 phần tử

Như vậy ta được: 1.3.4? =60 số

Bài 4: (Đề thi tuyển Đại học, Cao đẳng khói B— 2008)

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam, 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh

miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam, | ni?

Dĩ nhiên 4 nam, | ni con lai sé phan công cho tỉnh thứ 3

Lại theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là:

n =n¡.n; = 1485.140 = 207900